四、设计 FIR滤波器的最优化方法
1、均方误差最小准则
1
0
N
j n j n
d
nn
h n e h n e
1
0
N
j n j n
ddh n h n e h n e
其它
j j jdE e H e H e
频率响应误差：
实际频响理想频响均方误差,
222 1122 j j jde E e d H e H e d
当 0dh n h n01nN时
22m i nee?
即
01
0
dh n n Nhn
n
其它相当于矩形窗
∴ 矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则
1 22
0
N
dd
nn
h n h n h n
其它
2、最大误差最小化准则
（ 加权 chebyshev等波纹逼近 ）
当hn为偶 /奇对称,N为奇 /偶数的四种情况其频响1
22
Nj j L
jH e e e H
为偶对称时hn 0L?
N为奇数,
1
2
0
c os
N
n
H a n n
N为偶数,
2
1
1c os
2
N
n
H b n n
N为奇数,
1
2
1
sin
N
n
H c n n
利用三角恒等式将 表示成两项相乘形式H?
H Q P
hn为奇对称时 1L?
122Nj j LjH e e e H
2
1
1si n
2
N
n
H d n n
N为偶数：
N为奇数
QP?
N为偶数
1
1
2
0
co s
N
n
a n n?
cos 2
1
2
0
co s
N
n
b n n?
N为奇数奇对称hn
N为偶数
sin
3
2
0
c os
N
n
c n n?
sin 2
1
2
0
co s
N
n
d n n?
偶对称hn
H Q P
其中：
1
1 0 1
2
1
1 2,3,,1
22
1
1
2 2 2
b b b
N
b n b n b n n
NN
bb
由下而上由 求bnbn
1 0,1,..,,2Na n a n n
1
1 0 1
2
1
1 2,3,,1
22
1
1
2 2 2
d d d
N
d n d n d n n
NN
dd
-
1
1 0 2
2
15
1 1 2,3,,
22
1 3 1
1,
2 2 2
c c c
N
c n c n c n n
NN
c n c n n
dHW Q PQ
加权 chebyshev等波纹逼近：
m i n m ax AEE各系数
n?求一组系数 使各频带上E? 的最大绝对值最小加权逼近误差函数：
逼近函数
dE W H H
加权函数
dW H P Q
dE W H P
A — 各 通带和阻带交错定理,若 是 r个余弦函数的线性组合。即P?
1
0
c o s
r
n
P n n
A是 内的一个闭区间 (包括各通带、阻带，但不包括过渡带 ),是 A上的一个连续函数,
0,?
dH?
则 是 的唯一地和最佳的加权 chebyshev
逼近的充分必要条件是：
P dH?
加权逼近误差函数 在 A中至少有 个极值点，即 A中至少有 个点,且
E1r
1r? i?
1 2 3 1rr
使得1 1,2,,iiE E i r
m axi AEE且设要求滤波器频率响应：
100 cjd
s
He
寻找一个使其在通带和阻带内最佳地一致逼近
jHe?
jdHe?
参数：,,,,N c? st? 1? 2?
若 最佳一致逼近jj dH e H e
则 在通、阻带内具等波纹性jHe?
故又称等波纹逼近根据交错定理：
最大极值点数的极值点数＋ 单有极点
E?
HE?
根据知 的极值点数为：
1
0
c o s
r
n
H n n
H? cNr?
hn偶对称
N为奇数 N为偶数12Nr 2Nr?
hn奇对称
N为奇数 N为偶数12Nr 2
Nr?
E? 0,单有的极值点是除 外的频带端点处如低通有 2个，带通有 4个极值点数目最优线性相位 FIR滤波器的设计步骤
6）用 Remez算法，求逼近问解的解
7）计算滤波器的单位抽样响应hn
2）根据类型和hn的长度 N，确定cos 的个数 r
4）计算各格点频率上的dH? 和W? 函数值
1）输入数据，滤波器性能要求，滤波器类型加权逼近误差,dE W H P
将dH?,W? 表示成 dHW?，
5）用公式表示逼近问题
3）在0,? 频率区间，用密集的格点表示离散频率
r
总格点数 格点密度设误差函数值为 δ，则
1 0,kdk k kW H P k r
1? 0,?
k
d k k
k
H P k r
W
Remez算法
1）按等间隔 设 定1r? 个极值点频率的初始值
0,k kr
其中,,,cl 1st l 0 lr
1
0
c o s
r
kk
n
P n n
其中,
0 0 0
0
1 1 1
1
0
1
1
1 c o s c o s 2 c o s 1
0
1 1
1 c o s c o s 2 c o s 1
1
1
1 c o s c o s 2 c o s 1
r
r r r
r
d
d
dr
r
W
r
W
r
r
W
H
H
H
1? 0,?
k
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k
H P k rW
1
0
c o srkk
n
P n n
其中,
1r? 未知数,n? 和 δ，但求解困难可求
2）用解析法求
0
0
1
r
i d i
i
r
i
ii
i
aH
aW
其中：
0
1
c o s c o s
r
i
k ik
ki
a
3）求P? 值
1
0
1
0
c os c os
c os c os
r
i
i
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i i
c
P
其中：
1
0
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i
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ki
1 0,1,,1?ii i d i
i
c P H i rW
1? 0,?
k
d k k
k
H P k r
W
利用重心形式的拉格朗日内插公式得
4）求dE W H P
5）判断是否所有频率上皆有E
若是，结束计算若否，
作为新的一组交错点组频率，返回步骤 2）
重新计算? 值,,PE?
误差曲线每个格点频率上E
E(r+1)个极值点频率处,且 正负交错。
P? 为最佳逼近,? 为波纹极值
E? 误差曲线的1r? 个局部极值频率点求前后两次迭代的? 值相等，终止条件：
即收敛于其上限
、已知 N,c? st?,求最佳?，通、阻带加权误差相同若,已知，则可规定加权函数1? 2?
121W
当 在通带内当 在阻带内则经 Remez解法迭代得 2E
若,已知，则固定1? 2? c?,改变 st? 值，重复迭代使,1? 2? 满足要求加权函数及其它参数的确定：
计算滤波器的单位抽样响应
1
0
Re
r
jn
n
ne
Re D T F T n
由
1
0
c o s
r
n
P n n
n? 为实函数求Pk 的 L点 IDFT即得ep n?
对P? 频域抽样得 P(k),L点
2 MLN时不混叠）（
01n n r而 为实数，又在 内不混叠，可得
0
2,1 1
ep
ep
n
n n n r
*( ) 1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )e p N N Nx n x n x N n R n
偶对称,N为奇数 时如hn
n h n?由,求得
n a n b n c n d n?,,,,
n a n a n? ==
由 10 2Nah
112 1,22NNa n h n n
可求得 h(n)
偶对称,N为 偶 数 时如hn
n b n b n h n=
1、均方误差最小准则
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1
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其它
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频率响应误差：
实际频响理想频响均方误差,
222 1122 j j jde E e d H e H e d
当 0dh n h n01nN时
22m i nee?
即
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其它相当于矩形窗
∴ 矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则
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0
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其它
2、最大误差最小化准则
（ 加权 chebyshev等波纹逼近 ）
当hn为偶 /奇对称,N为奇 /偶数的四种情况其频响1
22
Nj j L
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为偶对称时hn 0L?
N为奇数,
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m i n m ax AEE各系数
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逼近函数
dE W H H
加权函数
dW H P Q
dE W H P
A — 各 通带和阻带交错定理,若 是 r个余弦函数的线性组合。即P?
1
0
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A是 内的一个闭区间 (包括各通带、阻带，但不包括过渡带 ),是 A上的一个连续函数,
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则 是 的唯一地和最佳的加权 chebyshev
逼近的充分必要条件是：
P dH?
加权逼近误差函数 在 A中至少有 个极值点，即 A中至少有 个点,且
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6）用 Remez算法，求逼近问解的解
7）计算滤波器的单位抽样响应hn
2）根据类型和hn的长度 N，确定cos 的个数 r
4）计算各格点频率上的dH? 和W? 函数值
1）输入数据，滤波器性能要求，滤波器类型加权逼近误差,dE W H P
将dH?,W? 表示成 dHW?，
5）用公式表示逼近问题
3）在0,? 频率区间，用密集的格点表示离散频率
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误差曲线每个格点频率上E
E(r+1)个极值点频率处,且 正负交错。
P? 为最佳逼近,? 为波纹极值
E? 误差曲线的1r? 个局部极值频率点求前后两次迭代的? 值相等，终止条件：
即收敛于其上限
、已知 N,c? st?,求最佳?，通、阻带加权误差相同若,已知，则可规定加权函数1? 2?
121W
当 在通带内当 在阻带内则经 Remez解法迭代得 2E
若,已知，则固定1? 2? c?,改变 st? 值，重复迭代使,1? 2? 满足要求加权函数及其它参数的确定：
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