十一、数字域频带变换法
L
z
Hz
平面
11
()d
L z G Z
Z
HZ
Hz
平面
＝
归一化模拟低通数字低通数字低通、
高通、带通、
带阻数字域频带变换或双线性变换冲激响应不变法要求：
1 zZ?） 平面单位圆 平面单位圆
2 zZ?）保持因果稳定：平面单位圆内 平面单位圆内
113 ( )G Z Z）系统函数 是 的有理函数阶数,N
,jjz e Z e令
1*
11
1
1
() 1
N
k
k k
Zaz G Z
aZ
极点,1kkaa?，
零点,*1/ ka
,0 a r g [ ( ) ]jG e N
1 1 a r g [ ( ) ]( ) ( ) ( ) jj j j j G ez e G Z G e G e e则：
( ) 1
a r g[ ( ) ]
j
j
Ge
Ge
即,为全通函数
1 1()dL z GZH Z H z＝
kNa选择合适的,,即得各类变换
1、数字低通 — 数字低通
,0,0 1N
1
11
1() 1
Zz G Z
Z
,1 1 1 1
,0 0
,0 0
,1 1 1 1
cc
cc
jj
cc
cc
jj
Z e e
z e e
1
11
1() 1
Zz G Z
Z
si n
2
si n
2
cc
cc
得：
cc
1
c
c
c
j
j
j
ee
e
由
0
0
频率压缩频率扩张
2、数字低通 — 数字高通
11
11
11() 11
ZZz G Z
ZZ
低通频率响应在单位圆上旋转 180o，即得高通频率响应,ZZ
,1 1 1 1
,0 0
,0 0
,1 1 1 1
cc
cc
jj
cc
jj
Z e e
z e e
1
c
c
c
j
j
j
ee
e
由
c os
2
c os
2
cc
cc
得：
1
11
1() 1
Zz G Z
Z
cc
3、数字低通 — 数字带通
21
11 12
21
21
() 1Z d Z dz G Z d Z d Z
,0,2N
002 1 1 2
2 0 1 1 0 2
,1 1 1 1
,0 0
,0 0
,1 1 1 1 1 1c c c c
jjj j j j
c c c c
j j j j
Z e e e e e e
z e e e e
21
1 12
21
21 1
Z d Z dz
d Z d Z
得上式应取负号，即：
21
11 12
21
21
() 1Z d Z dz G Z d Z d Z
11
11
11
11
zZ
zZ
由
21
0
21
c os
2 c os
c os
2
21
22
ck tg c tg其中：
21
1 12
21
21 1
Z d Z dz
d Z d Z
21 cc
11
11
22
22
2
12
2
21
2
12
2
21
1
1
c
c
jj
j
jj
jj
j
jj
e d e d
e
d e d e
e d e d
e
d e d e
由
1
2
1
kd
k
2
1
1
kd
k
得
4、数字低通 — 数字带阻
21
11 12
21
21
() 1Z d Z dz G Z d Z d Z
,0,2N
002 1 1 2
2 0 1 1 0 2
,1 1 1 1
,0 0
,0 0 0 0
,1 1 1 1 1 1c c c c
jjj j j j
c c c c
j j j j
Z e e e e e e
z e e e e
21
1 12
21
21 1
Z d Z dz
d Z d Z
得上式应取正号，即：
21
11 12
21
21
() 1Z d Z dz G Z d Z d Z
11
11
11
11
zZ
zZ
由
21
0
21
c os
2 c os
c os
2
21
22
ck tg tg其中：
21
1 12
21
21 1
Z d Z dz
d Z d Z
cc
22
22
11
11
2
12
2
21
2
12
2
21
1
1
c
c
jj
j
jj
jj
j
jj
e d e d
e
d e d e
e d e d
e
d e d e
由
1
2
1d k
2
1
1
kd
k
得
5、数字低通 — 多通带
全通函数的阶数 N为 [–π,π]内通带的数目
时是通带，全通函数取,+”号时是阻带，全通函数取,–”号
0
0
L
z
Hz
平面
11
()d
L z G Z
Z
HZ
Hz
平面
＝
归一化模拟低通数字低通数字低通、
高通、带通、
带阻数字域频带变换或双线性变换冲激响应不变法要求：
1 zZ?） 平面单位圆 平面单位圆
2 zZ?）保持因果稳定：平面单位圆内 平面单位圆内
113 ( )G Z Z）系统函数 是 的有理函数阶数,N
,jjz e Z e令
1*
11
1
1
() 1
N
k
k k
Zaz G Z
aZ
极点,1kkaa?，
零点,*1/ ka
,0 a r g [ ( ) ]jG e N
1 1 a r g [ ( ) ]( ) ( ) ( ) jj j j j G ez e G Z G e G e e则：
( ) 1
a r g[ ( ) ]
j
j
Ge
Ge
即,为全通函数
1 1()dL z GZH Z H z＝
kNa选择合适的,,即得各类变换
1、数字低通 — 数字低通
,0,0 1N
1
11
1() 1
Zz G Z
Z
,1 1 1 1
,0 0
,0 0
,1 1 1 1
cc
cc
jj
cc
cc
jj
Z e e
z e e
1
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Zz G Z
Z
si n
2
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2
cc
cc
得：
cc
1
c
c
c
j
j
j
ee
e
由
0
0
频率压缩频率扩张
2、数字低通 — 数字高通
11
11
11() 11
ZZz G Z
ZZ
低通频率响应在单位圆上旋转 180o，即得高通频率响应,ZZ
,1 1 1 1
,0 0
,0 0
,1 1 1 1
cc
cc
jj
cc
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Z e e
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1
c
c
c
j
j
j
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由
c os
2
c os
2
cc
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得：
1
11
1() 1
Zz G Z
Z
cc
3、数字低通 — 数字带通
21
11 12
21
21
() 1Z d Z dz G Z d Z d Z
,0,2N
002 1 1 2
2 0 1 1 0 2
,1 1 1 1
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,1 1 1 1 1 1c c c c
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21
1 12
21
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得上式应取负号，即：
21
11 12
21
21
() 1Z d Z dz G Z d Z d Z
11
11
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11
zZ
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由
21
0
21
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21
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j
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e d e d
e
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由
1
2
1
kd
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得
4、数字低通 — 数字带阻
21
11 12
21
21
() 1Z d Z dz G Z d Z d Z
,0,2N
002 1 1 2
2 0 1 1 0 2
,1 1 1 1
,0 0
,0 0 0 0
,1 1 1 1 1 1c c c c
jjj j j j
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Z e e e e e e
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21
1 12
21
21 1
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得上式应取正号，即：
21
11 12
21
21
() 1Z d Z dz G Z d Z d Z
11
11
11
11
zZ
zZ
由
21
0
21
c os
2 c os
c os
2
21
22
ck tg tg其中：
21
1 12
21
21 1
Z d Z dz
d Z d Z
cc
22
22
11
11
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12
2
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1
1
c
c
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j
jj
jj
j
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d e d e
e d e d
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由
1
2
1d k
2
1
1
kd
k
得
5、数字低通 — 多通带
全通函数的阶数 N为 [–π,π]内通带的数目
时是通带，全通函数取,+”号时是阻带，全通函数取,–”号
0
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