九、设计 IIR滤波器的频率变换法十、模拟域频带变换法归一化模拟低通模拟低通、
高通、带通、
带阻数字低通、
高通、带通、
带阻模拟域频带变换双线性变换
()aHs
sj?
归 一 化,
()Hz
()( ) ( )a a s f sH s H s
()( ) ( )aa fH j H j
()aHs
sj
归一化,?
1、模拟低通 — 模拟低通
c
c
ss
1c当通带截止频率 时，
相当于去归一化
c?
c
c
c
2、模拟低通 — 模拟带通
变换关系,22
0ss
s
22
0
sj由 sj
,0 s c c s
,0 s c c s
1 1 0 2 2,0 ss
1 1 0 2 2,0 ss
22
0
22
20
2
22
10
1
c
c
2
0 1 2
21 cB
2c 1c
B为通带带宽
0? 为通带几何对称中心角频率
22
0
22
0ss
sB
22
0
/ c / B 20 1 2
归一化变换：
其中：
22
0ss
s
2
0 1 2
21 cB
c
ss?
22
0
c
s
s
22
0
cc
22
0
B
2 2 20
2
/
/
B
BB
22
0
例：设计一个数字带通滤波器，通带范围为 0.3π
rad到 0.4π rad，通带内最大衰减为 3dB,0.2π rad
以下和 0.5π rad以上为阻带，阻带内最小衰减为
18dB。采用 Butterworth模拟低通滤波器、双线性变换法。
1 1 10,2 0,3 3s r a d r a d d B
2 2 20,5 0,4 1 8s r a d r a d d B
1
1
2 0,6 5 /
2
s
s tg ra d sT
1
1
2 1,0 1 9 /
2tg ra d sT
解,1）确定数字带通滤波器的技术指标：
2）转换为模拟带通滤波器的技术指标,（选 T=1s）
归一化：
2
2
2 1,4 5 3 /
2tg ra d sT
2
2
2 2/
2
s
s tg ra d sT
0 1 2 1,2 1 7 /r a d s
21 0,4 3 4 /B r a d s
11 / 1,4 9 8ss B11 / 2,3 4 8B
22 / 4,6 0 8ss B22 / 3,34 8B
20 1 2 0 / 2,8 0 4B
3）转换为归一化模拟低通滤波器技术指标：
22
20
2
2.902ss
s
2210
1
3,7 5 0 6ss
s
/ 2,9 0 2s p s p
1
2
0.1
0.1
10 1 0.12 7
10 1spk
l g / l g 1,9 4 0 2s p s pN k N 取
2,9 0 2s取小者：
1p 121 1 8d B d B又有
4）设计归一化模拟低通滤波器：
2
1()
21aHs ss查表得：
22
0
21 s s s s
5）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器：
22
0
( ) ( )aa s
s
sB
H s H s
1 1 2 2 1 2
0
1 2
2 1 4 ( 1 ) ( 1 )
1 2 ( 1 )
( ) ( ) ( )aa
z z zs s
T z zB
H z H s H s
24
1 2 3 4
0,0 2 1 ( 1 2 )
1 1,4 9 1 2,8 4 8 1,6 8 1,2 7 3
zz
z z z z
6）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器：
模拟低通到数字带通的直接变换：
12
2
1
1
( ) ( )a Ez z
sD
z
H z H s
0c o s c o s
si nD
21
0
21
co s
2
2 2 co s
co s
2
E
21
2cD c tg
其中：
3、模拟低通 — 模拟带阻
变换关系：
2
0
22
0
ss
s
2
0
22
0
,0 0 s c c s
,0 0 s c c s
0 2 2 1 1 0,0 ss
0 2 2 1 1 0,0
2
0
22
0
2
02
22
02
2
01
22
01
c
c
2
0 1 2
2
2 1 0 / cB
2
0
22
0
2c 1c
B为阻带带宽
0? 为阻带几何对称中心角频率
2
0
22
0
ss
s
22
0
sBs
s
22
0
/ c / B 20 1 2
归一化变换：
其中：
2
0 1 2
2
2 1 0 / cB
2
0
22
0
c
ss?
2
0
22
0 c
s
s
2
0
22
0c c
0
B
2
2 2 2
0
/
/
BB
B
模拟低通到数字带阻的直接变换：
21
12
1
1
1
( ) ( )a
Dz
s
E z z
H z H s?
1
0
sin
c o s c o sD
21
10
21
co s
2
2 2 co s
co s
2
E
21
1 2cD tg
其中：
4、模拟低通 — 模拟高通
变换关系：
ccs
s
cc
,0 0 s c c s
,0 0 s c c s
,0 0s c c s
,0 0s c c s
cc
cs
s
1?
/ c / c
归一化变换：
其中：
cc
ccs
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模拟低通到数字高通的直接变换：
1
1 1
1
1
( ) ( )a z
sC
z
H z H s?
1 2C c tg
1 2
c
cC tg
其中：
高通、带通、
带阻数字低通、
高通、带通、
带阻模拟域频带变换双线性变换
()aHs
sj?
归 一 化,
()Hz
()( ) ( )a a s f sH s H s
()( ) ( )aa fH j H j
()aHs
sj
归一化,?
1、模拟低通 — 模拟低通
c
c
ss
1c当通带截止频率 时，
相当于去归一化
c?
c
c
c
2、模拟低通 — 模拟带通
变换关系,22
0ss
s
22
0
sj由 sj
,0 s c c s
,0 s c c s
1 1 0 2 2,0 ss
1 1 0 2 2,0 ss
22
0
22
20
2
22
10
1
c
c
2
0 1 2
21 cB
2c 1c
B为通带带宽
0? 为通带几何对称中心角频率
22
0
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/ c / B 20 1 2
归一化变换：
其中：
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c
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c
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cc
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B
2 2 20
2
/
/
B
BB
22
0
例：设计一个数字带通滤波器，通带范围为 0.3π
rad到 0.4π rad，通带内最大衰减为 3dB,0.2π rad
以下和 0.5π rad以上为阻带，阻带内最小衰减为
18dB。采用 Butterworth模拟低通滤波器、双线性变换法。
1 1 10,2 0,3 3s r a d r a d d B
2 2 20,5 0,4 1 8s r a d r a d d B
1
1
2 0,6 5 /
2
s
s tg ra d sT
1
1
2 1,0 1 9 /
2tg ra d sT
解,1）确定数字带通滤波器的技术指标：
2）转换为模拟带通滤波器的技术指标,（选 T=1s）
归一化：
2
2
2 1,4 5 3 /
2tg ra d sT
2
2
2 2/
2
s
s tg ra d sT
0 1 2 1,2 1 7 /r a d s
21 0,4 3 4 /B r a d s
11 / 1,4 9 8ss B11 / 2,3 4 8B
22 / 4,6 0 8ss B22 / 3,34 8B
20 1 2 0 / 2,8 0 4B
3）转换为归一化模拟低通滤波器技术指标：
22
20
2
2.902ss
s
2210
1
3,7 5 0 6ss
s
/ 2,9 0 2s p s p
1
2
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0.1
10 1 0.12 7
10 1spk
l g / l g 1,9 4 0 2s p s pN k N 取
2,9 0 2s取小者：
1p 121 1 8d B d B又有
4）设计归一化模拟低通滤波器：
2
1()
21aHs ss查表得：
22
0
21 s s s s
5）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器：
22
0
( ) ( )aa s
s
sB
H s H s
1 1 2 2 1 2
0
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2 1 4 ( 1 ) ( 1 )
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T z zB
H z H s H s
24
1 2 3 4
0,0 2 1 ( 1 2 )
1 1,4 9 1 2,8 4 8 1,6 8 1,2 7 3
zz
z z z z
6）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器：
模拟低通到数字带通的直接变换：
12
2
1
1
( ) ( )a Ez z
sD
z
H z H s
0c o s c o s
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0
21
co s
2
2 2 co s
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其中：
3、模拟低通 — 模拟带阻
变换关系：
2
0
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2
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0
,0 0 s c c s
,0 0 s c c s
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c
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B为阻带带宽
0? 为阻带几何对称中心角频率
2
0
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0
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归一化变换：
其中：
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模拟低通到数字带阻的直接变换：
21
12
1
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Dz
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H z H s?
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c o s c o sD
21
10
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co s
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其中：
4、模拟低通 — 模拟高通
变换关系：
ccs
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,0 0 s c c s
,0 0s c c s
,0 0s c c s
cc
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1?
/ c / c
归一化变换：
其中：
cc
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模拟低通到数字高通的直接变换：
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1 1
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1 2C c tg
1 2
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其中：
