三、频率抽样设计法
1、设计方法对理想频率响应等间隔抽样作为实际 FIR数字滤波器的频率特性的抽样值
2( ) ( ) ( )
j
dd k
N
H k H k H e

0,1,...,1kN
()hn ()Hz ()jHe?
1
0
( ) ( ) ( )
N
j j n j
d
n
H e h n e H e

1( ) ( )
2
j j n
ddh n H e e d

( ) ( ) ( )dh n w n h n?
窗函数设计法：
1
1
0
1 ( )()
1
N N
k
k N
z H kHz
N W z




1
0
2Nj
k
H e H k kN


1
2
si n1
2()
si n
2
N
j
N
e
N


1 1
( 1)
2
0
si n
21
si n
2
kN N
jNj
j N
k
k
N
N
H e e H k e
kN
N










内插公式：
抽样点上，频率响应严格相等
抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加
变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小
1、线性相位的约束
1） h(n)偶对称,N为奇数
12NjjH e H e
( ) ( 2 )HH

2
k
jk j
N
kH k H e H e


k N kHH幅度偶对称：
1 2 11
2k
N kk
NN

相位函数：
2 k
N

2） h(n)偶对称,N为偶数
1
2( ) ( )
NjjH e H e
( ) ( 2 )HH

2
k
jk j
N
kH k H e H e


k N kHH幅度奇对称：
11
k k N


相位函数：
2 k
N

2、频率抽样的两种方法
1）第一种频率抽样
2jdd
k
N
H k H k H e


0,1,...,1kN
1
1
0
1 ( )()
1
N N
k
k N
z H kHz
N W z




系统函数：

1 1
2
0
sin
1 2
sin
2
kN N
jj
j N
k
N
H e e H k e
kN
N









频率响应：
2）第二种频率抽样
2jd
k
NN
H k H e

0,1,...,1kN
1
21
0 12
1()
1
N N
jkk
N
Hkz
Hz
N
ez






1
21 1
2
0
c o s
2
1
si n
22
jk
NN N
j
j
k
N
H k e
H e e
N
jk
N










系统函数：
频率响应：
3、线性相位第一种频率抽样
h(n)为实数序列时,H(k)圆周共轭对称
*H k H N k
又线性相位, 12j Ne
k N k
H k H N k即：
2
N对称中心：
当 N为奇数时,

2 1 1
0,...,
22
2 1 1
,...,1
22
NN
kk
N
k
NN
N k k N
N









21
0,...,1
22
0
2
21
1,...,1
22
NN
kk
N
N
kk
NN
N k k N
N







当 N为偶数时：




21
2
21
2
1
0,..,,
2
1
,..,,1
2
N
jk
N
N
j N k
N
N
H k e k
Hk
N
H N k e k N
















21
2
21
2
0,..,,1
2
0
2
1,..,,1
2
N
jk
N
N
j N k
N
N
H k e k
N
H k k
N
H N k e k N















当 N为奇数时：
当 N为偶数时：
频率响应,
1
2
( 0) s i n
2
sin
2
N
j
j
N
H
H e e
N








1
s i n s i n
22
s i n s i n
22
M
k
kk
NN
Hk NN
kkN
NN










1
2
NM当 N为奇数时：
12NM当 N为偶数时：
4、线性相位第二种频率抽样
h(n)为实数序列时,H(k)圆周共轭对称
*( ) ( 1 )H k H N k
又线性相位, 12j Ne
( ) ( 1 )k N k
( ) ( 1 )H k H N k即：
1
2
N?对称中心：

2 1 1
0,...,1
2 2 2
2 1 1
,...,1
2 2 2
NN
kk
N
k
NN
N k k N
N








2 1 1 3
0,...,
2 2 2
1
0
2
2 1 1 1
,...,1
2 2 2
NN
kk
N
N
kk
NN
N k k N
N








当 N为奇数时：
当 N为偶数时：



2 1 1
22
2 1 1
22
0,...,1
2
1,...,1
2
N
jk
N
N
j N k
N
N
H k e k
Hk
N
H N k e k N














2 1 1
22
2 1 1
22
3
0,...,
2
11
22
1
1,...,1
2
N
jk
N
N
j N k
N
N
H k e k
NN
H k H k
N
H N k e k N












当 N为奇数时：
当 N为偶数时：
频率响应：
当 N为奇数时,
1
2
1
c o s
2 2
c o s
2
N
N N
H
H
N









1
2
1
02
1
sin
22
1
sin
22
N M
j
j
N
k
Nk
Hk N
H e e H
N
k
N












1
sin
22
1
sin
22
Nk
N
k
N









3
2
NM
当 N为偶数时,1
2
0NH 12NM
增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减
5、过渡带抽样的优化设计不加过渡抽样点,2 20 dB
加一点,2 4 0 ~ 5 4 dB
加两点,2 6 0 ~ 7 5 dB
加三点,2 8 0 ~ 9 5 dB
1
0
2Nj
k
H e H k kN


增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽
增加 N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量
优点：频域直接设计
缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍，
截止频率 不能任意取值
2/N?
c?
/N?
1
1 0 I nt 8
24
()
1
0 I nt 1 9 16
22
c
c
NN
k
Hk
NN
k









例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为 0.5π，抽样点数为 N=33，
要求滤波器具有线性相位。
解：

10
0
cj
dHe



理想低通频率特性其它按第一种频率抽样方式,N=33，得抽样点得线性相位 FIR滤波器的频率响应,
8
16
1
33
s i n 3 3 s i n 3 3sin
2 3 3 2 3 32
3 3 s i n 3 3 s i n 3 3 s i n
2 2 3 3 2 3 3
jj
k
kk
H e e
kk











2 /33?过渡带宽：
阻带衰减,-20dB
增加一点过渡带抽样点令 H(9)=0.5
4 /33?过渡带宽：
阻带衰减,-40dB
增加两点过渡带抽样点且增加抽样点数为 N=65
令 H(17)=0.5886
H(18)=0.1065
6 /65?过渡带宽：
阻带衰减,-60dB