第七章学习目标
掌握线性相位 FIR数字滤波器的特点
掌握窗函数设计法
理解频率抽样设计法
了解设计 FIR滤波器的最优化方法
理解 IIR与 FIR数字滤波器的比较本章作业练习
P388:
1
7
9(1)(2)
10 (1)
第七章 FIR数字滤波器的设计方法
IIR数字滤波器：
可以利用模拟滤波器设计但相位非线性
FIR数字滤波器：
可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用 FFT计算但阶次比 IIR滤波器要高得多一、线性相位 FIR滤波器的特点
FIR滤波器的单位冲激响应：
( ) 0 1h n n N
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
系统函数：
在 z 平面有 N –1 个零点在 z = 0 处是 N –1 阶极点
h(n)为实序列时，其频率响应：
1、线性相位条件
()()jjH e e
即群延时 是常数()d d
0()第二类线性相位：
()第一类线性相位：
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e
()() jHe
线性相位是指 是 的线性函数
()()jjH e e
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e
()第一类线性相位：
()jjH e e
1
0
( ) c o s c o s
N
j
n
H e h n n
1
0
( ) si n si n
N
j
n
H e h n n
1
0
1
0
sin
sin
co s
co s
N
n
N
n
h n n
tg
h n n
11
00
si n c o s c o s si n 0
NN
nn
h n n h n n
1
0
si n 0
N
n
h n n
第一类线性相位 的充要条件：()
( ) ( 1 ) 0 1h n h N n n N
1
2
Nn = (N – 1) /2 为 h(n)的偶对称中心
1
0
si n 0
N
n
h n n
第二类线性相位 的充要条件,0()
( ) ( 1 ) 0 1h n h N n n N
1
2
N
0 /2
n = (N – 1) /2 为 h(n)的奇对称中心
2、线性相位 FIR滤波器频率响应的特点
11
00
( ) ( ) ( 1 )
NN
nn
nn
H z h n z h N n z
1
( 1 )
0
()
N
Nm
m
h m z
( 1 ) 1()Nz H z
1m N n令系统函数：
( ) ( 1 ) 0 1h n h N n n N由
1
( 1)
0
()
N
Nm
m
z h m z
( 1 ) 11 ( ) ( ) ( )
2
NH z H z z H z得
11
( 1)
00
1 ( ) ( )
2
NN
n N n
nn
h n z z h n z
1
( 1)
0
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2
N
n N n
n
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11
1 221
2
0
()
2
NN
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N N
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( 1 ) 1 ( )NH z z H z由
11
22
1
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2
2 1
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2
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NN
nn
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N
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N
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1 221
2
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()
2
NN
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N N
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1 1
2
0
1 1
2
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2
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2
j
N N
j
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j
n
N
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H e H z
N
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""?
""?
co s 2
j x j xee
x
频率响应：
( ) ( 1 )h n h N n
1 1
2
0
1( ) ( ) ( ) c o s
2j
N Nj
j
ze
n
NH e H z e h n n
1
2
N
1） h(n)偶对称为第一类线性相位
1()
2
N相位函数：
频率响应：
( ) ( 1 )h n h N n
1 1
2
0
1( ) ( ) ( ) si n
2j
N Nj
j
ze
n
NH e H z je h n n
1
2
N
1 1
22
0
1( ) si n
2
N Njj
n
Ne h n n
0 /2
2） h(n)奇对称
1()
22
N
相位函数：
为第二类线性相位
3、幅度函数的特点
1） h(n)偶对称,N为奇数
11c o s ( 1 ) c o s
22
NNN n n
11c o s
22
NN n
对 呈偶对称
1
0
1( ) ( ) c o s
2
N
n
NH h n n
幅度函数：
1c o s
2
N n
-3
2
0
11( ) 2 ( ) co s
22
N
n
NNH h h n n
1
2
1
11 2 co s ( )
22
N
m
NNh h m m?
1
2
N nm令
1
2
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( ) ( ) c os( )
N
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H a n n
1( 0)
2
Nah
其中：
11,..,,
2
Nn 1( ) 2
2
Na n h n
1
2
0
( ) ( ) co s ( )
N
n
H a n n
1( 0)
2
Nah
11,..,,
2
Nn
其中：
1( ) 2
2
Na n h n
( ) 0,,2 H 对 呈偶对称
co s ( ) 0,2 n对,呈偶对称
1
2
0
( ) ( ) co s ( )
N
n
H a n n
2） h(n)偶对称,N为偶数
1
2
0
12 ( ) co s
2
N
n
Nh n n?
1
0
1( ) ( ) c o s
2
N
n
NH h n n
幅度函数：
2
1
12 co s
22
N
m
Nh m m?
2
N nm令
/2
1
1( ) ( ) c o s
2
N
n
H b n n
( ) 2 2Nb n h n
1,..,,2
Nn?其中：
1
2
0
1( ) 2 ( ) co s
2
N
n
NH h n n
/2
1
1( ) ( ) c o s
2
N
n
H b n n
( ) 2 2Nb n h n
1,..,,2
Nn?其中：
()H对 呈 奇 对 称
( ) 0 1Hz则 是零点
1 c o s 0
2n
时?
1z 为 零 点? 故不能设计成高通、带阻滤波器
( ) 0,2H对 呈偶对称
/2
1
1( ) ( ) c o s
2
N
n
H b n n
3） h(n)奇对称,N为奇数
11si n ( 1 ) si n
22
NNN n n
11si n
22
NN n
对 呈奇对称
1
0
1( ) ( ) si n
2
N
n
NH h n n
幅度函数：
1sin
2
N n
-3
2
0
1( ) 2 ( ) s i n
2
N
n
NH h n n
1
2
1
12 s i n ( )
2
N
m
Nh m m?
1
2
N nm令
1
2
1
( ) ( ) si n( )
N
n
H c n n
1( ) 2
2
Nc n h n
11,..,,2Nn其中：
1( ) 0
2
Nh n N h
奇对称且 为奇数
1
2
1
( ) ( ) s i n ( )
N
n
H c n n
1( ) 2
2
Nc n h n
11,..,,2Nn其中：
( ) 0,2H故 对,呈奇对称
( ) 0 1Hz则 是 零 点
0,,2 s i n ( ) 0n 时?
1
2
1
( ) ( ) s i n ( )
N
n
H c n n
s i n ( ) 0,2 n因 对,呈奇对称
4） h(n)奇对称,N为偶数
1
0
1( ) ( ) si n
2
N
n
NH h n n
幅度函数：
1
2
0
12 ( ) s i n
2
N
n
Nh n n?
1
2
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1( ) 2 ( ) s i n
2
N
n
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2
1
12 s i n
22
N
m
Nh m m?
2
N nm令
/2
1
1( ) ( ) si n
2
N
n
H d n n
( ) 2 2Nd n h n
1,..,,2
Nn?其中：
/2
1
1( ) ( ) si n
2
N
n
H d n n
( ) 2 2Nd n h n
1,..,,2
Nn?其中：
( ) 0 1Hz则 是零点
10,2 si n 0
2n
时?
( ) 0,2H对 呈奇对称?
h(n)为奇对称时，有 900相移，适用于微分器和
900移相器，而选频滤波器采用 h(n)为偶对称时
()H对 呈 偶 对 称
/2
1
1( ) ( ) si n
2
N
n
H d n n
4、零点位置
( ) 0iHz?
**,1 /iizz即 也是零点
( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z得：由
1）若 z = zi 是 H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点
2） h(n)为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对
( 1 )1( ) ( ) 0Ni i iH z z H z
11( ) ( 1 ) ( 1 )iijji i iH z r e z r e z
111111 iijj
ii
e z e zrr
1 2 2
2
1 1 2 c o s
i i i
i
r z r zr2 1 22 c o si i ir r z z
152
2
NN
10iji i i iz r e r 或1）
11i i i ij j j j
ii
ii
r e r e e err零点：
1 2 2
2
1( ) 1 2 c o s
i i i i
i
H z r z r zr2 1 22 c o si i ir r z z
11( ) 1 1iijjiH z e z e z
121 2 c o s ir z z
131
2
NN
10iji i i iz r e r 或2）,即零点在单位圆上
iijjee零点：
11 1( ) 1 1ii
i
H z r z zr
1211
i
i
r z zr
131
2
NN
" " i 负 实 轴 上
" " 0 i 正 实 轴 上
10iji i i iz r e r 或3）,即零点在实轴上
1
i
i
r r零点：
1( ) (1 )iH z z
112
22
NN
" " 1
" " 0 1
i
i
z
z
10iji i i iz r e r 或4）
即零点既在实轴上，又在单位圆上
1?零点：
掌握线性相位 FIR数字滤波器的特点
掌握窗函数设计法
理解频率抽样设计法
了解设计 FIR滤波器的最优化方法
理解 IIR与 FIR数字滤波器的比较本章作业练习
P388:
1
7
9(1)(2)
10 (1)
第七章 FIR数字滤波器的设计方法
IIR数字滤波器：
可以利用模拟滤波器设计但相位非线性
FIR数字滤波器：
可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用 FFT计算但阶次比 IIR滤波器要高得多一、线性相位 FIR滤波器的特点
FIR滤波器的单位冲激响应：
( ) 0 1h n n N
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
系统函数：
在 z 平面有 N –1 个零点在 z = 0 处是 N –1 阶极点
h(n)为实序列时，其频率响应：
1、线性相位条件
()()jjH e e
即群延时 是常数()d d
0()第二类线性相位：
()第一类线性相位：
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e
()() jHe
线性相位是指 是 的线性函数
()()jjH e e
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e
()第一类线性相位：
()jjH e e
1
0
( ) c o s c o s
N
j
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N
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co s
co s
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N
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tg
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11
00
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NN
nn
h n n h n n
1
0
si n 0
N
n
h n n
第一类线性相位 的充要条件：()
( ) ( 1 ) 0 1h n h N n n N
1
2
Nn = (N – 1) /2 为 h(n)的偶对称中心
1
0
si n 0
N
n
h n n
第二类线性相位 的充要条件,0()
( ) ( 1 ) 0 1h n h N n n N
1
2
N
0 /2
n = (N – 1) /2 为 h(n)的奇对称中心
2、线性相位 FIR滤波器频率响应的特点
11
00
( ) ( ) ( 1 )
NN
nn
nn
H z h n z h N n z
1
( 1 )
0
()
N
Nm
m
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( 1 ) 1()Nz H z
1m N n令系统函数：
( ) ( 1 ) 0 1h n h N n n N由
1
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0
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m
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11
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频率响应：
( ) ( 1 )h n h N n
1 1
2
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1( ) ( ) ( ) c o s
2j
N Nj
j
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n
NH e H z e h n n
1
2
N
1） h(n)偶对称为第一类线性相位
1()
2
N相位函数：
频率响应：
( ) ( 1 )h n h N n
1 1
2
0
1( ) ( ) ( ) si n
2j
N Nj
j
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n
NH e H z je h n n
1
2
N
1 1
22
0
1( ) si n
2
N Njj
n
Ne h n n
0 /2
2） h(n)奇对称
1()
22
N
相位函数：
为第二类线性相位
3、幅度函数的特点
1） h(n)偶对称,N为奇数
11c o s ( 1 ) c o s
22
NNN n n
11c o s
22
NN n
对 呈偶对称
1
0
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2
N
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NH h n n
幅度函数：
1c o s
2
N n
-3
2
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N
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2
Nah
11,..,,
2
Nn
其中：
1( ) 2
2
Na n h n
( ) 0,,2 H 对 呈偶对称
co s ( ) 0,2 n对,呈偶对称
1
2
0
( ) ( ) co s ( )
N
n
H a n n
2） h(n)偶对称,N为偶数
1
2
0
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N
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1
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幅度函数：
2
1
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22
N
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2
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1
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N
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Nn?其中：
1
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N
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NH h n n
/2
1
1( ) ( ) c o s
2
N
n
H b n n
( ) 2 2Nb n h n
1,..,,2
Nn?其中：
()H对 呈 奇 对 称
( ) 0 1Hz则 是零点
1 c o s 0
2n
时?
1z 为 零 点? 故不能设计成高通、带阻滤波器
( ) 0,2H对 呈偶对称
/2
1
1( ) ( ) c o s
2
N
n
H b n n
3） h(n)奇对称,N为奇数
11si n ( 1 ) si n
22
NNN n n
11si n
22
NN n
对 呈奇对称
1
0
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N
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幅度函数：
1sin
2
N n
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2
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1
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11,..,,2Nn其中：
( ) 0,2H故 对,呈奇对称
( ) 0 1Hz则 是 零 点
0,,2 s i n ( ) 0n 时?
1
2
1
( ) ( ) s i n ( )
N
n
H c n n
s i n ( ) 0,2 n因 对,呈奇对称
4） h(n)奇对称,N为偶数
1
0
1( ) ( ) si n
2
N
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NH h n n
幅度函数：
1
2
0
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2
N
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1
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2
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22
N
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2
N nm令
/2
1
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( ) 2 2Nd n h n
1,..,,2
Nn?其中：
/2
1
1( ) ( ) si n
2
N
n
H d n n
( ) 2 2Nd n h n
1,..,,2
Nn?其中：
( ) 0 1Hz则 是零点
10,2 si n 0
2n
时?
( ) 0,2H对 呈奇对称?
h(n)为奇对称时，有 900相移，适用于微分器和
900移相器，而选频滤波器采用 h(n)为偶对称时
()H对 呈 偶 对 称
/2
1
1( ) ( ) si n
2
N
n
H d n n
4、零点位置
( ) 0iHz?
**,1 /iizz即 也是零点
( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z得：由
1）若 z = zi 是 H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点
2） h(n)为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对
( 1 )1( ) ( ) 0Ni i iH z z H z
11( ) ( 1 ) ( 1 )iijji i iH z r e z r e z
111111 iijj
ii
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152
2
NN
10iji i i iz r e r 或1）
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H z r z r zr2 1 22 c o si i ir r z z
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121 2 c o s ir z z
131
2
NN
10iji i i iz r e r 或2）,即零点在单位圆上
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11 1( ) 1 1ii
i
H z r z zr
1211
i
i
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131
2
NN
" " i 负 实 轴 上
" " 0 i 正 实 轴 上
10iji i i iz r e r 或3）,即零点在实轴上
1
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r r零点：
1( ) (1 )iH z z
112
22
NN
" " 1
" " 0 1
i
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10iji i i iz r e r 或4）
即零点既在实轴上，又在单位圆上
1?零点：
