第六章习题讲解解：冲激响应不变法：
1．用冲激响应不变法将以下 变换为抽样周期为 T。
aHsHz，
（ 1） 2 2aH s s a s a b
2 2a saHs
s a b
1
()
N
k
a
k k
AHs
ss
1
1
() 1
k
N
k
sT
k
TAHz
ez
1 1 1
2 s a jb s a jb
将 部分分式分解：aHs
经冲激响应不变法变换后得：
1
1 2 2
1 c os
1 2 c os
aT
aT aT
e z bTT
e z bT e z
1 1 12aHs s a jb s a jb
11
1()
2 11 a j b T a j b T
TTHz
e z e z
3．设有一模拟滤波器抽样周期,试用双线性变换法将它转变为数字系统函数
211aH s s s
2T?
Hz
解,由变换公式
1
1
1
1
zsc
z
及 2c T? 2T?，,可得
1
1
1
1
zs
z
1
1
1
1
za s
z
H z H s?
211
11
1
11
1
11
zz
zz
21
2
1
3
z
z
4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知 3dB截止频率为
100Hz，系统抽样频率为 1kHz。
解：归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：
22 11 1.4 142 136 121aHs ssss
则将 代入，得出截止频率为 css1 0 0 2c
的模拟原型为
2
1
1.4142136 1
200 200
aHs
ss
2
3947 84.18
888.5 8 3947 84.18ss
经双线性变换得数字滤波器的系统函数：
1
1
21
1
za s
T z
H z H s?
211
33
3 9 4 7 8 4,1 8
112 1 0 8 8 8,5 8 2 1 0 3 9 4 7 8 4,1 8zz
12
12
0.064 1 2
1 1.1683 0.4241
zz
zz
31 / 1 / 1 0 ( )sT f s
2 394784.18888,58 3947 84.1 8aHs ss
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。
设 3c ra d s
解,由幅度平方函数,
2
4
1
1 c
Hj
令 22s，则有
41
1aa c
H s H s
s
各极点满足下式
21
24
kj
kcse
1 2 3 4k?,，，
则 时，所得的 即为1,2k? ksaHs的极点
3
4
1
3 2 3 2
22
j
cs e j
4
5
2
3 2 3 2
22
j
cs e j
由以上两个极点构成的系统函数为
00 2
12 3 2 9
a
kkHs
s s s s ss
1aHs?代入 0s? 时,可得 0 9K?,所以
2 93 2 9aHs ss
6．试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。
已知通带波纹为 2dB，截止频率为
（试用不同于书本的解法解答）。
2c ra d s
解,由,得1 2 dB
12 0,2101 0 1 1 0 1 0,5 8 4 8 9 3 2
则 0,5 8 4 8 9 3 2 0,7 6 4 7 8 3 1
因为截止频率为 2c ra d s,则
1
1
11si n si n
44cca sh shN
11 1 22
2 0,76 5 2sh sh
0,8 0 3 8
1
1
11c os c os
44ccb c h shN
11 1 22
2 0.7 65 2c h sh
1,6 2 6 7?
则,1 0,8 0 3 8 1,6 2 6 7sj21 0,8 0 3 8 1,6 2 6 7s s j
2
12
2.615
1.608 3.292a
AHs
s s s s s s
其中，因为 2N? 是偶数，故00s时，有
210 0,7 9 4 3
1a
H
可求得 3,2 9 2 2 0,7 9 4 3 2,6 1 5 1A
2
1
2 2,6 1 5 1
2 0,7 6 4 8 2
N
c
NA
或者由公式得
17．图 P6-17表示一个数字滤波器的频率响应。
1）用冲激响应不变法，求原型模拟滤波器频率响应。
2）用双线性变换法，求原型模拟滤波器频率响应。
解,由图可得
2 5 2
3 3 3
2 5 2
3 3 3
,0
j
He
的其他又由,则有T
（ 1） 冲激响应不变法
j aH e H j
因为? 大于折叠频率 时jHe? 为零，
故用此法无失真。
2 5 2
,
3 3 3
2 5 2
,
3 3 3
0
j
a
T
T
TT
TH j H e
TT
其他
2 5 2
,
3 3 3
2 5 2
,
3 3 3
0
j
a
T
T
TT
TH j H e
TT
其他
（ 2） 双线性变换法根据双线性变换公式：
ta n 2aaH j H jc
2 a r c ta n c
ta n 2c
得：
4 5 3
ar ctan 3
33
4 5 3
ar ctan 3
33
0
a
cc
c
Hj cc
c
其他
2 5 2
3 3 3
2 5 2
3 3 3
,0
j
He
的其他2 a r c ta n c
ta n 2c
4 5 3
ar ctan 3
33
4 5 3
ar ctan 3
33
0
a
cc
c
Hj cc
c
其他
1．用冲激响应不变法将以下 变换为抽样周期为 T。
aHsHz，
（ 1） 2 2aH s s a s a b
2 2a saHs
s a b
1
()
N
k
a
k k
AHs
ss
1
1
() 1
k
N
k
sT
k
TAHz
ez
1 1 1
2 s a jb s a jb
将 部分分式分解：aHs
经冲激响应不变法变换后得：
1
1 2 2
1 c os
1 2 c os
aT
aT aT
e z bTT
e z bT e z
1 1 12aHs s a jb s a jb
11
1()
2 11 a j b T a j b T
TTHz
e z e z
3．设有一模拟滤波器抽样周期,试用双线性变换法将它转变为数字系统函数
211aH s s s
2T?
Hz
解,由变换公式
1
1
1
1
zsc
z
及 2c T? 2T?，,可得
1
1
1
1
zs
z
1
1
1
1
za s
z
H z H s?
211
11
1
11
1
11
zz
zz
21
2
1
3
z
z
4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知 3dB截止频率为
100Hz，系统抽样频率为 1kHz。
解：归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：
22 11 1.4 142 136 121aHs ssss
则将 代入，得出截止频率为 css1 0 0 2c
的模拟原型为
2
1
1.4142136 1
200 200
aHs
ss
2
3947 84.18
888.5 8 3947 84.18ss
经双线性变换得数字滤波器的系统函数：
1
1
21
1
za s
T z
H z H s?
211
33
3 9 4 7 8 4,1 8
112 1 0 8 8 8,5 8 2 1 0 3 9 4 7 8 4,1 8zz
12
12
0.064 1 2
1 1.1683 0.4241
zz
zz
31 / 1 / 1 0 ( )sT f s
2 394784.18888,58 3947 84.1 8aHs ss
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。
设 3c ra d s
解,由幅度平方函数,
2
4
1
1 c
Hj
令 22s，则有
41
1aa c
H s H s
s
各极点满足下式
21
24
kj
kcse
1 2 3 4k?,，，
则 时，所得的 即为1,2k? ksaHs的极点
3
4
1
3 2 3 2
22
j
cs e j
4
5
2
3 2 3 2
22
j
cs e j
由以上两个极点构成的系统函数为
00 2
12 3 2 9
a
kkHs
s s s s ss
1aHs?代入 0s? 时,可得 0 9K?,所以
2 93 2 9aHs ss
6．试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。
已知通带波纹为 2dB，截止频率为
（试用不同于书本的解法解答）。
2c ra d s
解,由,得1 2 dB
12 0,2101 0 1 1 0 1 0,5 8 4 8 9 3 2
则 0,5 8 4 8 9 3 2 0,7 6 4 7 8 3 1
因为截止频率为 2c ra d s,则
1
1
11si n si n
44cca sh shN
11 1 22
2 0,76 5 2sh sh
0,8 0 3 8
1
1
11c os c os
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11 1 22
2 0.7 65 2c h sh
1,6 2 6 7?
则,1 0,8 0 3 8 1,6 2 6 7sj21 0,8 0 3 8 1,6 2 6 7s s j
2
12
2.615
1.608 3.292a
AHs
s s s s s s
其中，因为 2N? 是偶数，故00s时，有
210 0,7 9 4 3
1a
H
可求得 3,2 9 2 2 0,7 9 4 3 2,6 1 5 1A
2
1
2 2,6 1 5 1
2 0,7 6 4 8 2
N
c
NA
或者由公式得
17．图 P6-17表示一个数字滤波器的频率响应。
1）用冲激响应不变法，求原型模拟滤波器频率响应。
2）用双线性变换法，求原型模拟滤波器频率响应。
解,由图可得
2 5 2
3 3 3
2 5 2
3 3 3
,0
j
He
的其他又由,则有T
（ 1） 冲激响应不变法
j aH e H j
因为? 大于折叠频率 时jHe? 为零，
故用此法无失真。
2 5 2
,
3 3 3
2 5 2
,
3 3 3
0
j
a
T
T
TT
TH j H e
TT
其他
2 5 2
,
3 3 3
2 5 2
,
3 3 3
0
j
a
T
T
TT
TH j H e
TT
其他
（ 2） 双线性变换法根据双线性变换公式：
ta n 2aaH j H jc
2 a r c ta n c
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得：
4 5 3
ar ctan 3
33
4 5 3
ar ctan 3
33
0
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其他
2 5 2
3 3 3
2 5 2
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的其他2 a r c ta n c
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4 5 3
ar ctan 3
33
4 5 3
ar ctan 3
33
0
a
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c
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其他
