二、窗函数设计法
1、设计方法
1
0
( ) ( ) ( )
N
j j n j
d
n
H e h n e H e

1() 2 j j nddh n H e e d
( ) ( ) ( )dh n w n h n?
w(n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度以低通滤波器为例讨论：
线性相位理想低通滤波器的频率响应：
()
0,
j
j cc
d
cc
eHe




1 s in [ ( ) ]()
2 ( )
c
c
j j n cc
d
c
nh n e e d
n





其理想单位抽样响应：
中心点为 α 的偶对称无限长非因果序列取矩形窗,( ) ( )Nw n R n?

1
sin
2
01
1
2
0
c
c
c
N
n
nN
hn N
n
n








其它
( ) 0 1( ) ( ) ( )
0
d
d
h n n Nh n h n w n
n

其 它则 FIR滤波器的单位抽样响应：
1
2
N按第一类线性相位条件，得
sin[ ( ) ]()
()
cc
d
c
nhn
n



加窗处理后对频率响应的影响：
时域乘积相当于频域卷积
1() 2 jjj dH e H e W e d
11
2
0
sin
2( ) ( )
sin
2
NN
j
j j n
R
n
N
W e w n e e


而矩形窗的频率响应：
( ) ( ) ( )dh n h n w n?
sin
2 ( )
sin
2
R
N
W
其幅度函数,
理想滤波器的频率响应：
1
2( ) ( )
Njj
ddH e H e

11 ()
221( ) ( ) ( )
2
NNjj
j
dRH e H e W e d




1
2 1 ( ) ( )
2
Nj
dRe H W d




1()
0
c
d
c
H
其幅度函数：
则 FIR滤波器的频率响应：
1 ( ) ( )2 dRH H W d其幅度函数：
( 0 ) ( )RHW?近 似 于 的 全 部 积 分 面 积
( ) 0,5 (0 )cHH
2
cH N

为最大值，正肩峰
2
cH N

为最小值，负肩峰
()H随,绕 零 值 波 动
( ) ( 0 )HH随,绕 波 动
0
c
2
c N

2
c N

2
c N

2
c N

1( ) ( ) ( )
2 dRH H W d

幅度函数：
加窗函数的影响：
不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。
在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少
2
c N

改变 N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为 Gibbs效应 s i n s i n s i n22
( )
s i n
22
R
NN
x
W N N
xN


幅度函数：
2、各种窗函数
窗函数的要求：
– 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带
– 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹
( ) ( )Nw n R n?
矩形窗
4
N
主瓣宽度最窄,旁瓣幅度大

11
2
0
( ) ( )
NN j
j j n
RR
n
W e w n e W e


窗谱：
sin
2()
sin
2
R
N
W
幅度函数：
三角形（ Bartlett）窗
21
0
12
()
21
21
12
nN
n
N
wn
nN
nN
N







8
N
主瓣宽度宽,旁瓣幅度较小
12() NjjW e W e窗谱：
2
si n
2 4
()
si n
2
N
W
N





幅度函数：
1N
汉宁（ Hanning）窗
（升余弦窗）
12( ) 1 c o s ( )
21 N
nw n R n
N


8
N
主瓣宽度宽,旁瓣幅度小
22( ) 0.5 ( ) 0.25
R R RW W W WNN


幅度函数,1N
海明（ Hamming）窗
（改进的升余弦窗）
2( ) 0,5 4 0,4 6 co s ( )
1 N
nw n R n
N


8
N
主瓣宽度宽,旁瓣幅度更小
22( ) 0.54 ( ) 0.23
R R RW W W WNN


幅度函数,1N
布莱克曼（ Blackman）窗
（二阶升余弦窗）
24( ) 0,4 2 0,5 co s 0,0 8 co s ( )
11 N
nnw n R n
NN


12
N
主瓣宽度最宽,旁瓣幅度最小
22( ) 0.42 ( ) 0.25
R R RW W W WNN


440.04
RRWW NN


幅度函数,1N
凯泽（ Kaiser）窗
：第一类变形零阶贝塞尔函数
0()I?
2
0
0
2
11
1
()
()
n
I
N
wn
I





01nN
改变 可同时调整主瓣宽度和旁瓣幅度

旁瓣幅度但主瓣宽度窗函数窗谱性能指标 加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值
/dB
主瓣宽度 过渡带宽 阻带最小衰减
/dB
矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗
-13
-25
-31
-41
-57
-57
2
4
4
4
6
0.9
2.1
3.1
3.3
5.5
5
-21
-25
-44
-53
-74
-80

/ 2 / N/ 2 / N?
7,8 6 5
阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽 N都有关
3、窗函数法的设计步骤
给定理想的频率响应函数及技术指标
()jdHe?
2,
求出理想的单位抽样响应 ()dhn
根据阻带衰减选择窗函数 ()wn
计算频率响应,验算指标是否满足要求()jHe?
/NA 根据过渡带宽度确定 N值
( ) ( ) ( )dh n h n w n
求所设计的 FIR滤波器的单位抽样响应公式法：
()jdHe? ()dhn
,( ) ( )dMM N h n h n?当时
IFFT法：
1() 2 j j nddh n H e e d
( ) ( )Md
r
h n h n rM

计算其 IFFT，得：
对 M点等间隔抽样：()jdHe? 2()jkMdHe?
4、线性相位 FIR低通滤波器的设计
/ 2 / 0,2p p s p sf
/ 2 / 0,4s t s t s s t sf
2 50 dB
解,1）求数字频率例：设计一个线性相位 FIR低通滤波器，
给定抽样频率为,42 1,5 1 0 ( / s e c )s r a d
32 1,5 1 0 ( / s e c )p r a d通带截止频率为,
32 3 1 0 ( / s e c )st r a d阻带起始频率为,
阻带衰减不小于 -50dB，幅度特性如图所示
2）求 hd(n)
()
0,
j
j cc
d
cc
eHe




c
c
sf

()11()
22
c
c
j j n j n
dh n e e d e d




1
sin [ ( ) ]
()
c
c
nn
n
n







1
2
N
1 / 22 0,3p s t
s



2( ) 0,5 4 0,4 6 co s ( )
1 N
nw n R n
N


2 0,2st p
s

6.6 33
0.2
AN?

1 16
2
N
4）确定 N 值
2 50 dB3）选择窗函数：由 确定海明窗（ -53dB）
6.6
N
海明窗带宽：
5）确定 FIR滤波器的 h(n)
( ) ( ) ( )dh n h n w n?

33
s i n 0,3 1 6
0,5 4 0,4 6 co s ( )
1 6 1 6
n n
Rn
n




6）求,验证()jHe?
若不满足，则改变 N
或窗形状重新设计
5、线性相位 FIR高通滤波器的设计
( ) ( )1()
2
c
c
j n j n
dh n e d e d






1
s i n s i n
()
1
()
c
c
n n n
n
n








( ) = ( )cc高通滤波器 全通滤波器 低通滤波器其单位抽样响应：
1
2
N()
0
j
j c
d
eHe


其 它理想高通的频响：
6、线性相位 FIR带通滤波器的设计
12
21
( ) ( )1()
2
j n j n
dh n e d e d






21
21
1
si n si n
1
n n n
n
n








1 2 2 1(,) = ( ) ( )带通滤波器 低通滤波器 低通滤波器其单位抽样响应：
120()
0
j
j
d
eHe


其 它理想带通的频响：
1
2
N
7、线性相位 FIR带阻滤波器的设计
21
12
( ) ( ) ( )1()
2
j n j n j n
dh n e d e d e d








12
12
1
si n si n si n
1
n n n n
n
n








1 2 2 1( ) = ( ) ( )带阻滤波器,高通滤波器 + 低通滤波器其单位抽样响应：
1
2
N
120,()
0
j
j
d
eHe


其 它理想带阻的频响：