四、数字滤波器的格型结构格型结构的优点：
1）模块化结构便于实现高速并行处理
2） m阶格型滤波器可以产生 1阶到 m阶的 m个横向滤波器的输出性能故广泛应用于现代谱估计、语音信号处理、自适应滤波等。
3）对有限字长的舍入误差不灵敏
1、全零点系统（ FIR系统）的格型结构一个 M 阶的 FIR 滤波器的横向结构的系统函数：
01
1
MM M
ii
i
ii
H z h i z b z B z
系统 表示 M 阶 FIR 系统的第 i 个系数Mib
2M 次乘法,M 次延迟横向结构,M个参数,或Mib 1iMhi
格型结构,M 个参数,ik 1iM? 称为反射系数
M 次乘法,M 次延迟
01
1
MM M
ii
i
ii
H z h i z b z B z
11
11
1
1
m m m m
m m m m
f n f n k g n
g n k f n g n
1,2,mM?
()
( 1,2,...,)
( 1,2,...,1,2,...,)
i
m
i
m
ii
k i M
b i m m M
kb
格型结构的系数横向结构的系数 ；
讨论 的递推 关系
00
M
f n g n x n
f n y n
定义：,分别是输入端到第 m个基本传输单元上、下端所对应的系统函数：
mBzmBz
10
1
m
mmi
mi
i
FzB z b z
Fz
1,2,mM
0
m
m
GzBz
Gz?
1
11
1
11
m m m m
m m m m
F z F z k z G z
G z k F z z G z
1mmB z B z1)
0
0
/
/
F
G
1
11
1
11
1
2
m m m m
m m m m
B z B z k z B z
B z k B z z B z
11 3m m m mB z z B z z k B z
z 变换，得
11
11
1
1
m m m m
m m m m
f n f n k g n
g n k f n g n
对基本单元
(3)代入 (1)得（ 4）
1 21 41m m m m
m
B z B z k B zk
1
11
1
11
1
2
m m m m
m m m m
B z B z k z B z
B z k B z z B z
11 3m m m mB z z B z z k B z
(4)代入 (3) 得：
1 211m m m m
m
B z z k B z z B zk
00 1B z B z
1111B z z B z
11
1 0 1 0 1
11
1 1 0 0 1
1B z B z k z B z k z
B z k B z B z k z
由 (1),(2)
1
11
1
11
1
2
m m m m
m m m m
B z B z k z B z
B z k B z z B z
1 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1 1 2
2 2 1 1 2 1 2 2
1B z B z k z B z k z k k z k z
B z k B z z B z k k k z k z z
2122B z z B z
1
11
1
1 2
5
1
6
1
m
m m m m
m
m m m m
m
B z B z k z B z
B z B z k z B z
k
1mmmB z z B z
代入 (1),(4)
111 1m m m mB z B z k z B z
1 21 41m m m m
m
B z B z k B zk
得代入 (5)
1
1
m m
i
mi
i
B z b z?
1 11
1
1
m m
i
mi
i
B z b z
代入 (6)
11
m
mm
m m m
i i m m i
bk
b b k b
1
2
1
1
m
mm
m m m
i i m m i
m
kb
b b k b
k
11im
2,mM?
mimbk? 1im? 1mM?2)
3) 已知,求,MH z B z B z1k 2k Mk
(1)MMMkb?
(3) 重复 (2)求出全部 11MMk k k?，,,11MB z B z?,
(2) 由,,,求 的系数
，,
或由 (6)得,则
Mk1 Mb2 MMMbb1mBz?
11 Mb12 Mb111MMMbk
1MBz111MMMkb
1 2 3
F I R
( ) 1 1,8 3 1 3 7 0 8 1,4 3 1 9 5 9 5 0,4 4 8H z z z z
例：一个 系统的系统函数为：
试求其格型结构。
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
1 2 31,8 3 1 3 7 0 8,1,4 3 1 9 5 9 5,0,4 4 8b b b
解：这是一个三阶系统
( 3 )33 0,4 4 8kb得
1
2
1
1
m m m
i i m m i
m
b b k bk由,得
2 3 3
1 1 3 22
3
1 1,4 8 8 6 2 6 2
1b b k bk
2 3 3
2 2 3 12
3
1 0,7 6 5 0 5 4 9
1b b k bk
2k?
12
2 ( ) 1 1.4 88 62 62 0.7 65 05 49B z z z
得二阶系统：
1 2 2
1 1 2 12
2
1 0.8433879
1b b k bk
1k?
1
1 ( ) 1 0.843 3879B z z
得一阶系统：
2,全极点系统 （ IIR系统 ） 的格型结构全极点 IIR滤波器的系统函数Hz
1
11
1
M
M i
i
i
Hz
Az az?
其中 表示 M 阶全极点系统的第 i 个系数,Mia
ik讨论与格型结构 的关系全极点格型结构基本单元：
11
11
1
1
m m m m
m m m m
f n f n k g n
g n k f n g n
1,2,mM?
M＝ 1
0 1 1 0
1 1 0 0
00
1
1
1
f n f n k g n
g n k f n g n
f n g n y n
f n x n
11 1 1
11
1
Yz
F z k z A z
令
1
11
1
1
y n x n k y n
g n k y n y n
1 1 1 1
1 1 1 11A
Gz k z z k z z A z z
Yz
令＝
M＝ 2
1 2 2 1
2 2 1 1
00
2
1
1
f n f n k g n
g n k f n g n
f n g n y n
f n x n
1 2 2
2 2 1 2
1 1 2
1 1 2
y n k k y n k y n x n
g n k y n k k y n y n
122 1 2 2 2
11
11
Yz
F z k k z k z A z
令
2 1 2 2 1
2 1 2 2 21A
Gz k k k z z z A z z
Yz
令＝
1
mm
Yz
F z A z
mA
mGz z
Yz1mmmA z z A z
1
11
1
M
M imm
i
i
Y z Y z
Hz
X z F z A z az?
格型结构系数 与,；
之间递推关系同全零点系数与 的递推关系完全一样。
12 Mk k k，,mia 1,2,im? 1,2,mM?
mib
11
m
mm
m m m
i i m m i
ak
a a k a
1
2
1
1
m
mm
m m m
i i m m i
m
ka
a a k a
k
11im 2,mM?
1 2 3
1
( )
1 1,8 3 1 3 7 0 8 1,4 3 1 9 5 9 5 0,4 4 8
Hz
z z z
例：一个全极点系统的系统函数为：
试求其格型结构。
3 2 10,4 4 8,0,7 6 5 0 5 4 9,0,8 4 3 3 8 7 9k k k
3,零极点系统 （ IIR系统 ） 的格型结构在有限 z 平面 上既有极点又有零点的 IIR系统
0 z
0
1
1
N
N i
i
t
N
N k
k
k
bz
Bz
Hz
Az
az
(1) 当,为 N阶 FIR系统的横向结构12 0Nk k k
(2) 当,时，为全极点 IIR格型结构12 0Nc c c0 1c?
(3) 上半部分对应全极点系统下半部分对应全零点系统
01 Fz
A z X z?
Bz
1 2 Nk k k，,按全极点系统的方法求出
,0,1,ic i N?而上 半部分对下半部分有影响，故需求令 为由 到 之间的系统函数mHzxnmgn
0mmm G z G z A zHz X z X z
0
m
m
GzAz
Gz?
mAz
Az?
00 1F z G z
X z X z A z
整个系统的系统函数
00
NN
m
m m m
mm
B z A zH z c H z c
A z A z
1
0
N
m
mm
m
c z A z A z
由 两边同次幂系数相等，得1
0
N
m
mm
m
B z c z A z
解法一,
1
NNm
k k m m k
mk
c b c a?
0,1,kN＝,
解法二,1
0
N
m
N m m
m
B z B z c z A z
1 111
0
N
mN
N m m N N N
m
B z c z A z B c z A z
11 mm m m mB z B c z A z
mmmcb? 0,1,,mN?
1 2 3
1 2 3
1 0,5 0,2 0,7
( )
1 1,8 3 1 3 7 0 8 1,4 3 1 9 5 9 5 0,4 4 8
z z z
Hz
z z z
例：一个零极点系统的系统函数为：
试求其格型结构。
3 2 10,4 4 8,0,7 6 5 0 5 4 9,0,8 4 3 3 8 7 9k k k
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )1 2 31,8 3 1 3 7 0 8,1,4 3 1 9 5 9 5,0,4 4 8a a a
( 2 ) ( 2 )121,4 8 8 6 2 6 2,0,7 6 5 0 5 4 9 aa
1 2 33 ( ) 1 1,8 3 1 3 7 0 8 1,4 3 1 9 5 9 5 0,4 4 8A z z z z三阶系统：
122 ( ) 1 1,4 8 8 6 2 6 2 0,7 6 5 0 5 4 9A z z z二阶系统：
( 1 )1 0,8 4 3 3 8 7 9a
11 ( ) 1 0,8 4 3 3 8 7 9A z z一阶系统：
1
NNm
k k m m k
mk
c b c a?
由,得
( 3 )33 0,7cb
( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) 30 0 1 1 2 2 3 3 0,7 7 3 3 2 1 9c b c a c a c a（）
( 3 ) ( 3 )2 2 3 1 1,4 8 1 9 5 9 6c b c a
( 3 ) ( 2 ) ( 3 )1 1 2 1 3 2 0,7 0 3 7 1 2 2c b c a c a
1）模块化结构便于实现高速并行处理
2） m阶格型滤波器可以产生 1阶到 m阶的 m个横向滤波器的输出性能故广泛应用于现代谱估计、语音信号处理、自适应滤波等。
3）对有限字长的舍入误差不灵敏
1、全零点系统（ FIR系统）的格型结构一个 M 阶的 FIR 滤波器的横向结构的系统函数：
01
1
MM M
ii
i
ii
H z h i z b z B z
系统 表示 M 阶 FIR 系统的第 i 个系数Mib
2M 次乘法,M 次延迟横向结构,M个参数,或Mib 1iMhi
格型结构,M 个参数,ik 1iM? 称为反射系数
M 次乘法,M 次延迟
01
1
MM M
ii
i
ii
H z h i z b z B z
11
11
1
1
m m m m
m m m m
f n f n k g n
g n k f n g n
1,2,mM?
()
( 1,2,...,)
( 1,2,...,1,2,...,)
i
m
i
m
ii
k i M
b i m m M
kb
格型结构的系数横向结构的系数 ；
讨论 的递推 关系
00
M
f n g n x n
f n y n
定义：,分别是输入端到第 m个基本传输单元上、下端所对应的系统函数：
mBzmBz
10
1
m
mmi
mi
i
FzB z b z
Fz
1,2,mM
0
m
m
GzBz
Gz?
1
11
1
11
m m m m
m m m m
F z F z k z G z
G z k F z z G z
1mmB z B z1)
0
0
/
/
F
G
1
11
1
11
1
2
m m m m
m m m m
B z B z k z B z
B z k B z z B z
11 3m m m mB z z B z z k B z
z 变换，得
11
11
1
1
m m m m
m m m m
f n f n k g n
g n k f n g n
对基本单元
(3)代入 (1)得（ 4）
1 21 41m m m m
m
B z B z k B zk
1
11
1
11
1
2
m m m m
m m m m
B z B z k z B z
B z k B z z B z
11 3m m m mB z z B z z k B z
(4)代入 (3) 得：
1 211m m m m
m
B z z k B z z B zk
00 1B z B z
1111B z z B z
11
1 0 1 0 1
11
1 1 0 0 1
1B z B z k z B z k z
B z k B z B z k z
由 (1),(2)
1
11
1
11
1
2
m m m m
m m m m
B z B z k z B z
B z k B z z B z
1 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1 1 2
2 2 1 1 2 1 2 2
1B z B z k z B z k z k k z k z
B z k B z z B z k k k z k z z
2122B z z B z
1
11
1
1 2
5
1
6
1
m
m m m m
m
m m m m
m
B z B z k z B z
B z B z k z B z
k
1mmmB z z B z
代入 (1),(4)
111 1m m m mB z B z k z B z
1 21 41m m m m
m
B z B z k B zk
得代入 (5)
1
1
m m
i
mi
i
B z b z?
1 11
1
1
m m
i
mi
i
B z b z
代入 (6)
11
m
mm
m m m
i i m m i
bk
b b k b
1
2
1
1
m
mm
m m m
i i m m i
m
kb
b b k b
k
11im
2,mM?
mimbk? 1im? 1mM?2)
3) 已知,求,MH z B z B z1k 2k Mk
(1)MMMkb?
(3) 重复 (2)求出全部 11MMk k k?，,,11MB z B z?,
(2) 由,,,求 的系数
，,
或由 (6)得,则
Mk1 Mb2 MMMbb1mBz?
11 Mb12 Mb111MMMbk
1MBz111MMMkb
1 2 3
F I R
( ) 1 1,8 3 1 3 7 0 8 1,4 3 1 9 5 9 5 0,4 4 8H z z z z
例：一个 系统的系统函数为：
试求其格型结构。
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
1 2 31,8 3 1 3 7 0 8,1,4 3 1 9 5 9 5,0,4 4 8b b b
解：这是一个三阶系统
( 3 )33 0,4 4 8kb得
1
2
1
1
m m m
i i m m i
m
b b k bk由,得
2 3 3
1 1 3 22
3
1 1,4 8 8 6 2 6 2
1b b k bk
2 3 3
2 2 3 12
3
1 0,7 6 5 0 5 4 9
1b b k bk
2k?
12
2 ( ) 1 1.4 88 62 62 0.7 65 05 49B z z z
得二阶系统：
1 2 2
1 1 2 12
2
1 0.8433879
1b b k bk
1k?
1
1 ( ) 1 0.843 3879B z z
得一阶系统：
2,全极点系统 （ IIR系统 ） 的格型结构全极点 IIR滤波器的系统函数Hz
1
11
1
M
M i
i
i
Hz
Az az?
其中 表示 M 阶全极点系统的第 i 个系数,Mia
ik讨论与格型结构 的关系全极点格型结构基本单元：
11
11
1
1
m m m m
m m m m
f n f n k g n
g n k f n g n
1,2,mM?
M＝ 1
0 1 1 0
1 1 0 0
00
1
1
1
f n f n k g n
g n k f n g n
f n g n y n
f n x n
11 1 1
11
1
Yz
F z k z A z
令
1
11
1
1
y n x n k y n
g n k y n y n
1 1 1 1
1 1 1 11A
Gz k z z k z z A z z
Yz
令＝
M＝ 2
1 2 2 1
2 2 1 1
00
2
1
1
f n f n k g n
g n k f n g n
f n g n y n
f n x n
1 2 2
2 2 1 2
1 1 2
1 1 2
y n k k y n k y n x n
g n k y n k k y n y n
122 1 2 2 2
11
11
Yz
F z k k z k z A z
令
2 1 2 2 1
2 1 2 2 21A
Gz k k k z z z A z z
Yz
令＝
1
mm
Yz
F z A z
mA
mGz z
Yz1mmmA z z A z
1
11
1
M
M imm
i
i
Y z Y z
Hz
X z F z A z az?
格型结构系数 与,；
之间递推关系同全零点系数与 的递推关系完全一样。
12 Mk k k，,mia 1,2,im? 1,2,mM?
mib
11
m
mm
m m m
i i m m i
ak
a a k a
1
2
1
1
m
mm
m m m
i i m m i
m
ka
a a k a
k
11im 2,mM?
1 2 3
1
( )
1 1,8 3 1 3 7 0 8 1,4 3 1 9 5 9 5 0,4 4 8
Hz
z z z
例：一个全极点系统的系统函数为：
试求其格型结构。
3 2 10,4 4 8,0,7 6 5 0 5 4 9,0,8 4 3 3 8 7 9k k k
3,零极点系统 （ IIR系统 ） 的格型结构在有限 z 平面 上既有极点又有零点的 IIR系统
0 z
0
1
1
N
N i
i
t
N
N k
k
k
bz
Bz
Hz
Az
az
(1) 当,为 N阶 FIR系统的横向结构12 0Nk k k
(2) 当,时，为全极点 IIR格型结构12 0Nc c c0 1c?
(3) 上半部分对应全极点系统下半部分对应全零点系统
01 Fz
A z X z?
Bz
1 2 Nk k k，,按全极点系统的方法求出
,0,1,ic i N?而上 半部分对下半部分有影响，故需求令 为由 到 之间的系统函数mHzxnmgn
0mmm G z G z A zHz X z X z
0
m
m
GzAz
Gz?
mAz
Az?
00 1F z G z
X z X z A z
整个系统的系统函数
00
NN
m
m m m
mm
B z A zH z c H z c
A z A z
1
0
N
m
mm
m
c z A z A z
由 两边同次幂系数相等，得1
0
N
m
mm
m
B z c z A z
解法一,
1
NNm
k k m m k
mk
c b c a?
0,1,kN＝,
解法二,1
0
N
m
N m m
m
B z B z c z A z
1 111
0
N
mN
N m m N N N
m
B z c z A z B c z A z
11 mm m m mB z B c z A z
mmmcb? 0,1,,mN?
1 2 3
1 2 3
1 0,5 0,2 0,7
( )
1 1,8 3 1 3 7 0 8 1,4 3 1 9 5 9 5 0,4 4 8
z z z
Hz
z z z
例：一个零极点系统的系统函数为：
试求其格型结构。
3 2 10,4 4 8,0,7 6 5 0 5 4 9,0,8 4 3 3 8 7 9k k k
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )1 2 31,8 3 1 3 7 0 8,1,4 3 1 9 5 9 5,0,4 4 8a a a
( 2 ) ( 2 )121,4 8 8 6 2 6 2,0,7 6 5 0 5 4 9 aa
1 2 33 ( ) 1 1,8 3 1 3 7 0 8 1,4 3 1 9 5 9 5 0,4 4 8A z z z z三阶系统：
122 ( ) 1 1,4 8 8 6 2 6 2 0,7 6 5 0 5 4 9A z z z二阶系统：
( 1 )1 0,8 4 3 3 8 7 9a
11 ( ) 1 0,8 4 3 3 8 7 9A z z一阶系统：
1
NNm
k k m m k
mk
c b c a?
由,得
( 3 )33 0,7cb
( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) 30 0 1 1 2 2 3 3 0,7 7 3 3 2 1 9c b c a c a c a（）
( 3 ) ( 3 )2 2 3 1 1,4 8 1 9 5 9 6c b c a
( 3 ) ( 2 ) ( 3 )1 1 2 1 3 2 0,7 0 3 7 1 2 2c b c a c a
