八,线性调频 z变换（ CZT)算法
FFT不适用于：
只研究信号的某一频段，要求对该频段抽样密集，提高分辨率；
研究非单位圆上的抽样值；
需要准确计算 N点 DFT，且 N为大的素数；等等。
CZT算法：对 z变换采用螺线抽样,chirp-z变换线性调频 z变换
1、算法原理
N点有限长序列，其 z变换：
1
0
( ) ( )
N
n
n
X z x n z
kkz A W 0,1,.,,,1kM
000 jz A e 00 jW W e
沿 z平面上的一段螺线作等分角抽样，抽样点 zk：
其中：
M为要分析的复频谱点数
00()00 jkkkz A W e
则抽样点：
00()00 jkkkz A W e
0A,起始抽样点的矢量半径长度
0?,起始抽样点的相角
0?,相邻抽样点的角度差
0 0 0 0,逆时针,顺时针
0W,螺线的伸展率
W0>1：螺线内缩 W0<1,螺线外伸当 W0=1，则表示半径为 A0的一段圆弧若又有 A0=1，则表示单位圆上的一段圆弧若又有,M=N,即为序列的 DFT。000,2 / N
求抽样点处的 z变换：
11
00
( ) ( ) ( )
NN
n n nk
kk
nn
X z x n z x n A W
0,1,.,,,1kM
2 2 2 1 / 2 ( )n k n k k n由
2 2 2()1
2 2 2
0
( ) ( )
n k n kN
n
k
n
X z x n A W W W
得
2 2 2()1
2 2 2
0
()
k n k nN
n
n
W x n A W W
NM次复乘 (N-1) M次复加
2
2( ) ( )
n
ng n x n A W令
2
2()
n
h n W
0,1,.,,,1nN
221
0
( ) ( ) ( ) ( ) * ( )
kkN
k
n
X z W g n h k n W g k h k
则
0,1,.,,,1kM
2 2 2()1
2 2 2
0
()
k n k nN
n
k
n
X z W x n A W W
2,CZT的实现步骤及运算量的估算
2
2( ) ( )
n
ng n x n A W其中
2
2()
n
h n W
0,1,.,,,1nN
2 2 2()1
2 2 2
0
()
k n k nN
n
k
n
X z W x n A W W
0,1,.,,,1kM
( ),0 ~ 1g n N?( ),( 1 ) ~ ( 1 )h n N M
1NM 点
( ) * ( ),2 2h n g n N M
( ) 0 ~ 1kX z k M
12 mL N M L 且
2
2 ( ) 0 1()
01
n
nA W x n n N
gn
N n L
21
0
( ) [ ( ) ] ( )
L j rn
L
n
G r FF T g n g n e
01rL
1L N M2mL?1) 选择,且
2) 形成 L点序列 g(n),(3N)
求其 L点 FFT,( L/2*log2L)
2 /2nn
nC A W系数
22( 1 ) ( 1 ) / 2 / 2 1 / 2 1
1 ()n n n n nn n nC A W A W W W A C D
1 / 2 1 1 1 / 2 1 1nnnnD W W A W W W A W D
1 / 2 100 1D W A C
3）形成 L点序列 h(n):
2
2
2
()
2
01
( ) 0
11
n
Ln
W n M
h n M n L N
W L N n L
21
0
( ) [ ( ) ] ( )
L j rn
L
n
H r FF T h n h n e
01rL
求其 L点 FFT,(L/2*log2L)
(2N)
4）求乘积
( ) ( ) ( )Q r H r G r
21
0
1( ) [ ( ) ] ( ) ( )L j rnL
n
q k I FF T Q r H r G r eL
( ) ( ) ( )Mq k q k R k?取
2
2( ) ( )
k
kX z W q k? 01kM
(M)
(L)
5）求 L点 IFFT的 q (k) (L/2*log2L)
6）求得抽样点的 z变换,
总运算量,23 l o g 52Fm L L N L M
3,CZT算法的优点
N,M可为任意数，可不等
21 j
NA M N W e
当,,时,CZT=DFT，解决了 N为素数的快速算法问题
z0任意，从任意频率开始，便于窄带高分辨率分析
周线可以是螺线，而不一定是圆弧
0 任意，易调整频率分辨率
FFT不适用于：
只研究信号的某一频段，要求对该频段抽样密集，提高分辨率；
研究非单位圆上的抽样值；
需要准确计算 N点 DFT，且 N为大的素数；等等。
CZT算法：对 z变换采用螺线抽样,chirp-z变换线性调频 z变换
1、算法原理
N点有限长序列，其 z变换：
1
0
( ) ( )
N
n
n
X z x n z
kkz A W 0,1,.,,,1kM
000 jz A e 00 jW W e
沿 z平面上的一段螺线作等分角抽样，抽样点 zk：
其中：
M为要分析的复频谱点数
00()00 jkkkz A W e
则抽样点：
00()00 jkkkz A W e
0A,起始抽样点的矢量半径长度
0?,起始抽样点的相角
0?,相邻抽样点的角度差
0 0 0 0,逆时针,顺时针
0W,螺线的伸展率
W0>1：螺线内缩 W0<1,螺线外伸当 W0=1，则表示半径为 A0的一段圆弧若又有 A0=1，则表示单位圆上的一段圆弧若又有,M=N,即为序列的 DFT。000,2 / N
求抽样点处的 z变换：
11
00
( ) ( ) ( )
NN
n n nk
kk
nn
X z x n z x n A W
0,1,.,,,1kM
2 2 2 1 / 2 ( )n k n k k n由
2 2 2()1
2 2 2
0
( ) ( )
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n
k
n
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得
2 2 2()1
2 2 2
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()
k n k nN
n
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2
2( ) ( )
n
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2
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n
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0,1,.,,,1nN
221
0
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kkN
k
n
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则
0,1,.,,,1kM
2 2 2()1
2 2 2
0
()
k n k nN
n
k
n
X z W x n A W W
2,CZT的实现步骤及运算量的估算
2
2( ) ( )
n
ng n x n A W其中
2
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n
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0,1,.,,,1nN
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k n k nN
n
k
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X z W x n A W W
0,1,.,,,1kM
( ),0 ~ 1g n N?( ),( 1 ) ~ ( 1 )h n N M
1NM 点
( ) * ( ),2 2h n g n N M
( ) 0 ~ 1kX z k M
12 mL N M L 且
2
2 ( ) 0 1()
01
n
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gn
N n L
21
0
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L j rn
L
n
G r FF T g n g n e
01rL
1L N M2mL?1) 选择,且
2) 形成 L点序列 g(n),(3N)
求其 L点 FFT,( L/2*log2L)
2 /2nn
nC A W系数
22( 1 ) ( 1 ) / 2 / 2 1 / 2 1
1 ()n n n n nn n nC A W A W W W A C D
1 / 2 1 1 1 / 2 1 1nnnnD W W A W W W A W D
1 / 2 100 1D W A C
3）形成 L点序列 h(n):
2
2
2
()
2
01
( ) 0
11
n
Ln
W n M
h n M n L N
W L N n L
21
0
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L j rn
L
n
H r FF T h n h n e
01rL
求其 L点 FFT,(L/2*log2L)
(2N)
4）求乘积
( ) ( ) ( )Q r H r G r
21
0
1( ) [ ( ) ] ( ) ( )L j rnL
n
q k I FF T Q r H r G r eL
( ) ( ) ( )Mq k q k R k?取
2
2( ) ( )
k
kX z W q k? 01kM
(M)
(L)
5）求 L点 IFFT的 q (k) (L/2*log2L)
6）求得抽样点的 z变换,
总运算量,23 l o g 52Fm L L N L M
3,CZT算法的优点
N,M可为任意数，可不等
21 j
NA M N W e
当,,时,CZT=DFT，解决了 N为素数的快速算法问题
z0任意，从任意频率开始，便于窄带高分辨率分析
周线可以是螺线，而不一定是圆弧
0 任意，易调整频率分辨率
