二,IIR数字滤波器的基本结构
1）系统的单位抽样相应 h(n)无限长
IIR数字滤波器的特点：
3）存在输出到输入的反馈，递归型结构
2）系统函数 H(z)在有限 z平面（ ）上有极点存在0 z
0
1
()
()
()
1
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Yz
Hz
Xz
az
系统函数,
10
( ) ( ) ( )
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
差分方程,
IIR数字滤波器的基本结构：
– 直接 Ⅰ 型
– 直接 Ⅱ 型（典范型）
– 级联型
– 并联型
1、直接 Ⅰ 型差分方程,
10
( ) ( ) ( )
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
需 N+M个延时单元
2、直接 Ⅱ 型（典范型）
NM?
只需实现 N阶滤波器所需的最少的 N个延时单元，
故称典范型。（ ）
直接型的共同缺点：
ka kb? 系数,对滤波器的性能控制作用不明显
极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差
运算的累积误差较大
3、级联型将系统函数按零极点因式分解,
12
12
1 1 * 1
0 1 1
1 1 * 1
1 11
( 1 ) ( 1 )( 1 )
()
1 ( 1 ) ( 1 )( 1 )
MMM
k
k k k k
k k k
N N N
k
k k k k
k kk
b z p z q z q z
H z A
az c z d z d z
A为常数
**,,k k k kq q d d和 分别为复共轭零、极点
kkpc和 分别为实数零、极点
122M M M
122N N N
将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。
为采用相同结构的子网络，也将两个实零点 /极点组合成二阶多项式
12
12
12
12
1( ) ( )
1
kk
k
kkkk
zzH z A A H z
zz
2 0k
当零点为奇数时：
有一个
2 0k
当极点为奇数时：
有一个
1
2
NMN
当 时，共有 节
12
12
12
12
1( ) ( )
1
kk
k
kkkk
zzH z A A H z
zz
1 !
2
N
各二阶基本节的排列次序有 种
1 !
2
N
当 M=N时，二阶因子配对方式有 种级联型的特点：
调整系数,能单独调整滤波器的第 k对零点，
而不影响其它零极点
1k? 2k?
运算的累积误差较小
具有最少的存储器便于调整滤波器频率响应性能
1k? 2k?调整系数,能单独调整滤波器的第 k对极点，
而不影响其它零极点
4、并联型将因式分解的 H(z)展成部分分式：
11
122
01
00 12
12
( ) ( )
1
NN
kk
k
kk kk
zH z G G H z
zz
21 0kk当 N为奇数时，有一个
()MN?
12 1
01
0 1 1 2
11 12
() 11
NN
k k k
kk k k k
AzH z G
c z z z
122N N N
组合成实系数二阶多项式：
11
122
01
00 12
12
( ) ( )
1
NN
kk
k
kk kk
zH z G G H z
zz
并联型的特点：
通过调整系数,可单独调整一对极点位置，
但不能单独调整零点位置
1k? 2k?
各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小
可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高转置定理：
原网络中所有支路方向倒转，并将输入 x(n)和输出 y(n)相互交换，则其系统函数 H(z)不改变。
例：设 IIR数字滤波器差分方程为：
试用四种基本结构实现此差分方程。
( ) 8 ( ) 4 ( 1 ) 1 1 ( 2 ) 2 ( 3 )y n x n x n x n x n
5 3 1( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
4 4 8y n y n y n
1 2 3
1 2 3
8 4 11 2
5 3 11
4 4 8
z z z
Hz
z z z
解：对差分方程两边取 z变换，得系统函数：
1 2 3
1 2 3
8 4 11 2
5 3 11
4 4 8
z z z
Hz
z z z
得直接 Ⅰ 型结构：
典范型结构：
1 1 2
1 1 2
2 0.379 4 1.24 5.264
11
11
42
z z z
Hz
z z z
1 1 2
1 1 2
8 1 0.19 1 0.31 1.32
11
11
42
z z z
z z z
将 H(z)因式分解：
得级联型结构：
1
1 1 2
8 1 6 2 016
1111
42
zHz
z z z
将 H(z)部分分式分解：
得并联型结构：
1）系统的单位抽样相应 h(n)无限长
IIR数字滤波器的特点：
3）存在输出到输入的反馈，递归型结构
2）系统函数 H(z)在有限 z平面（ ）上有极点存在0 z
0
1
()
()
()
1
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Yz
Hz
Xz
az
系统函数,
10
( ) ( ) ( )
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
差分方程,
IIR数字滤波器的基本结构：
– 直接 Ⅰ 型
– 直接 Ⅱ 型（典范型）
– 级联型
– 并联型
1、直接 Ⅰ 型差分方程,
10
( ) ( ) ( )
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
需 N+M个延时单元
2、直接 Ⅱ 型（典范型）
NM?
只需实现 N阶滤波器所需的最少的 N个延时单元，
故称典范型。（ ）
直接型的共同缺点：
ka kb? 系数,对滤波器的性能控制作用不明显
极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差
运算的累积误差较大
3、级联型将系统函数按零极点因式分解,
12
12
1 1 * 1
0 1 1
1 1 * 1
1 11
( 1 ) ( 1 )( 1 )
()
1 ( 1 ) ( 1 )( 1 )
MMM
k
k k k k
k k k
N N N
k
k k k k
k kk
b z p z q z q z
H z A
az c z d z d z
A为常数
**,,k k k kq q d d和 分别为复共轭零、极点
kkpc和 分别为实数零、极点
122M M M
122N N N
将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。
为采用相同结构的子网络，也将两个实零点 /极点组合成二阶多项式
12
12
12
12
1( ) ( )
1
kk
k
kkkk
zzH z A A H z
zz
2 0k
当零点为奇数时：
有一个
2 0k
当极点为奇数时：
有一个
1
2
NMN
当 时，共有 节
12
12
12
12
1( ) ( )
1
kk
k
kkkk
zzH z A A H z
zz
1 !
2
N
各二阶基本节的排列次序有 种
1 !
2
N
当 M=N时，二阶因子配对方式有 种级联型的特点：
调整系数,能单独调整滤波器的第 k对零点，
而不影响其它零极点
1k? 2k?
运算的累积误差较小
具有最少的存储器便于调整滤波器频率响应性能
1k? 2k?调整系数,能单独调整滤波器的第 k对极点，
而不影响其它零极点
4、并联型将因式分解的 H(z)展成部分分式：
11
122
01
00 12
12
( ) ( )
1
NN
kk
k
kk kk
zH z G G H z
zz
21 0kk当 N为奇数时，有一个
()MN?
12 1
01
0 1 1 2
11 12
() 11
NN
k k k
kk k k k
AzH z G
c z z z
122N N N
组合成实系数二阶多项式：
11
122
01
00 12
12
( ) ( )
1
NN
kk
k
kk kk
zH z G G H z
zz
并联型的特点：
通过调整系数,可单独调整一对极点位置，
但不能单独调整零点位置
1k? 2k?
各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小
可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高转置定理：
原网络中所有支路方向倒转，并将输入 x(n)和输出 y(n)相互交换，则其系统函数 H(z)不改变。
例：设 IIR数字滤波器差分方程为：
试用四种基本结构实现此差分方程。
( ) 8 ( ) 4 ( 1 ) 1 1 ( 2 ) 2 ( 3 )y n x n x n x n x n
5 3 1( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
4 4 8y n y n y n
1 2 3
1 2 3
8 4 11 2
5 3 11
4 4 8
z z z
Hz
z z z
解：对差分方程两边取 z变换，得系统函数：
1 2 3
1 2 3
8 4 11 2
5 3 11
4 4 8
z z z
Hz
z z z
得直接 Ⅰ 型结构：
典范型结构：
1 1 2
1 1 2
2 0.379 4 1.24 5.264
11
11
42
z z z
Hz
z z z
1 1 2
1 1 2
8 1 0.19 1 0.31 1.32
11
11
42
z z z
z z z
将 H(z)因式分解：
得级联型结构：
1
1 1 2
8 1 6 2 016
1111
42
zHz
z z z
将 H(z)部分分式分解：
得并联型结构：
