第五章习题讲解
1、用直接 I型及典范结构实现以下系统函数：
12123 4,2 0,82 0,6 0,4zzHz zz=
解：根据 IIR滤波器的系统函数标准式
12121,5 2,1 0,41 0,3 0,2zzHz zz=
将系统函数整理为：
0
1
1
M
m
m
m
N
n
n
n
bz
Yz
Hz
Xz
az
=
12
1,5 2,1 0,4
1 0,3 0,zz
1 0,3a 2 0.2a?得,0 1.5b? 1 2.1b? 2 0.4b?，,
直接 I型结构：
典范型结构：
12
12
1,5 2,1 0,4()
1 0,3 0,2
zzHz
zz
解：
1 1 2
1 1 2
4 1 1 1.4
1 0.5 1 0.9 0.8
z z z
z z z
12
12
12
12
1
1
kk
k kk
zzH z A
zz
11 1 21 0
11 0.5 21 0
12 1,4 22 1
22 0,812 0,9
4A?则
2、用级联型结构实现以下系统函数：
2
2
4 1 1.4 1
0.5 0.9 0.8
z z z
Hz
z z z
=
试问一共能构成几种级联型网络。
考虑分子分母的组合及级联的次序，共有以下四种级联型网络：
11 1 21 0
11 0.5 21 0
12 1,4 22 1
22 0,812 0,9
3、给出以下系统函数的并联型实现：
1 2 3
1 1 2
5,2 1,5 8 1,4 1 1,6
1 0,5 1 0,9 0,8
z z zHz
z z z
=
解,对此函数进行因式分解并展成部分分式，得
1 2 3
1 1 2
5,2 1,5 8 1,4 1 1,6
1 0,5 1 0,9 0,8
z z zHz
z z z
1
1 1 2
0,2 1 0,34
1 0,5 1 0,9 0,8
z
z z z
则 0 4G?
11 0,5 21 0
01 0,2 11 0
12 0,9 22 0,8
02 1 12 0.3
1 / 2 1
01
0 12
1 121
N
kk
k kk
zH z G
zz
则 并联结构：
0 4G?
11 0,5 21 0
01 0,2 11 0
12 0,9 22 0,8
02 1 12 0.3
4、用横截型结构实现以下系统函数：
1 1 1 1 1111 1 6 1 2 1 126H z z z z z z=
解：
1 1 1 1 11 1 6 1 2 1 1H z z z z z z=
1 1 2 1 1 2 1111 2 1 6 126z z z z z z z=
1 2 1 2 15 3 71 1 126z z z z z=
1 2 3 4 58 20 5 20 5 81
3 12 12 3z z z z z
则横截型结构：
1 2 3 4 58 20 5 20 5 8( ) 1
3 12 12 3H z z z z z z
=
6、用频率抽样结构实现以下系统函数：
3615 2 31 zzHz z=
抽样点数 6N?,修正半径 0.9r? 。
解：由 N = 6，得频率抽样型结构：
2
66
03
1
1 1
6 kkH z r z H z H z H z
=
3 1 25 3 1z z z
1 1 2 1 1z z z33
1
5 3 1
1
zzHz
z
=
又
2
335 3 1
j k j kjke e e
0 2 4H?即1 2 2 3Hj20H?
32H40H5 2 2 3Hj
则0
11
0 24
1 1 0,9
HHz
r z z
3 113 21 1 0,9HHz r z z
3 1 2 5 3 1H z z z z由得
2z k NH k H z
然后求kHz
时1k
1
0 1 1 1
1
1 2 221 2 co s
z
Hz
z r r z
N
=
4?
11 1 62 0,9 R e 1 3,6HW
11 124 3,6 1 0,9 0,8 1zHz zz
1
01
1 2 221 2 co s
kk
k
z
Hz
z r k r z
N
=
其中0 2 R ek Hk1 2 R e kkNr H k W
1 2 2 3Hj01 2 R e 1H
1
01
1 2 221 2 co s
kk
k
z
Hz
z r k r z
N
=
其中0 2 R ek Hk1 2 R e kkNr H k W
2k? 时
0 2 1 2 0
2 0Hz
20H?
2 0Hz?
得频率抽样结构：
11 124 3,61 0,9 0,8 1zHz zz
0 11
0 24
1 0,9
HHz
r z z
3 113 21 1 0,9HHz r z z
2
66
03
1
1 1
6 kkH z r z H z H z H z
=
7、设某 FIR数字滤波器的系统函数为
1 2 3 41 1 3 5 35H z z z z z
试画出此滤波器的线性相位结构。
解：对系统函数求 z反变换，得
1 3 3 11 2 3 45 5 5 5h n n n n n n
得 10 4 0.2
5hh
31 3 0.65hh
21h?
即hn是偶对称，对称中心在 1 22Nn
5N?
处，
N为奇数 。
得线性相位结构：
10 4 0.25hh 31 3 0.65hh
21h?
8、设滤波器差分方程为
111 1 234y n x n x n y n y n
试用直接 I型、典范型及一阶节的级联型、
一阶节的并联型结构实现此差分方程。
解：根据
10
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
2
1
4a?1
1
3a? 0 1b? 1 1b?
1
0
12
1
1
11
1 1
34
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Yz z
Hz
Xz zz
az
或者由,得得直接 I型结构：
2
1
4a?1
1
3a? 0 1b? 1 1b?
典范型结构：
将Hz因式分解为一阶节：
1
11
1
1 10 1 10
11
66
z
zz
1
11
1
1 0,6 9 1 0,3 6
z
zz
1
12
1
111
34
z
Hz
zz
1
11
1
1 0,6 9 1 0,3 6
zHz
zz
得一阶节级联型结构：
1
11
1
1 1 0 1 1 0
11
66
z
Hz
zz
11
1 7 1 7
1 0 1 0
2 2 0 2 2 0
1 1 0 1 1 0
11
66
zz
11
1.61 0.61
1 0.69 1 0.36zz
将Hz分解为一阶节部分分式：
得一阶节并联结构：
111.61 0.611 0.69 1 0.36Hz zz
1、用直接 I型及典范结构实现以下系统函数：
12123 4,2 0,82 0,6 0,4zzHz zz=
解：根据 IIR滤波器的系统函数标准式
12121,5 2,1 0,41 0,3 0,2zzHz zz=
将系统函数整理为：
0
1
1
M
m
m
m
N
n
n
n
bz
Yz
Hz
Xz
az
=
12
1,5 2,1 0,4
1 0,3 0,zz
1 0,3a 2 0.2a?得,0 1.5b? 1 2.1b? 2 0.4b?，,
直接 I型结构：
典范型结构：
12
12
1,5 2,1 0,4()
1 0,3 0,2
zzHz
zz
解：
1 1 2
1 1 2
4 1 1 1.4
1 0.5 1 0.9 0.8
z z z
z z z
12
12
12
12
1
1
kk
k kk
zzH z A
zz
11 1 21 0
11 0.5 21 0
12 1,4 22 1
22 0,812 0,9
4A?则
2、用级联型结构实现以下系统函数：
2
2
4 1 1.4 1
0.5 0.9 0.8
z z z
Hz
z z z
=
试问一共能构成几种级联型网络。
考虑分子分母的组合及级联的次序，共有以下四种级联型网络：
11 1 21 0
11 0.5 21 0
12 1,4 22 1
22 0,812 0,9
3、给出以下系统函数的并联型实现：
1 2 3
1 1 2
5,2 1,5 8 1,4 1 1,6
1 0,5 1 0,9 0,8
z z zHz
z z z
=
解,对此函数进行因式分解并展成部分分式，得
1 2 3
1 1 2
5,2 1,5 8 1,4 1 1,6
1 0,5 1 0,9 0,8
z z zHz
z z z
1
1 1 2
0,2 1 0,34
1 0,5 1 0,9 0,8
z
z z z
则 0 4G?
11 0,5 21 0
01 0,2 11 0
12 0,9 22 0,8
02 1 12 0.3
1 / 2 1
01
0 12
1 121
N
kk
k kk
zH z G
zz
则 并联结构：
0 4G?
11 0,5 21 0
01 0,2 11 0
12 0,9 22 0,8
02 1 12 0.3
4、用横截型结构实现以下系统函数：
1 1 1 1 1111 1 6 1 2 1 126H z z z z z z=
解：
1 1 1 1 11 1 6 1 2 1 1H z z z z z z=
1 1 2 1 1 2 1111 2 1 6 126z z z z z z z=
1 2 1 2 15 3 71 1 126z z z z z=
1 2 3 4 58 20 5 20 5 81
3 12 12 3z z z z z
则横截型结构：
1 2 3 4 58 20 5 20 5 8( ) 1
3 12 12 3H z z z z z z
=
6、用频率抽样结构实现以下系统函数：
3615 2 31 zzHz z=
抽样点数 6N?,修正半径 0.9r? 。
解：由 N = 6，得频率抽样型结构：
2
66
03
1
1 1
6 kkH z r z H z H z H z
=
3 1 25 3 1z z z
1 1 2 1 1z z z33
1
5 3 1
1
zzHz
z
=
又
2
335 3 1
j k j kjke e e
0 2 4H?即1 2 2 3Hj20H?
32H40H5 2 2 3Hj
则0
11
0 24
1 1 0,9
HHz
r z z
3 113 21 1 0,9HHz r z z
3 1 2 5 3 1H z z z z由得
2z k NH k H z
然后求kHz
时1k
1
0 1 1 1
1
1 2 221 2 co s
z
Hz
z r r z
N
=
4?
11 1 62 0,9 R e 1 3,6HW
11 124 3,6 1 0,9 0,8 1zHz zz
1
01
1 2 221 2 co s
kk
k
z
Hz
z r k r z
N
=
其中0 2 R ek Hk1 2 R e kkNr H k W
1 2 2 3Hj01 2 R e 1H
1
01
1 2 221 2 co s
kk
k
z
Hz
z r k r z
N
=
其中0 2 R ek Hk1 2 R e kkNr H k W
2k? 时
0 2 1 2 0
2 0Hz
20H?
2 0Hz?
得频率抽样结构：
11 124 3,61 0,9 0,8 1zHz zz
0 11
0 24
1 0,9
HHz
r z z
3 113 21 1 0,9HHz r z z
2
66
03
1
1 1
6 kkH z r z H z H z H z
=
7、设某 FIR数字滤波器的系统函数为
1 2 3 41 1 3 5 35H z z z z z
试画出此滤波器的线性相位结构。
解：对系统函数求 z反变换，得
1 3 3 11 2 3 45 5 5 5h n n n n n n
得 10 4 0.2
5hh
31 3 0.65hh
21h?
即hn是偶对称，对称中心在 1 22Nn
5N?
处，
N为奇数 。
得线性相位结构：
10 4 0.25hh 31 3 0.65hh
21h?
8、设滤波器差分方程为
111 1 234y n x n x n y n y n
试用直接 I型、典范型及一阶节的级联型、
一阶节的并联型结构实现此差分方程。
解：根据
10
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
2
1
4a?1
1
3a? 0 1b? 1 1b?
1
0
12
1
1
11
1 1
34
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Yz z
Hz
Xz zz
az
或者由,得得直接 I型结构：
2
1
4a?1
1
3a? 0 1b? 1 1b?
典范型结构：
将Hz因式分解为一阶节：
1
11
1
1 10 1 10
11
66
z
zz
1
11
1
1 0,6 9 1 0,3 6
z
zz
1
12
1
111
34
z
Hz
zz
1
11
1
1 0,6 9 1 0,3 6
zHz
zz
得一阶节级联型结构：
1
11
1
1 1 0 1 1 0
11
66
z
Hz
zz
11
1 7 1 7
1 0 1 0
2 2 0 2 2 0
1 1 0 1 1 0
11
66
zz
11
1.61 0.61
1 0.69 1 0.36zz
将Hz分解为一阶节部分分式：
得一阶节并联结构：
111.61 0.611 0.69 1 0.36Hz zz
