第七章 单方程计量经济学应用模型生产函数模型需求函数模型消费函数模型投资函数模型货币需求模型教学基本要求本章是课程的重点内容之一。通过教学，要求达到：
了解（最低要求）：常用的生产函数模型、需求函数模型、消费函数模型的理论模型和估计方法；
在中国建立与应用生产函数模型、需求函数模型、
消费函数模型过程中实际问题的处理。
掌握（较高要求）：常用的生产函数模型、需求函数模型、消费函数模型的理论模型是如何提出与发展的；在实践中自己提出与发展新的模型的方法论基础；其它常用的单方程模型，例如投资函数模型和货币需求函数模型的建模思路。
应用（对应用能力的要求）：分别选择一个研究对象，建立中国的实际模型。例如某个行业的生产函数模型、某种商品的需求函数模型、某类消费者的消费函数模型。
§ 7.1 生产函数模型 (Production
Function Models,P.F.)
几个重要概念
以要素之间替代性质的描述为线索的生产函数模型的发展
以技术要素的描述为线索的生产函数模型的发展
几个重要生产函数模型的参数估计方法
生产函数模型在技术进步分析中的应用
建立生产函数模型中的数据质量问题一、几个重要概念
⒈ 生产函数
⑴ 定义
描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式。
Y f A K L? (,,,)?
投入的生产要素
最大产出量
⑵ 生产函数模型的发展
从 20年代末，美国数学家 Charles Cobb和经济学家
Paul Dauglas提出了生产函数这一名词，并用 1899-
1922年的数据资料，导出了著名的 Cobb-Dauglas生产函数。
1928年 Cobb,Dauglas C-D生产函数
1937年 Dauglas,Durand C-D生产函数的改进型
1957年 Solow C-D生产函数的改进型
1960年 Solow 含体现型技术进步生产函数
1967年 Arrow等 两要素 CES生产函数
1967年 Sato 二级 CES生产函数
1968年 Sato,Hoffman VES生产函数
1968年 Aigner,Chu 边界生产函数
1971年 Revanker VES生产函数
1973年 Christensen,Jorgenson 超越对数生产函数
1980年 三级 CES生产函数
⑶ 生产函数是经验的产物
生产函数是在西方国家发展起来的，作为西方经济学理论体系的一部分，与特定的生产理论与环境相联系。
西方国家发展的生产函数模型可以被我们所应用：
生产函数反应的是生产中投入要素与产出量之间的技术关系；
生产函数模型的形式是经验的产物；
不能照搬。
⒉ 要素产出弹性 （ Elasticity of Output）
⑴ 要素的产出弹性
某投入要素的产出弹性被定义为，当其它投入要素不变时，该要素增加 1%所引起的产出量的变化率。
E YY KK fK KYK
E YY LL fL LYL
要素产出弹性的数值区间？为什么？
⑵ 规模报酬
所有要素的产出弹性之和
规模报酬不变
规模报酬递增
规模报酬递减
为什么经常将规模报酬不变作为生产函数必须满足的条件？
⒊ 要素替代弹性 （ Elasticity of Substitution）
⑴ 要素的边际产量 (Marginal Product)
其它条件不变时，某一种投入要素增加一个单位时导致的产出量的增加量。用于描述投入要素对产出量的影响程度。
MP f K
MP f L
K
L
/
/
边际产量不为负。
MP MPK L0 0,,?
( )MP
K
f
K
K
2
2 0
( )MP
L
f
L
L
2
2 0
边际产量递减 。
⑵ 要素的边际替代率
(Marginal Rate of Substitution)
当两种要素可以互相替代时，就可以采用不同的要素组合生产相同数量的产出量。要素的边际替代率指的是在产量一定的情况下，某一种要素的增加与另一种要素的减少之间的比例。
M R S K LK L/
要素的边际替代率可以表示为要素的边际产量之比。
MRS MP MP
MRS MP MP
K L L K
L K K L
/
/
从生产函数可以求得要素的边际产量和要素的边际替代率。
⑶ 要素替代弹性
要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率与边际替代率的变化率之比。
d K LK L d MP MPMP MPL K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
要素替代弹性是描述生产行为的重要参数，求得要素替代弹性是生产函数的重要应用。
要素替代弹性不为负。
特殊情况：要素替代弹性为 0、要素替代弹性为 ∞。
⒋ 技术进步
⑴ 广义技术进步与狭义技术进步
所谓狭义技术进步，仅指要素质量的提高。
狭义的技术进步是体现在要素上的，它可以通过要素的“等价数量”来表示。
求得“等价数量”，作为生产函数模型的样本观测值，以这样的方法来引入技术进步因素。
所谓广义技术进步，除了要素质量的提高外，还包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的因素，这些因素是独立于要素之外的。
在生产函数模型中需要特别处理广义技术进步。
⑵ 中性技术进步
假设在生产活动中除了技术以外，只有资本与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之比为相对资本密集度，用 ω表示。即
E EL K/
如果技术进步使得 ω越来越大，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得快，则称之为 节约劳动型技术进步 ；如果技术进步使得 ω越来越小，
即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢，
则称之为 节约资本型技术进步 ；如果技术进步前后 ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹性同步增长，则称之为 中性技术进步 。
在中性技术进步中，如果要素之比不随时间变化，
则称为 希克斯中性 技术进步；如果劳动产出率不随时间变化，则称为 索洛中性 技术进步；如果资本产出率不随时间变化，则称为 哈罗德中性 技术进步。
二、以要素之间替代性质的描述为线索的生产函数模型的发展
⒈ 线性生产函数模型 (Linear P.F.)
Y K L0 1 2
d K LK L d MP MPMP MPL K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
为什么？
如果选择线性生产函数，就意味着承认什么假设？
⒉ 投入产出生产函数模型 (Input-Output P.F.)
为什么？
如果选择投入产出生产函数，就意味着承认什么假设？
Y Ka Lb? m i n (,)
0
⒊ C-D生产函数模型
Y AK L
E
Y
K
K
Y
A K L
Y
KK
1
E
Y
L
L
Y
AK L
Y
LL
1
d K L
K L
d MP MP
MP MP
L K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
d
K
L
d
MP
MP
d
K
L
d
K
L
d
K
L
d
K
L
L
K
(l n( )) (l n( ))
(l n( )) (l n( ))
(l n( )) (l n( ) l n( ))
1
在 C-D生产函数中要素的替代弹性是否随研究对象变化？是否合理？为什么？
在 C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本区间变化？是否合理？为什么？
在 C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变化？是否合理？为什么？
C-D生产函数中每个参数的数值范围是什么？为什么？
⒋ CES生产函数模型 (Constant Elasticity
0f Substitution)
m
LKAY )( 21
d K L
K L
d MP MP
MP MP
L K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
d KL d MPMP L
K
( l n ( )) ( l n ( ))
11?
替代弹性的推导过程？（独立推导一遍）
在 CES生产函数中要素的替代弹性是否随研究对象变化？是否合理？为什么？
在 CES生产函数中要素的替代弹性是否随样本区间变化？是否合理？为什么？
在 CES生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变化？是否合理？为什么？
CES生产函数中每个参数的数值范围是什么？为什么？
⒌ VES生产函数模型 (Variable Elasticity
0f Substitution)
⑴ 1968年 Sato和 Hoffman
假定得到
( )t a b t
Y B L K
t
t
t
t
t
t
( ( ) )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
11
与 CES有什么联系与区别？
⑵ 1971年 Revankar
假定其中
a b
K
L
Z A
dk
k c
k
a bk
a
e x p
( ) 1
Z Y L k K L,
当 b=0时,
Y
L
A
dk
k c
k
a
a
e x p
( ) 1
A
a
a
k
c
a
k
a
a
a
a
a
e x p ( ln )
1
1
1
1
1?
1a
a Ae A?
,
Y
L A
a ck
a k
a
a
( )
1
1
1?
A a k ca( )1 1
令
Y A a KL c La( ( ) )1
1?
A a K cLa( )1 1
退化为 CES模型。为什么？
当 b=0,a=1时,
Y
L A
dk
k ce x p ( )1
A kc A k ce x p ( ln )1
1
1
Y A K L L A K Lc c c
c
c
1
1
1
1
1
1 1
退化为 C-D生产函数。为什么？
当 a=1时,
1 bk
Y AK L
b
c
Kc
c
c
1
1 1
1
( ( ) )
Y AK L
b
c
Kc
m
c
c
m
( ) ( )
( ( ) )
1
1 1
1
为什么是“变替代弹性”？
为实际应用的 VES生产函数。
⒍ 超越对数生产函数模型 (Translog P.F.)
如果,表现为何种时常函数？
如果,表现为何种时常函数？
LKL
KLKY
KLLL
KKLK
lnln)( ln
)( lnlnlnln
2
2
0
KK LL KL 0
KK LL KL 12
⒎ 多要素生产函数模型
⑴ 多要素线性生产函数模型
Y K L E0 1 2 3
⑵ 多要素投入产出生产函数模型
Y
K
a
L
b
E
c? m i n (,,)
⑶ 多要素 C-D生产函数模型
Y AK L E
⑷ 多要素一级 CES生产函数模型
Y A K L E m( )1 2 3 1
要素之间的替代弹性是否相同？是多大？为什么？
⑸ 多要素二级 CES生产函数模型
Y a K a E
Y A b Y b L
KE
KE
m
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1
1
要素之间的替代弹性是否相同？是多大？为什么？
⑹ 多要素三级 CES生产函数模型三、以技术进步的描述为线索的生产函数模型的发展
⒈ 将技术要素作为一个不变参数的生产函数模型
Y AK L
m
LKAY )( 21
Z A
dk
k c
k
a bk
a
e x p
( ) 1
⒉ 改进的 C-D生产函数模型
参数的经济意义是什么？
关于技术进步的假设是什么？为什么？
Y A t K L? ( )
Y A K Lt0 1( )
Y A e K Lt? 0
⒊ 改进的 CES生产函数模型
关于技术进步的假设是什么？为什么？
Y A K Lt m0 1 21 1( ) ( )
Y A e K Lt m0 1 2 1( )
⒋ 含体现型技术进步的生产函数模型
⑴ 总量增长方程
Y
Y
A
A
K
K
L
L
⑵ 分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数模型
Y A J Lt t t t J K
t mt
m
t
m
0
1( )?
J
J
K
K a
Y
Y
A
A
a
K
K
L
L
( )
⑶ 分离劳动质量的含体现型技术进步的生产函数模型
)(
)(
L
L
b
K
K
a
A
A
Y
Y
⒌ 引入人力资本的生产函数模型
Lucas（ 1988）为了解决技术内生问题，提出人力资本的概念,Romer等人（ 1992）提出包括人力资本的生产函数模型
⒍ 边界生产函数模型
⑴ 确定性边界生产函数
Y f K L e u(,,)? ( )u? 0
Y f K L e f K L e ev u v u(,,) ( (,,) )
⑵ 随机边界生产函数四、几个重要生产函数模型的参数估计方法
⒈ C-D生产函数模型及其改进型的估计
⑴ 线性估计方法
⑵非线性估计方法
Y AK L
Y AK L
能否线性化，与假设有关。哪个方法更合理？
⒉ CES生产函数模型及其改进型的估计
假设？
误差？
mLKAY )( 21
ln ln l n( )Y A K Lm1 2
ln ln ln ln ( l n ( ))Y A m K m L m KL1 2 12 1 2 2
Z X X X0 1 1 2 2 3 3
⒊ VES生产函数的估计
Y AK L b c Kc m
c
c m
( ) ( )( ( ) )
1
1 1
1?
ln ln ln l n ( )Y A m c K cm c L b c K1 1 1?
l n ( ) l n ( ) ( )L b c K L K Z1
Z L KL( ) ln ( ) 0
ln ln ln ln ( )Y A m c K cm c L cmb c KL1 1 1 2?
Z X X X0 1 1 2 2 3 3
⒋ 二级 CES生产函数模型的估计
二级 CES生产函数为：
Y a K a E
Y A b Y b L
KE
KE
m
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1
1
由第 2级函数展开取近似，得到：
ln ln ln ln ( l n ( ))Y A b m Y b m L mb b Y LKE KE1 2 12 1 2 2
由第 1级函数展开取近似，得到：
ln ln ln ( l n ( ))Y a K a E a a KEKE1 2 12 1 1 2 2?
代入前式，得到：
2
212
12
21112
1
22111
))( ln ())( ln (
lnlnlnlnln
L
K
bbm
E
K
aamb
LmbEmabKmabAY
Z X X X X X0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
代入后的式中有多个二次项，应该选择多少项？
为什么？
是否造成估计结果的任意性？
⒌ 含体现型技术进步生产函数模型的估计
估计的生产函数为：
Y
Y
A
A a
K
K
L
L?
( )
直接作为线性模型估计：
Z X Xt t t t0 1 2
关键是如何得到 X1t的样本观测值
⒍ 确定性统计边界生产函数模型的修正的普通最小二乘估计（ Corrected OLS,COLS）
采用 C-D生产函数形式：
其中实质上的边界生产函数为：
为理论上的最大产出量。
Y f K L e u(,,)?
Y AK L e u ( )u? 0
ln ln ln lnY A K L u
ln ln ln lnY A K L
Y
将作为 的值，代入得到。于是所要求的边界生产函数为：
边界生产函数即是平均生产函数向上平移了 。
ln ( ) ln ln ( )Y a K L u
ln? (?)? ln? lnY a K L
(?)?a a
))ln?ln?
)?((( ln)?ln( ln
ii
iii
LK
aYM a xYYM a x
Y e K La
五、生产函数模型应用一例：生产函数模型在技术进步分析中的应用
⒈ 从纵向研究技术进步：测算技术进步速度及其对经济增长的贡献
⑴ 技术进步速度的测定
从生产函数模型求得要素的产出弹性
计算产出和各种要素的平均增长速度
利用增长方程计算技术进步速度
⑵ 技术进步对增长贡献 的测定
⑶实例
⒉ 从横向研究技术进步：部门之间、企业之间技术进步水平的比较分析
⑴ 建立并估计某行业的企业确定性统计边界生产函数模型
⑵ 确定技术效率为 1的企业
⑶ 计算每个企业的技术效率
⑷ 实例六、建立生产函数模型过程中的问题一例：数据质量问题
⒈ 样本数据的一致性问题
一致性问题在生产函数模型中的具体体现
为什么建立某个行业的生产函数模型必须采用时间序列数据？
为什么建立某个行业的企业生产函数模型必须采用截面数据？
为什么建立某个特定企业的生产函数模型必须采用时间序列数据？
⒉ 样本数据的准确性问题
样本数据的准确性的两层含义
什么样的要素投入量数据才是“准确”的？
用部分的数据代替全体的数据必须满足什么假设？
⒊ 样本数据的可比性问题
可比性的极端重要性
如何才能保证产出量数据的可比性？
如何才能保证资本投入量数据的可比性？
了解（最低要求）：常用的生产函数模型、需求函数模型、消费函数模型的理论模型和估计方法；
在中国建立与应用生产函数模型、需求函数模型、
消费函数模型过程中实际问题的处理。
掌握（较高要求）：常用的生产函数模型、需求函数模型、消费函数模型的理论模型是如何提出与发展的；在实践中自己提出与发展新的模型的方法论基础；其它常用的单方程模型，例如投资函数模型和货币需求函数模型的建模思路。
应用（对应用能力的要求）：分别选择一个研究对象，建立中国的实际模型。例如某个行业的生产函数模型、某种商品的需求函数模型、某类消费者的消费函数模型。
§ 7.1 生产函数模型 (Production
Function Models,P.F.)
几个重要概念
以要素之间替代性质的描述为线索的生产函数模型的发展
以技术要素的描述为线索的生产函数模型的发展
几个重要生产函数模型的参数估计方法
生产函数模型在技术进步分析中的应用
建立生产函数模型中的数据质量问题一、几个重要概念
⒈ 生产函数
⑴ 定义
描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式。
Y f A K L? (,,,)?
投入的生产要素
最大产出量
⑵ 生产函数模型的发展
从 20年代末，美国数学家 Charles Cobb和经济学家
Paul Dauglas提出了生产函数这一名词，并用 1899-
1922年的数据资料，导出了著名的 Cobb-Dauglas生产函数。
1928年 Cobb,Dauglas C-D生产函数
1937年 Dauglas,Durand C-D生产函数的改进型
1957年 Solow C-D生产函数的改进型
1960年 Solow 含体现型技术进步生产函数
1967年 Arrow等 两要素 CES生产函数
1967年 Sato 二级 CES生产函数
1968年 Sato,Hoffman VES生产函数
1968年 Aigner,Chu 边界生产函数
1971年 Revanker VES生产函数
1973年 Christensen,Jorgenson 超越对数生产函数
1980年 三级 CES生产函数
⑶ 生产函数是经验的产物
生产函数是在西方国家发展起来的，作为西方经济学理论体系的一部分，与特定的生产理论与环境相联系。
西方国家发展的生产函数模型可以被我们所应用：
生产函数反应的是生产中投入要素与产出量之间的技术关系；
生产函数模型的形式是经验的产物；
不能照搬。
⒉ 要素产出弹性 （ Elasticity of Output）
⑴ 要素的产出弹性
某投入要素的产出弹性被定义为，当其它投入要素不变时，该要素增加 1%所引起的产出量的变化率。
E YY KK fK KYK
E YY LL fL LYL
要素产出弹性的数值区间？为什么？
⑵ 规模报酬
所有要素的产出弹性之和
规模报酬不变
规模报酬递增
规模报酬递减
为什么经常将规模报酬不变作为生产函数必须满足的条件？
⒊ 要素替代弹性 （ Elasticity of Substitution）
⑴ 要素的边际产量 (Marginal Product)
其它条件不变时，某一种投入要素增加一个单位时导致的产出量的增加量。用于描述投入要素对产出量的影响程度。
MP f K
MP f L
K
L
/
/
边际产量不为负。
MP MPK L0 0,,?
( )MP
K
f
K
K
2
2 0
( )MP
L
f
L
L
2
2 0
边际产量递减 。
⑵ 要素的边际替代率
(Marginal Rate of Substitution)
当两种要素可以互相替代时，就可以采用不同的要素组合生产相同数量的产出量。要素的边际替代率指的是在产量一定的情况下，某一种要素的增加与另一种要素的减少之间的比例。
M R S K LK L/
要素的边际替代率可以表示为要素的边际产量之比。
MRS MP MP
MRS MP MP
K L L K
L K K L
/
/
从生产函数可以求得要素的边际产量和要素的边际替代率。
⑶ 要素替代弹性
要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率与边际替代率的变化率之比。
d K LK L d MP MPMP MPL K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
要素替代弹性是描述生产行为的重要参数，求得要素替代弹性是生产函数的重要应用。
要素替代弹性不为负。
特殊情况：要素替代弹性为 0、要素替代弹性为 ∞。
⒋ 技术进步
⑴ 广义技术进步与狭义技术进步
所谓狭义技术进步，仅指要素质量的提高。
狭义的技术进步是体现在要素上的，它可以通过要素的“等价数量”来表示。
求得“等价数量”，作为生产函数模型的样本观测值，以这样的方法来引入技术进步因素。
所谓广义技术进步，除了要素质量的提高外，还包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的因素，这些因素是独立于要素之外的。
在生产函数模型中需要特别处理广义技术进步。
⑵ 中性技术进步
假设在生产活动中除了技术以外，只有资本与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之比为相对资本密集度，用 ω表示。即
E EL K/
如果技术进步使得 ω越来越大，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得快，则称之为 节约劳动型技术进步 ；如果技术进步使得 ω越来越小，
即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢，
则称之为 节约资本型技术进步 ；如果技术进步前后 ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹性同步增长，则称之为 中性技术进步 。
在中性技术进步中，如果要素之比不随时间变化，
则称为 希克斯中性 技术进步；如果劳动产出率不随时间变化，则称为 索洛中性 技术进步；如果资本产出率不随时间变化，则称为 哈罗德中性 技术进步。
二、以要素之间替代性质的描述为线索的生产函数模型的发展
⒈ 线性生产函数模型 (Linear P.F.)
Y K L0 1 2
d K LK L d MP MPMP MPL K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
为什么？
如果选择线性生产函数，就意味着承认什么假设？
⒉ 投入产出生产函数模型 (Input-Output P.F.)
为什么？
如果选择投入产出生产函数，就意味着承认什么假设？
Y Ka Lb? m i n (,)
0
⒊ C-D生产函数模型
Y AK L
E
Y
K
K
Y
A K L
Y
KK
1
E
Y
L
L
Y
AK L
Y
LL
1
d K L
K L
d MP MP
MP MP
L K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
d
K
L
d
MP
MP
d
K
L
d
K
L
d
K
L
d
K
L
L
K
(l n( )) (l n( ))
(l n( )) (l n( ))
(l n( )) (l n( ) l n( ))
1
在 C-D生产函数中要素的替代弹性是否随研究对象变化？是否合理？为什么？
在 C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本区间变化？是否合理？为什么？
在 C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变化？是否合理？为什么？
C-D生产函数中每个参数的数值范围是什么？为什么？
⒋ CES生产函数模型 (Constant Elasticity
0f Substitution)
m
LKAY )( 21
d K L
K L
d MP MP
MP MP
L K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
d KL d MPMP L
K
( l n ( )) ( l n ( ))
11?
替代弹性的推导过程？（独立推导一遍）
在 CES生产函数中要素的替代弹性是否随研究对象变化？是否合理？为什么？
在 CES生产函数中要素的替代弹性是否随样本区间变化？是否合理？为什么？
在 CES生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变化？是否合理？为什么？
CES生产函数中每个参数的数值范围是什么？为什么？
⒌ VES生产函数模型 (Variable Elasticity
0f Substitution)
⑴ 1968年 Sato和 Hoffman
假定得到
( )t a b t
Y B L K
t
t
t
t
t
t
( ( ) )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
11
与 CES有什么联系与区别？
⑵ 1971年 Revankar
假定其中
a b
K
L
Z A
dk
k c
k
a bk
a
e x p
( ) 1
Z Y L k K L,
当 b=0时,
Y
L
A
dk
k c
k
a
a
e x p
( ) 1
A
a
a
k
c
a
k
a
a
a
a
a
e x p ( ln )
1
1
1
1
1?
1a
a Ae A?
,
Y
L A
a ck
a k
a
a
( )
1
1
1?
A a k ca( )1 1
令
Y A a KL c La( ( ) )1
1?
A a K cLa( )1 1
退化为 CES模型。为什么？
当 b=0,a=1时,
Y
L A
dk
k ce x p ( )1
A kc A k ce x p ( ln )1
1
1
Y A K L L A K Lc c c
c
c
1
1
1
1
1
1 1
退化为 C-D生产函数。为什么？
当 a=1时,
1 bk
Y AK L
b
c
Kc
c
c
1
1 1
1
( ( ) )
Y AK L
b
c
Kc
m
c
c
m
( ) ( )
( ( ) )
1
1 1
1
为什么是“变替代弹性”？
为实际应用的 VES生产函数。
⒍ 超越对数生产函数模型 (Translog P.F.)
如果,表现为何种时常函数？
如果,表现为何种时常函数？
LKL
KLKY
KLLL
KKLK
lnln)( ln
)( lnlnlnln
2
2
0
KK LL KL 0
KK LL KL 12
⒎ 多要素生产函数模型
⑴ 多要素线性生产函数模型
Y K L E0 1 2 3
⑵ 多要素投入产出生产函数模型
Y
K
a
L
b
E
c? m i n (,,)
⑶ 多要素 C-D生产函数模型
Y AK L E
⑷ 多要素一级 CES生产函数模型
Y A K L E m( )1 2 3 1
要素之间的替代弹性是否相同？是多大？为什么？
⑸ 多要素二级 CES生产函数模型
Y a K a E
Y A b Y b L
KE
KE
m
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1
1
要素之间的替代弹性是否相同？是多大？为什么？
⑹ 多要素三级 CES生产函数模型三、以技术进步的描述为线索的生产函数模型的发展
⒈ 将技术要素作为一个不变参数的生产函数模型
Y AK L
m
LKAY )( 21
Z A
dk
k c
k
a bk
a
e x p
( ) 1
⒉ 改进的 C-D生产函数模型
参数的经济意义是什么？
关于技术进步的假设是什么？为什么？
Y A t K L? ( )
Y A K Lt0 1( )
Y A e K Lt? 0
⒊ 改进的 CES生产函数模型
关于技术进步的假设是什么？为什么？
Y A K Lt m0 1 21 1( ) ( )
Y A e K Lt m0 1 2 1( )
⒋ 含体现型技术进步的生产函数模型
⑴ 总量增长方程
Y
Y
A
A
K
K
L
L
⑵ 分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数模型
Y A J Lt t t t J K
t mt
m
t
m
0
1( )?
J
J
K
K a
Y
Y
A
A
a
K
K
L
L
( )
⑶ 分离劳动质量的含体现型技术进步的生产函数模型
)(
)(
L
L
b
K
K
a
A
A
Y
Y
⒌ 引入人力资本的生产函数模型
Lucas（ 1988）为了解决技术内生问题，提出人力资本的概念,Romer等人（ 1992）提出包括人力资本的生产函数模型
⒍ 边界生产函数模型
⑴ 确定性边界生产函数
Y f K L e u(,,)? ( )u? 0
Y f K L e f K L e ev u v u(,,) ( (,,) )
⑵ 随机边界生产函数四、几个重要生产函数模型的参数估计方法
⒈ C-D生产函数模型及其改进型的估计
⑴ 线性估计方法
⑵非线性估计方法
Y AK L
Y AK L
能否线性化，与假设有关。哪个方法更合理？
⒉ CES生产函数模型及其改进型的估计
假设？
误差？
mLKAY )( 21
ln ln l n( )Y A K Lm1 2
ln ln ln ln ( l n ( ))Y A m K m L m KL1 2 12 1 2 2
Z X X X0 1 1 2 2 3 3
⒊ VES生产函数的估计
Y AK L b c Kc m
c
c m
( ) ( )( ( ) )
1
1 1
1?
ln ln ln l n ( )Y A m c K cm c L b c K1 1 1?
l n ( ) l n ( ) ( )L b c K L K Z1
Z L KL( ) ln ( ) 0
ln ln ln ln ( )Y A m c K cm c L cmb c KL1 1 1 2?
Z X X X0 1 1 2 2 3 3
⒋ 二级 CES生产函数模型的估计
二级 CES生产函数为：
Y a K a E
Y A b Y b L
KE
KE
m
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1
1
由第 2级函数展开取近似，得到：
ln ln ln ln ( l n ( ))Y A b m Y b m L mb b Y LKE KE1 2 12 1 2 2
由第 1级函数展开取近似，得到：
ln ln ln ( l n ( ))Y a K a E a a KEKE1 2 12 1 1 2 2?
代入前式，得到：
2
212
12
21112
1
22111
))( ln ())( ln (
lnlnlnlnln
L
K
bbm
E
K
aamb
LmbEmabKmabAY
Z X X X X X0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
代入后的式中有多个二次项，应该选择多少项？
为什么？
是否造成估计结果的任意性？
⒌ 含体现型技术进步生产函数模型的估计
估计的生产函数为：
Y
Y
A
A a
K
K
L
L?
( )
直接作为线性模型估计：
Z X Xt t t t0 1 2
关键是如何得到 X1t的样本观测值
⒍ 确定性统计边界生产函数模型的修正的普通最小二乘估计（ Corrected OLS,COLS）
采用 C-D生产函数形式：
其中实质上的边界生产函数为：
为理论上的最大产出量。
Y f K L e u(,,)?
Y AK L e u ( )u? 0
ln ln ln lnY A K L u
ln ln ln lnY A K L
Y
将作为 的值，代入得到。于是所要求的边界生产函数为：
边界生产函数即是平均生产函数向上平移了 。
ln ( ) ln ln ( )Y a K L u
ln? (?)? ln? lnY a K L
(?)?a a
))ln?ln?
)?((( ln)?ln( ln
ii
iii
LK
aYM a xYYM a x
Y e K La
五、生产函数模型应用一例：生产函数模型在技术进步分析中的应用
⒈ 从纵向研究技术进步：测算技术进步速度及其对经济增长的贡献
⑴ 技术进步速度的测定
从生产函数模型求得要素的产出弹性
计算产出和各种要素的平均增长速度
利用增长方程计算技术进步速度
⑵ 技术进步对增长贡献 的测定
⑶实例
⒉ 从横向研究技术进步：部门之间、企业之间技术进步水平的比较分析
⑴ 建立并估计某行业的企业确定性统计边界生产函数模型
⑵ 确定技术效率为 1的企业
⑶ 计算每个企业的技术效率
⑷ 实例六、建立生产函数模型过程中的问题一例：数据质量问题
⒈ 样本数据的一致性问题
一致性问题在生产函数模型中的具体体现
为什么建立某个行业的生产函数模型必须采用时间序列数据？
为什么建立某个行业的企业生产函数模型必须采用截面数据？
为什么建立某个特定企业的生产函数模型必须采用时间序列数据？
⒉ 样本数据的准确性问题
样本数据的准确性的两层含义
什么样的要素投入量数据才是“准确”的？
用部分的数据代替全体的数据必须满足什么假设？
⒊ 样本数据的可比性问题
可比性的极端重要性
如何才能保证产出量数据的可比性？
如何才能保证资本投入量数据的可比性？
