§ 7.2需求函数 (Demand
Function,D.F.)
几个重要概念
几种重要的单方程需求函数模型及其参数估计
线性支出系统需求函数模型及其参数估计
几种需求函数模型系统
建立与应用需求函数模型中的几个问题一、几个重要概念
⒈ 需求函数
⑴ 定义
需求函数是描述商品的需求量与影响因素，例如收入、价格、其它商品的价格等之间关系的数学表达式。
q f I p p pi i n? (,,,,,)1
特定情况下可以引入其它因素。
需求函数与消费函数是两个完全不同的概念。
为什么？
单方程需求函数模型和需求函数模型系统哪类更符合需求行为理论？
⑵ 单方程需求函数模型是经验的产物
与需求行为理论不符
经常引入其它因素
参数的经济意义不明确
⑶ 需求函数模型系统来源于效用函数
由效用函数在效用最大化下导出，符合需求行为理论
只包括收入和价格
参数有明确的经济意义
⒉ 从效用函数到需求函数
⑴ 从直接效用函数到需求函数
直接效用函数为：
U u q q q n? (,,,)1 2?
q p Ii
i
n
i
1
预算约束为：
在预算约束下使效用最大，即得到需求函数模型。
构造如下的拉格朗日函数：
L q q q n(,,,,)1 2u q q q n(,,,)1 2?
( )I q pi
i
n
i
1
L
q
u
q
p
L
I q p
i i
i
i i
i
n
0
0
1
极值的一阶条件：
求解即得到需求函数模型。
⑵ 从间接效用函数到需求函数
间接效用函数为：
V v p p p In? (,,,,)1 2?
q Vp VI i ni
i
1 2,,,?
利用公式
可以得到所求的使效用达到最大的商品需求函数。
⒊ 需求函数的 0阶齐次性
⑴ 需求的收入弹性
i
i
i
i
i
q
q
I
I
q
I
I
q
0
生活必须品的需求收入弹性？
高档消费品的需求收入弹性？
低质商品的的需求收入弹性？
⑵ 需求的自价格弹性
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
q
q
p
p
q
p
p
q
0
生活必须品的需求自价格弹性？
高档消费品的需求自价格弹性？
,吉芬品,的的需求收入弹性？
⑶ 需求的互价格弹性
ij
i
i
j
j
i
j
j
i
q
q
p
p
q
p
p
q
0
替代品的需求互价格弹性？
互补品的需求互价格弹性？
互相独立商品的需求互价格弹性？
⑷ 需求函数的 0阶齐次性条件
当收入、价格、其它商品的价格等都增长倍时，
对商品的需求量没有影响。即
f I p p pi n(,,,,,)1 0f I p p pi n(,,,,,)1
需求函数模型的重要特征
模型的检验二、几种重要的单方程需求函数模型及其参数估计
⒈ 线性需求函数模型
经验中存在
缺少合理的经济解释
不满足 0阶齐次性条件
OLS估计
q p Ii j j
j
n
1
⒉ 对数线性需求函数模型
经验中比较普遍存在
参数有明确的经济意义每个参数的经济意义和数值范围？
可否用 0阶齐次性条件检验？
OLS估计
ln ln lnq p Ii j j
j
n
1
⒊ 耐用品的存量调整模型
导出过程
S p Ite t t t0 1 2
S S S St t te t1 1? ( )
S S qt t t( )1 1?
q S S St t t t1 1?
( )
( )
S S S
p I S
t
e
t t
t t t t
1 1
0 1 2 1
直接估计。
参数估计量的经济意义不明确 。
必须反过来求得原模型中的每个参数估计量，才有明确的经济意义。
由 4个参数估计量求原模型的 5个参数估计量，必须外生给定 δ 。
q p I St t t t t0 1 2 3 1
常用于估计的模型形式
⒋ 非耐用品的状态调整模型
Houthakker和 Taylor于 1970年建议。
反映消费习惯等,心理存量,对需求的影响 。
用上一期的实际实现了的需求（即消费）量作为
,心理存量,的样本观测值。
q p I qt t t t t0 1 2 3 1
三、线性支出系统需求函数模型及其参数估计
(LES,Linear Expenditure System)
⒈ 线性支出系统需求函数模型
Klein,Rubin 1947年 直接效用函数
U u q b q ri i
i
n
i i i
i
n
( ) l n ( )
1 1
q p Vi i
i
n
1
该效用函数的含义？
R.Stone,1954年 在预算约束
导出需求函数
拉格朗日方程
L q q q n(,,,,)1 2b q r
i i i
i
n
ln ( )?
1
( )V q pi
i
n
i
1
L
q
b
q r
p
L
q p V
i
i
i i
i
i i
i
n
0
0
1
ni,,2,1
极值条件
对于前 n个方程，消去 λ 可得
p
p
b
b
q r
q r
i
j
i
j
j j
i i
i j n,,,,? 1 2?
b p q p r b p q p rj i i i i i j j j j( ) ( )
i n? 1 2,,,? i j?
b p q p r b p q p rj
i
n
i i i i i
i
n
j j j j
1 1
( ) ( )
b p q p r p q p r bj
i
n
i i i i j j j j i
i
n
( ) ( )
1 1
LES是一个联立方程模型系统
函数的经济意义
参数的经济意义
模型系统估计的困难是什么？
p q p r b p q p rj j j j j
i
n
i i i i
( )
1
p q p r b V p rj j j j j
i
n
i i
( ( ))
1
q r
b
p V p ri i
i
i
j j
j
( )i n? 1 2,,,?
⒉ 扩展的线性支出系统需求函数模型
(ELES,Expend Linear Expenditure System)
两点扩展
扩展后参数的经济意义发生了什么变化？
为什么扩展后的模型可以估计？
q r bp I p ri i i
i
j j
j
( )i n? 1 2,,,?
⑴ 模型的扩展
1973年 Liuch
⑵ 扩展的线性支出系统的 0阶齐次性证明
i
i
i
i
i i
q
I
I
q
b I
p q
ii
i
i
i
i
i
i
i
j j
ij
j i
n
i
i
q
p
p
q
b I
p
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p
p
q
( )2 2
1
1)1(
ii
iii
qp
rpb
ij
i
j
j
i
i j
i
j
i
i j j
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q
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j i
i i i j j
j
n
i i
p r b I p r
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( )
1
1 0
⒊ 扩展的线性支出系统需求函数模型的估计方法
⑴ 迭代法
q p r p b I p ri i i i i j j
j
i( )?
V r p b I p ri i i i j j
j
i( )?
Y XR
i n? 1 2,,,?
首先改写成如下形式：
（ 1）
其中
Y?
Y
Y
Y
n
1
2
X?
X
X
X
n
1
2
R?
r
r
r
n
1
2
Y V b Ii i i
X b p b p b p b p b pi i i i i i i i i n(,,,( ),,,)1 1 11
再改写成如下形式,
（ 2）W Z B
W?
W
W
W
n
1
2
Z?
Z
Z
Z
B?
b
b
b
n
1
2
Z I p rj j
j
n
1
W V p ri i i i
迭代过程给定一组边际消费倾向 b的初始值；
计算 (1)中 X的样本观测值；
采用 OLS估计 (1)，得到基本需求量 r的第一次估计值；
代入 (2)中，计算 Z和 W的样本观测值；
采用 OLS估计 (2)，得到 b的第一次估计值；
重复该过程，直至两次迭代得到的参数估计值满足收敛条件为止。即完成了模型的估计。
采用 OLS估计 (1)时，应该首先将个方程相加，
然后对相加得到的方程进行最小二乘估计。为什么？
首先给定 b的初始值与首先给定 r的初始值，不影响估计结果。为什么？
⑵ 截面数据作样本时的最小二乘法
V r p b p r b Ii i i i j j i
j
i
V a bIi i i i
,? (,,,)a b i ni i? 1 2?
r i ni (,,,)? 1 2?
i n? 1 2,,,?
利用截面上价格相同，写成：
对模型采用普通最小二乘法进行估计，得到：
然后利用参数之间的关系计算四、几种需求函数模型系统
⒈ Rotterdam模型
Theil和 Barten于 1965,1966年采用对数线性需求函数的微分形式，描述需求量、收入、价格的相对变化之间的关系。
用 ML法估计
n
i
iijii pdmdqd
1
0 )( lo g)( lo g)( lo g
i n? 1 2,,,?
⒉ 超越对数需求函数模型系统 (TLS)
Christenson,Jorgenson 和 Liu于 1975年提出了如下的间接效用函数：
得到需求函数模型系统为：
n
i
n
i
ji
ij
n
i
i
i M
p
M
p
M
pU
1 11
0 lnlnlnln
ni
M
p
M
p
M
qp
n
k
n
j
k
jk
n
j
j
n
i
i
iji
ii,,2,1
ln
ln
1 11
1
⒊ 几乎理想的需求函数模型系统 （ AIDS，
Almost Ideal Demand System ）
Deaton和 Muellbauer于 1980年提出了如下的间接效用函数,
n
k
k
n
k
n
j
jkkj
n
k
ki
kpUpppM
1
0
1 11
0 lo glo glo glo g
导出需求函数形式为,
ni
a
Mpw
i
n
j
jiji,,2,1lo glo g
1
0
M
qpw ii
i?
n
k
n
j
jkkj
n
k
ki pppa
1 11
0 lo glo glo glo g
⒋ Lewbel需求系统 (Lewbel Demand System)
Lewbel（ 1989）对 AIDS进行了改进，提出了包含
AIDS和 TLS的 Lewbel需求系统
⒌ 逆需求函数模型 （ Inverse Demand System）
价格是需求量的函数
适用于某些商品
根据 Anderson（ 1980）,Barten,Betterdorf
（ 1989）,Holt（ 2002）等人的研究发现，同常规的需求函数模型系统一样，逆需求函数模型系统也可以通过效用最大化法则推导出来。
Anderson（ 1980）,Huang（ 1988）和 Eales
（ 1994）等通过应用距离函数推导出了逆需求函数系统。
几乎所有需求函数模型系统，都发展了相应的逆需求函数模型系统
绝大多数经验研究工作都集中在肉类、鱼类、食品等不易保存的产品市场，这种市场一般带有较浓的买方市场的特征。
五、建立与应用需求函数模型中的几个问题
⒈ 交叉估计
⑴ 问题的提出
收入和价格两类变量对商品需求量的影响是不同的。
为什么？
商品需求量和收入之间存在长期关系；而价格水平一般只对商品需求量具有短期影响。 为什么？
时间序列数据适合于短期弹性的估计，截面数据适合于长期弹性的估计。
用同一组样本数据同时估计需求函数模型的所有参数，在理论上是存在问题的。
于是就提出了合并时间序列数据和截面数据的估计方法，即交叉估计方法。
用截面数据为样本估计模型中的一部分反映长期影响的参数，然后再用时间序列数据为样本估计模型中的另一部分反映短期影响的参数，分两阶段完成模型的估计。
⑵ 估计方法以 对数线性需求函数为例，假设只包括收入和自价格
利用第 T年的截面数据
在截面上认为价格是常数
估计得到
ln ln lnq I p0 1 2
q I j mj j,(,,,)? 1 2?
ln lnq a Ij j j1
1
j m? 1 2,,,?
当以时间序列数据为样本时，将模型写成：
令
有
估计得到
t T? 1 2,,,?ln ln lnq I p
t t t t0 1 2
y q pt t tln? ln? 1
y pt t t0 2 ln t T? 1 2,,,?
,0 2
⒉ 大类商品的数量与价格
⑴ 以购买支出额度量数量、以价格指数度量价格例如：
V R b I Ri i i j
j
n
i
( )
1
模型是否满足 0阶齐次性条件？
q q i
i
l
1
p p q qi i
i
l
i
i
l
1 1
⑵ 对于具有相同计量单位的类商品的处理
⑶ 对于具有不同计量单位的类商品的处理
p p q p p qi i i
i
l
i i
i
l
(( ) ) ( )
1 1
q p q pi i
i
l
1
一种经验处理方法，缺少理论支持
Function,D.F.)
几个重要概念
几种重要的单方程需求函数模型及其参数估计
线性支出系统需求函数模型及其参数估计
几种需求函数模型系统
建立与应用需求函数模型中的几个问题一、几个重要概念
⒈ 需求函数
⑴ 定义
需求函数是描述商品的需求量与影响因素，例如收入、价格、其它商品的价格等之间关系的数学表达式。
q f I p p pi i n? (,,,,,)1
特定情况下可以引入其它因素。
需求函数与消费函数是两个完全不同的概念。
为什么？
单方程需求函数模型和需求函数模型系统哪类更符合需求行为理论？
⑵ 单方程需求函数模型是经验的产物
与需求行为理论不符
经常引入其它因素
参数的经济意义不明确
⑶ 需求函数模型系统来源于效用函数
由效用函数在效用最大化下导出，符合需求行为理论
只包括收入和价格
参数有明确的经济意义
⒉ 从效用函数到需求函数
⑴ 从直接效用函数到需求函数
直接效用函数为：
U u q q q n? (,,,)1 2?
q p Ii
i
n
i
1
预算约束为：
在预算约束下使效用最大，即得到需求函数模型。
构造如下的拉格朗日函数：
L q q q n(,,,,)1 2u q q q n(,,,)1 2?
( )I q pi
i
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1
L
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i
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1
极值的一阶条件：
求解即得到需求函数模型。
⑵ 从间接效用函数到需求函数
间接效用函数为：
V v p p p In? (,,,,)1 2?
q Vp VI i ni
i
1 2,,,?
利用公式
可以得到所求的使效用达到最大的商品需求函数。
⒊ 需求函数的 0阶齐次性
⑴ 需求的收入弹性
i
i
i
i
i
q
q
I
I
q
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0
生活必须品的需求收入弹性？
高档消费品的需求收入弹性？
低质商品的的需求收入弹性？
⑵ 需求的自价格弹性
ii
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生活必须品的需求自价格弹性？
高档消费品的需求自价格弹性？
,吉芬品,的的需求收入弹性？
⑶ 需求的互价格弹性
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替代品的需求互价格弹性？
互补品的需求互价格弹性？
互相独立商品的需求互价格弹性？
⑷ 需求函数的 0阶齐次性条件
当收入、价格、其它商品的价格等都增长倍时，
对商品的需求量没有影响。即
f I p p pi n(,,,,,)1 0f I p p pi n(,,,,,)1
需求函数模型的重要特征
模型的检验二、几种重要的单方程需求函数模型及其参数估计
⒈ 线性需求函数模型
经验中存在
缺少合理的经济解释
不满足 0阶齐次性条件
OLS估计
q p Ii j j
j
n
1
⒉ 对数线性需求函数模型
经验中比较普遍存在
参数有明确的经济意义每个参数的经济意义和数值范围？
可否用 0阶齐次性条件检验？
OLS估计
ln ln lnq p Ii j j
j
n
1
⒊ 耐用品的存量调整模型
导出过程
S p Ite t t t0 1 2
S S S St t te t1 1? ( )
S S qt t t( )1 1?
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( )
( )
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1 1
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直接估计。
参数估计量的经济意义不明确 。
必须反过来求得原模型中的每个参数估计量，才有明确的经济意义。
由 4个参数估计量求原模型的 5个参数估计量，必须外生给定 δ 。
q p I St t t t t0 1 2 3 1
常用于估计的模型形式
⒋ 非耐用品的状态调整模型
Houthakker和 Taylor于 1970年建议。
反映消费习惯等,心理存量,对需求的影响 。
用上一期的实际实现了的需求（即消费）量作为
,心理存量,的样本观测值。
q p I qt t t t t0 1 2 3 1
三、线性支出系统需求函数模型及其参数估计
(LES,Linear Expenditure System)
⒈ 线性支出系统需求函数模型
Klein,Rubin 1947年 直接效用函数
U u q b q ri i
i
n
i i i
i
n
( ) l n ( )
1 1
q p Vi i
i
n
1
该效用函数的含义？
R.Stone,1954年 在预算约束
导出需求函数
拉格朗日方程
L q q q n(,,,,)1 2b q r
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n
ln ( )?
1
( )V q pi
i
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1
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极值条件
对于前 n个方程，消去 λ 可得
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1 1
LES是一个联立方程模型系统
函数的经济意义
参数的经济意义
模型系统估计的困难是什么？
p q p r b p q p rj j j j j
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1
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i
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( )i n? 1 2,,,?
⒉ 扩展的线性支出系统需求函数模型
(ELES,Expend Linear Expenditure System)
两点扩展
扩展后参数的经济意义发生了什么变化？
为什么扩展后的模型可以估计？
q r bp I p ri i i
i
j j
j
( )i n? 1 2,,,?
⑴ 模型的扩展
1973年 Liuch
⑵ 扩展的线性支出系统的 0阶齐次性证明
i
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i i i j j
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i i
p r b I p r
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( )
1
1 0
⒊ 扩展的线性支出系统需求函数模型的估计方法
⑴ 迭代法
q p r p b I p ri i i i i j j
j
i( )?
V r p b I p ri i i i j j
j
i( )?
Y XR
i n? 1 2,,,?
首先改写成如下形式：
（ 1）
其中
Y?
Y
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1
2
X?
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1
2
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2
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X b p b p b p b p b pi i i i i i i i i n(,,,( ),,,)1 1 11
再改写成如下形式,
（ 2）W Z B
W?
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1
W V p ri i i i
迭代过程给定一组边际消费倾向 b的初始值；
计算 (1)中 X的样本观测值；
采用 OLS估计 (1)，得到基本需求量 r的第一次估计值；
代入 (2)中，计算 Z和 W的样本观测值；
采用 OLS估计 (2)，得到 b的第一次估计值；
重复该过程，直至两次迭代得到的参数估计值满足收敛条件为止。即完成了模型的估计。
采用 OLS估计 (1)时，应该首先将个方程相加，
然后对相加得到的方程进行最小二乘估计。为什么？
首先给定 b的初始值与首先给定 r的初始值，不影响估计结果。为什么？
⑵ 截面数据作样本时的最小二乘法
V r p b p r b Ii i i i j j i
j
i
V a bIi i i i
,? (,,,)a b i ni i? 1 2?
r i ni (,,,)? 1 2?
i n? 1 2,,,?
利用截面上价格相同，写成：
对模型采用普通最小二乘法进行估计，得到：
然后利用参数之间的关系计算四、几种需求函数模型系统
⒈ Rotterdam模型
Theil和 Barten于 1965,1966年采用对数线性需求函数的微分形式，描述需求量、收入、价格的相对变化之间的关系。
用 ML法估计
n
i
iijii pdmdqd
1
0 )( lo g)( lo g)( lo g
i n? 1 2,,,?
⒉ 超越对数需求函数模型系统 (TLS)
Christenson,Jorgenson 和 Liu于 1975年提出了如下的间接效用函数：
得到需求函数模型系统为：
n
i
n
i
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1 11
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1 11
1
⒊ 几乎理想的需求函数模型系统 （ AIDS，
Almost Ideal Demand System ）
Deaton和 Muellbauer于 1980年提出了如下的间接效用函数,
n
k
k
n
k
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j
jkkj
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k
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kpUpppM
1
0
1 11
0 lo glo glo glo g
导出需求函数形式为,
ni
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1
0
M
qpw ii
i?
n
k
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j
jkkj
n
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1 11
0 lo glo glo glo g
⒋ Lewbel需求系统 (Lewbel Demand System)
Lewbel（ 1989）对 AIDS进行了改进，提出了包含
AIDS和 TLS的 Lewbel需求系统
⒌ 逆需求函数模型 （ Inverse Demand System）
价格是需求量的函数
适用于某些商品
根据 Anderson（ 1980）,Barten,Betterdorf
（ 1989）,Holt（ 2002）等人的研究发现，同常规的需求函数模型系统一样，逆需求函数模型系统也可以通过效用最大化法则推导出来。
Anderson（ 1980）,Huang（ 1988）和 Eales
（ 1994）等通过应用距离函数推导出了逆需求函数系统。
几乎所有需求函数模型系统，都发展了相应的逆需求函数模型系统
绝大多数经验研究工作都集中在肉类、鱼类、食品等不易保存的产品市场，这种市场一般带有较浓的买方市场的特征。
五、建立与应用需求函数模型中的几个问题
⒈ 交叉估计
⑴ 问题的提出
收入和价格两类变量对商品需求量的影响是不同的。
为什么？
商品需求量和收入之间存在长期关系；而价格水平一般只对商品需求量具有短期影响。 为什么？
时间序列数据适合于短期弹性的估计，截面数据适合于长期弹性的估计。
用同一组样本数据同时估计需求函数模型的所有参数，在理论上是存在问题的。
于是就提出了合并时间序列数据和截面数据的估计方法，即交叉估计方法。
用截面数据为样本估计模型中的一部分反映长期影响的参数，然后再用时间序列数据为样本估计模型中的另一部分反映短期影响的参数，分两阶段完成模型的估计。
⑵ 估计方法以 对数线性需求函数为例，假设只包括收入和自价格
利用第 T年的截面数据
在截面上认为价格是常数
估计得到
ln ln lnq I p0 1 2
q I j mj j,(,,,)? 1 2?
ln lnq a Ij j j1
1
j m? 1 2,,,?
当以时间序列数据为样本时，将模型写成：
令
有
估计得到
t T? 1 2,,,?ln ln lnq I p
t t t t0 1 2
y q pt t tln? ln? 1
y pt t t0 2 ln t T? 1 2,,,?
,0 2
⒉ 大类商品的数量与价格
⑴ 以购买支出额度量数量、以价格指数度量价格例如：
V R b I Ri i i j
j
n
i
( )
1
模型是否满足 0阶齐次性条件？
q q i
i
l
1
p p q qi i
i
l
i
i
l
1 1
⑵ 对于具有相同计量单位的类商品的处理
⑶ 对于具有不同计量单位的类商品的处理
p p q p p qi i i
i
l
i i
i
l
(( ) ) ( )
1 1
q p q pi i
i
l
1
一种经验处理方法，缺少理论支持
