P.28 习题 2-8引入了一个算子,被称为 截断算子,定义如下：
t
ttutuPty
0
)()()( ｛
t
u(t)
t
y(t)
因果性
H表示的系统是具有因果性的，是指成立如下的关系：
)()( uHPPHuPT TTT
左端的输入比右边的多了 的一段，
而输出在 是一样的，
Tt?
Tt?
这说明 的输入对 的输出无影响。Tt? Tt?
因果性 可用截断算子来表示。即定理 (解析开拓 )：若函数 f 在 D上解析，已知函数在 D中任意小的非零区间上恒为零，则函数在 D上恒为零。
f(t)在 ( a b)是解析的，对于 ( a b)中任一点 t0,存在一个,
使得对 中所有 t,f(t)可表示成 t0处的泰劳级数
0?
)( 000 tt o
)()()( 0)(
0
0 tf
n
tttf nn
！
实变量解析函数
t0松弛：
),[)( 0),[ 0 ttHuty t
+ 线性
0)(),()(
0
ttdutGty
t
+因果性
+时不变性
ttG
ttdutGty
t
t
0),(
)(),()( 0
0
0)()()(
0
ttdutGty
t
t
小 结
t0=0
L变换单入、单出
g(s)为有理函数，即是经典控制理论中研究的模型。
0)()()(
0
tdutGty
t
)()()( susGsy?
)()()( susgsy?
0)()()(
0
tdutgty
t
这里对输入、输出描述中的常用概念作了精确、系统的介绍。
直观的概念如何用数学式子表示出来。
1
1
1
121
1
221
2
2
11
0
1
0
)(0
n
n
n
nn
nnn
kkk
R
a
Aa
AIaAR
IaARR
IaARR
IaARIaAaAR
IaAR
IR
(1-44)
(A可逆 )
(1-42)
)()(1)( 1221101 nnnn RsRsRsRsAsI?
(1-43)
nnnn asasasAsIs 111)(?
(1-42),习题 1-21
n
k
nkn bbbbbbdt
d
1
121 )d e t ()d e t (
)()()( AsIt r a d jds AsIdds sd
nkARtrka kk,,2,1)(1 1
习题 1-21 要证利用恒等式 (可由行列式定义直接证明 )
直接分别计算上式两边，并比较上式左、右边的 s同次幂系数式中符号 trA 表示 A的迹,迹的运算性质为
)()(
)(
BAtrABtr
t r Bt r ABAtr
t r AAtr
)(1)(1 11 ARtrkARtrka kkk
kkkkkk nat r A RIaARtrt r Rakn 11 )()(
由上式即可得
1211 )()1( knknn saknsnans
左边
1
12
1
1
12
12
1
1
0 )(
n
kn
k
nn
nn
kn
k
nn
t r Rst r Rst r Rns
RsRsRsRsRtr
右边比较上式左、右边的 s同次幂系数,则有
1，已知 A的特征式及特征值，可求 adj(sI-A),A的逆及特征向量 。 只需用 (1-42,43,44)式。
2,特征式未知时，求特征式,adj(sI-A),A的逆 。
这时要用到习题 1-21的结果和 (1-44)的递推式子,令
IaARARA kkkkk 1
(k=1,2,··· n-1)
IR?0
这两组式子除了提供以后要用的形式表达式之外，还可以解决一些计算问题两类计算问题：给定 A
0
1
1
1
2
1
1
1111121
2222112
111111
IaARt r A
n
aARA
IaARt r A
n
aARA
IaARt r AaARA
IaARt r AaAA
nnnnnnn
nnnnnnn
最后一个式子可用于验证结果。
adj(sI-A)及 有了,即求出了 (sI-A)-1。)(s?
)()(1)( 1221101 nnnn RsRsRsRsAsI?
nnnn asasasAsIs 111)(?
设状态空间原有一组基为 e1,e2,e3,现在状态空间新取了一组基为 q1,q2,q3,任一向量 在这两组基下的坐标表示分别为?
q1
q2
q3
e1
e2
e3
xQ
x
x
x
qqq
qxqxqx
Ex
x
x
x
eee
exexex
3
2
1
321
332211
3
2
1
321
332211
关于坐标变换矩阵与基底变换矩阵若有
2
23
22
21
3213232221212
1
13
12
11
3213132121111
Em
m
m
m
eeeemememq
Em
m
m
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mmm
mmm
mmm
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332313
322212
312111
321321?
则有
xEMxQEx
根据向量在同一基底下坐标是唯一的得
xMx? xMx 1
或
M是新取的基底向量在原来基底下的坐标所形成的矩阵，通常称为基底变换矩阵。
由 Q=EM可知,M是新取的基底向量在原来基底下的坐标所形成的矩阵，通常称为基底变换矩阵。而 和 x 分别是向量 在新取基底 ( Q )和原有基底 ( E )下的坐标，由
x
可知 是 的坐标变换阵。1M
若原有基底为自然基，即 ei为单位矩阵的第 i 列，这时有 E=I。
由于 Q=M,所以 Q的列即为新取基底 (在自然基下的坐标 ) 。
xMx 1
Pxx?
式中的 P 阵为坐标变换矩阵，而 P-1为基底变换矩阵。且 P-1的列即为新取的基底向量 (在自然基下的坐标 ) 。
根据以上论述可知
p
p
rprpprpp
pp
pp
pp
IX
X
X
IqsIIqIqIq
IsI
IsI
IsI
0
0
0
2
1
1210
prrrr
rr
IXqsXqXqXq
XsXXsXXsXXsX
)(
0,,0,0,0
1122110
1433221
BXAsIXBAsI )()( 1
p.25
prrrr IXsqsXsqsXqXq 1111221110 )(?
rr
r
r
r
p
ssqsqsqq
IX
1122101?
prrrr IXsqssqsqq 1112210 ])([?
12 sXX?
111 XssXXr rr1
223 XssXX
P
r
r
r
r
r
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XssXXXssXXsXX
1
1
11
2
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1
1
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2312
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)(
)(
1
)()(
)()(
00
1
110
1
sG
sg
sGsg
BAsIGGGBAsIC r
对应的传递函数就是 (1-84)的传递函数阵。
p
r
p
p
p
rr
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r
r
r
Is
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X
X
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Tt?
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因果性 可用截断算子来表示。即定理 (解析开拓 )：若函数 f 在 D上解析，已知函数在 D中任意小的非零区间上恒为零，则函数在 D上恒为零。
f(t)在 ( a b)是解析的，对于 ( a b)中任一点 t0,存在一个,
使得对 中所有 t,f(t)可表示成 t0处的泰劳级数
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2,特征式未知时，求特征式,adj(sI-A),A的逆 。
这时要用到习题 1-21的结果和 (1-44)的递推式子,令
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或
M是新取的基底向量在原来基底下的坐标所形成的矩阵，通常称为基底变换矩阵。
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可知 是 的坐标变换阵。1M
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由于 Q=M,所以 Q的列即为新取基底 (在自然基下的坐标 ) 。
xMx 1
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