§ 7— 4 李雅普诺夫第二方法为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方法,
第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方程的显式来对稳定性进行分析,这是一个间接的方法 ;
第二种方法不是求解微分方程组,而是通过构造所谓的李雅普诺夫函数来直接判断运动的稳定性,因此又称为直接法,
(1892年博士论文：运动稳定性的一般问题 )
目前仍是研究非线性、时变系统比较有效的方法。
例题 7-7(P.247)
主要介绍李氏第二方法的思路一，符号函数的定义
V(x),‖ x ‖ <? V(0)=0 连续一阶偏导数正定 (负定 ),V(x)>0 (<0) 0<‖ x ‖ <?
半正定 (半负定 ),V(x) ≥0 ( 0≤ ) 0<‖ x ‖ <?
变号：不是定号与常号
ε >0,0<‖ x ‖ < ε V(x)可以 取到不同符号正定函数 V(x) = Ci > 0 的等值线示意图
7654321 CCCCCCC ＜＜＜＜＜＜
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
ε
例,变号 V(x1,x2) = x1x2
x1
x2
+
+ －
－
讨论方程
0)0(f
)x(fx
(7-39)
X = 0 是方程的解,现研究 x = 0 的稳定性,
)x(f
x
)x(v
)x(f
)x(f
)x(f
x
)x(v
x
)x(v
x
)x(v
)x(f
x
)x(v
x
x
)x(v
dt
)x(dv
T
n
2
1
n21
i
n
1i i
i
n
1i i
函数 V(x)沿方程 (7-39)解的导数是指若 v(x)正定 （ 负定 ）,且沿方程 （ 7-39） 的导数
)0(0)x(f
x
v)x(f)
x
v()x(v
i
n
1i i
T
（ 7-40）
则（ 7-39）的零解稳定。
二，几个主要定理定理 7-20*
定理 7-21* 若 v(x)正定 （ 负定 ）,且 v(x)沿方程
（ 7-39） 解的导数
)0(0)x(f
x
v)x(f)
x
v(
dt
)x(dv
i
n
1i i
T
(7-40)
则（ 7-39）的零解渐近稳定。
随着 t增加时,x变小,
dt
dx
dx
)x(dV
dt
)x(dV?
0x ),tt 0
v正定 随着 x增加而增加 0
dx
)x(dV?
负定,说明运动是按着使 v减小的方向进行的
0v
0v
0v
定理 7-20*
定理 7-21*
定理 7-21**
v(x)>0
v(x)>0
v(x)>0
渐近稳定不恒为零 渐近稳定稳定定理 7-21** 若 v(x)正定 （ 负定 ）,v(x)沿方程 （ 7-39）
的导数
)0(0)x(f
x
v)x(f)
x
v()x(v
i
n
1i i
T
(7-40)*
且沿方程（ 7-39）的任一非零解 不恒为零,
则（ 7-39）的零解渐近稳定。
v?
定理 7-22* 设 v（ x）,‖ x ‖ <? 满足
（ 1）在原点的任意小邻域内，存在 v>0区域,这种区域可能包含若干个子区域 uj 。 uj的边界是由 v=0
和 ‖ x ‖ =?所组成。
0v（ 2）在某个子区域,
则（ 7-39）的零解是不稳定的。
ε
定理 7-22*意义
x1
x2
v>0,uj (j=1,2,3)
u2
u1
u3
0v
定理 7-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的任一个正定对称阵 N，
都 存在唯一的正定对称阵 M,使得
Axx
NMAMA T （ 7— 44）
三，线性系统二次型 V函数证明 P.253
几点说明 P.253
例题 7-9 7-10 P.254
几点说明 P.253
1,矩阵方程 （ 7— 44） 给出了构造这个二次型 V函数的具体途径,在指定正定对称的 N阵后可求解 （ 7-44）
所定义的 (1/2)n(n+1)个未知量的代数方程组 。 定理的结论表明 A若是渐近稳定时,这个代数方程组有唯一解存在 。
2,在求解（ 7— 44）时比较简单的是取 N为单位阵
3,当 A中含有未确定参数时,可以先指定一个 N阵,
而后解 （ 7— 44） 所确定的代数方程组,从而得到
M阵,用塞尔维斯特定理写出 M阵正定的条件,这样就可得到系统稳定时,A中的待定参数应满足的条件 。 应当指出,这些待定参数应满足的条件是和
N阵的选择无关的 。
4,需要引起注意的是，定理 7-25并不意味着成立以下的命题，即例 7— 10
52
21M,
31
11A
显然 A的特征值均有负实部,M正定,但按 （ 7— 44）
计算出的
262
22N
却不是正定的。
,A渐近稳定,M正定，由（ 7— 44）式所得的 N一定正定。”
P.254 例 7-9 考虑二维系统
2
1
2221
1211
2
1
x
x
aa
aa
x
x
求系统渐近稳定时参数应满足的条件 。
令 N=1,由（ 7-44）式可得
1
0
1
m
m
m
a2a20
aaa2a
0a2a2
22
12
11
2212
21221112
2111
上述方程组的系数矩阵 A1的行列式为
NMAMA T
2212
1211
mm
mmM
)aaaa)(aa(4Ad e t 2112221122111
若,方程组就有唯一解，其解为0d e t
1?A
2
22
2
1111212212
11212212
2
22
2
21
1 aaAd e t)aaaa(
)aaaa(aaAd e t
Ad e t
2
M
由 M正定的条件可得
0)aa(
,0aaaaAd e t
2211
21122211
此即系统渐近稳定的参数条件由定理 7-25可知,若 渐近稳定,一定存在正定二次型 V(x)= xT M x 作为它的李雅普诺夫函数,并且 =-xT N x是负定二次型,,这一事实的几何意义可说明如下 。
Axx
v?
),2,1(, kCMxxS kTk考察曲面
,CCC k21 0Clim
kk
取一正的数列,且 。
kS
kk CC1 kk SS1k
kS
是状态空间中以原点为中心的椭球面，并且当时有 而当 时,
到原点，即这些椭球面层层相套最终收缩于原点。
收缩另一方面状态空间的任一点可属于某个椭球面，因而对应于某一个正数 。因此可认为通过
V函数给状态空间的点赋予了一个正数，于是可把
V函数看作状态空间到原点距离的一种度量。
iC
另外从几何上看,的非零解 x(t)在状态空间中表示一条曲线,称为轨线 。 V(x)沿这些曲线的导数
Axx
Ax
x
)x(v
x
x
x
x
)x(v
x
)x(v
x
)x(v
x
x
)x(v
dt
)x(dv
T
n
2
1
n21
n
1i i
0NxxM A xxMxAxxMxMxx TTTTTT
表明椭球面的外法向和轨线方向的夹角为钝角,
即轨线应由外向里穿过层层的椭球面,最终趋向于原点 。
0Ax)
x
v( T?
x
v
)x(g r a dv上式中的,即 表示那些椭球面法向，而 Ax表示了轨线的方向，的外定理 7-26 若 （ 7-44） 中的 N取为半正定对称阵,
且有 xTNx沿任意非零解不恒 为零,矩阵方程有正定对称解的充分必要条件为 Axx 渐近稳定。
（ 7-46）ATX+XA=-N
例题 7-11 P.255
根全在左半面
0asasas 32213
劳斯阵第一列大于零
3
0
1
3211
31
2
2
3
as
a
aaa
s
aas
a1s
A渐近稳定
(A特征值全在左半面 )
12
3
bb0
10b
010
A
劳斯阵第一列大于零
0b0b0b 321
根全在左半面
32213 asasas
1
3
3
1
321
211 a
ab
a
aaabab 构成令
AsI 32213 asasas
？即证明了若证明了此步现用定理 7-26来研究这一系统的渐近稳定性 。 取
2
1b200
000
000
N
1
21
321
b00
0bb0
00bbb
M
不恒为零,Nxx TAxx显然沿 的任一非零解
NMAMA T 解出由方程
M正定的充要条件是这是 A为渐近稳定的充要条件
0,0,0 321 bbb
0x0x0x
xbxbx
xxbx
xx
123
31223
3132
21
0x
0xb2Nxx
3
2
3
2
1
T
关于定理 7-26
,xTNx沿方程的非零解不恒为零,不能少例一,A渐近稳定,N半正定，不能保证 M正定
00
0M
00
01N,
11
01A 21
1,xTNx沿方程的非零解恒为零
0x,xex,0x 2020t21
2,N=[1 0]T[1 0]=CTC (A C)不可观测
10
01M
00
01N,
00
0A 21
例二,N半正定,M正定，不能保证 A渐稳。
1,xTNx沿方程的非零解
2,C=(1 0) (A C)不可观测恒为零
0x,0x,xx,exx 1020202t5.0101
xTNx沿方程的非零解不恒为零,这时 (A C)可观测,
定理满足。
4
1
4
1
4
1
2
1
M
00
01
N,
10
11
A
例三，
,xTNx沿方程的非零解不恒为零,”可用 (A C)可观测代替，这里 N= CTC。
四，几点说明
2,V函数如何找，这是一个比较复杂问题。
应当注意几个定理都是充分条件。当你尚未找到证明系统稳定的 V函数时，不可就说系统不稳定。要说系统不稳定得找出满足不稳定定理的 V函数。
1,能对系统的稳定性作出结论的函数叫做系统的一个李雅普诺夫函数。
3,对线性系统介绍了构造二次型李氏函数的方法,定理 7-25与定理 7-26，基于以下考虑：
介绍李雅普诺夫方程,这是系统理论中很多问题要涉及的方程；
线性系统的李氏函数经过一些变动后，往往可以得到一类非线性系统合适的 V函数；
V函数不仅用于研究稳定性，还可以用来讨论系统的品质，用于系统的综合。
有时候会说找一个更好的李氏函数，往往是指它在用于评价系统时有较少的保守性，或用于系统设计时可以得到更好的结果。
4,对时变的函数 v(t,x),除了前述符号的要求之外 (定号函数的定义也异于 v(x)),定理也和定常情况不同，应用有关稳定性定理时要注意。
特别注意,无穷小上界,(1)或,K类函数界,(2)的要求。引用教科书时要多查证 (不少教科书上有错误 )。
(1)见教材 P.248 定义 7-12(4)
(2)正实变量的实值函数?(? ) 是 K类函数，是指
(? )连续且满足
a)0,有?(? )>0且?(0 )=0;
b)12?0,有?(?1) >?(?2 )
V(x,t) 有无限小上界,|V(x,t) | <W(x)
V(x,t)正定,P248.定义 7-12(4)及引理存在 K类函数?(?),成立
V(x,t)(‖ x‖ )
存在 K类函数?(? ),成立
|V(x,t) | (‖ x‖ )
V(x,t) 有无限小上界存在 W(x)>0
|V(x,t)|<W(x)
存在 K类函数?(? ),成立
|V(x,t)|(‖ x‖ )
V(x,t) 正定,
P248.定义 7-12(4)
及引理存在 K类函数?(? ),成立 V(x,t)(‖ x‖ )
V(x,t)正定,
有无限小上界存在 K类函数? (? ),?(? ),成立
(‖ x‖ )V(x,t)(‖ x‖
(‖ x‖ )
(‖ x‖ )
V(x,t)
‖ x‖
P.249
Ty-7-7
V(x,t)正定,
有无限小上界存在 K类函数? (? ),?(? ),成立
(‖ x‖ )V(x,t)(‖ x‖
不能将渐近稳定定理写成,
“若 v(x,t)?0，且沿方程解的导数?0,
则方程的零解渐近稳定。”
)t,x(v?
随着 t增加时,x变小,
dtdxdx )x(dVdt )x(dV?
0x ),tt 0
v正定 随着 x增加而增加 0dx )x(dV?
负定,说明运动是按着使 v减小的方向进行的
V(x,t)正定,P248,定义 7-12(4)及引理
)x()x()x(w
0)x(w)t,x(v
1
V(x,t) (‖ x‖ ) K类函数? (‖ x‖ )
0dx )x(d
第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方程的显式来对稳定性进行分析,这是一个间接的方法 ;
第二种方法不是求解微分方程组,而是通过构造所谓的李雅普诺夫函数来直接判断运动的稳定性,因此又称为直接法,
(1892年博士论文：运动稳定性的一般问题 )
目前仍是研究非线性、时变系统比较有效的方法。
例题 7-7(P.247)
主要介绍李氏第二方法的思路一，符号函数的定义
V(x),‖ x ‖ <? V(0)=0 连续一阶偏导数正定 (负定 ),V(x)>0 (<0) 0<‖ x ‖ <?
半正定 (半负定 ),V(x) ≥0 ( 0≤ ) 0<‖ x ‖ <?
变号：不是定号与常号
ε >0,0<‖ x ‖ < ε V(x)可以 取到不同符号正定函数 V(x) = Ci > 0 的等值线示意图
7654321 CCCCCCC ＜＜＜＜＜＜
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
ε
例,变号 V(x1,x2) = x1x2
x1
x2
+
+ －
－
讨论方程
0)0(f
)x(fx
(7-39)
X = 0 是方程的解,现研究 x = 0 的稳定性,
)x(f
x
)x(v
)x(f
)x(f
)x(f
x
)x(v
x
)x(v
x
)x(v
)x(f
x
)x(v
x
x
)x(v
dt
)x(dv
T
n
2
1
n21
i
n
1i i
i
n
1i i
函数 V(x)沿方程 (7-39)解的导数是指若 v(x)正定 （ 负定 ）,且沿方程 （ 7-39） 的导数
)0(0)x(f
x
v)x(f)
x
v()x(v
i
n
1i i
T
（ 7-40）
则（ 7-39）的零解稳定。
二，几个主要定理定理 7-20*
定理 7-21* 若 v(x)正定 （ 负定 ）,且 v(x)沿方程
（ 7-39） 解的导数
)0(0)x(f
x
v)x(f)
x
v(
dt
)x(dv
i
n
1i i
T
(7-40)
则（ 7-39）的零解渐近稳定。
随着 t增加时,x变小,
dt
dx
dx
)x(dV
dt
)x(dV?
0x ),tt 0
v正定 随着 x增加而增加 0
dx
)x(dV?
负定,说明运动是按着使 v减小的方向进行的
0v
0v
0v
定理 7-20*
定理 7-21*
定理 7-21**
v(x)>0
v(x)>0
v(x)>0
渐近稳定不恒为零 渐近稳定稳定定理 7-21** 若 v(x)正定 （ 负定 ）,v(x)沿方程 （ 7-39）
的导数
)0(0)x(f
x
v)x(f)
x
v()x(v
i
n
1i i
T
(7-40)*
且沿方程（ 7-39）的任一非零解 不恒为零,
则（ 7-39）的零解渐近稳定。
v?
定理 7-22* 设 v（ x）,‖ x ‖ <? 满足
（ 1）在原点的任意小邻域内，存在 v>0区域,这种区域可能包含若干个子区域 uj 。 uj的边界是由 v=0
和 ‖ x ‖ =?所组成。
0v（ 2）在某个子区域,
则（ 7-39）的零解是不稳定的。
ε
定理 7-22*意义
x1
x2
v>0,uj (j=1,2,3)
u2
u1
u3
0v
定理 7-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的任一个正定对称阵 N，
都 存在唯一的正定对称阵 M,使得
Axx
NMAMA T （ 7— 44）
三，线性系统二次型 V函数证明 P.253
几点说明 P.253
例题 7-9 7-10 P.254
几点说明 P.253
1,矩阵方程 （ 7— 44） 给出了构造这个二次型 V函数的具体途径,在指定正定对称的 N阵后可求解 （ 7-44）
所定义的 (1/2)n(n+1)个未知量的代数方程组 。 定理的结论表明 A若是渐近稳定时,这个代数方程组有唯一解存在 。
2,在求解（ 7— 44）时比较简单的是取 N为单位阵
3,当 A中含有未确定参数时,可以先指定一个 N阵,
而后解 （ 7— 44） 所确定的代数方程组,从而得到
M阵,用塞尔维斯特定理写出 M阵正定的条件,这样就可得到系统稳定时,A中的待定参数应满足的条件 。 应当指出,这些待定参数应满足的条件是和
N阵的选择无关的 。
4,需要引起注意的是，定理 7-25并不意味着成立以下的命题，即例 7— 10
52
21M,
31
11A
显然 A的特征值均有负实部,M正定,但按 （ 7— 44）
计算出的
262
22N
却不是正定的。
,A渐近稳定,M正定，由（ 7— 44）式所得的 N一定正定。”
P.254 例 7-9 考虑二维系统
2
1
2221
1211
2
1
x
x
aa
aa
x
x
求系统渐近稳定时参数应满足的条件 。
令 N=1,由（ 7-44）式可得
1
0
1
m
m
m
a2a20
aaa2a
0a2a2
22
12
11
2212
21221112
2111
上述方程组的系数矩阵 A1的行列式为
NMAMA T
2212
1211
mm
mmM
)aaaa)(aa(4Ad e t 2112221122111
若,方程组就有唯一解，其解为0d e t
1?A
2
22
2
1111212212
11212212
2
22
2
21
1 aaAd e t)aaaa(
)aaaa(aaAd e t
Ad e t
2
M
由 M正定的条件可得
0)aa(
,0aaaaAd e t
2211
21122211
此即系统渐近稳定的参数条件由定理 7-25可知,若 渐近稳定,一定存在正定二次型 V(x)= xT M x 作为它的李雅普诺夫函数,并且 =-xT N x是负定二次型,,这一事实的几何意义可说明如下 。
Axx
v?
),2,1(, kCMxxS kTk考察曲面
,CCC k21 0Clim
kk
取一正的数列,且 。
kS
kk CC1 kk SS1k
kS
是状态空间中以原点为中心的椭球面，并且当时有 而当 时,
到原点，即这些椭球面层层相套最终收缩于原点。
收缩另一方面状态空间的任一点可属于某个椭球面，因而对应于某一个正数 。因此可认为通过
V函数给状态空间的点赋予了一个正数，于是可把
V函数看作状态空间到原点距离的一种度量。
iC
另外从几何上看,的非零解 x(t)在状态空间中表示一条曲线,称为轨线 。 V(x)沿这些曲线的导数
Axx
Ax
x
)x(v
x
x
x
x
)x(v
x
)x(v
x
)x(v
x
x
)x(v
dt
)x(dv
T
n
2
1
n21
n
1i i
0NxxM A xxMxAxxMxMxx TTTTTT
表明椭球面的外法向和轨线方向的夹角为钝角,
即轨线应由外向里穿过层层的椭球面,最终趋向于原点 。
0Ax)
x
v( T?
x
v
)x(g r a dv上式中的,即 表示那些椭球面法向，而 Ax表示了轨线的方向，的外定理 7-26 若 （ 7-44） 中的 N取为半正定对称阵,
且有 xTNx沿任意非零解不恒 为零,矩阵方程有正定对称解的充分必要条件为 Axx 渐近稳定。
（ 7-46）ATX+XA=-N
例题 7-11 P.255
根全在左半面
0asasas 32213
劳斯阵第一列大于零
3
0
1
3211
31
2
2
3
as
a
aaa
s
aas
a1s
A渐近稳定
(A特征值全在左半面 )
12
3
bb0
10b
010
A
劳斯阵第一列大于零
0b0b0b 321
根全在左半面
32213 asasas
1
3
3
1
321
211 a
ab
a
aaabab 构成令
AsI 32213 asasas
？即证明了若证明了此步现用定理 7-26来研究这一系统的渐近稳定性 。 取
2
1b200
000
000
N
1
21
321
b00
0bb0
00bbb
M
不恒为零,Nxx TAxx显然沿 的任一非零解
NMAMA T 解出由方程
M正定的充要条件是这是 A为渐近稳定的充要条件
0,0,0 321 bbb
0x0x0x
xbxbx
xxbx
xx
123
31223
3132
21
0x
0xb2Nxx
3
2
3
2
1
T
关于定理 7-26
,xTNx沿方程的非零解不恒为零,不能少例一,A渐近稳定,N半正定，不能保证 M正定
00
0M
00
01N,
11
01A 21
1,xTNx沿方程的非零解恒为零
0x,xex,0x 2020t21
2,N=[1 0]T[1 0]=CTC (A C)不可观测
10
01M
00
01N,
00
0A 21
例二,N半正定,M正定，不能保证 A渐稳。
1,xTNx沿方程的非零解
2,C=(1 0) (A C)不可观测恒为零
0x,0x,xx,exx 1020202t5.0101
xTNx沿方程的非零解不恒为零,这时 (A C)可观测,
定理满足。
4
1
4
1
4
1
2
1
M
00
01
N,
10
11
A
例三，
,xTNx沿方程的非零解不恒为零,”可用 (A C)可观测代替，这里 N= CTC。
四，几点说明
2,V函数如何找，这是一个比较复杂问题。
应当注意几个定理都是充分条件。当你尚未找到证明系统稳定的 V函数时，不可就说系统不稳定。要说系统不稳定得找出满足不稳定定理的 V函数。
1,能对系统的稳定性作出结论的函数叫做系统的一个李雅普诺夫函数。
3,对线性系统介绍了构造二次型李氏函数的方法,定理 7-25与定理 7-26，基于以下考虑：
介绍李雅普诺夫方程,这是系统理论中很多问题要涉及的方程；
线性系统的李氏函数经过一些变动后，往往可以得到一类非线性系统合适的 V函数；
V函数不仅用于研究稳定性，还可以用来讨论系统的品质，用于系统的综合。
有时候会说找一个更好的李氏函数，往往是指它在用于评价系统时有较少的保守性，或用于系统设计时可以得到更好的结果。
4,对时变的函数 v(t,x),除了前述符号的要求之外 (定号函数的定义也异于 v(x)),定理也和定常情况不同，应用有关稳定性定理时要注意。
特别注意,无穷小上界,(1)或,K类函数界,(2)的要求。引用教科书时要多查证 (不少教科书上有错误 )。
(1)见教材 P.248 定义 7-12(4)
(2)正实变量的实值函数?(? ) 是 K类函数，是指
(? )连续且满足
a)0,有?(? )>0且?(0 )=0;
b)12?0,有?(?1) >?(?2 )
V(x,t) 有无限小上界,|V(x,t) | <W(x)
V(x,t)正定,P248.定义 7-12(4)及引理存在 K类函数?(?),成立
V(x,t)(‖ x‖ )
存在 K类函数?(? ),成立
|V(x,t) | (‖ x‖ )
V(x,t) 有无限小上界存在 W(x)>0
|V(x,t)|<W(x)
存在 K类函数?(? ),成立
|V(x,t)|(‖ x‖ )
V(x,t) 正定,
P248.定义 7-12(4)
及引理存在 K类函数?(? ),成立 V(x,t)(‖ x‖ )
V(x,t)正定,
有无限小上界存在 K类函数? (? ),?(? ),成立
(‖ x‖ )V(x,t)(‖ x‖
(‖ x‖ )
(‖ x‖ )
V(x,t)
‖ x‖
P.249
Ty-7-7
V(x,t)正定,
有无限小上界存在 K类函数? (? ),?(? ),成立
(‖ x‖ )V(x,t)(‖ x‖
不能将渐近稳定定理写成,
“若 v(x,t)?0，且沿方程解的导数?0,
则方程的零解渐近稳定。”
)t,x(v?
随着 t增加时,x变小,
dtdxdx )x(dVdt )x(dV?
0x ),tt 0
v正定 随着 x增加而增加 0dx )x(dV?
负定,说明运动是按着使 v减小的方向进行的
V(x,t)正定,P248,定义 7-12(4)及引理
)x()x()x(w
0)x(w)t,x(v
1
V(x,t) (‖ x‖ ) K类函数? (‖ x‖ )
0dx )x(d
