时变线性系统式中 u是 p维输入向量,y是 q 维输出向量,并假定状态方程满足解存在和唯一性条件。
(1)系统的性质如状态可控性、可达性、可观测性、
可重构性等和所研究的时刻有关,因此就提出这些性质对 t 是否具有一致性的问题。
在时变系统的设计中,一致性常是设计问题有解的条件。
本章所考虑的 n 维线性时变系统的方程为
x)t(Cy
u)t(Bx)t(Ax
( 6— 1)
(2)
时不变系统:特征值对应于系统运动的模式,
特征值的分析时变系统,分析 状态转移矩阵求出时变系统的状态转移矩阵 困难
(3) 在研究方法上,显然复数域的方法一般不再适用,所采取的完全是时域的方法。
介绍一致完全可控性与一致完全可观测性的概念介绍一些在研究时变系统时所遇到的困难定义 6-1 一致完全可控线性时变系统 ( 6-1) 称为一致完全可控的,如果存在 σ > 0 以及与 σ 有关的正数
α i(σ) (i=1,2,3,4),使得对一切 t 有
I)()t,t()t,t(W)t,t(I)(0 4T3
)26(I)()t,t(WI)(0 21
( 6-3)
定义可以保证,在时间定义域内任何时刻的状态转移均可在时间间隔?内完成,而与时间的起点无关。这里所说的状态转移,包括了从 t 时刻的任何状态转移到 t+?时刻的零状态
(可控)以及从 t-? 时刻的零状态转移到 t 时刻的任意状态
(可达),
这两点分别由( 6-2)式与( 6-3)式所保证。
t-? t t+?
例 6-1 一维线性系统
uex t ||
系统是可控的,不是一致完全可控的
tt 2t2t2 )e1(e5.0dte)t,t(W
因为当 t 充分大时,因子 可任意地小,
W(t,t+?)不存在 (>0)的下界
te 2?
例 6-2 一维线性系统式中 由图 6-1所定义 。
utbx )(
)(tb
t
1 2
b(t)
5tt 2 5dt)t(b)5t,t(W1
选择? =5
在 内系统是一致完全可控的。当然也是可控的。
),(
(6-2)式成立。又因为 Φ=I,所以 (6-3)式也成立。
定理 6-1 可控性矩阵 W(t0,t)性质
( 1) W(t0,t)是对称的,
( 2) W(t0,t1 )对于 是非负定的,
( 3) W( t0,t )满足线性矩阵微分方程,
01 tt?
0)t,t(W
)t(B)t(B)t(A)t,t(W)t,t(W)t(A)t,t(W
dt
d
11
TT
111

)t,t()t,t(W)t,t()t,t(W)t,t(W 10T101010
( 4) W(t0,t1 )满足定理 6-2
若 A(t)及 B(t)有界,即存在 K使得对任意的 t,
均有
)t,t(WI)(0 0
(6-9)
K||)t(B||,K||)t(A||
(6-8)
则系统一致完全可控的充分必要条件为:存在 及 )(
0
,使得对一切 t 成立0
(四个不等式变成一个不等式。四个不等式变成一个不等式。 )
引理 1 ( 不等式 ),B e llm a nG r o n w a ll?
0)t(v),t(u? 0?c设而
)106(0tceu
)96(0tu v dtcu
t
0
vdt
t
0


则有若
)t,t(Adt )t,t(d 00 I)t,t( 00
对方程两边从 t0到 t积分,即可将初值问题转换为一个积分方程 (弗利德荷姆第一类积分方程 )
引理 1之应用
dt)t,t()t(AI)t,t(
t
t
00
0

两边取范数,就可用上述公式。,事实上
dt)t,t()t(AI
dt)t,t()t(AI)t,t(
0
t
t
t
t
00
0
0


有关实对称阵 A,B n× n 的知识
1,A≥B 即 xT(A - B)x ≥0
2,若 A ≥ B>0,则 B-1 ≥ A-1>0
3,‖ A‖ 2≤ α,则 A ≤ αI
引理 2 系统 的矩阵 A(t)有界,即存在 K,使得对一切 t有 成立,则其状态转移矩阵满足不等式
x)t(Ax
K||)t(A||?
t,se||)s,t(|| stK
例 6-3 考虑一维系统
tu6xt3x 2
取?=1时的可控性矩阵是
]2t6t6[pex1)1t,t(W 2
因为对于所有的 t 均有
1)1t,t(We1 2
1

因此( 6-2)式成立,但是
1]2t6t6e x p [)t,t(Y 322
实际上一致完全可控性的概念中包含有对完全可控性的一致性与对完全可达性的一致性,该例题说明对于可控性有一致性,但对可达性无一致性,因而不是一致完全可控的 。
对于任何的? > 0,(6-3)均不可能成立,
因此该系统不是一致完全可控的。
定理 6-2说明在有界的条件下,对可控性具有一致性即对可达性也具有一致性,因而是一致完全可控的。
A-HC的特征值与 AT-CTHT的特征值一致,
因此可方便地利用对偶关系来说明观测器误差的衰减问题 。 但是这种对偶关系对于时变系统却不再可以这样简单地被利用了,下面的例子可说明这点 。
P.219 例 6-5 系统
x~
4e
01
x~,x
40
e1
x
t2
t2


的状态转移矩阵分别为





)tt(4
)t3t()t4t2(
)tt(
0
0
00
0
e
ee
0
e
)t,t(
因此有
0||)t(x||limt
||)t(x~||,0)t(x~ 01?x~但对,只要 就是发散的。



)tt(4)t6t4(tt
)tt(
0
000
0
ee
5
1
e
5
1
0e
)t,t(
~