定理 4-4 若 (A,B)可控，则对 B值域中的任一非零向量 b,均存在一个状态反馈增益阵 K1,使得 (A+BK1,
b)可控。
若 (A,B)可控,可选取向量 u1,u2,…,un-1,使得由下式定义的 n个向量 x1,x2,…,xn 线性无关 。
x1=b,xk+1=Axk+Buk (k=1,2,…,n-1) (S—1)
状态反馈证明
1,引理,(见习题 4-3)
若存在 使 线性无关,121,,,?kuuu? )(,,,21 nkxxx k
习题 4-3的证明用归纳法。 k=1 x1=b
kxxx,,,21?
所张成的空间 。
kkk BuAxx 1ku
kL
kL
1?kx
要证：存在 与线性无关，即 不属于
，使
，此处
kxxx,,,21?
是用反证法。
kk Axx1ku kL
特别的取 =0,属于 。由于
,ku?
kkk BuAxx 1 kkk LAxx 1
kLB?Im
( ),因为所以
kkk BuAxx 1,ku? kL
均属于,
)( kix i?
k,,2,1iLBuxAx ki1ii
kL
中的任一向量 有又因为
，
kL
kL BA｜ BA｜
是 A的不变子空间,且包含了 B的值域,
这与 的维数为 n 相矛盾。
所以包含了
1K
2,定义矩阵
0121211 nn uuuxxxK
1211211 0 nn xxxuuuK
(S—2)
nxxx,,,21?
0,,,,121?nuuu?
1K 映射为 p维向量将 n 维向量是 p× n矩阵,
111221111 nn uxKuxKuxK?
3,证明 可控
)( 1 bBKA?
bBKAxBKABuAxx
bBKAxBKABuAxx
bBKAxBKAxBKAxBuAxx
bBKAxBKAbBuAbx
bx
n
nnnn
n
nnnn
1
11111
2
121221
2
121212223
11112
1
)()(
)()(
)()(
)(
nbBKAbBKAbBKAbr a n k n 11211 )()()(?
nxxx,,,21?
因为 线性无关，即所以取 K= K1+Lk,即可证明定理 4-5。
A+BK1+bk=A+BK1+BLk= A+B(K1+Lk)
定理 4-5 若系统 (4-1)可控,则存在状态反馈增益阵 K，
使得 A+BK的 n个特征值配置到复平面上 n个任意给定的位置 （ 复数共軛成对出现 ） 。
证明 首先选取非零向量 L,可得 b=BL,由定理 4-4
可知存在 K1,使 (A+BK1 b)可控 。 由单变量极点配置定理可知存在 n维行向量 k,使得 A+BK1+bk 的特征值可任意配置,
TLuxx 11
10
01
00
100
010
011
例题 1 系统方程为试构造 K1,使 (A+BK1,b=BL)可控。
解 取 x1 = BL =b,由
x1=b,xk+1= A xk+ B uk (k=1,2,…,n-1)
因为 Ax1与 x1线性无关,故取 x2= Ax1,可得 u1=[00]T。
又因为 Ax2与 x1 x2构成线性相关组?,u2不能取 [00]T，
可取 u2=[-1 1]T,这样可得 x3= Ax2+B u2= [2 0 2] T。
由的计算式 (S—2)可得
101
101
110
)()(
111
111
011
111
111
211
011
210
010
010
2
11
1
1
1
bBKAbBKAb
BKA
K
不难验证 (A+BK1 b)可控。
例题 2 系统方程为
uxx
10
01
00
00
1000
0100
0100
0010
欲使闭环系统 (A+BK)具有特征值 -2,-2,-1+j,-1-j,试确定状态反馈增益阵 K。
取 L=[1 0]T,x1=b1；
取 u1=[-1 0]T,可得 x2=[0 1 0 0]T ；
取 u2=[0 0] T,可得 x3=[1 0 0 0] T ；
取 u3=[0 1] T,可得 x4=[0 0 0 1] T ；
解
0001
0100
1000
0001
0010
0100
0100
0001
1
K
于是由 的计算式可得
1K
显然,(A+BK1,b1)可控。令 k=[k1 k2 k3 k4],直接计算
1001
0100
0010
4321
11
kkkk
kbBKA
它的特征式为 s4-(1+k3)s3+(k3-k2)s2+(k2-k1)s+k1-k4,
期望特征式为 s4+6s3+14s2+16s+8,
比较上述两多项式的系数,可得
k1 = -37,k2= -21,k3= -7,k4= - 45
状态反馈阵可取为
0001
4582137LkKK
1
在上面的做法中,在 L和 ui取定后,k就唯一的确定了 。 但 L 和 ui 是非唯一的,这一事实至少可以说明达到同样极点配置的 K值有许多,K的这种非唯一性是多输入系统与单输入系统极点配置问题主要区别之一 。 如何充分利用 K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个活跃的研究领域 。
多输入系统状态反馈配置极点问题的另一特点是,非线性方程,,说明如下：如将 K阵的元素用待定系数 kij表示,闭环的多项式可以写为
)K(fs)K(fs)K(fs)K(fs
)]BKA(sId e t [
n1n
2n
2
1n
1
n
式中 f i(K)表示某一个以 K的元素 kij为变量的非线性函数 。 如果将期望多项式表成
n1n
2n
2
1n
1
n ssss
比较两式的系数，可知应有
),,2,1()( niKf ii
(S—3)
上式在单输入情况始终是线性方程组，在多输入时，
一般是非线性方程。定理 4-4所提供的事实表明：当系统可控时，可以通过牺牲 K的自由参数，可以使 (S—3)
简化为一组能解出的线性方程组。对例题 2，也可以用求解上述方程来做，通过 K中自由参数的适当选取，
往往可以方便地求出需要的 K阵。
例题 3 对例题 2中的系统,用直接求解 (S—3)式的方法,计算达到极点配置的 K阵 。
解 因为这时
8765
4321
k1kkk
kk1kk
0100
0010
BKA
方案１：取 k4=k5=k6=k7=0,1+k8= -2,由
464]1)1) [ (2( 232 sssss
易得
4k16k,4k 321
即有
3000
0564
K
8765
4321
k1kkk
kk1kk
0100
0010
BKA
8
321
k1000
0k1kk
0100
0010
BKA
方案 2,取 k1=k2= 0,k3= -1,k4=1
可得 k5= -8,k6= -16,k7= -14,k8= -7,
即有
714168
1100K
8765
k1kkk
1)1(100
0100
0010
BKA
8765
4321
k1kkk
kk1kk
0100
0010
BKA
816146]1)1[()2( 23422 ssssss由以上的做法中,充分利用了将矩阵分块和相伴标准形的有关知识,从而方便了计算 。
给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组需包含系统的不可控模态。因此判别原来系统的模态可控性就成了关键。
如同单输入系统一样,定理 4-4中可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，但对于某一组指定的特征值进行配置时，系统可控只是充分条件，而不是必要条件。
例题 4 系统动态方程为
uxx
0
1
1
210
201
100
xy 210
3,2,14,3,2给定两组极点，分别为,和,
问哪组极点可用状态反馈进行配置。
35.05.0 j
解 计算出 A阵的特征值，分别为 –1,
可验证 –1 是不可控的,其它两个特征值是可控的。
极点组 {-1,-2,-3}包含了不可控模态 -1，所以可用状态反馈进行配置；极点组 {-2,-3,-4}则不能达到配置。
现用直接求解方法研究，令 k=(k1 k2 k3 )
( * )kk2k1s)2kk3k2(s)2kk(s 3213212213
(s+1) (s+2)(s+3)=s3+6s2+11s+6
2s10
k2ksk1
k1kks
)bkA(sI 321
321
期望多项式
5010
9011
4001
5122
9132
4011
前三列进行列变换的可解性分析：)(?
上述方程,增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩 （ 等于 2）,有解
)(
5
9
4
k
k
k
121
132
011
6kk2k1
112kk3k2
62kk
3
2
1
321
321
21
2
110
211
101
r a n k?
方程组 的相容条件就是所给极点组应包含不可控模态。
)(?
可控子空间的基为 [1 1 0 ]T,[0 1 1 ] T,正是前述方程组的系数矩阵值域空间的基。
系统可控性矩阵的秩为 2
将二阶因式与 (s+2)(s+3)相比较,可得同样结果 。
上式也表明不可控模是用状态反馈改变不了的 。
k1+ k2=4,k3+ k2=1
)(?
由 可解出 k1,k2,k3
(*)式又可表成 (s+1)[s2+ (k1+ k2+1)s+ k1+ k3+ 2k2+1]
( * )kk2k1s)2kk3k2(s)2kk(s 3213212213
由此可见,,任意配置,要求系数矩阵满秩,系数矩阵满秩的条件 是系统可控 。
如前所述,积分器解耦系统是不稳定的 。 还需在此基础上进一步改善控制律,这一问题由于比较复杂,现省略 。 下面介绍一种简单情况 。
,npddd p21
定理 若系统可用状态反馈解耦，且则采用状态反馈
)kAkAkA(c
)IkAkAkA(c
)IkAkAkA(c
EK,EH
0p1p
d
pd
1d
p
2021
d
d2
1d
2
1011
d
d1
1d
1
11
p
p
p
2
2
2
1
1
1
解耦
]
ksksksks
1
[d i a g
)s(G
0i1i
1d
1id
d
id
1d
f
i
i
i
i
i
(2-24)
可以将闭环传函矩阵化为其中 kij是可调参数,可用来对闭环传递函数矩阵的对角元进行极点配置 。 由 (2-24)式可知 Gf(s)的麦克米伦阶为 n,说明这时解耦状态反馈律 （ 2-23） 未改变系统的可观测性 。
xy
uxx
101
001
10
11
10
121
130
102
问可否用状态反馈律 u=Kx+Hv,将闭环传递函数阵变为
13
1
0
0
1
1
)(
2
ss
ssG
f
如有可能求出 K和 H。
例题 2-8 系统动态方程为解 c1B=[0 -1],d1=0; c2B=[0 0],c2AB=[2 1],d2=1,
12
10
E
E
E
2
1
d1+d2 +p=0+1+2=3=n
由 （ ２－２ 4） 可知状态反馈律应按 （ ２－２３ ） 选取
103
5.785.10
)IA3A(c
)IA(c
EK
02
11
2
1
EH
2
2
11
1
稳态误差定理 2-5 系统 (2-28)可控的的充分必要条件为系统 (2-25)
可控，且注意：条件 (2-29)式只有当输出数至多等于输入数 (p ≥q)且 rankC=q时才有可能 。
qnC BAr a n k
0
(2-29)
0
0
sIC
BAsI (2-30)
证明 考虑矩阵当 s不等于零时,(2-30)式中的矩阵,由于 （ A B） 可控,它的从上往下数的 n行是线性无关的,并且下面的 q行由于 s不是零,它和前述 n行也是线性无关的,这时 (2-30)矩阵的秩为 n+q。 当 s=0时,由于 (2-29)式它的秩也是 n+q。 因此,对任意的 s,(2-30)式矩阵的秩均为 n+q,故 (2-28)式的系统可控 。 反之,同样易于说明 。
条件 (2-29) 式的说明,若 (2-29)式不满足，即有
qn
sIC
BAsI
r a n k
s
00
0
这表明增广系统 (2-28)式有 s=0这一特征值不可控，状态反馈 (2-31)不能改变这个特征值，它在闭环动态方程中仍存在,从而导致闭环系统不稳定。
但在闭环传递函数形成时，产生了零、极对消，
闭环传函无此 s=0的极点，这一零、极对消的原因是正向通道中引入了积分环节 (参考本节插图 )，也就是引入了一个 s=０ 的极点，它一定是与对象的零点发生了相消。因此 (2-29)式不成立意味着对象有 s=0的零点。
在单变量的情况，就是对象传递函数的零点，但是在系统迥路中不稳定的零、极对消是不允许的。以上说明的一个例子如下
xyduxx 10,
1
0
32
10
试问是否可以用本节的方法设计控制器,使得在
yr(t) = 1(t) 作用下无稳态误差。
例题 2-9 系统方程为解 验证 (2-29)式
32
010
132
010
qnr a n k
计算对象部分的传递函数
2s3s
s)s(G
2
对这一系统无法用本节的方法进行控制器设计以消去稳态误差。
b)可控。
若 (A,B)可控,可选取向量 u1,u2,…,un-1,使得由下式定义的 n个向量 x1,x2,…,xn 线性无关 。
x1=b,xk+1=Axk+Buk (k=1,2,…,n-1) (S—1)
状态反馈证明
1,引理,(见习题 4-3)
若存在 使 线性无关,121,,,?kuuu? )(,,,21 nkxxx k
习题 4-3的证明用归纳法。 k=1 x1=b
kxxx,,,21?
所张成的空间 。
kkk BuAxx 1ku
kL
kL
1?kx
要证：存在 与线性无关，即 不属于
，使
，此处
kxxx,,,21?
是用反证法。
kk Axx1ku kL
特别的取 =0,属于 。由于
,ku?
kkk BuAxx 1 kkk LAxx 1
kLB?Im
( ),因为所以
kkk BuAxx 1,ku? kL
均属于,
)( kix i?
k,,2,1iLBuxAx ki1ii
kL
中的任一向量 有又因为
，
kL
kL BA｜ BA｜
是 A的不变子空间,且包含了 B的值域,
这与 的维数为 n 相矛盾。
所以包含了
1K
2,定义矩阵
0121211 nn uuuxxxK
1211211 0 nn xxxuuuK
(S—2)
nxxx,,,21?
0,,,,121?nuuu?
1K 映射为 p维向量将 n 维向量是 p× n矩阵,
111221111 nn uxKuxKuxK?
3,证明 可控
)( 1 bBKA?
bBKAxBKABuAxx
bBKAxBKABuAxx
bBKAxBKAxBKAxBuAxx
bBKAxBKAbBuAbx
bx
n
nnnn
n
nnnn
1
11111
2
121221
2
121212223
11112
1
)()(
)()(
)()(
)(
nbBKAbBKAbBKAbr a n k n 11211 )()()(?
nxxx,,,21?
因为 线性无关，即所以取 K= K1+Lk,即可证明定理 4-5。
A+BK1+bk=A+BK1+BLk= A+B(K1+Lk)
定理 4-5 若系统 (4-1)可控,则存在状态反馈增益阵 K，
使得 A+BK的 n个特征值配置到复平面上 n个任意给定的位置 （ 复数共軛成对出现 ） 。
证明 首先选取非零向量 L,可得 b=BL,由定理 4-4
可知存在 K1,使 (A+BK1 b)可控 。 由单变量极点配置定理可知存在 n维行向量 k,使得 A+BK1+bk 的特征值可任意配置,
TLuxx 11
10
01
00
100
010
011
例题 1 系统方程为试构造 K1,使 (A+BK1,b=BL)可控。
解 取 x1 = BL =b,由
x1=b,xk+1= A xk+ B uk (k=1,2,…,n-1)
因为 Ax1与 x1线性无关,故取 x2= Ax1,可得 u1=[00]T。
又因为 Ax2与 x1 x2构成线性相关组?,u2不能取 [00]T，
可取 u2=[-1 1]T,这样可得 x3= Ax2+B u2= [2 0 2] T。
由的计算式 (S—2)可得
101
101
110
)()(
111
111
011
111
111
211
011
210
010
010
2
11
1
1
1
bBKAbBKAb
BKA
K
不难验证 (A+BK1 b)可控。
例题 2 系统方程为
uxx
10
01
00
00
1000
0100
0100
0010
欲使闭环系统 (A+BK)具有特征值 -2,-2,-1+j,-1-j,试确定状态反馈增益阵 K。
取 L=[1 0]T,x1=b1；
取 u1=[-1 0]T,可得 x2=[0 1 0 0]T ；
取 u2=[0 0] T,可得 x3=[1 0 0 0] T ；
取 u3=[0 1] T,可得 x4=[0 0 0 1] T ；
解
0001
0100
1000
0001
0010
0100
0100
0001
1
K
于是由 的计算式可得
1K
显然,(A+BK1,b1)可控。令 k=[k1 k2 k3 k4],直接计算
1001
0100
0010
4321
11
kkkk
kbBKA
它的特征式为 s4-(1+k3)s3+(k3-k2)s2+(k2-k1)s+k1-k4,
期望特征式为 s4+6s3+14s2+16s+8,
比较上述两多项式的系数,可得
k1 = -37,k2= -21,k3= -7,k4= - 45
状态反馈阵可取为
0001
4582137LkKK
1
在上面的做法中,在 L和 ui取定后,k就唯一的确定了 。 但 L 和 ui 是非唯一的,这一事实至少可以说明达到同样极点配置的 K值有许多,K的这种非唯一性是多输入系统与单输入系统极点配置问题主要区别之一 。 如何充分利用 K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个活跃的研究领域 。
多输入系统状态反馈配置极点问题的另一特点是,非线性方程,,说明如下：如将 K阵的元素用待定系数 kij表示,闭环的多项式可以写为
)K(fs)K(fs)K(fs)K(fs
)]BKA(sId e t [
n1n
2n
2
1n
1
n
式中 f i(K)表示某一个以 K的元素 kij为变量的非线性函数 。 如果将期望多项式表成
n1n
2n
2
1n
1
n ssss
比较两式的系数，可知应有
),,2,1()( niKf ii
(S—3)
上式在单输入情况始终是线性方程组，在多输入时，
一般是非线性方程。定理 4-4所提供的事实表明：当系统可控时，可以通过牺牲 K的自由参数，可以使 (S—3)
简化为一组能解出的线性方程组。对例题 2，也可以用求解上述方程来做，通过 K中自由参数的适当选取，
往往可以方便地求出需要的 K阵。
例题 3 对例题 2中的系统,用直接求解 (S—3)式的方法,计算达到极点配置的 K阵 。
解 因为这时
8765
4321
k1kkk
kk1kk
0100
0010
BKA
方案１：取 k4=k5=k6=k7=0,1+k8= -2,由
464]1)1) [ (2( 232 sssss
易得
4k16k,4k 321
即有
3000
0564
K
8765
4321
k1kkk
kk1kk
0100
0010
BKA
8
321
k1000
0k1kk
0100
0010
BKA
方案 2,取 k1=k2= 0,k3= -1,k4=1
可得 k5= -8,k6= -16,k7= -14,k8= -7,
即有
714168
1100K
8765
k1kkk
1)1(100
0100
0010
BKA
8765
4321
k1kkk
kk1kk
0100
0010
BKA
816146]1)1[()2( 23422 ssssss由以上的做法中,充分利用了将矩阵分块和相伴标准形的有关知识,从而方便了计算 。
给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组需包含系统的不可控模态。因此判别原来系统的模态可控性就成了关键。
如同单输入系统一样,定理 4-4中可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，但对于某一组指定的特征值进行配置时，系统可控只是充分条件，而不是必要条件。
例题 4 系统动态方程为
uxx
0
1
1
210
201
100
xy 210
3,2,14,3,2给定两组极点，分别为,和,
问哪组极点可用状态反馈进行配置。
35.05.0 j
解 计算出 A阵的特征值，分别为 –1,
可验证 –1 是不可控的,其它两个特征值是可控的。
极点组 {-1,-2,-3}包含了不可控模态 -1，所以可用状态反馈进行配置；极点组 {-2,-3,-4}则不能达到配置。
现用直接求解方法研究，令 k=(k1 k2 k3 )
( * )kk2k1s)2kk3k2(s)2kk(s 3213212213
(s+1) (s+2)(s+3)=s3+6s2+11s+6
2s10
k2ksk1
k1kks
)bkA(sI 321
321
期望多项式
5010
9011
4001
5122
9132
4011
前三列进行列变换的可解性分析：)(?
上述方程,增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩 （ 等于 2）,有解
)(
5
9
4
k
k
k
121
132
011
6kk2k1
112kk3k2
62kk
3
2
1
321
321
21
2
110
211
101
r a n k?
方程组 的相容条件就是所给极点组应包含不可控模态。
)(?
可控子空间的基为 [1 1 0 ]T,[0 1 1 ] T,正是前述方程组的系数矩阵值域空间的基。
系统可控性矩阵的秩为 2
将二阶因式与 (s+2)(s+3)相比较,可得同样结果 。
上式也表明不可控模是用状态反馈改变不了的 。
k1+ k2=4,k3+ k2=1
)(?
由 可解出 k1,k2,k3
(*)式又可表成 (s+1)[s2+ (k1+ k2+1)s+ k1+ k3+ 2k2+1]
( * )kk2k1s)2kk3k2(s)2kk(s 3213212213
由此可见,,任意配置,要求系数矩阵满秩,系数矩阵满秩的条件 是系统可控 。
如前所述,积分器解耦系统是不稳定的 。 还需在此基础上进一步改善控制律,这一问题由于比较复杂,现省略 。 下面介绍一种简单情况 。
,npddd p21
定理 若系统可用状态反馈解耦，且则采用状态反馈
)kAkAkA(c
)IkAkAkA(c
)IkAkAkA(c
EK,EH
0p1p
d
pd
1d
p
2021
d
d2
1d
2
1011
d
d1
1d
1
11
p
p
p
2
2
2
1
1
1
解耦
]
ksksksks
1
[d i a g
)s(G
0i1i
1d
1id
d
id
1d
f
i
i
i
i
i
(2-24)
可以将闭环传函矩阵化为其中 kij是可调参数,可用来对闭环传递函数矩阵的对角元进行极点配置 。 由 (2-24)式可知 Gf(s)的麦克米伦阶为 n,说明这时解耦状态反馈律 （ 2-23） 未改变系统的可观测性 。
xy
uxx
101
001
10
11
10
121
130
102
问可否用状态反馈律 u=Kx+Hv,将闭环传递函数阵变为
13
1
0
0
1
1
)(
2
ss
ssG
f
如有可能求出 K和 H。
例题 2-8 系统动态方程为解 c1B=[0 -1],d1=0; c2B=[0 0],c2AB=[2 1],d2=1,
12
10
E
E
E
2
1
d1+d2 +p=0+1+2=3=n
由 （ ２－２ 4） 可知状态反馈律应按 （ ２－２３ ） 选取
103
5.785.10
)IA3A(c
)IA(c
EK
02
11
2
1
EH
2
2
11
1
稳态误差定理 2-5 系统 (2-28)可控的的充分必要条件为系统 (2-25)
可控，且注意：条件 (2-29)式只有当输出数至多等于输入数 (p ≥q)且 rankC=q时才有可能 。
qnC BAr a n k
0
(2-29)
0
0
sIC
BAsI (2-30)
证明 考虑矩阵当 s不等于零时,(2-30)式中的矩阵,由于 （ A B） 可控,它的从上往下数的 n行是线性无关的,并且下面的 q行由于 s不是零,它和前述 n行也是线性无关的,这时 (2-30)矩阵的秩为 n+q。 当 s=0时,由于 (2-29)式它的秩也是 n+q。 因此,对任意的 s,(2-30)式矩阵的秩均为 n+q,故 (2-28)式的系统可控 。 反之,同样易于说明 。
条件 (2-29) 式的说明,若 (2-29)式不满足，即有
qn
sIC
BAsI
r a n k
s
00
0
这表明增广系统 (2-28)式有 s=0这一特征值不可控，状态反馈 (2-31)不能改变这个特征值，它在闭环动态方程中仍存在,从而导致闭环系统不稳定。
但在闭环传递函数形成时，产生了零、极对消，
闭环传函无此 s=0的极点，这一零、极对消的原因是正向通道中引入了积分环节 (参考本节插图 )，也就是引入了一个 s=０ 的极点，它一定是与对象的零点发生了相消。因此 (2-29)式不成立意味着对象有 s=0的零点。
在单变量的情况，就是对象传递函数的零点，但是在系统迥路中不稳定的零、极对消是不允许的。以上说明的一个例子如下
xyduxx 10,
1
0
32
10
试问是否可以用本节的方法设计控制器,使得在
yr(t) = 1(t) 作用下无稳态误差。
例题 2-9 系统方程为解 验证 (2-29)式
32
010
132
010
qnr a n k
计算对象部分的传递函数
2s3s
s)s(G
2
对这一系统无法用本节的方法进行控制器设计以消去稳态误差。
