最小阶实现的问题的提法：考虑 q× p的正则有理函数矩阵 G(s)，
将它展成
G(s) = G(∞) +H0s-1 +H1s-2 +… ( 3- 62 )
其中 Hi(i=0,1,2… )是 q× p的常量矩阵,通常将 Hi称为 G(s)的马尔科夫参数矩阵 。
是 G(s)的一个实现,则根据定义有
G(s) = D + C(sI-A)-1B
BuAxx
y = Cx + Du ( 3- 63 )
若线性时不变动态程方程
0K
1k
k
1
s
A)AsI(利用公式,上式可展成由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现引理 1 动态方程 （ 3-63） 是 G(s)的一个实现,必要且只要
D = G(∞),Hi = CAiB ( i = 0,1,2 … ) (3- 65)
本引理可直接由比较 （ 3-62） 和 （ 3-64） 而得到 。 因为 G(∞)直接给出了动态方程实现中的 D阵 。 故仅需要研究严格正则有理函数矩阵 。
由矩阵序列 {Hi}可定义矩阵 Hij如下
G(s) = D +CBs— 1 +CABs-2 +… (3- 64)
根据引理 1，最小实现问题可重述如下：
给定矩阵序列 {Hi},寻找一个三元组（ A,B,C）,使得
Hi = CAiB,且（ A,B,C） 是可控且可观测的。
1jii1i
32
j21
1j10
ij
HHH
HH
HHH
HHH
H
Hij称为由序列 {Hi}生成的亨克尔阵序列 。 下面讨论由 G(s)的马尔柯夫参数矩阵序列 {Hi}所生成的亨克尔矩阵的特点 。
若记 G(s)各元素的首一最小公分母为
r1r2r21r1r asasasas
将 G(s)展开成
r
1r
1
r
r
2r
2
1r
1
asas
RsRsR)s(G
( 3 - 66 )
因为已假定 G(s)是严格正则的，故（ 3-66）式分子的最高幂次至多为 r-1。 合并（ 3-62）和（ 3-66），可得
R1sr-1+R2sr-2+…R r = (sr+a1sr-1+…+a r)(H0s-1+H1s-2+…)
令 s 的同次幂系数相等，即有写出 Hij（ i,j > r） 如下
H0 = R1
H1+a1H0 = R2
Hr-1+a1Hr-2+… +ar -1 H0 = Rr
Hr+i +a1Hr+i-1+… +a rHi = 0 ( i = 0,1,2… ) ( 3 -67 )
(3-68)
i1i
1r
r21r2r
1r22r2r1r
1rr21
1j1rr1r10
HH
H
HHH
HHHH
HHHH
HHHHHH
我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的,如上所述,它所对应的亨克尔的阵序列的秩是有限的 。 更一般的问题,任意给定一个无穷矩阵列 {Hi},它可以实现的条件是否是由 {Hi}所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢？
根据（ 3-67）式,可知 Hij,的秩是有限数，至少 Hrr之后，
（ 3-68）中的线性无关列不会再增加了。
定理 3-14 无穷矩阵序列 {Hi}是能实现的充分必要条件是存在整数,β,α,n,使得
)693(),2,1j(nr a n k Hr a n k H j1
证明,必要性 。 若 {Hi}可实现,因此有最小实现,
令 （ A,B,C） 是它的最小实现,于是
Hi = CAiB ( i = 0,1,2,… )
因为 （ A,C） 可观测,因此存在正整数 β,使
n
CA
CA
C
r ank?
1?
这里 n 是矩阵 A 的维数 。 又因为 （ A,B） 可控,
所以也存在着整数 α,使
rank [B AB … A α -1 B] = n
而根据定义
BAABB
CA
CA
C
H
1
1
),2,1j(BAABB
CA
CA
CA
C
H
1j
1
j,1
于是有
rank Hβα= rank Hβ+i,α+j = n （ i = 1,2,… ）
从这一证明过程可知，整数 n 即最小阶实现的维数，而且 β、
α分别是最小阶实现的可观测性指数和可控性指数。
充分性 。 通过构造出 {Hi}的一最小阶实现的方法来证明 。 从亨克尔阵的定义可知其第 i行第 j+p列的元素与 i+q行第 j列的元素相同,运用这一性质和 ( 3- 69 ) 式可得
ji,?rank Hβα= rank Hβ+i,α+j = n
设用 Gα表示由 Hβ α的前 n个线性无关行构成的子矩阵。用 表示由 Hβ+1,α中低于 Gα q行的 n行组成的子矩阵，即将 Hβ α的前 n个线性无关行下移 q行，在 Hβ+1,α 中得到的子矩阵。然后由 Hβ+1,α
中确定面下列四个矩阵，这四个矩阵是唯一的。
*G?
H3
H4
H2
H2
H7
H1H0
H1 H2 H3
H3
H3
H4
H4
H4
H5
H5
H5
H6
H6
1
2
3
4
5
6
Gα
*G
F
F*
H1α
F1
Gα的前 p列
F2
A = F*F-1
B = F2
C = F1F-1
F* 根据 F在 Gα所占的列位 。 在 中选出的 n× n阵,亦即 F下移 q行对应的方阵 。
*G?
F 由 Gα 的前 n个线性无关列构成的 n× n阵。
下面证明（ 3-70）式所给的（ A,B,C） 是 {Hi}的实现，并且
（ A,B） 可控，（ A,C） 可观测。
F1 根据 F在 Gα中所占的列位在 H1 α中选出的 q× n阵。
F2 由 Gα的前 p列组成的 n× p阵。
令
A = F*F-1,B = F2 C = F1F-1 ( 3-70 )
定理的充分性证明过程给出了直接从亨克尔阵提取最小阶实现的方法 。
计算法骤和例题 现根据定理 3-14 充分性的证明过程,将严格正则有理函数矩阵最小阶实现的计算步骤归纳如下：
1,将 G(s)展成幂级数的形式
1
1
i
i
i sH
G(s) =
从而得到马尔柯夫参数矩阵。
2,用马尔柯夫参数矩阵排列成亨克尔阵 Hij这里 i,j最多可取为
G(s)各元的最小公分母次数 。 参看 （ 3-67） 与 （ 3-68） 式 。
3,从 Hβ α中由第一行开始选取 n个线性独立的行构成矩阵 G α,
同时在 Hβ+1,α中取出 G α*,
4,在 Gα中选取 n个线性无关的列构成矩阵 F,相应地在 G中选出 n个列构成 F*。
5,按照定义从 H1 α中选出矩阵 F1。
6,从 G α中取出前 p列组成矩阵 F2。
7,取 A = F*F-1,B = F2,C = F1F-1，（ A,B,C） 就是 G(s)
的一个最小阶实现。
从亨克尔阵定义可知第 i行第 j+p列元素与 i+q行第 j列的元素相同。
H3
H4
H2
H2
H7
H1H0
H1 H2 H3
H3
H3
H4
H4
H4
H5
H5
H5
H6
H6
H3
H4
H2
H2
H1H0
H1 H2 H3
H3
H3
H4
H4 H5
H5 H6
H7
H4
H5
H6
“下移 q 行”可用“右移 p
列” 代替若 F1,F,F*和 F2如定理 3— 14所定义，我们可以得到以下的推论。 {Hi}的任一最小阶实现可表示为
1
1
11
1
1
22
1111
FFTFFCT
,FTFTB
,FFTFTFT A T
其中 T是某一个非奇异矩阵。
22 TFF
TFF
TFF
)FFF( 12?{Hi}的最小阶实现特别地，当 IFFT 1
)FTFTF( 12*即
)FF,F,FF( 1121
定理的推论由推论所得到的算法
)FTFTF( 12*
1，一些行变换将不属于 Gα的行均变成零行；
2，定义为 T的行变换将 F阵变为单位阵，而 T的行变换将 F*
变为 A阵。
F* 根据 F在 Gα所占的列位 。 在 中选出的 n× n阵,F下移
q行对应的方阵,亦即 F各列右移 p列所得之矩阵 。 现在 F阵已经由 T变成单位阵,所以由单位阵各列右移 p列就是 A=TF*阵
*G?
F2 由 Gα的前 p列组成的 n× p阵。现在应是的 TGα前 p列，即 T F2
F1 根据 F在 Gα中所占的列位在 H1 α中选出的 q× n阵。
将它展成
G(s) = G(∞) +H0s-1 +H1s-2 +… ( 3- 62 )
其中 Hi(i=0,1,2… )是 q× p的常量矩阵,通常将 Hi称为 G(s)的马尔科夫参数矩阵 。
是 G(s)的一个实现,则根据定义有
G(s) = D + C(sI-A)-1B
BuAxx
y = Cx + Du ( 3- 63 )
若线性时不变动态程方程
0K
1k
k
1
s
A)AsI(利用公式,上式可展成由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现引理 1 动态方程 （ 3-63） 是 G(s)的一个实现,必要且只要
D = G(∞),Hi = CAiB ( i = 0,1,2 … ) (3- 65)
本引理可直接由比较 （ 3-62） 和 （ 3-64） 而得到 。 因为 G(∞)直接给出了动态方程实现中的 D阵 。 故仅需要研究严格正则有理函数矩阵 。
由矩阵序列 {Hi}可定义矩阵 Hij如下
G(s) = D +CBs— 1 +CABs-2 +… (3- 64)
根据引理 1，最小实现问题可重述如下：
给定矩阵序列 {Hi},寻找一个三元组（ A,B,C）,使得
Hi = CAiB,且（ A,B,C） 是可控且可观测的。
1jii1i
32
j21
1j10
ij
HHH
HH
HHH
HHH
H
Hij称为由序列 {Hi}生成的亨克尔阵序列 。 下面讨论由 G(s)的马尔柯夫参数矩阵序列 {Hi}所生成的亨克尔矩阵的特点 。
若记 G(s)各元素的首一最小公分母为
r1r2r21r1r asasasas
将 G(s)展开成
r
1r
1
r
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2r
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1r
1
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RsRsR)s(G
( 3 - 66 )
因为已假定 G(s)是严格正则的，故（ 3-66）式分子的最高幂次至多为 r-1。 合并（ 3-62）和（ 3-66），可得
R1sr-1+R2sr-2+…R r = (sr+a1sr-1+…+a r)(H0s-1+H1s-2+…)
令 s 的同次幂系数相等，即有写出 Hij（ i,j > r） 如下
H0 = R1
H1+a1H0 = R2
Hr-1+a1Hr-2+… +ar -1 H0 = Rr
Hr+i +a1Hr+i-1+… +a rHi = 0 ( i = 0,1,2… ) ( 3 -67 )
(3-68)
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H
HHH
HHHH
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我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的,如上所述,它所对应的亨克尔的阵序列的秩是有限的 。 更一般的问题,任意给定一个无穷矩阵列 {Hi},它可以实现的条件是否是由 {Hi}所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢？
根据（ 3-67）式,可知 Hij,的秩是有限数，至少 Hrr之后，
（ 3-68）中的线性无关列不会再增加了。
定理 3-14 无穷矩阵序列 {Hi}是能实现的充分必要条件是存在整数,β,α,n,使得
)693(),2,1j(nr a n k Hr a n k H j1
证明,必要性 。 若 {Hi}可实现,因此有最小实现,
令 （ A,B,C） 是它的最小实现,于是
Hi = CAiB ( i = 0,1,2,… )
因为 （ A,C） 可观测,因此存在正整数 β,使
n
CA
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C
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1?
这里 n 是矩阵 A 的维数 。 又因为 （ A,B） 可控,
所以也存在着整数 α,使
rank [B AB … A α -1 B] = n
而根据定义
BAABB
CA
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C
H
1
1
),2,1j(BAABB
CA
CA
CA
C
H
1j
1
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于是有
rank Hβα= rank Hβ+i,α+j = n （ i = 1,2,… ）
从这一证明过程可知，整数 n 即最小阶实现的维数，而且 β、
α分别是最小阶实现的可观测性指数和可控性指数。
充分性 。 通过构造出 {Hi}的一最小阶实现的方法来证明 。 从亨克尔阵的定义可知其第 i行第 j+p列的元素与 i+q行第 j列的元素相同,运用这一性质和 ( 3- 69 ) 式可得
ji,?rank Hβα= rank Hβ+i,α+j = n
设用 Gα表示由 Hβ α的前 n个线性无关行构成的子矩阵。用 表示由 Hβ+1,α中低于 Gα q行的 n行组成的子矩阵，即将 Hβ α的前 n个线性无关行下移 q行，在 Hβ+1,α 中得到的子矩阵。然后由 Hβ+1,α
中确定面下列四个矩阵，这四个矩阵是唯一的。
*G?
H3
H4
H2
H2
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H1 H2 H3
H3
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H4
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H5
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Gα的前 p列
F2
A = F*F-1
B = F2
C = F1F-1
F* 根据 F在 Gα所占的列位 。 在 中选出的 n× n阵,亦即 F下移 q行对应的方阵 。
*G?
F 由 Gα 的前 n个线性无关列构成的 n× n阵。
下面证明（ 3-70）式所给的（ A,B,C） 是 {Hi}的实现，并且
（ A,B） 可控，（ A,C） 可观测。
F1 根据 F在 Gα中所占的列位在 H1 α中选出的 q× n阵。
F2 由 Gα的前 p列组成的 n× p阵。
令
A = F*F-1,B = F2 C = F1F-1 ( 3-70 )
定理的充分性证明过程给出了直接从亨克尔阵提取最小阶实现的方法 。
计算法骤和例题 现根据定理 3-14 充分性的证明过程,将严格正则有理函数矩阵最小阶实现的计算步骤归纳如下：
1,将 G(s)展成幂级数的形式
1
1
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G(s) =
从而得到马尔柯夫参数矩阵。
2,用马尔柯夫参数矩阵排列成亨克尔阵 Hij这里 i,j最多可取为
G(s)各元的最小公分母次数 。 参看 （ 3-67） 与 （ 3-68） 式 。
3,从 Hβ α中由第一行开始选取 n个线性独立的行构成矩阵 G α,
同时在 Hβ+1,α中取出 G α*,
4,在 Gα中选取 n个线性无关的列构成矩阵 F,相应地在 G中选出 n个列构成 F*。
5,按照定义从 H1 α中选出矩阵 F1。
6,从 G α中取出前 p列组成矩阵 F2。
7,取 A = F*F-1,B = F2,C = F1F-1，（ A,B,C） 就是 G(s)
的一个最小阶实现。
从亨克尔阵定义可知第 i行第 j+p列元素与 i+q行第 j列的元素相同。
H3
H4
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H4
H5
H5
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“下移 q 行”可用“右移 p
列” 代替若 F1,F,F*和 F2如定理 3— 14所定义，我们可以得到以下的推论。 {Hi}的任一最小阶实现可表示为
1
1
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1111
FFTFFCT
,FTFTB
,FFTFTFT A T
其中 T是某一个非奇异矩阵。
22 TFF
TFF
TFF
)FFF( 12?{Hi}的最小阶实现特别地，当 IFFT 1
)FTFTF( 12*即
)FF,F,FF( 1121
定理的推论由推论所得到的算法
)FTFTF( 12*
1，一些行变换将不属于 Gα的行均变成零行；
2，定义为 T的行变换将 F阵变为单位阵，而 T的行变换将 F*
变为 A阵。
F* 根据 F在 Gα所占的列位 。 在 中选出的 n× n阵,F下移
q行对应的方阵,亦即 F各列右移 p列所得之矩阵 。 现在 F阵已经由 T变成单位阵,所以由单位阵各列右移 p列就是 A=TF*阵
*G?
F2 由 Gα的前 p列组成的 n× p阵。现在应是的 TGα前 p列，即 T F2
F1 根据 F在 Gα中所占的列位在 H1 α中选出的 q× n阵。
