由被控对象、观测器和状态反馈构成闭环系统若原系统 (对象 )方程为
Cxy,BuAxx
(5-48)
现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统的状态变量 x 形成状态反馈，即 x
x?Kvu
而观测器的方程为
GyBux?)GCA(x
(5-49)
由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方块图,如图 5-5所示。
图 5-5
观测器
K
x?
uv y
Cxy
BuAxx
合并上面的式子，可分别得到
BuG Cxx?)BKGCA(x?
Cxy,Bvx?BKAxx
(S-1)
(S-2)
图 5-5所示的闭环系统，由于对象的方程为 n 维，而观测器也是 n 维，所以闭环是一个 2n 维的系统，为了写出它的动态方程，取状态向量为,根据
(S-1)式和 (S-2)式可得到闭环的动态方程式为
TTT ]x?x[
x?
x
0Cy
v
B
B
x?
x
BKGCAGC
BKA
x?
x
(5-50)
将 (5-50) 式的动态方程进行如下的坐标变换
x?
x
II
0I
x~
x
II
0IP
II
0IP 1
变换后，所得到的动态方程为
x
~
x
0Cy
v
0
B
x
~
x
GCA0
BKBKA
x
~
x
(5-51)
可控性分解闭环系统的传递函数可以通过 (5-51)式来计算。注意到 (5-51)式是可控性分解的形式，不可控部分 A-GC
在传递函数中计算过程中将被消去，闭环系统的传递函数由可控部分决定，所以可得
B)]BKA(sI[C)s(G 1f
上述关系表明图 5-5所示系统的传递函数和用准确的 x 作反馈时的传递函数完全一致，这说明用 代替
x作反馈未影响系统的输入输出关系。
x?
)]GCA(sId e t [)]BKA(sId e t [
GCA0
BKBKA
sId e t
nn
n2
上式表明,图 5-5所示闭环系统的特征式等于矩阵
A+BK 与矩阵 A-GC 的特征式的乘积，而 A+BK 是状态反馈系统的系统矩阵,A-GC是观测器的系统矩阵，
这表明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。
从 (5-51)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵 K,然后按观测器的动态要求选择 G,G的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理通常称为 分离定理 。
同样，可以证明，用降维观测器来实现状态反馈时分离特性仍成立。
通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器，这一控制器的输入是对象 (A B C )的输入信号和输出信号，
控制器的输出是状态估计值的线性函数，它作为反馈信号构成闭环控制，如图所示。
x?
观测器
K
x?
uv y
Cxy
BuAxx
k
控制器这种结构称为 输入、输出反馈结构,是动态补偿器的一种形式。
由对象的输入经过观测器形成一个反馈信号，
另一反馈信号由对象的输出经过观测器所形成,
直接用状态量作反馈时的开环传递函数阵,
引入观测器用状态估计值作反馈时的开环传递函数阵,
L0(s)=K(sI-A)-1B
B C
A
K
x?
观测器
K
x?
u
cxy
BuAxx
Lc(s)=K(sI-A+HC)-1[I+HC (sI-A)-1] B
LTR (loop transfer recovery)方法LTR
希望 ‖ L0(s) - Lc(s) ‖ 最小。
S=j
K
Bvx)BKA(x
vKxu
Cxy
BuAxx
控制律系统方程闭环系统方程状态反馈
K,p× n
状态反馈,静态输出反馈,动态输出反馈
B C
A
x?
K
B C
A
x?
Bvx)B K CA(x
vKyu
Cxy
BuAxx
控制律系统方程闭环系统方程静态输出反馈
K,p× q
C是可逆方阵，成为状态反馈的情况。
Cxy
BuAxx
系统方程动态输出反馈
m阶动态输出反馈
W,p控制律 vwu
1xC
1 B1
A1
D1
w
u
B C
A
x?v
A1 m × m补偿器
yDxCw
yBxAx
111
1111
闭环系统方程动态输出反馈的设计问题可以化为一个静态输出反馈问题来讨论。为此，构造下列 n+m维系统
1
111
11
1
x
x
0Cy
v
0
B
x
x
ACB
BCCBDA
x
x
n
m
(S-1)
x
I0
0C
y
u
I0
0B
x
I0
0A
x
m
mm
(S-2)
系统方程
(S-3)控制律
yHvu
,hD,hC,hB,hA 111121211221
v
I0
0B
x
hCh
BhCBhA
v
I0
0B
x
hCh
BhCBh
00
0A
v
I0
0B
x
I0
0C
hh
hh
I0
0B
00
0A
x
m2221
1211
m2221
1211
mm2221
1211
mm
比较 (S-1)和 (S-4)式,可知 (S-1)系统动态输出反馈设计问题相当于 (S-2)的静态输出反馈设计问题。且
(S-4)
静态输出反馈在 C=I 时就是状态反馈。动态输出反馈的设计问题可以化为一个扩维的静态输出反馈问题。因此静态输出反馈问题的研究在理论上有重要的意义。
在一些书上，输出反馈是指下列形式的结构
B C
A
x?
K
Bux)KCA(x
Kyv
实际上也不能实现。 (除非改变原系统的结构设计。 )
评论：
在理论上没有新意，它是状态反馈的对偶情况。
设计观测器时遇到这种形式。
P.204动态补偿器动态补偿器 (dynamic compensator)的设计问题介绍
1,位置与形式主要分输入,输出反馈结构 (图 5-6所示 ),单回路结构 (串联,并联 )以及前馈形式,当然可以几种手段并用于一个系统中 。
2,目的：改善系统稳定性及品质例如极点配置,特征结构配置,解耦,消除交链影响,干扰抑制,跟踪,模型匹配 (model matching ),
最优设计,鲁棒性 (robustness)等
3,方法复数域方法：主要是解多项式矩阵方程频率域方法 (现代频率域方法 )：
INA方法,
有理函数矩阵的特征值分解,极分解,奇异值分解等多种频域曲线 。
一般多用输入输出描述几何方法 。
状态空间方法。如 H2 /H∞
4,特色多变量系统的 多目标、多用途 的控制器,
往往采用某种优化算法，与多目标优化联系起来。
阶次问题：补偿器设计中的低价或 最小阶次设计一直是一个活跃的领域,难度较大 。 一般做不下去就转向找一个充分性的阶次 (指比最小阶高但能保证完成规定设计任务 。 ) 。
稳定且具有最小相位 的补偿器也是另一难点。
有关习题 5-7
提示：
不是 A的特征值,?I-A非奇异,故 rankB?(?I-A)=n-p,
说明 C的行可写为 B?(?I-A) 的行之线性组合
C=Q B?(?I-A)
C=Q B?(?I-A)= C=Q B?(?I-A-BKC)
所以 C可为 B?(?I-A-BKC)的行线性表出 。
说明,C=Q B?(?I-A),C(?I-A)-1=Q B?,
C(?I-A)-1 B=QB?B =0,即 G(?)=0
不是 A的特征值,因此? 不是 G(s)的极点,由假设条件有 G(?)=0,说明?是 G(s)的一个零点 。
多变量系统,
G(?)=0,? 称为传函阵 G(s) 的阻塞零点。
它是定义 1-6中的零点的子集。
此题结果解释,(单变量情况,)任何输出反馈 K,均不能将闭环极点置于开环零点的地方 。
以上提示不是证明，证明要另外进行。
Cxy,BuAxx
(5-48)
现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统的状态变量 x 形成状态反馈，即 x
x?Kvu
而观测器的方程为
GyBux?)GCA(x
(5-49)
由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方块图,如图 5-5所示。
图 5-5
观测器
K
x?
uv y
Cxy
BuAxx
合并上面的式子，可分别得到
BuG Cxx?)BKGCA(x?
Cxy,Bvx?BKAxx
(S-1)
(S-2)
图 5-5所示的闭环系统，由于对象的方程为 n 维，而观测器也是 n 维，所以闭环是一个 2n 维的系统，为了写出它的动态方程，取状态向量为,根据
(S-1)式和 (S-2)式可得到闭环的动态方程式为
TTT ]x?x[
x?
x
0Cy
v
B
B
x?
x
BKGCAGC
BKA
x?
x
(5-50)
将 (5-50) 式的动态方程进行如下的坐标变换
x?
x
II
0I
x~
x
II
0IP
II
0IP 1
变换后，所得到的动态方程为
x
~
x
0Cy
v
0
B
x
~
x
GCA0
BKBKA
x
~
x
(5-51)
可控性分解闭环系统的传递函数可以通过 (5-51)式来计算。注意到 (5-51)式是可控性分解的形式，不可控部分 A-GC
在传递函数中计算过程中将被消去，闭环系统的传递函数由可控部分决定，所以可得
B)]BKA(sI[C)s(G 1f
上述关系表明图 5-5所示系统的传递函数和用准确的 x 作反馈时的传递函数完全一致，这说明用 代替
x作反馈未影响系统的输入输出关系。
x?
)]GCA(sId e t [)]BKA(sId e t [
GCA0
BKBKA
sId e t
nn
n2
上式表明,图 5-5所示闭环系统的特征式等于矩阵
A+BK 与矩阵 A-GC 的特征式的乘积，而 A+BK 是状态反馈系统的系统矩阵,A-GC是观测器的系统矩阵，
这表明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。
从 (5-51)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵 K,然后按观测器的动态要求选择 G,G的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理通常称为 分离定理 。
同样，可以证明，用降维观测器来实现状态反馈时分离特性仍成立。
通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器，这一控制器的输入是对象 (A B C )的输入信号和输出信号，
控制器的输出是状态估计值的线性函数，它作为反馈信号构成闭环控制，如图所示。
x?
观测器
K
x?
uv y
Cxy
BuAxx
k
控制器这种结构称为 输入、输出反馈结构,是动态补偿器的一种形式。
由对象的输入经过观测器形成一个反馈信号，
另一反馈信号由对象的输出经过观测器所形成,
直接用状态量作反馈时的开环传递函数阵,
引入观测器用状态估计值作反馈时的开环传递函数阵,
L0(s)=K(sI-A)-1B
B C
A
K
x?
观测器
K
x?
u
cxy
BuAxx
Lc(s)=K(sI-A+HC)-1[I+HC (sI-A)-1] B
LTR (loop transfer recovery)方法LTR
希望 ‖ L0(s) - Lc(s) ‖ 最小。
S=j
K
Bvx)BKA(x
vKxu
Cxy
BuAxx
控制律系统方程闭环系统方程状态反馈
K,p× n
状态反馈,静态输出反馈,动态输出反馈
B C
A
x?
K
B C
A
x?
Bvx)B K CA(x
vKyu
Cxy
BuAxx
控制律系统方程闭环系统方程静态输出反馈
K,p× q
C是可逆方阵，成为状态反馈的情况。
Cxy
BuAxx
系统方程动态输出反馈
m阶动态输出反馈
W,p控制律 vwu
1xC
1 B1
A1
D1
w
u
B C
A
x?v
A1 m × m补偿器
yDxCw
yBxAx
111
1111
闭环系统方程动态输出反馈的设计问题可以化为一个静态输出反馈问题来讨论。为此，构造下列 n+m维系统
1
111
11
1
x
x
0Cy
v
0
B
x
x
ACB
BCCBDA
x
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m
(S-1)
x
I0
0C
y
u
I0
0B
x
I0
0A
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m
mm
(S-2)
系统方程
(S-3)控制律
yHvu
,hD,hC,hB,hA 111121211221
v
I0
0B
x
hCh
BhCBhA
v
I0
0B
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00
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0B
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1211
m2221
1211
mm2221
1211
mm
比较 (S-1)和 (S-4)式,可知 (S-1)系统动态输出反馈设计问题相当于 (S-2)的静态输出反馈设计问题。且
(S-4)
静态输出反馈在 C=I 时就是状态反馈。动态输出反馈的设计问题可以化为一个扩维的静态输出反馈问题。因此静态输出反馈问题的研究在理论上有重要的意义。
在一些书上，输出反馈是指下列形式的结构
B C
A
x?
K
Bux)KCA(x
Kyv
实际上也不能实现。 (除非改变原系统的结构设计。 )
评论：
在理论上没有新意，它是状态反馈的对偶情况。
设计观测器时遇到这种形式。
P.204动态补偿器动态补偿器 (dynamic compensator)的设计问题介绍
1,位置与形式主要分输入,输出反馈结构 (图 5-6所示 ),单回路结构 (串联,并联 )以及前馈形式,当然可以几种手段并用于一个系统中 。
2,目的：改善系统稳定性及品质例如极点配置,特征结构配置,解耦,消除交链影响,干扰抑制,跟踪,模型匹配 (model matching ),
最优设计,鲁棒性 (robustness)等
3,方法复数域方法：主要是解多项式矩阵方程频率域方法 (现代频率域方法 )：
INA方法,
有理函数矩阵的特征值分解,极分解,奇异值分解等多种频域曲线 。
一般多用输入输出描述几何方法 。
状态空间方法。如 H2 /H∞
4,特色多变量系统的 多目标、多用途 的控制器,
往往采用某种优化算法，与多目标优化联系起来。
阶次问题：补偿器设计中的低价或 最小阶次设计一直是一个活跃的领域,难度较大 。 一般做不下去就转向找一个充分性的阶次 (指比最小阶高但能保证完成规定设计任务 。 ) 。
稳定且具有最小相位 的补偿器也是另一难点。
有关习题 5-7
提示：
不是 A的特征值,?I-A非奇异,故 rankB?(?I-A)=n-p,
说明 C的行可写为 B?(?I-A) 的行之线性组合
C=Q B?(?I-A)
C=Q B?(?I-A)= C=Q B?(?I-A-BKC)
所以 C可为 B?(?I-A-BKC)的行线性表出 。
说明,C=Q B?(?I-A),C(?I-A)-1=Q B?,
C(?I-A)-1 B=QB?B =0,即 G(?)=0
不是 A的特征值,因此? 不是 G(s)的极点,由假设条件有 G(?)=0,说明?是 G(s)的一个零点 。
多变量系统,
G(?)=0,? 称为传函阵 G(s) 的阻塞零点。
它是定义 1-6中的零点的子集。
此题结果解释,(单变量情况,)任何输出反馈 K,均不能将闭环极点置于开环零点的地方 。
以上提示不是证明，证明要另外进行。
