1,了解问题的困难和正确理解已有结果自由度少、非线性、非单值性 定理 5-8
2,一些处理 (线性 )方法 (工具、概念 )和局限性定理 5-2至 5-4及推论的作用
3,研究输出反馈的意义
(状态反馈、部分状态反馈、动态补偿器 )
4,由此产生的一系列分支与结果
(由于它的挑战性，使得它像一只下蛋的老母鸡 。 )
输出反馈配置极点问题学习要求研究静态输出反馈与状态反馈与状态反馈的区别
K是 p× q的常值矩阵,v为 p维输入向量 。
通常称 （ 5-2） 式为静态输出反馈控制律 。
联合 （ 5-1） 式和 （ 5-2） 式,可以得到闭环系统的动态方程为若给定线性时不变系统方程为
Cxy
BuAxx
（ 5-1）
其中各符号意义同前。
如果我们取 u=Ky+v （ 5-2)
静态输出反馈的性质
§ 5-1 静态输出反馈和极点配置
B C
A
K
x?
闭环系统的示意图如图定理 5-1 反馈规律 （ 5-2） 不改变系统的可观测性 。
证明 根据等式
C
AsI
10
BK1
C
)B C KA(sI (5-4)
x? =（ A+BKC） x+Bv y= Cx （ 5-3）
由于（ 5-4）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此对任意的 s和 K。 均有
C
)B K CA(sIr a n k?
C
AsIr a n k
由此可见，系统（ 5-3）的可观测的充分必要条件是系统（ 5-1）可观测，这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。
如果系统（ 5-1）不可观测，由（ 5-5）可知，
使得（ 5-5）右边矩阵降秩的那些 s值也使（ 5-5）式左边矩阵降秩。这表明静态输出反馈不会改变系统的不可观测振型从几何观点来看,（ 5-2） 式的输出反馈不改变不可观测子空间 。
（ 5-2） 式的反馈律也不改变系统的可控性 。 事实上,可以把 （ 5-3） 中的 KC看作是一种状态反馈的增益阵,显然这种特殊的状态反馈不改变系统的可控性 。
第四章证明了一个可控的系统通过状态反馈可以任意移动它的极点,但是作为一种特殊的状态反馈的输出反馈一般不具有这一性质 。
例 5-1 二维系统动态方程为
u10x00 10x?
xy 01?
取 u=Ky+v,这样可以得到闭环系统的特征多项式为
s2-K,无论 K取何值，闭环系统的极点只能在复平面的实轴或虚轴上移动。这说明输出反馈不能任意改变这个系统的极点。
（ 5-2）式的输出反馈控制律中的 K阵与闭环极点之间的关系是复杂的，可以说仍是线性控制理论至今尚未解决的问题。
1,sI-A的 Smith标准形只有一个非 1的不变因子；
单输入系统 (A b)可控的充分必要条件是,A是循环的且 b是 A的生成元。
3,存在向量 b(称为 A的生成元 ),使线性无关。
bA,bA,,bA,Ab,b 1n2n2
循环矩阵
n× n方阵 A称为循环的是指其最小多项式就是特征多项式 。
等价说法有
2,A的若当形中一个特征值只有一个若当块；
用于极点配置问题中的几个定理推论 5-2 若（ A,B） 可控,A是循环矩阵，则存在向量 b?ImB,使（ A,b） 可控。
这一推论可以通过反复用定理 5—4而得到。它表明在（ A,B,C） 可控可观测的条件下，存在输出反馈增益阵 H,可使闭环系统矩阵 A+BHC是循环的。因此在讨论输出反馈问题时，我们总可认为系统矩阵是循环矩阵。
推论 5-4 设 （ A,B,C） 可控可观测,存在一个
p× q矩阵 H,使 （ A+BHC,B） 可控,（ A+BHC、
C） 可观测,并且 A+BHC是循环矩阵,即它的最小多项式是 n次 。
例 5-3 给定系统为（ A,B,C） 如下
1000
0100
0110
0011
A
10
01
00
00
B
1000
0001C
0001c1000b
1000
1100
0110
0011
B H CA
00
10
H
T
可知 （ A+BHC,B） 可控,（ A+BHC,C） 可观测,
且 A+BHC是循环矩阵,它的最小多项式为 4次 。
首先研究单输入多输出的系统,以说明用静态输出反馈配置极点时所遇到的困难,而这些困难是用全部状态变量作反馈时所未遇到的 。 一个单输入多输出系统动态方程为
u=ky+v (5-12)
联合（ 5-11）和（ 5-12）可得闭环系统的动态方程为
Cxy
buAxx
（ 5-11）
bvx)b K CA(x
（ 5-13）
用静态输出反馈配置极点
△ 0(s)=
△ c(s)=
012n2n1n1nn asasasas
012n2n1n1nn asasasas
设 A和 A+bKC特征方程式分别为△ o(s)和△ c(s)，
若 （ A,b） 可控,可用一等价变换化为可控标准形,
变换矩阵为 P
1n10
1
aaa
1
1
10
P A PA
1
0
0
Pbb
1CPC
这时闭环系统矩阵为
1n101n10
aaa
10
1
10
CK
1
0
0
aaa
10
1
10
)1n,0i(cKaa 1iii
ic
表示的第 i列若给定了所要求的闭环极点,就确定了 。 极点配置问题就要选取 K,使得下式成立 ia
1n1n
TT
n
11
TT
2
00
TT
1
aaKc
aaKc
aaKc
(5-14)
TT KC
或 (5-15)
(5-15）是一个 q个未知量,n个方程的方程组，而?是任意的 n维向量，它由所期望的极点所决定。
方程（ 5-15）对任意的?有解，显然要求是 n× n可逆方阵，这相当于全状态反馈的情况。
C
若所期望的极点给得使那 n-q个等式极点可以成立，即表示这组用输出反馈所达到,否则就不能。
一般来说当 q<n 时，对于任意?,（ 5-15）无解。
对于给定的?,方程（ 5-15）有解的条件是它们相容，亦即当 C的秩为 q时,q个方程的唯一解应满足剩下的 n-q个方程。这时，这 n-q个等式给出了加在上的约束，这意味着中仅有 q个系数可以任意选取。
110,?naaa110
,?naaa
例 5-4
定理 5— 5 设单输入系统（ 5-11）可控,rankC=q,
总存在常值向量 K,使得 q个特征值任意接近于预先给定的 q个值，这个值中如有复数，应是共轭成对出现。
证明 设预先给定个值为,
并设它们彼此不同,根据前面的推导,可得闭环系统的特征方程为
q,,,21
0cKas)cKa(
s)cKa(s)cKa(s
1021
2n
1n2n
1n
n1n
n
),,2,1( qii 代入上式可得将
1i2nin0i11ni1nni ckckckaaa
qii0 h,2,1ihcK)(
即其中则为并记 ii0T1ni2ii1 )(,)1(h
1
q21 S)(
)hhh(CS q21 是非奇异阵，即有若
1
q21 S)(K
i,0Sd e t 可对
ii进行一些小的扰动，即用 代替
0, ii C使得扰动后的 S非奇异，由于 的秩为 q，
这总是可以做到的。式（ 5-17）给出了 K的一个明显表达式，并且 是给定的 的函数，
如果所给的 能使 S非奇异，则可精确地使闭环 q个iiH? q
,,,21
i?
对只能接近?i这一事实，可给一个直观的解释。
当 q=1,使 S是奇异的?i值相当于开环传递函数的零点。
一个单变量系统，对常值的反馈增益 K作的根轨迹图表明，闭环极点（根轨迹）只能趋近于开环零点，而达不到开环零点，而且在接近开环零点时需要很大的
K值。
定理 5-6 若 （ A,B,C） 可控可观测,rankB=p,
rankC=q总可找到常值矩阵 K,使 A+BKC有 Max(p,q)
个特征值任意接近于预先给定的 Max(p,q)个值 （ 复数应共轭成对出现 ） 。
极点就是要求的?i,若所给的?i值使 S奇异，那么只能使极点接近所给的?i 。
例 5-5
无论是 定理 5-5还是 定理 5-6，都未说明剩下的
n-Max(p,q)+1个特征值的去向。
定理 5-7 若 （ A,B,C） 可控可观测,rankB=p,
rankC=q,有 n个不同的特征值,则对几乎所有的
（ B,C） 对,存在一个 p?q的输出反馈增益矩阵 K，
使得闭环系统 A+BKC的特征值有 Max(p,q)-1个是任意指定的 A的特征值 （ 复数成对指定 ）,以及 s =
min(n,p+q-1)-Max(p,q)+1 个是任意接近于任意指定的值 （ 复数成对 ） 。
定理 5-8 若 （ A,B,C） 可控可观测,rankB=p,
rankC=q,则对几乎所有 （ B,C） 对,存在一个输出反馈增益阵 K,使得 A+BKC 有 min(n,p+q-1)个特征值设置得任意接近于 min(n,p+q-1)个任意指定的值 （ 复数成对 ） 。 在 p+q? n+1的情况下,几乎所有的线性时不变系统都可通过输出反馈来使之稳定 。
例 5-6 定理 5—8的条件满足，现用输出反馈
u=Ky来配置极点。特征方程式为
0)()( 32414124 KKKKKK
不论 K取何值，仅能配置 2个极点，而
3)1qp,nm i n (
这说明定理的结论并不是以所有的 （ B,C） 对成立,
而仅仅是对几乎所有的 （ B,C） 对成立 。
例 5-7 系统 A,B,C阵如下
010
001
C
11
01
01
B
000
100
010
A
要找出一个输出反馈增益阵使得闭环极点任意接近指定的三个极点 –1,-2,-5
做法一，直接解非线性方程可以求出闭环的特征多项式为
)KK(K)1K)(KK(s)KKK(s)KK(s 4212314212213
期望的极点多项式
10s17s8s)5s)(2s)(1s( 23
10KKKKKK
17KKK8KK
413231
42121
43
21
KK
KK
K
设比较系数，得可解出
21
3
3
2
34
K8K
10K
K70
K
10K9K
K有一个元素可任意选取。并且可以精确地达到上述指定的配置。
做法二，用定理 5-8情况 2 所采用的方法构造 K阵闭环系统阵 A+BKC的特征值精确地取 -1,-2,-5。
将两种做法相比，说明采取定理 5-8的作法使 K的自由参数受到损失，引起的原因是在计算中两次使用了秩等于 1的反馈阵。
910
44
1616
44
76
00KKK
21
任意配置不行，指定了在某一指定区域怎样区域配置问题，鲁棒配置问题，特征值 —特征向量
(特征结构 ) 配置,最优极点配置,主导极点配置定理 5-8是巳知较为满意的结果，显然不理想。
其余极点到何处不知，但是在 n? p+q-1 时提供了关于,几乎所有的线性时不变系统都可通过输出反馈来使之稳定” 的结论。
定理 5-2至定理 5-4的作用，不仅在证明中，而且在算法上都很有意义，例如线性算法。
相容条件不满足，可以求各种意义下的解 P.175
P.175 小结
Ky C = Kx
相容性条件：
Kx Cg1 C= Kx
( 5-25)
C Cg1 C=C
(5-24)式是否有解依赖于 Kx的选择,在极点给定后,Kx有自由参数 。 但如何取一个符合要求的 Kx,尚不清楚。
r a n kC
C
K
r a n k
r a n kCKCr a n k
kkCKKC
x
T
T
x
T
T
xi
T
yi
TT
x
T
y
T
相容性条件：
p.175 (5-24)
原系统特征值为 1,2,3，现要求配置为 -3,-3,-4。
Ky=
01
13Kx =
007
9721
Kx =
000
64154126
4
1
2CKr a n k x
例
x
970
007
yu
31
00
10
x
320
100
153
x?
Ky无解满足 (5-25)
不满足 (5-25)
但如何取一个符合 要求 的 Kx,尚不清楚。
状态反馈与输出反馈比较
(在极点配置方面 )
状态反馈,K是 p× n的矩阵，
闭环特征方程 det [sI-(A+BK)]与期望多项式比较得到的是非线性方程 (p>1),线性方程 (p=1)
比较对 p>1通过定理 4-4化为 p=1情况，这时方程仍有解，
如果只是极点配置就没必要去讨论非线性方程了。
多变量系统 K的非唯一性为极点要求之外的品质要求提供了余地，但那是非线性方程问题。
K的自由参数的利用与开发仍是一个热点。
输出反馈,K是 p× q的矩阵，
闭环特征方程 det [sI-(A+BKC)]与期望多项式比较得到一般是非线性方程，
直接讨论非线性方程难度极大。
也可以通过推论 5-2及推论 5-4化为单入多出问题，
从而讨论线性方程组，这种每次取秩为 1的反馈阵逐步 (一直到满秩 )讨论的方法，优点是讨论线性方程，
缺点是损失自由参数。
得到的结论如定理 5-8，结果不理想。
至今仍是具挑战性的问题。
2,一些处理 (线性 )方法 (工具、概念 )和局限性定理 5-2至 5-4及推论的作用
3,研究输出反馈的意义
(状态反馈、部分状态反馈、动态补偿器 )
4,由此产生的一系列分支与结果
(由于它的挑战性，使得它像一只下蛋的老母鸡 。 )
输出反馈配置极点问题学习要求研究静态输出反馈与状态反馈与状态反馈的区别
K是 p× q的常值矩阵,v为 p维输入向量 。
通常称 （ 5-2） 式为静态输出反馈控制律 。
联合 （ 5-1） 式和 （ 5-2） 式,可以得到闭环系统的动态方程为若给定线性时不变系统方程为
Cxy
BuAxx
（ 5-1）
其中各符号意义同前。
如果我们取 u=Ky+v （ 5-2)
静态输出反馈的性质
§ 5-1 静态输出反馈和极点配置
B C
A
K
x?
闭环系统的示意图如图定理 5-1 反馈规律 （ 5-2） 不改变系统的可观测性 。
证明 根据等式
C
AsI
10
BK1
C
)B C KA(sI (5-4)
x? =（ A+BKC） x+Bv y= Cx （ 5-3）
由于（ 5-4）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此对任意的 s和 K。 均有
C
)B K CA(sIr a n k?
C
AsIr a n k
由此可见，系统（ 5-3）的可观测的充分必要条件是系统（ 5-1）可观测，这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。
如果系统（ 5-1）不可观测，由（ 5-5）可知，
使得（ 5-5）右边矩阵降秩的那些 s值也使（ 5-5）式左边矩阵降秩。这表明静态输出反馈不会改变系统的不可观测振型从几何观点来看,（ 5-2） 式的输出反馈不改变不可观测子空间 。
（ 5-2） 式的反馈律也不改变系统的可控性 。 事实上,可以把 （ 5-3） 中的 KC看作是一种状态反馈的增益阵,显然这种特殊的状态反馈不改变系统的可控性 。
第四章证明了一个可控的系统通过状态反馈可以任意移动它的极点,但是作为一种特殊的状态反馈的输出反馈一般不具有这一性质 。
例 5-1 二维系统动态方程为
u10x00 10x?
xy 01?
取 u=Ky+v,这样可以得到闭环系统的特征多项式为
s2-K,无论 K取何值，闭环系统的极点只能在复平面的实轴或虚轴上移动。这说明输出反馈不能任意改变这个系统的极点。
（ 5-2）式的输出反馈控制律中的 K阵与闭环极点之间的关系是复杂的，可以说仍是线性控制理论至今尚未解决的问题。
1,sI-A的 Smith标准形只有一个非 1的不变因子；
单输入系统 (A b)可控的充分必要条件是,A是循环的且 b是 A的生成元。
3,存在向量 b(称为 A的生成元 ),使线性无关。
bA,bA,,bA,Ab,b 1n2n2
循环矩阵
n× n方阵 A称为循环的是指其最小多项式就是特征多项式 。
等价说法有
2,A的若当形中一个特征值只有一个若当块；
用于极点配置问题中的几个定理推论 5-2 若（ A,B） 可控,A是循环矩阵，则存在向量 b?ImB,使（ A,b） 可控。
这一推论可以通过反复用定理 5—4而得到。它表明在（ A,B,C） 可控可观测的条件下，存在输出反馈增益阵 H,可使闭环系统矩阵 A+BHC是循环的。因此在讨论输出反馈问题时，我们总可认为系统矩阵是循环矩阵。
推论 5-4 设 （ A,B,C） 可控可观测,存在一个
p× q矩阵 H,使 （ A+BHC,B） 可控,（ A+BHC、
C） 可观测,并且 A+BHC是循环矩阵,即它的最小多项式是 n次 。
例 5-3 给定系统为（ A,B,C） 如下
1000
0100
0110
0011
A
10
01
00
00
B
1000
0001C
0001c1000b
1000
1100
0110
0011
B H CA
00
10
H
T
可知 （ A+BHC,B） 可控,（ A+BHC,C） 可观测,
且 A+BHC是循环矩阵,它的最小多项式为 4次 。
首先研究单输入多输出的系统,以说明用静态输出反馈配置极点时所遇到的困难,而这些困难是用全部状态变量作反馈时所未遇到的 。 一个单输入多输出系统动态方程为
u=ky+v (5-12)
联合（ 5-11）和（ 5-12）可得闭环系统的动态方程为
Cxy
buAxx
（ 5-11）
bvx)b K CA(x
（ 5-13）
用静态输出反馈配置极点
△ 0(s)=
△ c(s)=
012n2n1n1nn asasasas
012n2n1n1nn asasasas
设 A和 A+bKC特征方程式分别为△ o(s)和△ c(s)，
若 （ A,b） 可控,可用一等价变换化为可控标准形,
变换矩阵为 P
1n10
1
aaa
1
1
10
P A PA
1
0
0
Pbb
1CPC
这时闭环系统矩阵为
1n101n10
aaa
10
1
10
CK
1
0
0
aaa
10
1
10
)1n,0i(cKaa 1iii
ic
表示的第 i列若给定了所要求的闭环极点,就确定了 。 极点配置问题就要选取 K,使得下式成立 ia
1n1n
TT
n
11
TT
2
00
TT
1
aaKc
aaKc
aaKc
(5-14)
TT KC
或 (5-15)
(5-15）是一个 q个未知量,n个方程的方程组，而?是任意的 n维向量，它由所期望的极点所决定。
方程（ 5-15）对任意的?有解，显然要求是 n× n可逆方阵，这相当于全状态反馈的情况。
C
若所期望的极点给得使那 n-q个等式极点可以成立，即表示这组用输出反馈所达到,否则就不能。
一般来说当 q<n 时，对于任意?,（ 5-15）无解。
对于给定的?,方程（ 5-15）有解的条件是它们相容，亦即当 C的秩为 q时,q个方程的唯一解应满足剩下的 n-q个方程。这时，这 n-q个等式给出了加在上的约束，这意味着中仅有 q个系数可以任意选取。
110,?naaa110
,?naaa
例 5-4
定理 5— 5 设单输入系统（ 5-11）可控,rankC=q,
总存在常值向量 K,使得 q个特征值任意接近于预先给定的 q个值，这个值中如有复数，应是共轭成对出现。
证明 设预先给定个值为,
并设它们彼此不同,根据前面的推导,可得闭环系统的特征方程为
q,,,21
0cKas)cKa(
s)cKa(s)cKa(s
1021
2n
1n2n
1n
n1n
n
),,2,1( qii 代入上式可得将
1i2nin0i11ni1nni ckckckaaa
qii0 h,2,1ihcK)(
即其中则为并记 ii0T1ni2ii1 )(,)1(h
1
q21 S)(
)hhh(CS q21 是非奇异阵，即有若
1
q21 S)(K
i,0Sd e t 可对
ii进行一些小的扰动，即用 代替
0, ii C使得扰动后的 S非奇异，由于 的秩为 q，
这总是可以做到的。式（ 5-17）给出了 K的一个明显表达式，并且 是给定的 的函数，
如果所给的 能使 S非奇异，则可精确地使闭环 q个iiH? q
,,,21
i?
对只能接近?i这一事实，可给一个直观的解释。
当 q=1,使 S是奇异的?i值相当于开环传递函数的零点。
一个单变量系统，对常值的反馈增益 K作的根轨迹图表明，闭环极点（根轨迹）只能趋近于开环零点，而达不到开环零点，而且在接近开环零点时需要很大的
K值。
定理 5-6 若 （ A,B,C） 可控可观测,rankB=p,
rankC=q总可找到常值矩阵 K,使 A+BKC有 Max(p,q)
个特征值任意接近于预先给定的 Max(p,q)个值 （ 复数应共轭成对出现 ） 。
极点就是要求的?i,若所给的?i值使 S奇异，那么只能使极点接近所给的?i 。
例 5-5
无论是 定理 5-5还是 定理 5-6，都未说明剩下的
n-Max(p,q)+1个特征值的去向。
定理 5-7 若 （ A,B,C） 可控可观测,rankB=p,
rankC=q,有 n个不同的特征值,则对几乎所有的
（ B,C） 对,存在一个 p?q的输出反馈增益矩阵 K，
使得闭环系统 A+BKC的特征值有 Max(p,q)-1个是任意指定的 A的特征值 （ 复数成对指定 ）,以及 s =
min(n,p+q-1)-Max(p,q)+1 个是任意接近于任意指定的值 （ 复数成对 ） 。
定理 5-8 若 （ A,B,C） 可控可观测,rankB=p,
rankC=q,则对几乎所有 （ B,C） 对,存在一个输出反馈增益阵 K,使得 A+BKC 有 min(n,p+q-1)个特征值设置得任意接近于 min(n,p+q-1)个任意指定的值 （ 复数成对 ） 。 在 p+q? n+1的情况下,几乎所有的线性时不变系统都可通过输出反馈来使之稳定 。
例 5-6 定理 5—8的条件满足，现用输出反馈
u=Ky来配置极点。特征方程式为
0)()( 32414124 KKKKKK
不论 K取何值，仅能配置 2个极点，而
3)1qp,nm i n (
这说明定理的结论并不是以所有的 （ B,C） 对成立,
而仅仅是对几乎所有的 （ B,C） 对成立 。
例 5-7 系统 A,B,C阵如下
010
001
C
11
01
01
B
000
100
010
A
要找出一个输出反馈增益阵使得闭环极点任意接近指定的三个极点 –1,-2,-5
做法一，直接解非线性方程可以求出闭环的特征多项式为
)KK(K)1K)(KK(s)KKK(s)KK(s 4212314212213
期望的极点多项式
10s17s8s)5s)(2s)(1s( 23
10KKKKKK
17KKK8KK
413231
42121
43
21
KK
KK
K
设比较系数，得可解出
21
3
3
2
34
K8K
10K
K70
K
10K9K
K有一个元素可任意选取。并且可以精确地达到上述指定的配置。
做法二，用定理 5-8情况 2 所采用的方法构造 K阵闭环系统阵 A+BKC的特征值精确地取 -1,-2,-5。
将两种做法相比，说明采取定理 5-8的作法使 K的自由参数受到损失，引起的原因是在计算中两次使用了秩等于 1的反馈阵。
910
44
1616
44
76
00KKK
21
任意配置不行，指定了在某一指定区域怎样区域配置问题，鲁棒配置问题，特征值 —特征向量
(特征结构 ) 配置,最优极点配置,主导极点配置定理 5-8是巳知较为满意的结果，显然不理想。
其余极点到何处不知，但是在 n? p+q-1 时提供了关于,几乎所有的线性时不变系统都可通过输出反馈来使之稳定” 的结论。
定理 5-2至定理 5-4的作用，不仅在证明中，而且在算法上都很有意义，例如线性算法。
相容条件不满足，可以求各种意义下的解 P.175
P.175 小结
Ky C = Kx
相容性条件：
Kx Cg1 C= Kx
( 5-25)
C Cg1 C=C
(5-24)式是否有解依赖于 Kx的选择,在极点给定后,Kx有自由参数 。 但如何取一个符合要求的 Kx,尚不清楚。
r a n kC
C
K
r a n k
r a n kCKCr a n k
kkCKKC
x
T
T
x
T
T
xi
T
yi
TT
x
T
y
T
相容性条件：
p.175 (5-24)
原系统特征值为 1,2,3，现要求配置为 -3,-3,-4。
Ky=
01
13Kx =
007
9721
Kx =
000
64154126
4
1
2CKr a n k x
例
x
970
007
yu
31
00
10
x
320
100
153
x?
Ky无解满足 (5-25)
不满足 (5-25)
但如何取一个符合 要求 的 Kx,尚不清楚。
状态反馈与输出反馈比较
(在极点配置方面 )
状态反馈,K是 p× n的矩阵，
闭环特征方程 det [sI-(A+BK)]与期望多项式比较得到的是非线性方程 (p>1),线性方程 (p=1)
比较对 p>1通过定理 4-4化为 p=1情况，这时方程仍有解，
如果只是极点配置就没必要去讨论非线性方程了。
多变量系统 K的非唯一性为极点要求之外的品质要求提供了余地，但那是非线性方程问题。
K的自由参数的利用与开发仍是一个热点。
输出反馈,K是 p× q的矩阵，
闭环特征方程 det [sI-(A+BKC)]与期望多项式比较得到一般是非线性方程，
直接讨论非线性方程难度极大。
也可以通过推论 5-2及推论 5-4化为单入多出问题，
从而讨论线性方程组，这种每次取秩为 1的反馈阵逐步 (一直到满秩 )讨论的方法，优点是讨论线性方程，
缺点是损失自由参数。
得到的结论如定理 5-8，结果不理想。
至今仍是具挑战性的问题。
