为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。
因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型 (或系统、
或软件 )来对状态变量进行估计。
状态观测器又称状态渐近估计器。
状态观测器如果系统可观测,从输入 u和输出 y间接地把状态变量 x重构出来是可能的 。
这种必要性与可能性正是观测器理论的出发点。
一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见图 5-2所示。
x?B
A
x
图 5-2
模型
B C
A
u x y 原系统问题,1) 模型系统的 A b 难以与真实系统一致；
2) 两系统的初值难以设置得相同。
所以这种方案难以保证
u,x?,x0)x?x(lim 00t
由于图 5-2中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，
所以用图 5-2得到的估计值是一个开环估值。
x?cy x?
一般系统的输入量 u和输出量 y均为已知，因此希望利用
y=cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形成了图 5-3的闭环估计方案。
C
H
估计器
B C
A
B
A
u x y
x?x
图 5-3
开环方案闭环方案在图 5-3中虚线框出的部分称为状态观测器或状态估计器，它是一个动态系统，以原系统的输入量和输出量作为它的输入量，而估计器的输出量是原系统的状态变量的估计值,应当满足x?
)0(x?),0(x,u0)x?x(l i mt
根据图 5-3所表示的关系可写出观测器部分的状态方程
HyBux?)HCA()x?Cy(HBux?Ax
y
u)HB(x?)HCA(x B1= (B H)
u1=
y
u
A1
Y1=I x?
在一类工程实际问题中，产生状态估计值的目的是用以构成反馈控制规律 K,在这种情况下，完全可以直接讨论如何产生状态的线性组合 Kx 的估计值，
而没有必要去产生状态的估计值，因此下面我们更一般地引入 Kx 观测器的概念。
定义 5-1 设线性时不变系统?,(A,B,C） 的状态是不能直接量测的,另一状态变量为 Z动态系统?0称为系统?的 Kx观测器,如果?0以?的输入 u和输出 y为其输入,且对给定的常数矩阵 K,?0的输出 w满足
uzx0)wKx(l i m 00t,、
(5-26)
观测器理论要研究的问题存在性 极点配置 结构条件 维数 代数等价等问题书中介绍了十个定理,定理 5-9至定理 5-18
分状态观测器和 Kx观测器若在上述定义中，如果 K=I,则?0称为状态观测器或状态估计器。
定理 5-9 对线性时不变系统（ A,B,C）,其状态观测器存在的充分必要条件是系统可检测。
证明 因为 （ A,B,C） 不是可观测时,可按可观测性进行结构分解,故这里不妨假定 （ A,B、
C） 已具有如下形式
]OC[C
B
B
B
AA
OA
A 1
2
1
2221
11?
（若系统中不可观模态是稳定模态，则称系统可检测。）
其中 可观测,的特征值具有负实部。现构造如下的动态系统
)CA( 111 22A
)x?Cy(GBux?Ax
)275(GyBux?)GCA(x
这时，不难导出 的关系为xxx ~
112222211221
111111111
2222121
1111
2
1
xCGuBx?Ax?)CGA(
xCGuBx?)CGA(
uBxAxA
uBxA
x
~
x
~
x
~
x
~
ACGA
0CGA
x
~
x
~
Ax
~
)CGA(
x
~
)CGA(
221221
1111
22211221
11111
从而可得显然,因为 可控,适当选择,可使 的特征值,亦即 的特征值均有负实部,这时
)( 111 TT CA,TG1
TTT GCA 1111? 1111 CGA?
222112212
001
t
x~Ax~)CGA(x
u,x?,x0x~mli
当且仅当 A22的特征值具有负实部时，有
uxxxmli
t
,?,0~ 002
而 A22就是系统的不可观测部分，由可检测的假定，
A22的特征值具有负实部，于是定理的充分性得证。
定理的必要性证明将在以后补充说明。
定理 5-9说明如果系统可检测，状态观测器总是存在的，并且观测器可取成（ 5-27）式的形式。同样，
K x 观测器也是存在的，可以取为
x?Kw
GyBux?)GCA(x?
（ 5-27）和（ 5-28）的观测器分别称为 n维基本状态观测器和 n维基本 K x 观测器。
(5-28)
定理 5-10 线性时不变系统（ A,B,C） 的状态观测器（ 5-27）可任意配置特征值的充分必要条件是
（ A,C） 可观测。
证明 令定理 5-9的证明中 A22的维数为零，即可证明本定理。事实上，这个定理相当于（ A,B,C）
的极点用状态反馈可任意配置的对偶形式。
线性时不变系统 （ A,B,C） 的观测器也是一个线性时不变系统,其一般形式如下观测器的结构条件
MyEzw
GyNuFzz
下面讨论这些矩阵满足什么条件时,系统?才可以构成（ A,B,C） 的一个 K x 观测器？
w给出了 K x的渐近估计一个自然的问题是，这时在状态主量 z和 x之间是否存在类似的线性渐近关系，即是否存在 P,使
u,z,x0)zPx(lim 00t
成立。
B1u1
定理 5-11 若系统（ A,B,C） 可控，对于某 P阵，
使得都成立的充要条件为
u,z,x0)zPx(lim 00t
PBN)3(
GCFPPA)2(
)r,,2,1i(0)F(eR)1( i
证明 充分性。
FeFzF P xFzx)GCPA(
)GyNuFz()BuAx(PzxPe
令 对 e求导数zPxe
则对任意的 u,z,x
00
有必要性 。 设对任意的 都有 。 取
u=0,x0=0这时 x=0,y=0,从而由 (5-29)可得,而且由
(5-30)可得对任意的 z0都有,由此可得 （ 1） 成立 。
0)zPx(limt
Fzz
0zlimt
u,z,x 00
下面证（ 2）、（ 3），因为
0)zPx(iml)t(eiml
tt
所以有
)zPx(e)t(e 00Ft
u)NPB(x)GCFPPA(Fe
)GyNuFz()BuAx(PzxPe
记 PA-FP-GC 和 PB-N 分别为 W 和 Q,要证 W,Q
为零 。 对上式取拉氏变换,并解出 e（ s） 。
)]s(Qu)s(Wx[)Fs()0(e)FsI()s(e
)s(Qu)s(Wx)s(Fe)0(e)s(se
11
由条件 可知 。又取 z0=0,x0=0,这时 e(0 )=0 0)t(elimt
0)s(selim 0s
)s(Bu)As()s(x 1
0)s(su]QB)As(W[)Fs(mil)s(semil 11
0s0s
由于 u（ s） 的任意性，又因为 F非奇异，故必然有由于系统是可控的，在复数域上 行线性无关，故 W=0，（ 2）、（ 3） 得证。 B)AsI(
1
推论 5-11 若系统 （ A,B,C） 可控,则 （ 5-29） 的系统成为它的状态观测器的充要条件为
BN)3(
GCAF)2(
)n,,2,1i(0)F(eR)1( i
0Q0B)As(W
0QB)As(W
1
1
所以有推论 5-11表明（ A,B,C） 的状态观测器必具有（ 5-
27）的形式。定理 5-9的必要性由此可说明，事实上，
若状态观测器存在，必具有（ 5-27）的形式，由条件
（ 1）、（ 2）可知（ A,C） 可检测。或者由定理 5-9
的充分性的证明中也可得（ A,C） 可检测。
定理 5-12 若（ A,B,C） 可控，（ F,E） 可观测，
则（ 5-29）成为（ A,B,C） 的 K x观测器的充要条件为存在 r?n 矩阵 P,使得下列条件满足
MCEPK)4(
PBN)3(
GCFPPA)2(
)r,,2,1i(0)F(eR)1(
i
(5-32)
证明略推论 5-12 若 （ A,B） 可控,（ F,E） 可观测,则
（ 5-29） 式所表示的系统成为 （ A,B,C） 的一个
K x观测器的充要条件为存在某 P矩阵,满足
uzx,,00 0
zPximl
t
(1) 对任意 有
(2) K=EP+MC
定理 5-13 设 A,F和 G C分别是 矩阵,则方程
PA－ FP=GC （ 5-33）
nr,rr,nn
有 阵 P唯一存在的充要条件为 F与 A无相同的特征值。
nr?
根据定理 5-11,5-12和 5-13,可以定出 Kx观测器的参数：
1.确定一个 F阵,它的特征值在复平面左半部且与 A的特征值不同 。
2.选取 G阵,由 PA－ FP=GC解出 P。
3.由 PB=N定出 N。
4.求解 K=EP+MC,求出 E,M。
5.验证 （ F,E） 是否可观测 。
在以上步骤中,随着 F,G的不同选取,会得到不同的 P,因而对一个系统可构造出不止一个 K x观测器 。
下面讨论它们之间的内在联系 。
定理 5-14 若 （ A,B,C） 可控,（ 5-35） 式是它的一个 K x观测器,则其代数等价系统 （ 5-36） 也是它的一个 K x观测器 。
基本观测器本章一开始就建立了（ A,B,C） 的 n维状态观测器
x?Iw
GyBux?)GCA(x?
上式被称为 n维基本状态观测器
Ezw
GyNuFzz
(5-39)
定理 5-15 若 （ A,B,C） 可控可观测,则 （ 5-39） 是
n维状态观测器的充要条件它与某个 n维基本状态观测器代数等价 。
现在提出的问题是观测器的维数是否可以降低？
可能的最小值是多少？ 因为维数的降低,意味着观测器可具有较为简单的形式,从而使工程实现更加方便 。
因此研究降维观测器以及最小维观测器的设计问题就成为观测器理论的重要课题之一 。
观测器的维数考虑 n维线性时不变动态方程最小维状态观测器
Cxy
BuAxx
若假定 rankC=q,那么输出 y实际上已经给出了部分状态变量的估计,显然为了估计全部状态,只须用一个低阶的观测器估计出其余的状态变量就可以了,即状态观测器的维数显然可比 n低 。
定理 5-17 若系统 （ A,B,C） 可控可观测,且
rankC=q,则系统的状态观测器的最小维数是 n-q。
证明 根据观测器的结构条件,对于状态观测器要求
I
C
P
]ME[MCEP
其中 P是 r× n阵，且满足 PA－ FP=GC。 要使上式有解，应有
n
C
P
r a n k
而已知,所以,故 P的最小维数
qra n kC? qnr a n k P
qnr nmi 。
下面来具体建立最小维数的状态观测器，不妨假定
C=（ C1 C2）,这里 C1,C2分别是 q× q和 q× (n-q)矩阵，
而且 rankC1=q,取等价变换,变换矩阵 T 定义为
Txx?
qn
21
I0
CC
T
显然 T是满秩的，这时（ 5— 42）式可化为
x]0I[y
u
B
B
x
x
AA
AA
x
x
q
2
1
2
1
2221
1211
2
1
显然输出 y直接给出了,状态估计的问题就化为只需对 n-q个分量 进行估计。 1
x
2x
引理 若（ A,C） 可观测，则 也可观测。)AA( 1222,
0I
AsIA
AAsI
q
2221
1211
考虑下列矩阵对任意的 s,它满列秩的充要条件是后 n-q列满秩，
即 可观测。)AA(
1222,
式（ 5— 43）可写为
uBxAyAy
uByAxAx
121211
2212222
上式第二式可写为
212111 xAuByAyy
212
2212222
xAy
)uByA(xAx
(5-44)
212
2212222
xAy
u
y
BAxAx
A
BC
yG
u
y
BAx?)AGA(x? 22212122222
uByAyy 111 代入上式，并令
yGx?z 22
可得
y]G)AGA()AGA[(
u)BGB(z)AGA(z
21222211221
12212222
(5-45)
z
y
IG
0I
x?
x?
qn2
q
2
1 x?Tx? 1
即
yGz
]zCy)GCI[(C
z
y
IG
0I
I0
CCC
x?
2
222q
1
1
qn2
q
q
2
1
1
1
1
y
G
)GCI(C
z
I
CC
w
2
22q
1
1
qn
2
1
1
(5-46)
y]G)AGA()AGA[(
u)BGB(z)AGA(z
21222211221
12212222
(5-45)
F N
G
E M
qn2 IGP
可以验证式（ 5-45）及式（ 5-46）的系数矩阵满足定理 5-12的条件（ 5-32），并且 P阵取为定理 5-18 若（ A,C） 可观测,rankC=q,则对（ A、
B,C） 可构造 n-q 维观测器（ 5-45）、（ 5-46），
而且观测器的极点可任意配置。若再假定（ A,B）
可控，则该观测器具有最小维数。
例 5-10
Kx观测器的维数可以比 n-q低，究竟低到什么程度，不清楚。最小阶问题困难。
例题 系统方程为
0100
0001
C
1
0
0
0
B
0001
1100
0120
0012
A
k=[ 0 1 0 1 ] 可观性指数 2
0
y)31(zw
uy)52(z3z
kx观测器为维数小于 n-2=2
直接用状态量作反馈时的开环传递函数阵,
引入观测器用状态估计值作反馈时的开环传递函数阵,
L0(s)=K(sI-A)-1B
B C
A
K
x?
观测器
K
x?
u
cxy
BuAxx
Lc(s)=K(sI-A+HC)-1[I+HC (sI-A)-1] B
LTR (loop transfer recovery)方法希望 ‖ L0(s) - Lc(s) ‖ 最小。
S=j
因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型 (或系统、
或软件 )来对状态变量进行估计。
状态观测器又称状态渐近估计器。
状态观测器如果系统可观测,从输入 u和输出 y间接地把状态变量 x重构出来是可能的 。
这种必要性与可能性正是观测器理论的出发点。
一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见图 5-2所示。
x?B
A
x
图 5-2
模型
B C
A
u x y 原系统问题,1) 模型系统的 A b 难以与真实系统一致；
2) 两系统的初值难以设置得相同。
所以这种方案难以保证
u,x?,x0)x?x(lim 00t
由于图 5-2中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，
所以用图 5-2得到的估计值是一个开环估值。
x?cy x?
一般系统的输入量 u和输出量 y均为已知，因此希望利用
y=cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形成了图 5-3的闭环估计方案。
C
H
估计器
B C
A
B
A
u x y
x?x
图 5-3
开环方案闭环方案在图 5-3中虚线框出的部分称为状态观测器或状态估计器，它是一个动态系统，以原系统的输入量和输出量作为它的输入量，而估计器的输出量是原系统的状态变量的估计值,应当满足x?
)0(x?),0(x,u0)x?x(l i mt
根据图 5-3所表示的关系可写出观测器部分的状态方程
HyBux?)HCA()x?Cy(HBux?Ax
y
u)HB(x?)HCA(x B1= (B H)
u1=
y
u
A1
Y1=I x?
在一类工程实际问题中，产生状态估计值的目的是用以构成反馈控制规律 K,在这种情况下，完全可以直接讨论如何产生状态的线性组合 Kx 的估计值，
而没有必要去产生状态的估计值，因此下面我们更一般地引入 Kx 观测器的概念。
定义 5-1 设线性时不变系统?,(A,B,C） 的状态是不能直接量测的,另一状态变量为 Z动态系统?0称为系统?的 Kx观测器,如果?0以?的输入 u和输出 y为其输入,且对给定的常数矩阵 K,?0的输出 w满足
uzx0)wKx(l i m 00t,、
(5-26)
观测器理论要研究的问题存在性 极点配置 结构条件 维数 代数等价等问题书中介绍了十个定理,定理 5-9至定理 5-18
分状态观测器和 Kx观测器若在上述定义中，如果 K=I,则?0称为状态观测器或状态估计器。
定理 5-9 对线性时不变系统（ A,B,C）,其状态观测器存在的充分必要条件是系统可检测。
证明 因为 （ A,B,C） 不是可观测时,可按可观测性进行结构分解,故这里不妨假定 （ A,B、
C） 已具有如下形式
]OC[C
B
B
B
AA
OA
A 1
2
1
2221
11?
（若系统中不可观模态是稳定模态，则称系统可检测。）
其中 可观测,的特征值具有负实部。现构造如下的动态系统
)CA( 111 22A
)x?Cy(GBux?Ax
)275(GyBux?)GCA(x
这时，不难导出 的关系为xxx ~
112222211221
111111111
2222121
1111
2
1
xCGuBx?Ax?)CGA(
xCGuBx?)CGA(
uBxAxA
uBxA
x
~
x
~
x
~
x
~
ACGA
0CGA
x
~
x
~
Ax
~
)CGA(
x
~
)CGA(
221221
1111
22211221
11111
从而可得显然,因为 可控,适当选择,可使 的特征值,亦即 的特征值均有负实部,这时
)( 111 TT CA,TG1
TTT GCA 1111? 1111 CGA?
222112212
001
t
x~Ax~)CGA(x
u,x?,x0x~mli
当且仅当 A22的特征值具有负实部时，有
uxxxmli
t
,?,0~ 002
而 A22就是系统的不可观测部分，由可检测的假定，
A22的特征值具有负实部，于是定理的充分性得证。
定理的必要性证明将在以后补充说明。
定理 5-9说明如果系统可检测，状态观测器总是存在的，并且观测器可取成（ 5-27）式的形式。同样，
K x 观测器也是存在的，可以取为
x?Kw
GyBux?)GCA(x?
（ 5-27）和（ 5-28）的观测器分别称为 n维基本状态观测器和 n维基本 K x 观测器。
(5-28)
定理 5-10 线性时不变系统（ A,B,C） 的状态观测器（ 5-27）可任意配置特征值的充分必要条件是
（ A,C） 可观测。
证明 令定理 5-9的证明中 A22的维数为零，即可证明本定理。事实上，这个定理相当于（ A,B,C）
的极点用状态反馈可任意配置的对偶形式。
线性时不变系统 （ A,B,C） 的观测器也是一个线性时不变系统,其一般形式如下观测器的结构条件
MyEzw
GyNuFzz
下面讨论这些矩阵满足什么条件时,系统?才可以构成（ A,B,C） 的一个 K x 观测器？
w给出了 K x的渐近估计一个自然的问题是，这时在状态主量 z和 x之间是否存在类似的线性渐近关系，即是否存在 P,使
u,z,x0)zPx(lim 00t
成立。
B1u1
定理 5-11 若系统（ A,B,C） 可控，对于某 P阵，
使得都成立的充要条件为
u,z,x0)zPx(lim 00t
PBN)3(
GCFPPA)2(
)r,,2,1i(0)F(eR)1( i
证明 充分性。
FeFzF P xFzx)GCPA(
)GyNuFz()BuAx(PzxPe
令 对 e求导数zPxe
则对任意的 u,z,x
00
有必要性 。 设对任意的 都有 。 取
u=0,x0=0这时 x=0,y=0,从而由 (5-29)可得,而且由
(5-30)可得对任意的 z0都有,由此可得 （ 1） 成立 。
0)zPx(limt
Fzz
0zlimt
u,z,x 00
下面证（ 2）、（ 3），因为
0)zPx(iml)t(eiml
tt
所以有
)zPx(e)t(e 00Ft
u)NPB(x)GCFPPA(Fe
)GyNuFz()BuAx(PzxPe
记 PA-FP-GC 和 PB-N 分别为 W 和 Q,要证 W,Q
为零 。 对上式取拉氏变换,并解出 e（ s） 。
)]s(Qu)s(Wx[)Fs()0(e)FsI()s(e
)s(Qu)s(Wx)s(Fe)0(e)s(se
11
由条件 可知 。又取 z0=0,x0=0,这时 e(0 )=0 0)t(elimt
0)s(selim 0s
)s(Bu)As()s(x 1
0)s(su]QB)As(W[)Fs(mil)s(semil 11
0s0s
由于 u（ s） 的任意性，又因为 F非奇异，故必然有由于系统是可控的，在复数域上 行线性无关，故 W=0，（ 2）、（ 3） 得证。 B)AsI(
1
推论 5-11 若系统 （ A,B,C） 可控,则 （ 5-29） 的系统成为它的状态观测器的充要条件为
BN)3(
GCAF)2(
)n,,2,1i(0)F(eR)1( i
0Q0B)As(W
0QB)As(W
1
1
所以有推论 5-11表明（ A,B,C） 的状态观测器必具有（ 5-
27）的形式。定理 5-9的必要性由此可说明，事实上，
若状态观测器存在，必具有（ 5-27）的形式，由条件
（ 1）、（ 2）可知（ A,C） 可检测。或者由定理 5-9
的充分性的证明中也可得（ A,C） 可检测。
定理 5-12 若（ A,B,C） 可控，（ F,E） 可观测，
则（ 5-29）成为（ A,B,C） 的 K x观测器的充要条件为存在 r?n 矩阵 P,使得下列条件满足
MCEPK)4(
PBN)3(
GCFPPA)2(
)r,,2,1i(0)F(eR)1(
i
(5-32)
证明略推论 5-12 若 （ A,B） 可控,（ F,E） 可观测,则
（ 5-29） 式所表示的系统成为 （ A,B,C） 的一个
K x观测器的充要条件为存在某 P矩阵,满足
uzx,,00 0
zPximl
t
(1) 对任意 有
(2) K=EP+MC
定理 5-13 设 A,F和 G C分别是 矩阵,则方程
PA－ FP=GC （ 5-33）
nr,rr,nn
有 阵 P唯一存在的充要条件为 F与 A无相同的特征值。
nr?
根据定理 5-11,5-12和 5-13,可以定出 Kx观测器的参数：
1.确定一个 F阵,它的特征值在复平面左半部且与 A的特征值不同 。
2.选取 G阵,由 PA－ FP=GC解出 P。
3.由 PB=N定出 N。
4.求解 K=EP+MC,求出 E,M。
5.验证 （ F,E） 是否可观测 。
在以上步骤中,随着 F,G的不同选取,会得到不同的 P,因而对一个系统可构造出不止一个 K x观测器 。
下面讨论它们之间的内在联系 。
定理 5-14 若 （ A,B,C） 可控,（ 5-35） 式是它的一个 K x观测器,则其代数等价系统 （ 5-36） 也是它的一个 K x观测器 。
基本观测器本章一开始就建立了（ A,B,C） 的 n维状态观测器
x?Iw
GyBux?)GCA(x?
上式被称为 n维基本状态观测器
Ezw
GyNuFzz
(5-39)
定理 5-15 若 （ A,B,C） 可控可观测,则 （ 5-39） 是
n维状态观测器的充要条件它与某个 n维基本状态观测器代数等价 。
现在提出的问题是观测器的维数是否可以降低？
可能的最小值是多少？ 因为维数的降低,意味着观测器可具有较为简单的形式,从而使工程实现更加方便 。
因此研究降维观测器以及最小维观测器的设计问题就成为观测器理论的重要课题之一 。
观测器的维数考虑 n维线性时不变动态方程最小维状态观测器
Cxy
BuAxx
若假定 rankC=q,那么输出 y实际上已经给出了部分状态变量的估计,显然为了估计全部状态,只须用一个低阶的观测器估计出其余的状态变量就可以了,即状态观测器的维数显然可比 n低 。
定理 5-17 若系统 （ A,B,C） 可控可观测,且
rankC=q,则系统的状态观测器的最小维数是 n-q。
证明 根据观测器的结构条件,对于状态观测器要求
I
C
P
]ME[MCEP
其中 P是 r× n阵，且满足 PA－ FP=GC。 要使上式有解，应有
n
C
P
r a n k
而已知,所以,故 P的最小维数
qra n kC? qnr a n k P
qnr nmi 。
下面来具体建立最小维数的状态观测器，不妨假定
C=（ C1 C2）,这里 C1,C2分别是 q× q和 q× (n-q)矩阵，
而且 rankC1=q,取等价变换,变换矩阵 T 定义为
Txx?
qn
21
I0
CC
T
显然 T是满秩的，这时（ 5— 42）式可化为
x]0I[y
u
B
B
x
x
AA
AA
x
x
q
2
1
2
1
2221
1211
2
1
显然输出 y直接给出了,状态估计的问题就化为只需对 n-q个分量 进行估计。 1
x
2x
引理 若（ A,C） 可观测，则 也可观测。)AA( 1222,
0I
AsIA
AAsI
q
2221
1211
考虑下列矩阵对任意的 s,它满列秩的充要条件是后 n-q列满秩，
即 可观测。)AA(
1222,
式（ 5— 43）可写为
uBxAyAy
uByAxAx
121211
2212222
上式第二式可写为
212111 xAuByAyy
212
2212222
xAy
)uByA(xAx
(5-44)
212
2212222
xAy
u
y
BAxAx
A
BC
yG
u
y
BAx?)AGA(x? 22212122222
uByAyy 111 代入上式，并令
yGx?z 22
可得
y]G)AGA()AGA[(
u)BGB(z)AGA(z
21222211221
12212222
(5-45)
z
y
IG
0I
x?
x?
qn2
q
2
1 x?Tx? 1
即
yGz
]zCy)GCI[(C
z
y
IG
0I
I0
CCC
x?
2
222q
1
1
qn2
q
q
2
1
1
1
1
y
G
)GCI(C
z
I
CC
w
2
22q
1
1
qn
2
1
1
(5-46)
y]G)AGA()AGA[(
u)BGB(z)AGA(z
21222211221
12212222
(5-45)
F N
G
E M
qn2 IGP
可以验证式（ 5-45）及式（ 5-46）的系数矩阵满足定理 5-12的条件（ 5-32），并且 P阵取为定理 5-18 若（ A,C） 可观测,rankC=q,则对（ A、
B,C） 可构造 n-q 维观测器（ 5-45）、（ 5-46），
而且观测器的极点可任意配置。若再假定（ A,B）
可控，则该观测器具有最小维数。
例 5-10
Kx观测器的维数可以比 n-q低，究竟低到什么程度，不清楚。最小阶问题困难。
例题 系统方程为
0100
0001
C
1
0
0
0
B
0001
1100
0120
0012
A
k=[ 0 1 0 1 ] 可观性指数 2
0
y)31(zw
uy)52(z3z
kx观测器为维数小于 n-2=2
直接用状态量作反馈时的开环传递函数阵,
引入观测器用状态估计值作反馈时的开环传递函数阵,
L0(s)=K(sI-A)-1B
B C
A
K
x?
观测器
K
x?
u
cxy
BuAxx
Lc(s)=K(sI-A+HC)-1[I+HC (sI-A)-1] B
LTR (loop transfer recovery)方法希望 ‖ L0(s) - Lc(s) ‖ 最小。
S=j
