1
这里 A,B,C分别为 n× n,n× p,p× n的矩阵 。 系统的传递函数矩阵为
G(s)=C(sI-A)-1B (4-33)
CxyBuAxx,?
定义 若 (4-32) 的传函阵 G(s)(4-33)是对角形非奇异矩阵,则称系统 (4-32)是解耦的 。
用状态反馈进行解耦控制下面研究的是如何利用状态反馈使系统解耦。
状态反馈控制律为
u=Kx+Hv (H为非奇异阵 ) (4-35)
系统动态方程为
(4-32)
解耦
2
解耦问题,找出矩阵 K,H,使 G f (s)为对角,非奇异阵 。
BH)]BKA(sI[C)H,K,s(G
Cxy,B H vx)BKA(x
1
f
(4-36)
H]B)AsI(KI)[s(G
H]B)BKAsI(KI)[s(G)s(G
11
1
f
(4-37)
b,非负整数 di及非零向量 Ei
记 C的第 i行为 ci； G(s)的第 i行为 Gi (s)。根据
0i
)1i(i1 sA)AsI(
（１）准备知识
a,开、闭环传递函数矩阵的关系
3
可将 Gi (s)表示成非负整数 di,定义,为 (4-37a)式中由左向右 s负幂次系数是零的个数,即有
0BAcE
0BAcABcBc
i
i
d
ii
1d
iii
(4-40)
)1d(d
i
d1d
i
2
i
1
i
1
i
iiii BsAcBsAcA B scBsc
B)AsI(c (4-37a)
由传递函数阵 G(s)出发，可知 di及 Ei 的等价定义分别为
di=min[Gi (s) 各元素分母次数与分子次数之差 ]-1 (4-38)
0BAc)s(GslimE ii dii1dsi (4-39)
4
例题给定如下的 G(s)，试计算 di和 Ei
42
3
12
1
2
1
12
2
)(
22
22
ssss
ssss
s
sG
解 d1 =min[1,2]-1=0,d2 =min[2,2]-1=1
E1 = sG1(s)=[1 0],E2= s 2G2(s)=[1 3]
sLimsLim
5
解 c1B=[1 0],d1 =0; E1=[1 0]
c2B=[0 1],d2=0; E2=[0 1]
例题 4-5a 系统方程为
xyuxx?
100
011
10
00
01
321
100
000
试计算 di和 Ei
6
]B)AsI(FE[s
]B)AsAsIs(AcBAc[s
)BsAcBAc(sB)AsI(c
1
ii
)1d(
3211d
i
d
i
)1d(
11d
i
d
i
)1d(1
i
i
iii
iii
开环传递函数阵的第 i行可以表示为下式
c,开、闭环传递函数阵引入非负整数 di及非零向量 Ei后，可定义
(4-46)
p
2
1
E
E
E
E
1d
p
1d
2
1d
1
p
2
1
Ac
Ac
Ac
F
(4-45)
7
]B)AsI(FE[
s
s
)s(G 1
)1d(
)1d(
p
1
(4-48)
再利用 (4-37)式，将闭环传递函数阵表为
H]B)BKAsI(KI][B)AsI(FE[
s
s
)s(G 11
)1d(
)1d(
f
p
1
(S-1)
或开环传递函数阵可以表示为 (4-48)式
8
H]B)AsI(KI][B)AsI(FE[
s
s
)s(G 111
)1d(
)1d(
f
p
1
(S-2)
按照非负整数 di及非零向量 Ei 的定义,用 (S-2)式可以求出闭环传函阵所对应的,,并且有
iEid
= di,= EiH
id iE
定理 4-10 系统 (4-32)可用 (4-35)式的反馈进行解耦的充分必要条件是 (4-45) 式定义的 E为非奇异阵 。
9
证明 必要性 因为 Gf(s)对角非奇异，故有 =EH是对角的，又因为 是非零向量，因此有 非奇异，故可知 E非奇异。
iE E
E
充分性 将
K= -E-1F,H=E-1 (4-47)
代入 (S-1)可得
)1d(
)1d(
f
p
1
s
s
)s(G? (4-49)
10
若原系统可控、可观测，采用状态反馈不改变可控性，因此这时闭环动态方程是不可观的。说明这一解耦的状态反馈改变了系统的可观测性。
,npddd p21
闭环传函阵的麦克米伦阶为
pddd)s(G p21f
如果
(4-49) 式中的传递函数阵，由于其对角元都是积分器，故被称为积分器解耦系统。它不满足稳定性要求，故在实际中不能使用。但是在理论上，它提供了可解耦系统的一种中间形式，可供进一步研究解耦问题时使用。
11
解 根据例题 4-5a的计算可知 E是单位阵,故系统可解耦 。 现采用定理 4-10充分性证明中提供的 (4-47)式将其化为积分器解耦系统 。
321
100
F
例题 4-5 将例题 4-5a中的系统化为积分器解耦系统。
计算 F阵,F1=c1A=[0 0 1],F2=c2A=[-1 –2 –3],
故得由此求得
,321 100FEK,10 01EH 11?
12
故反馈控制律
v10 01x321 100HvKxu?
闭环系统动态方程为
v
10
00
01
x
000
100
100
B H vx)BKA(x
闭环系统的传递函数矩阵
s
1
0
0
s
1
)s(G f
由闭环动态方程可知，闭环系统不可观测，这一解耦的状态反馈改变了系统的可观测性。
13
如前所述,积分器解耦系统是不稳定的 。 还需在此基础上进一步改善控制律,这一问题由于比较复杂,现省略 。 下面介绍一种简单情况 。
,npddd p21
定理 若系统可用状态反馈解耦，且则采用状态反馈
)kAkAkA(c
)IkAkAkA(c
)IkAkAkA(c
EK
EH
0p1p
d
pd
1d
p
2021
d
d2
1d
2
1011
d
d1
1d
1
1
1
p
p
p
2
2
2
1
1
1
(S-3)
14
]
ksksksks
1
[d i a g
)s(G
0i1i
1d
1id
d
id
1d
f
i
i
i
i
i
(S-4)
可以将闭环传函矩阵化为其中 kij是可调参数,可用来对闭环传递函数矩阵的对角元进行极点配置 。 由 (S-4)式可知 Gf(s)的麦克米伦阶为 n,说明这时解耦状态反馈律 （ S-3） 未改变系统的可观测性 。
15
xy
uxx
101
001
10
11
10
121
130
102
问可否用状态反馈律 u=Kx+Hv,将闭环传递函数阵变为
13
1
0
0
1
1
)(
2
ss
ssG
f
如有可能求出 K和 H。
例题 系统动态方程为
16
解 c1B=[0 -1],d1=0; c2B=[0 0],c2AB=[2 1],d2=1,
12
10
E
E
E
2
1
d1+d2 +p=0+1+2=3=n
由 （ S-4） 可知状态反馈律应按 （ S-4） 选取
103
5.785.10
)IA3A(c
)IA(c
EK
02
11
2
1
EH
2
2
11
1
17
小结 ( p=q)
0E? 系统可用 u=Kx+Hv 解耦
0E?
探索采用别的手段解耦
A,
系统可用 u=Kx+Hv 解耦B,
,npddd p21
,npddd p21 用 (S-3)实现解耦,并且对角元传递函数的极点可任意设置。
)pddd(n p21个模态不可观，这些模态属性 (稳定与否 )就需进一步研究。如果系统要解耦的同时一定使某一模态不在左平面，则称闭环解耦与稳定是矛盾的。
P=q 方解耦
18
Morgan问题
1,B S Morgan,JACC Vol.64 468-472 1964
2,P L Falb,W A Wolovich,IEEE AC-12 651-669 1967
3,E G Gilbert,SIAM J.Contr,Vol.7 50-64 1969 见讲义
4,AS Morse,SIAM J.Contr,Vol.11 446-465 1973
5,C Commault,IEEE AC-27 693-696 1982无穷结构
6,C Commault,Int.J.Contr,Vol.44 689-700 1986基本阶
7,LM Silverman,A Kitapci,Sys,Contr.Lett,Vol.3 123-131 1983无穷结构
8,N Suda,Proc,9 th IFAC World Congress,Budapest,1984 121-126非方,充要,实际上只是充分
9,J Descusse,J F Lafy,M Malabre IEEE AC-33 732-739 1988非方,充要,
实际上只是充分
10,J J Loiseau,SIAM J.Contr,Optimiz Vol.26 251-273 1988无穷结构重置方法结构是线性系统理论中具有挑战性的问题之一
19
11,AN Herrera,J F Lafay,IEEE AC-38 1834-1838 1993
12,PZagaiak,et al.,Automatica,Vol.29,1491-1499 1993
13,陈树中,自动化学报 Vol.19,520-526 1993输入等于输出加 1
14,许可康,控制理论与应用 Vol.12,694-703 1995
15,W M Wonham,多变量控制 — 几何方法,1985
非方，
复杂性
17,孙振东,北航博士论文
18,马晓军,北航博士论文
1,科学出版社 (博士丛书 )非线性系统控制与解耦。
1993
2,自动化学报 非线性系统解耦原则及实施 1992
年优秀论文
3,非线性系统的最小阶动态解耦 中国科学 1989
16,夏小华,北航博士论文
20
21
)184(Cxy,dBuAxx
跟踪问题的稳态特性设系统方程为跟踪如果希望输出 y跟踪给定的参考输入信号 yr，可以采用反馈控制来实现这一目的，研究偏差 e (t)=yr(t)-y(t) 当 时的极限值，也就是稳态误差。
t
其中 A,B和 C定义同前,d是 n维的干扰向量。
22
由经典控制理论可知，为了消去阶跃输入时的稳态误差，除了要在系统中引入积分环节之外还要使系统稳定。下面用状态空间方法研究这一问题。
为了简单起见，设 yr(t)=1(t),d(t)=1(t),为了实现无稳态误差，控制中应增加偏差的积分项
d)](y)(y[d)(e)t(q
t
0
t
0
r
(4-19)
由于 y是 q维的，故上式代表有 q个积分器被引入，由
(4-18)式可知
23
这样就把 (2-25)的系统增广如下这里，新的状态向量的维数为 n+q，等于原系统状态维数与积分器个数之和。
定理 4-7 系统 (4-21)可控的的充分必要条件为系统 (4-18)可控，
且
Cx)t(y)t(e)t(q r
(4-20)
q
x0Cy,
y
du
0
B
q
x
0C
0A
q
x
r?
(4-21)
qn0C BAr a n k
(4-22)
注意：条件 (4-22)式只有当输出数至多等于输入数 (p ≥q)且
rankC=q时才有可能 。
24
当 s不等于零时,(S-5)式中的矩阵,由于（ A B）可控，它的从上往下数的 n行是线性无关的,并且下面的 q行由于 s不是零,它和前述 n行也是线性无关的,这时 (S-5)矩阵的秩为 n+q。当 s=0时,由于
(4-22)式它的秩也是 n+q。因此,对任意的 s,(S-5)式矩阵的秩均为 n+q，故 (4-21)式的系统可控。反之，同样易于说明。
在定理 4-7的条件下,(4-21)式的系统是可控的。因此可以利用状态反馈配置闭环系统的特征值的方法来改善系统的动态性能和稳态性能。引入状态反馈
0sIC
B0AsI (S-5)
qKxKqxKKu 2121
(4-23)
证明 考虑矩阵
25
由 (4-21)式和 (4-23)式组成的闭环系统的方程为
(4-24)式的系统表示在下面的图中,(4-23) 式中第一项 K1x是对象的某个普通的状态反馈，第二项 K2q是为了改善稳态性能而引入的偏差的积分信号。
d
yr xue q y
1K
2K? BuAxx C
控制器对象
q
x0Cy,
y
d
q
x
0C
BKBKA
q
x
r
21
(4-24)
26
定理 4-8 设 K1和 K2选得使 (4-24)的特征值均具有负实部，而且干扰和参考输入均为阶跃信号，即
)t(1yy,)t(1d)t(d 0r0
其中 d0,y0为 n维和 q维的常值向量。则 x(t)及 q(t)趋向于常值稳态值，而输出趋向于给定的参考值，即有证明 对 (4-24) 式进行拉氏变换,并解出象函数的代数方程,
得
s
1
y
d
sIC
BK)BKA(sI
)s(q
)s(x
0
0
1
21?
因为 (4-24)式中的系统是稳定的，应用拉氏变换的终值定理，
可得
0)](1)([lim 0 tytyt
(4-25)
27
0
0
1
21
0st y
d
0C
BK)BKA(
)s(q
)s(xslim
)t(q
)t(xlim
即 x(t),q(t)趋向于常值向量，这意味着 和 都趋向于零。又因为
)(tq?)(tx?
=yr(t)-y(t) )(tq?
故有 (4-25) 式成立。
条件 (4-22) 式的说明：若 (4-22)式不满足，即有
qn0sIC B0AsIr a n k
0s
28
这表明增广系统 (4-21)式有 s=0这一特征值不可控,状态反馈 (4-23)不能改变这个特征值,它在闭环动态方程中仍存在,从而导致闭环系统不稳定 。 但在闭环传递函数形成时,产生了零,
极对消,闭环传函无此 s=0的极点,这一零,极对消的原因是正向通道中引入了积分环节 (参考本节插图 ),也就是引入了一个 s=０的极点,它一定是与对象的零点发生了相消 。 因此 (4-23)
式不成立意味着对象有 s=0的零点 。 在单变量的情况,就是对象传递函数的零点,但是在系统迥路中不稳定的零,极对消是不允许的 。
以上说明的一个例子如下例题 系统方程为
x10y,du10x32 10x
29
试问是否可以用本节的方法设计控制器,使得在 yr(t)=1(t)作用下无稳态误差 。
3qn2
010
132
010
r a n k
计算对象部分的传递函数
2s3s
s)s(G
2
对这一系统无法用本节的方法进行控制器设计以消去稳态误差。
解 验证 (4-22)式
30
例题 2-10 系统方程为
x0001y
w
6
0
4
0
u
1
0
1
0
x
01100
1000
0100
0010
x
解 为了消去稳态误差，应如 (4-19)式引入积分器，得到增广系统方程如下
q
x
00001y
y
w6
0
w4
0
u
0
1
0
1
0
q
x
00001
001100
01000
00100
00010
q
x
r
要求输出跟踪参考输入 yr1(t),yr为阶跃函数的幅值。
31
验证系统可控应满足的条件
10
0C
BA
d e t
00001
101100
01000
10100
00010
OC
BA
故增广系统可控,用状态反馈可以任意配置特征值。令反馈增益阵为
54321 kkkkk
下面来选 ki，以使闭环系统有特征值 -2,-2,-1,，即实现期望的多项式
j1
8s24s30s20s7s 2345
加了状态反馈后的系统矩阵
32
00001
kkk11kk
01000
kk1kkk
00010
54321
54321
它的特征式为
512523134245 k10sk10s)kk10(s)11kk(s)kk(s
比较上面两个多项式同次幂的系数,可以求出反馈增益阵为
K=[2.4 3.08 33.4 10.08 0.8 ],并且得到闭环系统方程
r
y
w6
0
w4
0
q
x
00001
8.008.104.2208.34.2
01000
8.008.104.3208.34.2
00010
q
x
33
现在来验证上式的稳态特征
r
r
r
1
1
t
y
y
d
305.46.128.285.3
00100
01.001.00
00001
10000
00001
y
d
CA)t(yl i m
可见 y(t)最终趋近于稳态值 yr，这正是所期望的结果。
q
x00001y
这里 A,B,C分别为 n× n,n× p,p× n的矩阵 。 系统的传递函数矩阵为
G(s)=C(sI-A)-1B (4-33)
CxyBuAxx,?
定义 若 (4-32) 的传函阵 G(s)(4-33)是对角形非奇异矩阵,则称系统 (4-32)是解耦的 。
用状态反馈进行解耦控制下面研究的是如何利用状态反馈使系统解耦。
状态反馈控制律为
u=Kx+Hv (H为非奇异阵 ) (4-35)
系统动态方程为
(4-32)
解耦
2
解耦问题,找出矩阵 K,H,使 G f (s)为对角,非奇异阵 。
BH)]BKA(sI[C)H,K,s(G
Cxy,B H vx)BKA(x
1
f
(4-36)
H]B)AsI(KI)[s(G
H]B)BKAsI(KI)[s(G)s(G
11
1
f
(4-37)
b,非负整数 di及非零向量 Ei
记 C的第 i行为 ci； G(s)的第 i行为 Gi (s)。根据
0i
)1i(i1 sA)AsI(
（１）准备知识
a,开、闭环传递函数矩阵的关系
3
可将 Gi (s)表示成非负整数 di,定义,为 (4-37a)式中由左向右 s负幂次系数是零的个数,即有
0BAcE
0BAcABcBc
i
i
d
ii
1d
iii
(4-40)
)1d(d
i
d1d
i
2
i
1
i
1
i
iiii BsAcBsAcA B scBsc
B)AsI(c (4-37a)
由传递函数阵 G(s)出发，可知 di及 Ei 的等价定义分别为
di=min[Gi (s) 各元素分母次数与分子次数之差 ]-1 (4-38)
0BAc)s(GslimE ii dii1dsi (4-39)
4
例题给定如下的 G(s)，试计算 di和 Ei
42
3
12
1
2
1
12
2
)(
22
22
ssss
ssss
s
sG
解 d1 =min[1,2]-1=0,d2 =min[2,2]-1=1
E1 = sG1(s)=[1 0],E2= s 2G2(s)=[1 3]
sLimsLim
5
解 c1B=[1 0],d1 =0; E1=[1 0]
c2B=[0 1],d2=0; E2=[0 1]
例题 4-5a 系统方程为
xyuxx?
100
011
10
00
01
321
100
000
试计算 di和 Ei
6
]B)AsI(FE[s
]B)AsAsIs(AcBAc[s
)BsAcBAc(sB)AsI(c
1
ii
)1d(
3211d
i
d
i
)1d(
11d
i
d
i
)1d(1
i
i
iii
iii
开环传递函数阵的第 i行可以表示为下式
c,开、闭环传递函数阵引入非负整数 di及非零向量 Ei后，可定义
(4-46)
p
2
1
E
E
E
E
1d
p
1d
2
1d
1
p
2
1
Ac
Ac
Ac
F
(4-45)
7
]B)AsI(FE[
s
s
)s(G 1
)1d(
)1d(
p
1
(4-48)
再利用 (4-37)式，将闭环传递函数阵表为
H]B)BKAsI(KI][B)AsI(FE[
s
s
)s(G 11
)1d(
)1d(
f
p
1
(S-1)
或开环传递函数阵可以表示为 (4-48)式
8
H]B)AsI(KI][B)AsI(FE[
s
s
)s(G 111
)1d(
)1d(
f
p
1
(S-2)
按照非负整数 di及非零向量 Ei 的定义,用 (S-2)式可以求出闭环传函阵所对应的,,并且有
iEid
= di,= EiH
id iE
定理 4-10 系统 (4-32)可用 (4-35)式的反馈进行解耦的充分必要条件是 (4-45) 式定义的 E为非奇异阵 。
9
证明 必要性 因为 Gf(s)对角非奇异，故有 =EH是对角的，又因为 是非零向量，因此有 非奇异，故可知 E非奇异。
iE E
E
充分性 将
K= -E-1F,H=E-1 (4-47)
代入 (S-1)可得
)1d(
)1d(
f
p
1
s
s
)s(G? (4-49)
10
若原系统可控、可观测，采用状态反馈不改变可控性，因此这时闭环动态方程是不可观的。说明这一解耦的状态反馈改变了系统的可观测性。
,npddd p21
闭环传函阵的麦克米伦阶为
pddd)s(G p21f
如果
(4-49) 式中的传递函数阵，由于其对角元都是积分器，故被称为积分器解耦系统。它不满足稳定性要求，故在实际中不能使用。但是在理论上，它提供了可解耦系统的一种中间形式，可供进一步研究解耦问题时使用。
11
解 根据例题 4-5a的计算可知 E是单位阵,故系统可解耦 。 现采用定理 4-10充分性证明中提供的 (4-47)式将其化为积分器解耦系统 。
321
100
F
例题 4-5 将例题 4-5a中的系统化为积分器解耦系统。
计算 F阵,F1=c1A=[0 0 1],F2=c2A=[-1 –2 –3],
故得由此求得
,321 100FEK,10 01EH 11?
12
故反馈控制律
v10 01x321 100HvKxu?
闭环系统动态方程为
v
10
00
01
x
000
100
100
B H vx)BKA(x
闭环系统的传递函数矩阵
s
1
0
0
s
1
)s(G f
由闭环动态方程可知，闭环系统不可观测，这一解耦的状态反馈改变了系统的可观测性。
13
如前所述,积分器解耦系统是不稳定的 。 还需在此基础上进一步改善控制律,这一问题由于比较复杂,现省略 。 下面介绍一种简单情况 。
,npddd p21
定理 若系统可用状态反馈解耦，且则采用状态反馈
)kAkAkA(c
)IkAkAkA(c
)IkAkAkA(c
EK
EH
0p1p
d
pd
1d
p
2021
d
d2
1d
2
1011
d
d1
1d
1
1
1
p
p
p
2
2
2
1
1
1
(S-3)
14
]
ksksksks
1
[d i a g
)s(G
0i1i
1d
1id
d
id
1d
f
i
i
i
i
i
(S-4)
可以将闭环传函矩阵化为其中 kij是可调参数,可用来对闭环传递函数矩阵的对角元进行极点配置 。 由 (S-4)式可知 Gf(s)的麦克米伦阶为 n,说明这时解耦状态反馈律 （ S-3） 未改变系统的可观测性 。
15
xy
uxx
101
001
10
11
10
121
130
102
问可否用状态反馈律 u=Kx+Hv,将闭环传递函数阵变为
13
1
0
0
1
1
)(
2
ss
ssG
f
如有可能求出 K和 H。
例题 系统动态方程为
16
解 c1B=[0 -1],d1=0; c2B=[0 0],c2AB=[2 1],d2=1,
12
10
E
E
E
2
1
d1+d2 +p=0+1+2=3=n
由 （ S-4） 可知状态反馈律应按 （ S-4） 选取
103
5.785.10
)IA3A(c
)IA(c
EK
02
11
2
1
EH
2
2
11
1
17
小结 ( p=q)
0E? 系统可用 u=Kx+Hv 解耦
0E?
探索采用别的手段解耦
A,
系统可用 u=Kx+Hv 解耦B,
,npddd p21
,npddd p21 用 (S-3)实现解耦,并且对角元传递函数的极点可任意设置。
)pddd(n p21个模态不可观，这些模态属性 (稳定与否 )就需进一步研究。如果系统要解耦的同时一定使某一模态不在左平面，则称闭环解耦与稳定是矛盾的。
P=q 方解耦
18
Morgan问题
1,B S Morgan,JACC Vol.64 468-472 1964
2,P L Falb,W A Wolovich,IEEE AC-12 651-669 1967
3,E G Gilbert,SIAM J.Contr,Vol.7 50-64 1969 见讲义
4,AS Morse,SIAM J.Contr,Vol.11 446-465 1973
5,C Commault,IEEE AC-27 693-696 1982无穷结构
6,C Commault,Int.J.Contr,Vol.44 689-700 1986基本阶
7,LM Silverman,A Kitapci,Sys,Contr.Lett,Vol.3 123-131 1983无穷结构
8,N Suda,Proc,9 th IFAC World Congress,Budapest,1984 121-126非方,充要,实际上只是充分
9,J Descusse,J F Lafy,M Malabre IEEE AC-33 732-739 1988非方,充要,
实际上只是充分
10,J J Loiseau,SIAM J.Contr,Optimiz Vol.26 251-273 1988无穷结构重置方法结构是线性系统理论中具有挑战性的问题之一
19
11,AN Herrera,J F Lafay,IEEE AC-38 1834-1838 1993
12,PZagaiak,et al.,Automatica,Vol.29,1491-1499 1993
13,陈树中,自动化学报 Vol.19,520-526 1993输入等于输出加 1
14,许可康,控制理论与应用 Vol.12,694-703 1995
15,W M Wonham,多变量控制 — 几何方法,1985
非方，
复杂性
17,孙振东,北航博士论文
18,马晓军,北航博士论文
1,科学出版社 (博士丛书 )非线性系统控制与解耦。
1993
2,自动化学报 非线性系统解耦原则及实施 1992
年优秀论文
3,非线性系统的最小阶动态解耦 中国科学 1989
16,夏小华,北航博士论文
20
21
)184(Cxy,dBuAxx
跟踪问题的稳态特性设系统方程为跟踪如果希望输出 y跟踪给定的参考输入信号 yr，可以采用反馈控制来实现这一目的，研究偏差 e (t)=yr(t)-y(t) 当 时的极限值，也就是稳态误差。
t
其中 A,B和 C定义同前,d是 n维的干扰向量。
22
由经典控制理论可知，为了消去阶跃输入时的稳态误差，除了要在系统中引入积分环节之外还要使系统稳定。下面用状态空间方法研究这一问题。
为了简单起见，设 yr(t)=1(t),d(t)=1(t),为了实现无稳态误差，控制中应增加偏差的积分项
d)](y)(y[d)(e)t(q
t
0
t
0
r
(4-19)
由于 y是 q维的，故上式代表有 q个积分器被引入，由
(4-18)式可知
23
这样就把 (2-25)的系统增广如下这里，新的状态向量的维数为 n+q，等于原系统状态维数与积分器个数之和。
定理 4-7 系统 (4-21)可控的的充分必要条件为系统 (4-18)可控，
且
Cx)t(y)t(e)t(q r
(4-20)
q
x0Cy,
y
du
0
B
q
x
0C
0A
q
x
r?
(4-21)
qn0C BAr a n k
(4-22)
注意：条件 (4-22)式只有当输出数至多等于输入数 (p ≥q)且
rankC=q时才有可能 。
24
当 s不等于零时,(S-5)式中的矩阵,由于（ A B）可控，它的从上往下数的 n行是线性无关的,并且下面的 q行由于 s不是零,它和前述 n行也是线性无关的,这时 (S-5)矩阵的秩为 n+q。当 s=0时,由于
(4-22)式它的秩也是 n+q。因此,对任意的 s,(S-5)式矩阵的秩均为 n+q，故 (4-21)式的系统可控。反之，同样易于说明。
在定理 4-7的条件下,(4-21)式的系统是可控的。因此可以利用状态反馈配置闭环系统的特征值的方法来改善系统的动态性能和稳态性能。引入状态反馈
0sIC
B0AsI (S-5)
qKxKqxKKu 2121
(4-23)
证明 考虑矩阵
25
由 (4-21)式和 (4-23)式组成的闭环系统的方程为
(4-24)式的系统表示在下面的图中,(4-23) 式中第一项 K1x是对象的某个普通的状态反馈，第二项 K2q是为了改善稳态性能而引入的偏差的积分信号。
d
yr xue q y
1K
2K? BuAxx C
控制器对象
q
x0Cy,
y
d
q
x
0C
BKBKA
q
x
r
21
(4-24)
26
定理 4-8 设 K1和 K2选得使 (4-24)的特征值均具有负实部，而且干扰和参考输入均为阶跃信号，即
)t(1yy,)t(1d)t(d 0r0
其中 d0,y0为 n维和 q维的常值向量。则 x(t)及 q(t)趋向于常值稳态值，而输出趋向于给定的参考值，即有证明 对 (4-24) 式进行拉氏变换,并解出象函数的代数方程,
得
s
1
y
d
sIC
BK)BKA(sI
)s(q
)s(x
0
0
1
21?
因为 (4-24)式中的系统是稳定的，应用拉氏变换的终值定理，
可得
0)](1)([lim 0 tytyt
(4-25)
27
0
0
1
21
0st y
d
0C
BK)BKA(
)s(q
)s(xslim
)t(q
)t(xlim
即 x(t),q(t)趋向于常值向量，这意味着 和 都趋向于零。又因为
)(tq?)(tx?
=yr(t)-y(t) )(tq?
故有 (4-25) 式成立。
条件 (4-22) 式的说明：若 (4-22)式不满足，即有
qn0sIC B0AsIr a n k
0s
28
这表明增广系统 (4-21)式有 s=0这一特征值不可控,状态反馈 (4-23)不能改变这个特征值,它在闭环动态方程中仍存在,从而导致闭环系统不稳定 。 但在闭环传递函数形成时,产生了零,
极对消,闭环传函无此 s=0的极点,这一零,极对消的原因是正向通道中引入了积分环节 (参考本节插图 ),也就是引入了一个 s=０的极点,它一定是与对象的零点发生了相消 。 因此 (4-23)
式不成立意味着对象有 s=0的零点 。 在单变量的情况,就是对象传递函数的零点,但是在系统迥路中不稳定的零,极对消是不允许的 。
以上说明的一个例子如下例题 系统方程为
x10y,du10x32 10x
29
试问是否可以用本节的方法设计控制器,使得在 yr(t)=1(t)作用下无稳态误差 。
3qn2
010
132
010
r a n k
计算对象部分的传递函数
2s3s
s)s(G
2
对这一系统无法用本节的方法进行控制器设计以消去稳态误差。
解 验证 (4-22)式
30
例题 2-10 系统方程为
x0001y
w
6
0
4
0
u
1
0
1
0
x
01100
1000
0100
0010
x
解 为了消去稳态误差，应如 (4-19)式引入积分器，得到增广系统方程如下
q
x
00001y
y
w6
0
w4
0
u
0
1
0
1
0
q
x
00001
001100
01000
00100
00010
q
x
r
要求输出跟踪参考输入 yr1(t),yr为阶跃函数的幅值。
31
验证系统可控应满足的条件
10
0C
BA
d e t
00001
101100
01000
10100
00010
OC
BA
故增广系统可控,用状态反馈可以任意配置特征值。令反馈增益阵为
54321 kkkkk
下面来选 ki，以使闭环系统有特征值 -2,-2,-1,，即实现期望的多项式
j1
8s24s30s20s7s 2345
加了状态反馈后的系统矩阵
32
00001
kkk11kk
01000
kk1kkk
00010
54321
54321
它的特征式为
512523134245 k10sk10s)kk10(s)11kk(s)kk(s
比较上面两个多项式同次幂的系数,可以求出反馈增益阵为
K=[2.4 3.08 33.4 10.08 0.8 ],并且得到闭环系统方程
r
y
w6
0
w4
0
q
x
00001
8.008.104.2208.34.2
01000
8.008.104.3208.34.2
00010
q
x
33
现在来验证上式的稳态特征
r
r
r
1
1
t
y
y
d
305.46.128.285.3
00100
01.001.00
00001
10000
00001
y
d
CA)t(yl i m
可见 y(t)最终趋近于稳态值 yr，这正是所期望的结果。
q
x00001y
