1,高为炳编著,运动稳定性基础 高等教育出版社 1987 年 5月
2,黄琳,稳定性理论 北京大学出版社
1992年 7月
3,秦元勋、王慕秋、王联：
运动稳定性理论与应用 科学出版社 1980年
4,王柔怀、伍卓群编：
常微分方程讲义 人民教育出版社 1978年
5月参考书微分方程解对初值的连续依赖性
00 x)t(x
)E()t,x(fx
解 x(t) 是自变量 t的函数,t0,x0变动时对应的解也随着变动，它应该是自变量 t与初值 t0,x0的函数,可写为
x(t,t0,x0) 。例如
00 tt
0
tt
0 exe)t(xx
xx
问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。
定理：若 f(x,t) 在域内连续且局部满足 Lipschitz条件，则 E的解 x(t,t0,x0)作为 t,t0,x0的函数在它的存在范围内是连续的。即
0,0,使得当 ‖ x (t0)-? (t0) ‖时,有
‖ x(t,t0,x(t0))-? (t,t0,?(t0)) ‖,a≤t≤b,a≤ t0 ≤b
7-1 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展 。 因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间 满足存在和唯一性条件 。),t[ 0
考虑一般的时变、非线性、多变量系统，它的微分方程式如下其中 x为 n维向量,F(t,x)为 n维的函数向量。不失一般性，可以设
F(t,0)=0 (7-2)
)x,t(Fx
(7-1)
这时方程（ 7-1）有解 x=0(满足 x(t0)= 0),称为（ 7-1）
的显然解或零解。
设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡状态 x=0。 若初始扰动为 x(t0)= x0,显然在这个初始扰动作用下，方程（ 7-1）所决定的运动是下列初值问题
)t,x,t(x)t(x 00?
的解 。 将这个解表示为
00 x)t(x?)x,t(Fx
从物理概念上看，（ 7-2）式表示系统的平衡状态，相应于状态空间中的座标原点。
根据微分方程解对初值的连续依赖性质,可知只要 x0充分小,对于 [t0,T] 之间的任一时刻,x(t,t0,x0)
偏离 x=0也可以任意小 。 现在要问这一性质是否对
[t0,+∞)均成立？
定义 7-1 对于任意的?＞ 0,都存在?(t0,?)?0,使得当 ‖ x(t0) ‖ ＜?(t0,?)时有
‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜t≥ t0
成立。则称平衡状态 x=0是（李雅普诺夫意义下）
稳定的。
定义 7-2 若定义 7-1中的? =?(?),即?与 t0无关,
则称所定义的稳定为一致稳定 。
‖ x(t0) -
0‖
‖ x(t,t0,x0) -0‖ ＜?
定义 7-1 李雅普诺夫意义下稳定
tt0
1,此处?随着? t0而变化
2,‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜t≥ t0
对于任意的?＞ 0,都存在?(t0,?)?0,使得当
‖ x(t0) ‖ ＜?(t0,?)
时有 ‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜t≥ t0成立 。
初值变化充分小，解的变化 ( t≥ t0)可任意小 (不是无变化 )
定义 7-3 若 (a)x=0是稳定的 。 (b)存在?(t0)?0,使得对任意的?＞ 0,存在 T(?,t0,x0),当 ‖ x(t0) ‖ ＜?(t0),
t? t0 + T(?,t0,x0)时有 ‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜? 。
则称 x=0为渐近稳定 。
t0
(t0)
t0 + T(?,t0,x0)
1,此处?(t0)是固定的一个范围,(不是任意小的 )
2,‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜? t? t0 + T(?,t0,x0)
(a)x=0是稳定的,x在 t? t0的行为已决定
(b) 是 t充分大时的性质,
定义 7-3 若
(a)x=0是稳定的 。
(b)存在?(t0,)?0,使得对任意的?＞ 0,存在 T(?,t0,x0),
当 ‖ x(t0) ‖ ＜?(t0),t? t0 + T(?,t0,x0)时有 ‖ x(t,t0,
x0) ‖ ＜? 。
则称 x=0为渐近稳定 。
定义 7-4 若
(a)x=0是一致稳定的 。
(b)存在?0?0,使得对任意的?＞ 0,存在 T(?),
当 ‖ x(t0) ‖ ＜?0,t? t0 + T(?)时有 ‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜? 。
则称 x=0为一致渐近稳定 。
定义 7-5 若存在? ＞ 0,对任意的?＞ 0,存在?(?) ＞ 0,
使得当 ‖ x(t0) ‖ ＜? (?),就有
‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜? e-? (t- t0)?t≥ t0
成立 。 则称 x=0是按指数渐近稳定的 。
这里所定义的稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定和按指数渐近稳定都是局部的概念，即定义中的条件只要在 x=0的附近成立即可。
指数渐近稳定 稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定线性系统稳定性的特点
（ 7-4） 式比一般的方程 （ 7-1） 式的结构要简单,
因此它在稳定性方面有更多的简单特性 。
u)t(Bx)t(Ax
(7-4)
定理 7-1 对于方程所表示的线性系统，若有一个运动稳定，则其所有运动稳定。
对线性系统而言，可以用“系统是稳定的”
若线性系统零解是 （ 一致 )渐近稳定的,那么由状态空间任一点为起点的运动轨线都要收敛到原点,即原点的渐定稳定的吸引区遍及整个状态空间,在运动稳定性理论中称为全局 （ 一致 ） 渐近稳定或大范围 （ 一致 ） 渐近稳定 。
线性系统的稳定性判据由于线性动态方程的稳定性等价于其对应的齐次方程的零解的稳定性,故这里只讨论齐次方程
x)t(Ax
对于 （ 7-5） 零解的稳定性问题,由于 A(t)不是常量矩阵,因此一般地不能用特征值来讨论系统运动的性质,而应该用与系统运动关系密切的状态转移矩阵?Φ(t,t0) 。
例 7-2 齐次方程如下
x
10
e1
x
t2
A的特征值为 -1,-1。
t
tt
2
1t
e0
)ee(e
)0,t(
)t(x
e0
)ee(e
e0
)ee(e
)t(x 0
1
t
tt
2
1t
t
tt
2
1t
0
000
当 时,只要,就有 趋于无穷,
故零解不稳定 。 若简单地由特征值来判断则导致了错误的结论 。
t 0)0(2?x )(tx
定理 7-2 设是连续（或分段连续）的函数矩阵，则有以下充分必要条件成立：
（ 4） （ 7-5） 一致渐近稳定：存在 N,C>0,使得对于任意的 t0和 t≥ t0有
)(),( ottC
o Nett
（ 3）（ 7-5)渐近稳定 (7-7)
0)t,t(L im ot
（ 1） （ 7-5） 稳定：存在某常数 N(t0),使得对于任意的 t0和 t≥ t0有
‖?Φ(t,t0) ‖ ≤ N(t0) （ 7-6）
（ 2）（ 7-5）一致稳定 (1)中的 N(t0)与 t0无关。
（ 1） （ 7-5） 稳定：存在某常数 N(t0),使得对于任意的 t0和 t≥ t0有
‖?Φ(t,t0) ‖ ≤ N(t0) （ 7-6）
李氏稳定等价于状态转移矩阵范数的有界性一致稳定等价于状态转移矩阵范数的一致有界性一致渐近稳定等价于按指数规律稳定对线性系统时不变线性系统的稳定性判据
n维时不变系统的方程为特征方程式为系统 (7-10)的稳定性完全可由特征方程式 (7-11)
的根来决定。
Axx (7-10)
0)AsIde t (
(7-11)
定理：系统 (7-10)的稳定性有以下充分必要条件
(1)稳定,(7-11)式实部为零的根对应的初等因子是一次 (或对应的若当块为一阶块，或是最小多项式的简单零点。几何重数等于代数重数。 ),且其余根均有负实部。
(2)渐近稳定,(7-11)式的所有根均具有负实部。
(3)不稳定,(7-11)式有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。
详细说明见下节
代数重数 ni,即特征式中有且仅有因子
(s-? ) ni
几何重数 是指?对应的线性无关的特征向量的个数，即属于?的若当块的块数。几何重数 可以如下求出
in
in
)AIk e r (d i mn
)AI(r a n knn
i
i
指数渐近稳定 稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定线性 定常定常
00
00A,
00
10A
21
10
01
e,
10
t1
e tAtA 21
例 7-3 若（ 7-10）式中的 A阵分别取它们所对应的矩阵指数为显然 含有 t而无界,而 有界 。 故 对应的系统不稳定,对应的系统稳定,但因为 的特征值不具有负实部,故不是渐近稳定 。
tA 1e tA 2e
2A
1A
2A
例题 系统方程如下
x
a
x
001
100
47
式中 a为实常数,写出 u=0时,x=0李氏稳定时,a
的取值条件 。
解 系统的特征方程式为
74
01
10
47
23
sass
s
s
as
所以 李氏稳定,
4
7?a
4
7?a 三根在左平面 ;
4
7?a 有正根 ;
4
7?a 有一根为 -7/4,另两根为 -j,+j
7
74
7
41
0
2
3
s
a
a
s
as
s
劳斯表：
7-6 若对所有 t,P(t) 是非奇异阵且关于 t 是连续可微的,且 ||P(t)||,||P-1(t)|| 和 对所有 t 有界,则等价变换称为李雅普诺夫变换 。 试证在任何李雅普诺夫变换下,零状态的稳定性和渐近稳定性不变 。
)t(P?
P.20第一行
)t(P)t,t()t(P)t,t( 100
P.19 (1-71)
)t(P)t(P)t(A)t(P)t(A 1
两边取范数，即得所要的结论。
7-5,6
7-5 证明 的零解不稳定 。 但利用等价变换 后,所得到的新系统是稳定的 。 由此可见等价变换不能保证稳定性不变 。
xex 2t
tx2x
原系统的状态转移矩阵为,
显然无界。变换后的系统方程为,新系统稳定。
202 tt
0 e)t,t(
0x
习题 7-5的变换是否是李雅普诺夫变换？
22 t1t e)t(P,e)t(P 无界。
2,黄琳,稳定性理论 北京大学出版社
1992年 7月
3,秦元勋、王慕秋、王联：
运动稳定性理论与应用 科学出版社 1980年
4,王柔怀、伍卓群编：
常微分方程讲义 人民教育出版社 1978年
5月参考书微分方程解对初值的连续依赖性
00 x)t(x
)E()t,x(fx
解 x(t) 是自变量 t的函数,t0,x0变动时对应的解也随着变动，它应该是自变量 t与初值 t0,x0的函数,可写为
x(t,t0,x0) 。例如
00 tt
0
tt
0 exe)t(xx
xx
问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。
定理：若 f(x,t) 在域内连续且局部满足 Lipschitz条件，则 E的解 x(t,t0,x0)作为 t,t0,x0的函数在它的存在范围内是连续的。即
0,0,使得当 ‖ x (t0)-? (t0) ‖时,有
‖ x(t,t0,x(t0))-? (t,t0,?(t0)) ‖,a≤t≤b,a≤ t0 ≤b
7-1 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展 。 因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间 满足存在和唯一性条件 。),t[ 0
考虑一般的时变、非线性、多变量系统，它的微分方程式如下其中 x为 n维向量,F(t,x)为 n维的函数向量。不失一般性，可以设
F(t,0)=0 (7-2)
)x,t(Fx
(7-1)
这时方程（ 7-1）有解 x=0(满足 x(t0)= 0),称为（ 7-1）
的显然解或零解。
设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡状态 x=0。 若初始扰动为 x(t0)= x0,显然在这个初始扰动作用下，方程（ 7-1）所决定的运动是下列初值问题
)t,x,t(x)t(x 00?
的解 。 将这个解表示为
00 x)t(x?)x,t(Fx
从物理概念上看，（ 7-2）式表示系统的平衡状态，相应于状态空间中的座标原点。
根据微分方程解对初值的连续依赖性质,可知只要 x0充分小,对于 [t0,T] 之间的任一时刻,x(t,t0,x0)
偏离 x=0也可以任意小 。 现在要问这一性质是否对
[t0,+∞)均成立？
定义 7-1 对于任意的?＞ 0,都存在?(t0,?)?0,使得当 ‖ x(t0) ‖ ＜?(t0,?)时有
‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜t≥ t0
成立。则称平衡状态 x=0是（李雅普诺夫意义下）
稳定的。
定义 7-2 若定义 7-1中的? =?(?),即?与 t0无关,
则称所定义的稳定为一致稳定 。
‖ x(t0) -
0‖
‖ x(t,t0,x0) -0‖ ＜?
定义 7-1 李雅普诺夫意义下稳定
tt0
1,此处?随着? t0而变化
2,‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜t≥ t0
对于任意的?＞ 0,都存在?(t0,?)?0,使得当
‖ x(t0) ‖ ＜?(t0,?)
时有 ‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜t≥ t0成立 。
初值变化充分小，解的变化 ( t≥ t0)可任意小 (不是无变化 )
定义 7-3 若 (a)x=0是稳定的 。 (b)存在?(t0)?0,使得对任意的?＞ 0,存在 T(?,t0,x0),当 ‖ x(t0) ‖ ＜?(t0),
t? t0 + T(?,t0,x0)时有 ‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜? 。
则称 x=0为渐近稳定 。
t0
(t0)
t0 + T(?,t0,x0)
1,此处?(t0)是固定的一个范围,(不是任意小的 )
2,‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜? t? t0 + T(?,t0,x0)
(a)x=0是稳定的,x在 t? t0的行为已决定
(b) 是 t充分大时的性质,
定义 7-3 若
(a)x=0是稳定的 。
(b)存在?(t0,)?0,使得对任意的?＞ 0,存在 T(?,t0,x0),
当 ‖ x(t0) ‖ ＜?(t0),t? t0 + T(?,t0,x0)时有 ‖ x(t,t0,
x0) ‖ ＜? 。
则称 x=0为渐近稳定 。
定义 7-4 若
(a)x=0是一致稳定的 。
(b)存在?0?0,使得对任意的?＞ 0,存在 T(?),
当 ‖ x(t0) ‖ ＜?0,t? t0 + T(?)时有 ‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜? 。
则称 x=0为一致渐近稳定 。
定义 7-5 若存在? ＞ 0,对任意的?＞ 0,存在?(?) ＞ 0,
使得当 ‖ x(t0) ‖ ＜? (?),就有
‖ x(t,t0,x0) ‖ ＜? e-? (t- t0)?t≥ t0
成立 。 则称 x=0是按指数渐近稳定的 。
这里所定义的稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定和按指数渐近稳定都是局部的概念，即定义中的条件只要在 x=0的附近成立即可。
指数渐近稳定 稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定线性系统稳定性的特点
（ 7-4） 式比一般的方程 （ 7-1） 式的结构要简单,
因此它在稳定性方面有更多的简单特性 。
u)t(Bx)t(Ax
(7-4)
定理 7-1 对于方程所表示的线性系统，若有一个运动稳定，则其所有运动稳定。
对线性系统而言，可以用“系统是稳定的”
若线性系统零解是 （ 一致 )渐近稳定的,那么由状态空间任一点为起点的运动轨线都要收敛到原点,即原点的渐定稳定的吸引区遍及整个状态空间,在运动稳定性理论中称为全局 （ 一致 ） 渐近稳定或大范围 （ 一致 ） 渐近稳定 。
线性系统的稳定性判据由于线性动态方程的稳定性等价于其对应的齐次方程的零解的稳定性,故这里只讨论齐次方程
x)t(Ax
对于 （ 7-5） 零解的稳定性问题,由于 A(t)不是常量矩阵,因此一般地不能用特征值来讨论系统运动的性质,而应该用与系统运动关系密切的状态转移矩阵?Φ(t,t0) 。
例 7-2 齐次方程如下
x
10
e1
x
t2
A的特征值为 -1,-1。
t
tt
2
1t
e0
)ee(e
)0,t(
)t(x
e0
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1
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2
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000
当 时,只要,就有 趋于无穷,
故零解不稳定 。 若简单地由特征值来判断则导致了错误的结论 。
t 0)0(2?x )(tx
定理 7-2 设是连续（或分段连续）的函数矩阵，则有以下充分必要条件成立：
（ 4） （ 7-5） 一致渐近稳定：存在 N,C>0,使得对于任意的 t0和 t≥ t0有
)(),( ottC
o Nett
（ 3）（ 7-5)渐近稳定 (7-7)
0)t,t(L im ot
（ 1） （ 7-5） 稳定：存在某常数 N(t0),使得对于任意的 t0和 t≥ t0有
‖?Φ(t,t0) ‖ ≤ N(t0) （ 7-6）
（ 2）（ 7-5）一致稳定 (1)中的 N(t0)与 t0无关。
（ 1） （ 7-5） 稳定：存在某常数 N(t0),使得对于任意的 t0和 t≥ t0有
‖?Φ(t,t0) ‖ ≤ N(t0) （ 7-6）
李氏稳定等价于状态转移矩阵范数的有界性一致稳定等价于状态转移矩阵范数的一致有界性一致渐近稳定等价于按指数规律稳定对线性系统时不变线性系统的稳定性判据
n维时不变系统的方程为特征方程式为系统 (7-10)的稳定性完全可由特征方程式 (7-11)
的根来决定。
Axx (7-10)
0)AsIde t (
(7-11)
定理：系统 (7-10)的稳定性有以下充分必要条件
(1)稳定,(7-11)式实部为零的根对应的初等因子是一次 (或对应的若当块为一阶块，或是最小多项式的简单零点。几何重数等于代数重数。 ),且其余根均有负实部。
(2)渐近稳定,(7-11)式的所有根均具有负实部。
(3)不稳定,(7-11)式有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。
详细说明见下节
代数重数 ni,即特征式中有且仅有因子
(s-? ) ni
几何重数 是指?对应的线性无关的特征向量的个数，即属于?的若当块的块数。几何重数 可以如下求出
in
in
)AIk e r (d i mn
)AI(r a n knn
i
i
指数渐近稳定 稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定线性 定常定常
00
00A,
00
10A
21
10
01
e,
10
t1
e tAtA 21
例 7-3 若（ 7-10）式中的 A阵分别取它们所对应的矩阵指数为显然 含有 t而无界,而 有界 。 故 对应的系统不稳定,对应的系统稳定,但因为 的特征值不具有负实部,故不是渐近稳定 。
tA 1e tA 2e
2A
1A
2A
例题 系统方程如下
x
a
x
001
100
47
式中 a为实常数,写出 u=0时,x=0李氏稳定时,a
的取值条件 。
解 系统的特征方程式为
74
01
10
47
23
sass
s
s
as
所以 李氏稳定,
4
7?a
4
7?a 三根在左平面 ;
4
7?a 有正根 ;
4
7?a 有一根为 -7/4,另两根为 -j,+j
7
74
7
41
0
2
3
s
a
a
s
as
s
劳斯表：
7-6 若对所有 t,P(t) 是非奇异阵且关于 t 是连续可微的,且 ||P(t)||,||P-1(t)|| 和 对所有 t 有界,则等价变换称为李雅普诺夫变换 。 试证在任何李雅普诺夫变换下,零状态的稳定性和渐近稳定性不变 。
)t(P?
P.20第一行
)t(P)t,t()t(P)t,t( 100
P.19 (1-71)
)t(P)t(P)t(A)t(P)t(A 1
两边取范数，即得所要的结论。
7-5,6
7-5 证明 的零解不稳定 。 但利用等价变换 后,所得到的新系统是稳定的 。 由此可见等价变换不能保证稳定性不变 。
xex 2t
tx2x
原系统的状态转移矩阵为,
显然无界。变换后的系统方程为,新系统稳定。
202 tt
0 e)t,t(
0x
习题 7-5的变换是否是李雅普诺夫变换？
22 t1t e)t(P,e)t(P 无界。
