1
A,线性时不变系统的稳定性分析
§ 7-2,7-3的部分内容或用复数域表示系统方程为
(A-1)的解
CxyBuAxx (A-1)
t
0
)t(AAt
t
0
)t(AAt
d)(BuCe)0(xCe)t(y
d)(Bue)0(xe)t(x
(A-2)
)s(Bu)AsI(C)0(x)AsI(C)s(y
)s(Bu)AsI()0(x)AsI()s(x
11
11
(A-3)
2
由 (A-2)可见 x (t),y (t)由四部分组成，因此稳定性分析要对这四部分进行，显然只有这四项都有界时系统才能正常工作。因此，对系统采用状态空间的描述方式时,带来了新的稳定性概念。这些稳定性概念又和系统可控性、可观测性密切相关。
(A-1) 式中 A阵的特征值称为模态,ni重特征值 λ
对应的运动形式可能有,它们均称为系统的运动模式 。 但对应于 λ的这些模式并非全部都出现,究竟出现多少项取决于 λ的几何结构 。 例如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式：
tntt ettee i 1,,,
一，运动模式及其收敛、发散、有界的条件
3?
t2
t2t2
t22t2t2
tA
3
t2
t2
t2t2
tA
2
e
tee
et
2
1
tee
e
2
12
12
A
e
e
tee
e
2
2
12
A
3
2
t2
t2
t2
tA
1
e
e
e
e
2
2
2
A 1
例题 A-1
4
(3) Reλ=0,分两种情况：若 λ对应的若当块全是一阶块，
这时 λ的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；当 λ的几何重数小于代数重数,λ对应的若当块一定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散，但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时,
(1) Reλ< 0,λ对应的所有运动模式收敛,即随着时间趋于无穷而趋于零 。
(2) Reλ>0,λ对应的所有运动模式发散,即随着时间趋于无穷而趋于无穷,并且是按指数规律发散 。
5
一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的形态作出结论。只要将题 A-1中的特征值 2换为零，
就可证实。
如果对动态方程 (A-1)进行等价变换,不会改变运动模式的性质,因而也不会改变 (A-2)式中四项的有界性,即等价变换不改变稳定性 。
稳定性问题是 A的特征值问题，但在 (A-2)式中以四项形式出现，也就是与 B,C阵密切相关，即与系统的可控性、可观测性密切相关。
6
二,李雅普诺夫意义下的稳定,渐近稳定首先研究齐次方程
Axx (A-4)
它的解为 eA tx (0)，这是 (A-2)式中的第一项,也是 u=0
时 x (t)的表达式。当 x(0)=0时,(A-4)有解,x=0，它称为 (A-4)的零解。
定义 对任意的 x(0),均有 x(t)有界,则称 (A-4)的零解是李雅普略夫意义下稳定的；
若对任意的 x(0),均有,则称 (A-4)的零解为渐近稳定。 0)(lim txt
7
说明：这里一个时间函数 x(t) 称为有界的，是指 存在与 t无关的常数 K，使得当 t∈ (0,∞),均有 |x(t)|<K
成立。
定理 A-1 对方程 (A-4) 零解的稳定性有下列充分必要条件成立：
(1)李雅普略夫意义下稳定 A的实部为零的特征值对应的若当块是一阶块，其余特征值均具有负实部；
(2) 渐近稳定 A 的特征值均具有负实部；
(3) 不稳定 A或有正实部特征值；或实部为零的特征值有非一阶若当块。
8
例题 A-2 下面给出的三个系统矩阵Ａ,分别对应于稳定,渐近稳定,不稳定的情况 。 对于同属于不稳定情况的第三,四个矩阵,发散的情况有所不同,前者按 t
规律发散,后者按指数规律 (e t ) 发散 。
1
3
5
1
0
10
5
1
1
0
1
11
j
j
三,有界输入、有界状态（ BIBS）稳定本节研究 (A-2)式中的第二项,并综合研究第一、二项。
9
定义 若 x (0)=0,及在任意有界输入 u(t)作用下,均有
x(t)有界,则称系统 (A-1)BIBS稳定 。
若对任意的 x(0),及在任意有界输入 u(t)作用下,
均有 x(t)有界,则称系统 (A-1)BIBS 全稳定。
定理 A-2 系统 (A-1)BIBS稳定 系统 (A-1)全体可控模式收敛,
系统 (A-1)BIBS 全稳定 系统 (A-1)全体可控模式 收敛,全体不可控模式 无发散 。
定理 A-2 可以用可控性分解式来说明,不妨假定，
(A-1)式中的矩阵 A,B具有可控性分解形式。这时有
10
0
)(
)0(
)0(
)(
0
1
)(
2
1
1
4
1
t
tA
tA
tA
duBe
x
x
e
e
tx
当 x(0)=0时,x(t)的表达式中只有第二项，这项与不可控模式无关，而
0
1
0
1
)( 11 )( dtBeKduBe tA
t
tA
这里 K是 u(t)的界，上式若有界当且仅当 A1的特征值均具有负实部。当考虑全稳定时,A的所有模式均要计及，故需加上 | |有界的条件，而这个条件就是 A4李氏稳定的条件。
tAe4
11
从复数域的表达式 (A-3)来看,BIBS稳定的条件就是 (sI-A)-1B的极点均具有负实部，因为不可控模均已消去，故只要对可控模态提出要求即可。
李氏稳定条件加上了 BIBS稳定条件就是 BIBS全稳定的条件。
四,有界输入、有界输出（ BIBO）稳定本节研究 (A-2)式中的第四项,并综合研究第三、四项。
定义 若 x (0)=0,及在任意有界输入 u(t)作用下，均有
y(t)有界,则称系统 (A-1)BIBO稳定。
若对任意的 x(0),及在任意有界输入 u(t)作用下,
均有 y(t)有界,则称系统 (A-1)BIBO全稳定。
12
定理 A-3 系统 (A-1)BIBO稳定 系统 (A-1)全体可控可观模式收敛,
系统 (A-1) BIBO 全稳定 系统 (A-1)全体可控可观模式收敛,全体可观不可控模式无发散。
BIBO稳定研究 的极点是否具有负实部，这正是经典控制理论中研究的稳定性。判别 G(s)的极点是否全在左半面，可用劳斯及古尔维茨判据。
)s(GB)AsI(C 1
定理 A-2,A-3明显地表明 BIBS稳定,BIBO稳定与系统可控性、可观性密切相关。
13
定义 若对任意的 x (0),及在任意有界输入 u(t) 作用下,
均有 x(t),y(t)有界,则称系统 (A-1) 总体稳定一个用状态方程描述的系统，要能够正常工作，
总体稳定是先决条件；总体稳定包含了 BIBO全稳定和
BIBS全稳定；而 BIBS全稳定的系统一定 BIBO 全稳定，
所以总体稳定的充分必要条件是 BIBS全稳定。
容易验证以下结论成立：
六，稳定性之间的关系五，总体稳定 (T稳定 )
14
(6-1) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO稳定 BIBS稳定
(6-2) 若（Ａ,B）可控，则有
BIBS稳定 Reλi(A)<0
(6-3) 若 （ Ａ,B,Ｃ ） 可观,可控,则有
BIBO稳定 Reλi(A)<0
(6-4) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBS全稳定 BIBS稳定,A 李氏稳定
(6-5) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO全稳定 BIBO稳定,A李氏稳定
15
(6-1) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO稳定 BIBS稳定证明：,,显然，下面证,,
)s(
B)s(H
)s(
B)s(CH
极点在左半面，要证 极点在左半面反证法。若 BIBS不稳定，存在不稳定的?0，使
(?0)=0,H (?0)B?0,这一个?0也一定使 CH (?0)B?0 *，
因而也是 G(s) 的极点，与 BIBO稳定矛盾。
*若 CH (?0)B=0,由定理 3-12的推导可得 V H (?0)B=0,
这里 V是可观性矩阵。由可观性假定可得 H (?0)B=0，
矛盾
16
(6-2) 若（Ａ,B）可控，则有
BIBS稳定 Reλi(A)<0
证明：只需要证 BIBS稳定 Reλi(A)<0
)s(
B)s(HB)AsI( 1
（Ａ,B）可控 无零、极对消。
否则有?(?0)=0,H (?0)B=0,由定理 3-12的推导可得
H (?0) [B AB A2B … A n-1B]=0,与公因子为 1相矛盾。
BIBS稳定,?(s)的零点均在左半面，所以｜ sI-A｜
零点也在左半面 (二者数值一样，只是重数不同 ) 。
17
BIBS全 稳定
BIBO全 稳定
BIBS稳定
+ A 稳定BIBS全 稳定
BIBO稳定
+ A 稳定BIBO全 稳定可观可控可观可控
18
定理 A-4 若（Ａ,B、Ｃ）可观、可控，以下事实等价
1,BIBO稳定 ;
2,BIBS稳定 ;
3,A渐近稳定 ;
4,A特征值具有负实部 ;
5,传函阵极点具有负实部 ;
6,总体稳定
19
定理 A-4
总体稳定传函阵极点负实部
A特征值负实部
A渐近稳定 BIBS稳定 BIBO稳定可观可控可观可控
20
总体稳定传函阵极点负实部
A特征值负实部
A渐近稳定 BIBS稳定 BIBO稳定可观可控可观可控
A 稳定
21
时不变系统判断各种意义下的稳定性，一般要求出 A的特征值，再对这些特征值的可控、可观性进行研究，再根据定理作判断。因为系统的可控性、
可观性与传函阵零、极点对消（或约去模态）有联系，因此可以不去判别各特征值的可控、可观性，
直接计算
(sI-A)-1B C(sI-A)-1 C(sI-A)-1B
由计算的结果判别。
22
例题 多变量系统结构图如下图所示，其中 K1，和
K2都是非零常数,v1,v2是输入量,y1,y2是输出量。
试给出系统总体稳定时参数 K1,K2应满足的条件（只要给出不等式，不要求解出不等式）。
1s
2
2s
3
v1 x1 y1
v2 u2 x2
K2
_
y2
u1
_
_
K1
23
解 根据图中所给出的关系，列出方程组如下
2121111222
112222221111
xuy,yvu,)ux(vu
xy,uK3x2x,)uKuK(2xx
消去中间变量 u1,u2，得到下列系统的状态方程与输出方程
2
1
2
1
2
1
2
1
22
221
2
1
22
221
2
1
v
v
01
00
x
x
11
01
y
y
v
v
K3K3
K2K2K2
x
x
K32K3
K2K2K21
x
x
24
B,C 矩阵的秩均为 2，系统可控、可观测，故总体稳定等价于渐近稳定，于是
)KK6K7K42(s)K5K23(s
K32sK3
K2K2K21s
212121
2
22
221
上面的多项式的根均在左半面的充要条件为
0KK6K7K42
0K5K23
2121
21
25
例题 系统状态方程和输出方程如下
u
b
x
aa
x
1
0
0
100
000
21
xby 01
其中 a1,a2和 b均为实常数，试分别给出满足下列条件时,a1,a2和 b的取值范围
(1) 李亚普诺夫意义下稳定；
(2) 有界输入、有界输出 (BIBO)稳定。
26
解
(1) 李氏稳定：
1)
特征值一个为 0，两个有负实部
01?a 02?a
2),
特征值两个为 0,一个有负实部 。 零特征值几何重数与代数重数相同,初等因子为一次
01?a 02?a
3)
一个零特征值，一对共轭零实部特征值
01?a 02?a
27
(2) BIBO稳定：
)asas(s
)asa(b
asas
bs
s
b)s(G
12
2
12
12
2
0)s(G0a0a0b,2
0)s(G0b,1
21
此外不会 BIBO稳定。
28
其中 x为 n× 1向量,F(t,x) 为 n× 1的函数向量，且设
F(t,0)=0,这时方程有解 x=0称为 (1)式的零解。它表示系统的平衡状态，相应于状态空间的原点。
微分方程如下：
设有一个初始扰动，使系统偏离了平衡状态。若初始扰动为 x(t0)=x0，方程 (1)所决定的运动是下列初值问题的解
)1(),( xtFx
将这个解表示为,x(t)=x(x0,t0,t) 。
)2()(),( 00 xtxxtFx
附录：李雅普诺夫稳定性
A) 稳定定义
29
定义一,对于任意的,都存在,
使得当 时有成立。则称平衡状态 x=0 是 (李雅普诺夫意义下 )稳定的。
0 0),(
0 t
),()( 00 ttx? 000 ),,( tttxtx
定义二,若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在,使得对任意的,存在,当,
时有 。则称 x=0为渐近稳定。
0
0)( 0?t?
)()( 00 ttx
000 ),,( tttxtx
0),,( 00?xtT?
),,( 000 xtTtt
B) 时不变线性系统的稳定性判据
n维时不变系统的方程为
)3(Axx
(3)式的特征方程式为
30
系统 (3)的稳定性完全可由 (4)式的根来决定。
定理：系统 (3)的稳定性有以下充分必要条件
)4(0)d e t ( AsI
(1)稳定,(4)式实部为零的根对应的初等因子是一次 (或对应的若当块为一阶块，或是最小多项式的简单零点。 ),且其余根均有负实部。
(2)渐近稳定,(4)式的所有根均具有负实部。
(3)不稳定,(4)式有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。
31
例题 系统方程如下
x
a
x
001
100
47
式中 a为实常数,写出 u=0时,x=0李氏稳定时,a
的取值条件 。
解 系统的特征方程式为
74
01
10
47
23
sass
s
s
as
32
所以 李氏稳定,
4
7?a
4
7?a 三根在左平面 ;
4
7?a 有正根 ;
4
7?a 有一根为 -7/4,另两根为 -j,+j
7
74
7
41
0
2
3
s
a
a
s
as
s
劳斯表：
A,线性时不变系统的稳定性分析
§ 7-2,7-3的部分内容或用复数域表示系统方程为
(A-1)的解
CxyBuAxx (A-1)
t
0
)t(AAt
t
0
)t(AAt
d)(BuCe)0(xCe)t(y
d)(Bue)0(xe)t(x
(A-2)
)s(Bu)AsI(C)0(x)AsI(C)s(y
)s(Bu)AsI()0(x)AsI()s(x
11
11
(A-3)
2
由 (A-2)可见 x (t),y (t)由四部分组成，因此稳定性分析要对这四部分进行，显然只有这四项都有界时系统才能正常工作。因此，对系统采用状态空间的描述方式时,带来了新的稳定性概念。这些稳定性概念又和系统可控性、可观测性密切相关。
(A-1) 式中 A阵的特征值称为模态,ni重特征值 λ
对应的运动形式可能有,它们均称为系统的运动模式 。 但对应于 λ的这些模式并非全部都出现,究竟出现多少项取决于 λ的几何结构 。 例如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式：
tntt ettee i 1,,,
一，运动模式及其收敛、发散、有界的条件
3?
t2
t2t2
t22t2t2
tA
3
t2
t2
t2t2
tA
2
e
tee
et
2
1
tee
e
2
12
12
A
e
e
tee
e
2
2
12
A
3
2
t2
t2
t2
tA
1
e
e
e
e
2
2
2
A 1
例题 A-1
4
(3) Reλ=0,分两种情况：若 λ对应的若当块全是一阶块，
这时 λ的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；当 λ的几何重数小于代数重数,λ对应的若当块一定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散，但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时,
(1) Reλ< 0,λ对应的所有运动模式收敛,即随着时间趋于无穷而趋于零 。
(2) Reλ>0,λ对应的所有运动模式发散,即随着时间趋于无穷而趋于无穷,并且是按指数规律发散 。
5
一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的形态作出结论。只要将题 A-1中的特征值 2换为零，
就可证实。
如果对动态方程 (A-1)进行等价变换,不会改变运动模式的性质,因而也不会改变 (A-2)式中四项的有界性,即等价变换不改变稳定性 。
稳定性问题是 A的特征值问题，但在 (A-2)式中以四项形式出现，也就是与 B,C阵密切相关，即与系统的可控性、可观测性密切相关。
6
二,李雅普诺夫意义下的稳定,渐近稳定首先研究齐次方程
Axx (A-4)
它的解为 eA tx (0)，这是 (A-2)式中的第一项,也是 u=0
时 x (t)的表达式。当 x(0)=0时,(A-4)有解,x=0，它称为 (A-4)的零解。
定义 对任意的 x(0),均有 x(t)有界,则称 (A-4)的零解是李雅普略夫意义下稳定的；
若对任意的 x(0),均有,则称 (A-4)的零解为渐近稳定。 0)(lim txt
7
说明：这里一个时间函数 x(t) 称为有界的，是指 存在与 t无关的常数 K，使得当 t∈ (0,∞),均有 |x(t)|<K
成立。
定理 A-1 对方程 (A-4) 零解的稳定性有下列充分必要条件成立：
(1)李雅普略夫意义下稳定 A的实部为零的特征值对应的若当块是一阶块，其余特征值均具有负实部；
(2) 渐近稳定 A 的特征值均具有负实部；
(3) 不稳定 A或有正实部特征值；或实部为零的特征值有非一阶若当块。
8
例题 A-2 下面给出的三个系统矩阵Ａ,分别对应于稳定,渐近稳定,不稳定的情况 。 对于同属于不稳定情况的第三,四个矩阵,发散的情况有所不同,前者按 t
规律发散,后者按指数规律 (e t ) 发散 。
1
3
5
1
0
10
5
1
1
0
1
11
j
j
三,有界输入、有界状态（ BIBS）稳定本节研究 (A-2)式中的第二项,并综合研究第一、二项。
9
定义 若 x (0)=0,及在任意有界输入 u(t)作用下,均有
x(t)有界,则称系统 (A-1)BIBS稳定 。
若对任意的 x(0),及在任意有界输入 u(t)作用下,
均有 x(t)有界,则称系统 (A-1)BIBS 全稳定。
定理 A-2 系统 (A-1)BIBS稳定 系统 (A-1)全体可控模式收敛,
系统 (A-1)BIBS 全稳定 系统 (A-1)全体可控模式 收敛,全体不可控模式 无发散 。
定理 A-2 可以用可控性分解式来说明,不妨假定，
(A-1)式中的矩阵 A,B具有可控性分解形式。这时有
10
0
)(
)0(
)0(
)(
0
1
)(
2
1
1
4
1
t
tA
tA
tA
duBe
x
x
e
e
tx
当 x(0)=0时,x(t)的表达式中只有第二项，这项与不可控模式无关，而
0
1
0
1
)( 11 )( dtBeKduBe tA
t
tA
这里 K是 u(t)的界，上式若有界当且仅当 A1的特征值均具有负实部。当考虑全稳定时,A的所有模式均要计及，故需加上 | |有界的条件，而这个条件就是 A4李氏稳定的条件。
tAe4
11
从复数域的表达式 (A-3)来看,BIBS稳定的条件就是 (sI-A)-1B的极点均具有负实部，因为不可控模均已消去，故只要对可控模态提出要求即可。
李氏稳定条件加上了 BIBS稳定条件就是 BIBS全稳定的条件。
四,有界输入、有界输出（ BIBO）稳定本节研究 (A-2)式中的第四项,并综合研究第三、四项。
定义 若 x (0)=0,及在任意有界输入 u(t)作用下，均有
y(t)有界,则称系统 (A-1)BIBO稳定。
若对任意的 x(0),及在任意有界输入 u(t)作用下,
均有 y(t)有界,则称系统 (A-1)BIBO全稳定。
12
定理 A-3 系统 (A-1)BIBO稳定 系统 (A-1)全体可控可观模式收敛,
系统 (A-1) BIBO 全稳定 系统 (A-1)全体可控可观模式收敛,全体可观不可控模式无发散。
BIBO稳定研究 的极点是否具有负实部，这正是经典控制理论中研究的稳定性。判别 G(s)的极点是否全在左半面，可用劳斯及古尔维茨判据。
)s(GB)AsI(C 1
定理 A-2,A-3明显地表明 BIBS稳定,BIBO稳定与系统可控性、可观性密切相关。
13
定义 若对任意的 x (0),及在任意有界输入 u(t) 作用下,
均有 x(t),y(t)有界,则称系统 (A-1) 总体稳定一个用状态方程描述的系统，要能够正常工作，
总体稳定是先决条件；总体稳定包含了 BIBO全稳定和
BIBS全稳定；而 BIBS全稳定的系统一定 BIBO 全稳定，
所以总体稳定的充分必要条件是 BIBS全稳定。
容易验证以下结论成立：
六，稳定性之间的关系五，总体稳定 (T稳定 )
14
(6-1) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO稳定 BIBS稳定
(6-2) 若（Ａ,B）可控，则有
BIBS稳定 Reλi(A)<0
(6-3) 若 （ Ａ,B,Ｃ ） 可观,可控,则有
BIBO稳定 Reλi(A)<0
(6-4) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBS全稳定 BIBS稳定,A 李氏稳定
(6-5) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO全稳定 BIBO稳定,A李氏稳定
15
(6-1) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO稳定 BIBS稳定证明：,,显然，下面证,,
)s(
B)s(H
)s(
B)s(CH
极点在左半面，要证 极点在左半面反证法。若 BIBS不稳定，存在不稳定的?0，使
(?0)=0,H (?0)B?0,这一个?0也一定使 CH (?0)B?0 *，
因而也是 G(s) 的极点，与 BIBO稳定矛盾。
*若 CH (?0)B=0,由定理 3-12的推导可得 V H (?0)B=0,
这里 V是可观性矩阵。由可观性假定可得 H (?0)B=0，
矛盾
16
(6-2) 若（Ａ,B）可控，则有
BIBS稳定 Reλi(A)<0
证明：只需要证 BIBS稳定 Reλi(A)<0
)s(
B)s(HB)AsI( 1
（Ａ,B）可控 无零、极对消。
否则有?(?0)=0,H (?0)B=0,由定理 3-12的推导可得
H (?0) [B AB A2B … A n-1B]=0,与公因子为 1相矛盾。
BIBS稳定,?(s)的零点均在左半面，所以｜ sI-A｜
零点也在左半面 (二者数值一样，只是重数不同 ) 。
17
BIBS全 稳定
BIBO全 稳定
BIBS稳定
+ A 稳定BIBS全 稳定
BIBO稳定
+ A 稳定BIBO全 稳定可观可控可观可控
18
定理 A-4 若（Ａ,B、Ｃ）可观、可控，以下事实等价
1,BIBO稳定 ;
2,BIBS稳定 ;
3,A渐近稳定 ;
4,A特征值具有负实部 ;
5,传函阵极点具有负实部 ;
6,总体稳定
19
定理 A-4
总体稳定传函阵极点负实部
A特征值负实部
A渐近稳定 BIBS稳定 BIBO稳定可观可控可观可控
20
总体稳定传函阵极点负实部
A特征值负实部
A渐近稳定 BIBS稳定 BIBO稳定可观可控可观可控
A 稳定
21
时不变系统判断各种意义下的稳定性，一般要求出 A的特征值，再对这些特征值的可控、可观性进行研究，再根据定理作判断。因为系统的可控性、
可观性与传函阵零、极点对消（或约去模态）有联系，因此可以不去判别各特征值的可控、可观性，
直接计算
(sI-A)-1B C(sI-A)-1 C(sI-A)-1B
由计算的结果判别。
22
例题 多变量系统结构图如下图所示，其中 K1，和
K2都是非零常数,v1,v2是输入量,y1,y2是输出量。
试给出系统总体稳定时参数 K1,K2应满足的条件（只要给出不等式，不要求解出不等式）。
1s
2
2s
3
v1 x1 y1
v2 u2 x2
K2
_
y2
u1
_
_
K1
23
解 根据图中所给出的关系，列出方程组如下
2121111222
112222221111
xuy,yvu,)ux(vu
xy,uK3x2x,)uKuK(2xx
消去中间变量 u1,u2，得到下列系统的状态方程与输出方程
2
1
2
1
2
1
2
1
22
221
2
1
22
221
2
1
v
v
01
00
x
x
11
01
y
y
v
v
K3K3
K2K2K2
x
x
K32K3
K2K2K21
x
x
24
B,C 矩阵的秩均为 2，系统可控、可观测，故总体稳定等价于渐近稳定，于是
)KK6K7K42(s)K5K23(s
K32sK3
K2K2K21s
212121
2
22
221
上面的多项式的根均在左半面的充要条件为
0KK6K7K42
0K5K23
2121
21
25
例题 系统状态方程和输出方程如下
u
b
x
aa
x
1
0
0
100
000
21
xby 01
其中 a1,a2和 b均为实常数，试分别给出满足下列条件时,a1,a2和 b的取值范围
(1) 李亚普诺夫意义下稳定；
(2) 有界输入、有界输出 (BIBO)稳定。
26
解
(1) 李氏稳定：
1)
特征值一个为 0，两个有负实部
01?a 02?a
2),
特征值两个为 0,一个有负实部 。 零特征值几何重数与代数重数相同,初等因子为一次
01?a 02?a
3)
一个零特征值，一对共轭零实部特征值
01?a 02?a
27
(2) BIBO稳定：
)asas(s
)asa(b
asas
bs
s
b)s(G
12
2
12
12
2
0)s(G0a0a0b,2
0)s(G0b,1
21
此外不会 BIBO稳定。
28
其中 x为 n× 1向量,F(t,x) 为 n× 1的函数向量，且设
F(t,0)=0,这时方程有解 x=0称为 (1)式的零解。它表示系统的平衡状态，相应于状态空间的原点。
微分方程如下：
设有一个初始扰动，使系统偏离了平衡状态。若初始扰动为 x(t0)=x0，方程 (1)所决定的运动是下列初值问题的解
)1(),( xtFx
将这个解表示为,x(t)=x(x0,t0,t) 。
)2()(),( 00 xtxxtFx
附录：李雅普诺夫稳定性
A) 稳定定义
29
定义一,对于任意的,都存在,
使得当 时有成立。则称平衡状态 x=0 是 (李雅普诺夫意义下 )稳定的。
0 0),(
0 t
),()( 00 ttx? 000 ),,( tttxtx
定义二,若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在,使得对任意的,存在,当,
时有 。则称 x=0为渐近稳定。
0
0)( 0?t?
)()( 00 ttx
000 ),,( tttxtx
0),,( 00?xtT?
),,( 000 xtTtt
B) 时不变线性系统的稳定性判据
n维时不变系统的方程为
)3(Axx
(3)式的特征方程式为
30
系统 (3)的稳定性完全可由 (4)式的根来决定。
定理：系统 (3)的稳定性有以下充分必要条件
)4(0)d e t ( AsI
(1)稳定,(4)式实部为零的根对应的初等因子是一次 (或对应的若当块为一阶块，或是最小多项式的简单零点。 ),且其余根均有负实部。
(2)渐近稳定,(4)式的所有根均具有负实部。
(3)不稳定,(4)式有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。
31
例题 系统方程如下
x
a
x
001
100
47
式中 a为实常数,写出 u=0时,x=0李氏稳定时,a
的取值条件 。
解 系统的特征方程式为
74
01
10
47
23
sass
s
s
as
32
所以 李氏稳定,
4
7?a
4
7?a 三根在左平面 ;
4
7?a 有正根 ;
4
7?a 有一根为 -7/4,另两根为 -j,+j
7
74
7
41
0
2
3
s
a
a
s
as
s
劳斯表：
