P.28 习题 2-8引入了一个算子,被称为 截断算子,定义如下：
t
ttutuPty
0
)()()( ｛
t
u(t)
t
y(t)
因果性
H表示的系统是具有因果性的，是指成立如下的关系：
)()( uHPPHuPT TTT
左端的输入比右边的多了 的一段，
而输出在 是一样的，
Tt?
Tt?
这说明 的输入对 的输出无影响。Tt? Tt?
因果性 可用截断算子来表示。即定理 (解析开拓 )：若函数 f 在 D上解析，已知函数在 D中任意小的非零区间上恒为零，则函数在 D上恒为零。
)()()( 0)(
0
0 tf
n
tttf nn
！
实变量解析函数
f(t)在（ a,b）是解析的，对于（ a,b）中任一点 t0,存在一个,使得对 中所有 t,f(t)可表示成
t0中的泰劳级数
00000, tt
t0松弛：
),[)( 0),[ 0 ttHuty t
+ 线性
0)(),()(
0
ttdutGty
t
+因果性
+时不变性
ttG
ttdutGty
t
t
0),(
)(),()( 0
0
0)()()(
0
ttdutGty
t
t
小 结
t0=0
L变换单入、单出
g(s)为有理函数，即是经典控制理论中研究的模型。
0)()()(
0
tdutGty
t
)()()( susGsy?
)()()( susgsy?
0)()()(
0
tdutgty
t
这里对输入、输出描述中的常用概念作了精确、系统的介绍。
直观的概念如何用数学式子表示出来。
1
1
1
121
1
221
2
2
11
0
1
0
)(0
n
n
n
nn
nnn
kkk
R
a
Aa
AIaAR
IaARR
IaARR
IaARIaAaAR
IaAR
IR
(1-44)
(A可逆 )
(1-42)
)()(1)( 1221101 nnnn RsRsRsRsAsI?
(1-43)
nnnn asasasAsIs 111)(?
(1-42),习题 1-21
n
k
nkn bbbbbbdt
d
1
121 )d e t ()d e t (
)()()( AsIt r a d jds AsIdds sd
nkARtrka kk,,2,1)(1 1
习题 1-21 要证利用恒等式 (可由行列式定义直接证明 )
直接分别计算上式两边，并比较上式左、右边的 s同次幂系数式中符号 trA 表示 A的迹,迹的运算性质为
)()(
)(
BAtrABtr
t r Bt r ABAtr
t r AAtr
)(1)(1 11 ARtrkARtrka kkk
kkkkkk nat r A RIaARtrt r Rakn 11 )()(
由上式即可得
1211 )()1( knknn saknsnans
左边
1
12
1
1
12
12
1
1
0 )(
n
kn
k
nn
nn
kn
k
nn
t r Rst r Rst r Rns
RsRsRsRsRtr
右边比较上式左、右边的 s同次幂系数,则有
1，已知 A的特征式及特征值，可求 adj(sI-A),A的逆及特征向量 。 只需用 (1-42,43,44)式。
2,特征式未知时，求特征式,adj(sI-A),A的逆 。
这时要用到习题 1-21的结果和 (1-44)的递推式子,令
IaARARA kkkkk 1
(k=1,2,··· n-1)
IR?0
这两组式子除了提供以后要用的形式表达式之外，还可以解决一些计算问题两类计算问题：给定 A
0
1
1
1
2
1
1
1111121
2222212
111111
IaARt r A
n
aARA
IaARt r A
n
aARA
IaARt r AaARA
IaARt r AaAA
nnnnnnn
nnnnnnn
最后一个式子可用于验证结果。
adj(sI-A)及 有了,即求出了 (sI-A)-1。)(s?
)()(1)( 1221101 nnnn RsRsRsRsAsI?
nnnn asasasAsIs 111)(?
设状态空间原有一组基为 e1,e2,e3,现在状态空间新取了一组基为 q1,q2,q3,任一向量 在这两组基下的坐标表示分别为?
q1
q2
q3
e1
e2
e3
xQ
x
x
x
qqq
qxqxqx
Ex
x
x
x
eee
exexex
3
2
1
321
332211
3
2
1
321
332211
关于坐标变换矩阵与基底变换矩阵若有
2
23
22
21
3213232221212
1
13
12
11
3213132121111
Em
m
m
m
eeeemememq
Em
m
m
m
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m
m
m
eeeemememq?
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mmm
mmm
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eeeqqqQ
332313
322212
312111
321321?
则有
xEMxQEx
根据向量在同一基底下坐标是唯一的得
xMx? xMx 1
或
M是新取的基底向量在原来基底下的坐标所形成的矩阵，通常称为基底变换矩阵。
由 Q=EM可知,M是新取的基底向量在原来基底下的坐标所形成的矩阵，通常称为基底变换矩阵。而 和 x 分别是向量 在新取基底 ( Q )和原有基底 ( E )下的坐标，由
x
可知 是 的坐标变换阵。1M
若原有基底为自然基，即 ei为单位矩阵的第 i 列，这时有 E=I。
由于 Q=M,所以 Q的列即为新取基底 (在自然基下的坐标 ) 。
xMx 1
Pxx?
式中的 P 阵为坐标变换矩阵，而 P-1为基底变换矩阵。且 P-1的列即为新取的基底向量 (在自然基下的坐标 ) 。
根据以上论述可知
p
p
rprpprpp
pp
pp
pp
IX
X
X
IqsIIqIqIq
IsI
IsI
IsI
0
0
0
2
1
1210
prrrr
rr
IXqsXqXqXq
XsXXsXXsXXsX
)(
0,,0,0,0
1122110
1433221
BXAsIXBAsI )()( 1
p.25
prrrr IXsqsXsqsXqXq 1111221110 )(?
rr
r
r
r
p
ssqsqsqq
IX
1122101?
prrrrr IXssqsqsqq 1112210 ][?
12 sXX?
111 XssXXr rr1
223 XssXX
P
r
r
r
r
r
rr
IXsqsXsqsXqXq
XssXXXssXXsXX
1
1
11
2
21110
1
1
11
2
2312
)(?
)(
)(
1
)()(
)()(
00
1
110
1
sG
sg
sGsg
BAsIGGGBAsIC r
对应的传递函数就是 (1-84)的传递函数阵。
p
r
p
p
p
rr
r
r
r
r
Is
Is
sI
I
ssqsqsqq
X
X
X
X
1
2
1
1
2
210
3
2
1
1
P
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r
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r
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rr
IXsqsXsqsXqXq
XssXXXssXXsXX
1
1
11
2
21110
1
1
11
2
2312
)(?
注意到 所满足的微分方程为?
Adtd
Itt ),( 00
1
1A
dt
d Itt ),( 001
习题 1-19
I 111要证：
1?
所满足的微分方程为第三式为第二式的共轭转置，第一、二式表明 是 的逆阵。证明第二式
1?
IIC
AA
dt
d
tt
111
1111
1
0
0
｜?
另外可用（微分方程初值问题的解）解的唯一性定理来做：因为
I
AA
dt
d
dt
d
tt
0
1
111
11
1
)(
)()()(
)()(
)(
｜
由唯一性定理可知,
11 )(
由于可逆方阵的左逆等于右逆，所以命题证毕。
(习题 1-17)
关于 的状态转移矩阵xtAx )( ),(
0tt?
当且仅当对任意的 t1,t2,有,A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1),
才可写成),(
0tt?
),( 0tt?1,一般不可用矩阵指数表示 。
t
t
dA
e 0
)(
),( 0tt
),(),( 00 ttAdt ttd Itt ),( 00
对方程两边从 t0到 t积分，即可将初值问题转换为一个积分方程 (弗利德荷姆第一类积分方程 )
2,一个迭代式子：因为 是下列初值问题的解),(
0tt?
dttttAItt
t
t
),()(),( 00
状态转移矩阵
,,,,,,1210 kk
如果用迭代方法,可以得到 (Ⅰ )的解序列,做法如下：令,
代入 (Ⅰ )式得
t
t
dttAI
0
01 )(
I0
t
t
kk dttttAItt
0
),()(),( 010
一般式子为于是得到解序列
),( 0lim ttk
k
在解微分方程求积分时，用变动上限的定积分比较方便。
做法见下例
3,对于某些简单情况，可以先给出 n个线性无关的初值，解出 n个线性无关的解向量，再构成基本解阵,再由定义 可求出 。
)()(),( 010 tttt ),( 0tt?
)(t?
4,如果求出了 和 的映射关系,即将解表成了如下的形式：
)(tx )( 0tx
)()()( 0txtx
就是状态转移矩阵 。)(? ),( 0tt?
习题 1-15(a)
22
21
txx
xx
由第二式，可得
2
2
2 tx
x
dx?
可得
)()( 02)(2
1
2
202
txetx tt
代入第一式，可得
dttxedx tt )( 02)(211 202
两边积分 (变动上限的定积分 )
dttxedx
ttt
t
tx
tx
)( 02
)(
2
1
1
)(
)(
2
0
2
0
1
01
可得两边积分 (变动上限的定积分 )
t
t
tx
tx
td txdx
0
2
02 2
2
)(
)(
)()()( 02)(2
1
011
2
0
2
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t
t
将 写成下列形式)(tx
)(
)(
0
1
)(
)(
02
01
)(
2
1
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1
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2
tx
tx
e
dte
tx
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tt
t
t
tt
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5,如果在解方程时,用的是 t0=0的初值 x (0),所求出的是
φ(t,0),它表示的是由 0时刻向 t时刻状态的转移 。
φ(t,0)相当于一个基本矩阵,
注意,状态转移矩阵是两个变量的函数矩阵，必须明确写出两个任意时刻。
要求状态转移矩阵，可以这样做：
φ(t,t0)=φ(t,0) φ-1 (t0,0)
t
ttutuPty
0
)()()( ｛
t
u(t)
t
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因果性
H表示的系统是具有因果性的，是指成立如下的关系：
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左端的输入比右边的多了 的一段，
而输出在 是一样的，
Tt?
Tt?
这说明 的输入对 的输出无影响。Tt? Tt?
因果性 可用截断算子来表示。即定理 (解析开拓 )：若函数 f 在 D上解析，已知函数在 D中任意小的非零区间上恒为零，则函数在 D上恒为零。
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0
0 tf
n
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！
实变量解析函数
f(t)在（ a,b）是解析的，对于（ a,b）中任一点 t0,存在一个,使得对 中所有 t,f(t)可表示成
t0中的泰劳级数
00000, tt
t0松弛：
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+ 线性
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小 结
t0=0
L变换单入、单出
g(s)为有理函数，即是经典控制理论中研究的模型。
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这里对输入、输出描述中的常用概念作了精确、系统的介绍。
直观的概念如何用数学式子表示出来。
1
1
1
121
1
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2
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(1-44)
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(1-42)
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(1-42),习题 1-21
n
k
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1
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习题 1-21 要证利用恒等式 (可由行列式定义直接证明 )
直接分别计算上式两边，并比较上式左、右边的 s同次幂系数式中符号 trA 表示 A的迹,迹的运算性质为
)()(
)(
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t r Bt r ABAtr
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由上式即可得
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左边
1
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n
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右边比较上式左、右边的 s同次幂系数,则有
1，已知 A的特征式及特征值，可求 adj(sI-A),A的逆及特征向量 。 只需用 (1-42,43,44)式。
2,特征式未知时，求特征式,adj(sI-A),A的逆 。
这时要用到习题 1-21的结果和 (1-44)的递推式子,令
IaARARA kkkkk 1
(k=1,2,··· n-1)
IR?0
这两组式子除了提供以后要用的形式表达式之外，还可以解决一些计算问题两类计算问题：给定 A
0
1
1
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最后一个式子可用于验证结果。
adj(sI-A)及 有了,即求出了 (sI-A)-1。)(s?
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nnnn asasasAsIs 111)(?
设状态空间原有一组基为 e1,e2,e3,现在状态空间新取了一组基为 q1,q2,q3,任一向量 在这两组基下的坐标表示分别为?
q1
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e1
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关于坐标变换矩阵与基底变换矩阵若有
2
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则有
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根据向量在同一基底下坐标是唯一的得
xMx? xMx 1
或
M是新取的基底向量在原来基底下的坐标所形成的矩阵，通常称为基底变换矩阵。
由 Q=EM可知,M是新取的基底向量在原来基底下的坐标所形成的矩阵，通常称为基底变换矩阵。而 和 x 分别是向量 在新取基底 ( Q )和原有基底 ( E )下的坐标，由
x
可知 是 的坐标变换阵。1M
若原有基底为自然基，即 ei为单位矩阵的第 i 列，这时有 E=I。
由于 Q=M,所以 Q的列即为新取基底 (在自然基下的坐标 ) 。
xMx 1
Pxx?
式中的 P 阵为坐标变换矩阵，而 P-1为基底变换矩阵。且 P-1的列即为新取的基底向量 (在自然基下的坐标 ) 。
根据以上论述可知
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对应的传递函数就是 (1-84)的传递函数阵。
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注意到 所满足的微分方程为?
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习题 1-19
I 111要证：
1?
所满足的微分方程为第三式为第二式的共轭转置，第一、二式表明 是 的逆阵。证明第二式
1?
IIC
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另外可用（微分方程初值问题的解）解的唯一性定理来做：因为
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由唯一性定理可知,
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(习题 1-17)
关于 的状态转移矩阵xtAx )( ),(
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当且仅当对任意的 t1,t2,有,A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1),
才可写成),(
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),( 0tt?1,一般不可用矩阵指数表示 。
t
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对方程两边从 t0到 t积分，即可将初值问题转换为一个积分方程 (弗利德荷姆第一类积分方程 )
2,一个迭代式子：因为 是下列初值问题的解),(
0tt?
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t
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状态转移矩阵
,,,,,,1210 kk
如果用迭代方法,可以得到 (Ⅰ )的解序列,做法如下：令,
代入 (Ⅰ )式得
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一般式子为于是得到解序列
),( 0lim ttk
k
在解微分方程求积分时，用变动上限的定积分比较方便。
做法见下例
3,对于某些简单情况，可以先给出 n个线性无关的初值，解出 n个线性无关的解向量，再构成基本解阵,再由定义 可求出 。
)()(),( 010 tttt ),( 0tt?
)(t?
4,如果求出了 和 的映射关系,即将解表成了如下的形式：
)(tx )( 0tx
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就是状态转移矩阵 。)(? ),( 0tt?
习题 1-15(a)
22
21
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由第二式，可得
2
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可得
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代入第一式，可得
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两边积分 (变动上限的定积分 )
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5,如果在解方程时,用的是 t0=0的初值 x (0),所求出的是
φ(t,0),它表示的是由 0时刻向 t时刻状态的转移 。
φ(t,0)相当于一个基本矩阵,
注意,状态转移矩阵是两个变量的函数矩阵，必须明确写出两个任意时刻。
要求状态转移矩阵，可以这样做：
φ(t,t0)=φ(t,0) φ-1 (t0,0)
