本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下
Cxy,BuAxx (4-1)
线性状态反馈控制律为
Kxvu (4-2)
式中的 v 是参考输入,K称为状态反馈增益矩阵，
这里它是 p× n 的矩阵。将 (4-1)式和 (4-2)式用方块图表示，见图 4-1，它是一个闭环系统。
§ 4-1 状态反馈和极点配置
x yb c
A
k
v
x?
图 4-1
图 4-1所示引入状态反馈后的闭环系统的状态空间表达式为
Cxy,Bvx)BKA(x (4-3)
式中 A+BK为闭环系统的系统矩阵。
状态反馈不影响可控性定理 4-1 (4-3)可控 (4-2)可控
BAIr a n kB)BKA(Ir a n k
K,
IK
0I
BAIB)BKA(I
K
p
n
(4-4)
状态反馈不能改变不可控中的模态，即开环的不可控模在闭环中得到保持。影响可控性定理 4-2 状态反馈不改变可控子空间。
21 UImUIm
K
状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。
例题 系统的动态方程如下
xccy,u
1
0
x
10
11
x 21
下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统可观测性的关系。
可观任意 可观01
可观[1 1]11
不可观[1 2] 可观11
不可观[0 1]10
可观[1 1] 不可观10
闭环系统k 原系统c2c1
上例可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、
是否发生零极点对消来说明。具体解释参考下节。
首先讨论单输入情况
bvx)bkA(x
kxvu
buAxx
开环：
状态反馈律：
闭环：
(4-5)
(4-6)
(4-7)
定理 4-3 闭环系统 (4-7) 的系统矩阵 A+bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是 (4-5)式的系统可控。
证明 先证充分性。因为 (4-5)式的系统可控,则存在可逆矩阵 P,将 (4-5)式的系统通过 的变换化为可控标准形。 Pxx?
11nn
11nn
c
1
0
0
b
1
0
10
A
xcyubxAx
式中
(4-8)
这时 (4-6)式的状态反馈律可写为
PkkkPk
xkvxkPvkxvu
1
1
(4-9)
)]bkA(sId e t [}P)]kbA(sI[Pd e t {
)]P b k PP A P(sId e t [)]kbA(sId e t [
1
11
由于故 的特征式即是 的特征式，所以和 有相同的特征值。
bkA?
kbA? bkA?
kbA?
设期望的多项式为
n1n1n1n sss
考虑矩阵
121nn
1
1
10
kbA
(4-11)
11221n1nnnk(4-10)
若取
(4-11)的特征式为
n1n1n1n sss
故知 (4-11)具有期望的特征值。
这说明任意给定闭环 n个极点，均可通过 (4-10),(4-11)
式确定，使 A+bk具有给定的 n个特征值，充分性证毕。
必要性。若系统 (4-5)可任意配置闭环特征值，要证明系统 (4-5) 可控。用反证法，若系统 (4-5)不可控，
则存在一个可逆矩阵，通过等价变换后，可将 (4-5)
式转换为可控分解形式。考虑矩阵
4
212111
21
1
4
21
A0
kbAkbA
kk
0
b
A0
AA
kbA
由上式可见,A4的特征值不受 的影响，即 A+bk中的一部分特征值不受 k 的影响，这与可任意配置
A+bk的特征值相矛盾。矛盾表明系统 (4-5)可控。
k
以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选择 k阵，使闭环具有任意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下
1)计算 A的特征式
n1n1n1n sss)AsId e t (
2)由所给的 n 个期望特征值,计算期望的多项式 n21,,,
n1n1n1nn21 sss)s()s)(s(
4) 计算化可控标准形的坐标变换阵 P
上述步骤中有化可控标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求 k。 将 k用 ( )表示，计算,这个 s的多项式的系数包含了待定的 n个参数 。将这个特征式与期望特征式比较，令 s的同次幂的系数相等，得到包含 n个未知量的
n个方程，在系统可控的条件下，由这个方程可确定出,有些情况下用这种直接方法比较方便。
1n10 k,,k,k
1n10 k,,k,k
1n10 k,,k,k
)bkAsIde t (
Pkk?5)求出反馈增益阵
3)
求
k
11221n1nnnk
可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，
但对于某一组指定的特征值进行配置时，系统可控只是充分条件，而不是必要条件。
给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组需包含系统的不可控模态。
因此判别原来系统的模态可控性就成了关键。
例题 4 系统动态方程为
uxx
0
1
1
210
201
100
xy 210
3,2,14,3,2给定两组极点，分别为,和,
问哪组极点可用状态反馈进行配置。
35.05.0 j
解 计算出 A阵的特征值，分别为 –1,
可验证 –1 是不可控的,其它两个特征值是可控的。
极点组 {-1,-2,-3}包含了不可控模态 -1，所以可用状态反馈进行配置；极点组 {-2,-3,-4}则不能达到配置。
现用直接求解方法研究，令 k=(k1 k2 k3 )
( * )kk2k1s)2kk3k2(s)2kk(s 3213212213
(s+1) (s+2)(s+3)=s3+6s2+11s+6
2s10
k2ksk1
k1kks
)bkA(sI 321
321
期望多项式
5010
9011
4001
5122
9132
4011
前三列进行列变换的可解性分析：)(?
上述方程,增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩 （ 等于 2）,有解
)(
5
9
4
k
k
k
121
132
011
6kk2k1
112kk3k2
62kk
3
2
1
321
321
21
2
110
211
101
r a n k?
方程组 的相容条件就是所给极点组应包含不可控模态。
)(?
可控子空间的基为 [1 1 0 ]T,[0 1 1 ] T,正是前述方程组的系数矩阵值域空间的基。
系统可控性矩阵的秩为 2
将二阶因式与 (s+2)(s+3)相比较,可得同样结果 。
上式也表明不可控模是用状态反馈改变不了的 。
k1+ k2=4,k3+ k2=1
)(?
由 可解出 k1,k2,k3
(*)式又可表成 (s+1)[s2+ (k1+ k2+1)s+ k1+ k3+ 2k2+1]
( * )kk2k1s)2kk3k2(s)2kk(s 3213212213
由此可见,,任意配置,要求系数矩阵满秩,系数矩阵满秩的条件 是系统可控 。
Cxy,BuAxx (4-1)
线性状态反馈控制律为
Kxvu (4-2)
式中的 v 是参考输入,K称为状态反馈增益矩阵，
这里它是 p× n 的矩阵。将 (4-1)式和 (4-2)式用方块图表示，见图 4-1，它是一个闭环系统。
§ 4-1 状态反馈和极点配置
x yb c
A
k
v
x?
图 4-1
图 4-1所示引入状态反馈后的闭环系统的状态空间表达式为
Cxy,Bvx)BKA(x (4-3)
式中 A+BK为闭环系统的系统矩阵。
状态反馈不影响可控性定理 4-1 (4-3)可控 (4-2)可控
BAIr a n kB)BKA(Ir a n k
K,
IK
0I
BAIB)BKA(I
K
p
n
(4-4)
状态反馈不能改变不可控中的模态，即开环的不可控模在闭环中得到保持。影响可控性定理 4-2 状态反馈不改变可控子空间。
21 UImUIm
K
状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。
例题 系统的动态方程如下
xccy,u
1
0
x
10
11
x 21
下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统可观测性的关系。
可观任意 可观01
可观[1 1]11
不可观[1 2] 可观11
不可观[0 1]10
可观[1 1] 不可观10
闭环系统k 原系统c2c1
上例可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、
是否发生零极点对消来说明。具体解释参考下节。
首先讨论单输入情况
bvx)bkA(x
kxvu
buAxx
开环：
状态反馈律：
闭环：
(4-5)
(4-6)
(4-7)
定理 4-3 闭环系统 (4-7) 的系统矩阵 A+bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是 (4-5)式的系统可控。
证明 先证充分性。因为 (4-5)式的系统可控,则存在可逆矩阵 P,将 (4-5)式的系统通过 的变换化为可控标准形。 Pxx?
11nn
11nn
c
1
0
0
b
1
0
10
A
xcyubxAx
式中
(4-8)
这时 (4-6)式的状态反馈律可写为
PkkkPk
xkvxkPvkxvu
1
1
(4-9)
)]bkA(sId e t [}P)]kbA(sI[Pd e t {
)]P b k PP A P(sId e t [)]kbA(sId e t [
1
11
由于故 的特征式即是 的特征式，所以和 有相同的特征值。
bkA?
kbA? bkA?
kbA?
设期望的多项式为
n1n1n1n sss
考虑矩阵
121nn
1
1
10
kbA
(4-11)
11221n1nnnk(4-10)
若取
(4-11)的特征式为
n1n1n1n sss
故知 (4-11)具有期望的特征值。
这说明任意给定闭环 n个极点，均可通过 (4-10),(4-11)
式确定，使 A+bk具有给定的 n个特征值，充分性证毕。
必要性。若系统 (4-5)可任意配置闭环特征值，要证明系统 (4-5) 可控。用反证法，若系统 (4-5)不可控，
则存在一个可逆矩阵，通过等价变换后，可将 (4-5)
式转换为可控分解形式。考虑矩阵
4
212111
21
1
4
21
A0
kbAkbA
kk
0
b
A0
AA
kbA
由上式可见,A4的特征值不受 的影响，即 A+bk中的一部分特征值不受 k 的影响，这与可任意配置
A+bk的特征值相矛盾。矛盾表明系统 (4-5)可控。
k
以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选择 k阵，使闭环具有任意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下
1)计算 A的特征式
n1n1n1n sss)AsId e t (
2)由所给的 n 个期望特征值,计算期望的多项式 n21,,,
n1n1n1nn21 sss)s()s)(s(
4) 计算化可控标准形的坐标变换阵 P
上述步骤中有化可控标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求 k。 将 k用 ( )表示，计算,这个 s的多项式的系数包含了待定的 n个参数 。将这个特征式与期望特征式比较，令 s的同次幂的系数相等，得到包含 n个未知量的
n个方程，在系统可控的条件下，由这个方程可确定出,有些情况下用这种直接方法比较方便。
1n10 k,,k,k
1n10 k,,k,k
1n10 k,,k,k
)bkAsIde t (
Pkk?5)求出反馈增益阵
3)
求
k
11221n1nnnk
可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，
但对于某一组指定的特征值进行配置时，系统可控只是充分条件，而不是必要条件。
给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组需包含系统的不可控模态。
因此判别原来系统的模态可控性就成了关键。
例题 4 系统动态方程为
uxx
0
1
1
210
201
100
xy 210
3,2,14,3,2给定两组极点，分别为,和,
问哪组极点可用状态反馈进行配置。
35.05.0 j
解 计算出 A阵的特征值，分别为 –1,
可验证 –1 是不可控的,其它两个特征值是可控的。
极点组 {-1,-2,-3}包含了不可控模态 -1，所以可用状态反馈进行配置；极点组 {-2,-3,-4}则不能达到配置。
现用直接求解方法研究，令 k=(k1 k2 k3 )
( * )kk2k1s)2kk3k2(s)2kk(s 3213212213
(s+1) (s+2)(s+3)=s3+6s2+11s+6
2s10
k2ksk1
k1kks
)bkA(sI 321
321
期望多项式
5010
9011
4001
5122
9132
4011
前三列进行列变换的可解性分析：)(?
上述方程,增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩 （ 等于 2）,有解
)(
5
9
4
k
k
k
121
132
011
6kk2k1
112kk3k2
62kk
3
2
1
321
321
21
2
110
211
101
r a n k?
方程组 的相容条件就是所给极点组应包含不可控模态。
)(?
可控子空间的基为 [1 1 0 ]T,[0 1 1 ] T,正是前述方程组的系数矩阵值域空间的基。
系统可控性矩阵的秩为 2
将二阶因式与 (s+2)(s+3)相比较,可得同样结果 。
上式也表明不可控模是用状态反馈改变不了的 。
k1+ k2=4,k3+ k2=1
)(?
由 可解出 k1,k2,k3
(*)式又可表成 (s+1)[s2+ (k1+ k2+1)s+ k1+ k3+ 2k2+1]
( * )kk2k1s)2kk3k2(s)2kk(s 3213212213
由此可见,,任意配置,要求系数矩阵满秩,系数矩阵满秩的条件 是系统可控 。
