本节研究动态方程的的可控性、可观性与传递函数零、极点相消问题之间的关系。
考虑单变量系统，其动态方程为
cxy,buAxx (3-30)
(3-30)式对应的传递函数为
)s(D
)s(N
AsI
b)AsI(c a d jb)AsI(c)s(g 1?
(3-31)
AsI)s(D
b)AsI(c a d j)s(N
式中：
单变量系统
§ 3-3 动态方程的可控性、可观测性与传递函数的关系
N(s)=0的根称为传递函数 g(s)的零点,D(s)=Δ (s)=0的根称为传递函数 g(s)的极点。下面是本段的主要结果。
定理 3-10 动态方程 (3-30)可控、可观测的充分必要条件是
g(s) 无零、极点对消，即 Δ(s)和 N(s)无非常数的公因式。
证明 首先用反证法证明条件的必要性，若有 s=s0既使 N(s0)=0，
又使 Δ (s0)=0
0b)AIs(c a d j,0AIs 00
利用恒等式
IAsI b)AsI(c a d j)AsI()AsI)(AsI( 1
I)s(D)AsI(a d j)AsI(
可得将 s= s0代入，可得
)AIs(A a d j)AIs(a d js 000
将上式前乘 c,后乘 b后即有
0)s(Nsb)AIs(c a d jsb)AIs(c A a d j 00000
前乘 cA,后乘 b后即有
0b)AIs(c A a djsb)AIs(a djcA 0002
依次类推可得
0b)AIs(a d jcA
0b)AIs(a d jcA
0b)AIs(c A a d j
0b)AIs(c a d j)s(N
0
1n
0
2
0
0
这组式子又可写成
0b)AIs(a d j
cA
cA
c
0
1n
因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，
故有
0b)AIs(a d j 0
又由于系统可控，不妨假定 A,b具有可控标准形的形式，直接计算可知
0
s
s
1
b)AIs(a dj
1n
0
0
0
出现矛盾，矛盾表明 N(s)和 D(s)无相同因子，即 g(s)不会出现零、
极点相消的现象。下面再证充分性，即若 N(s)和 D(s)无相同因子，要证明动态方程 (3-30)是可控、可观的。用反证法，若系统不是既可控又可观测的，不妨设 (3-30)是不可控的，这时可按可控性分解为 (2-36)的形式，并且可知这时传递函数，
)s(D
)s(N
AsI
b)AsI(c a d jb)AsI(c)s(g 1?
)s(D
)s(N
AsI
b)AsI(a d jcb)AsI(c
1
1
1
111
1
1
11
在上面的式子中,D(s)是 n 次多项式，而 D1(S)是 n1次多项式，
由于系统不可控，所以 n1 < n,而 N(s)和 D(s)无相同因子可消去，显然
)s(D
)s(N
)s(D
)s(N
1
1?
这和两者应相等矛盾，同样可以证明动态方程也不可能不可观测。充分性证毕。
推论 3-10 单输入 (出 )系统可控 (观 )的充分必要条件是
adj(sI-A)b (cadj(sI-A))与 Δ (s)无非常数公因式。
设多变量系统动态方程为多变量系统
Cxy
BuAxx
(3-32)
其中 A,B,C 分别是 n× n,n× p,q× n的实常量矩阵，其传递函数矩阵为
AsI
B)AsI(Ca d j)s(G
(3-33)
式中 称为系统的特征式。传递函数矩阵 G(s)是一个严格真有理函数阵，即它的每一元素都是 s的有理函数，且分母的阶次严格高于分子的阶次。
AsI?
定理 3-11 若 (3-33)式中,A的特征式 Δ(s)与 之间没有非常数公因式,则系统 (3-32)是可控,可观的 。
B)AsI(C a d j?
u10 01yu10 01x10 01x
显然系统可控且可观，但传递函数阵为例题 3-4 设系统方程为证明 用反证法。（略）
与单变量系统不同,本定理中的条件是系统可控可观测的充分条件,而不是必要条件,可用以下例题来说明 。
1s
1
0
0
1s
1
1s0
01s
)1s(
1
)s(G
2
在 A的特征式与 之间存在公因式 (s-1)。 故定理中的条件不是必要的 。
B)AsI(C a d j?
如果将 (3-33)式的分母写成 A的最小多项式，可以得到 (3-32)可控可观的一个必要条件。设 d(s)是 adj(sI-A)的首一最大公因式，
即 adj(sI-A) =d(s)H(s),多项式矩阵 H(s)各元的公因式为 1。因为
d(s)是 sI-A的 n-1级子式的公因式，因此也是 D(s)的因式，即有
D(s)=d(s)Ψ(s)
这里 Ψ(s) 是 A的最小多项式。于是 G(s)可表示为
)s(
B)s(CH)s(G
定理 3-12 系统 (3-32)是可控可观测的必要条件是 CH(s)B和 Ψ(s)
无非常数公因式。
证明 思路与单变量类似。现就其中一个式子解释如下：
)s(
)s(H
AsI
)AsI(a d j)AsI(I)AsI)(AsI( 11
AH(s0)=s0H(s0)=H(s0)s0=H(s0)A
又
I)s()AsI)(s(HI)AsI(
)s(
)s(H
I)AsI()AsI(
1
)s(AH)s(Hsss
I)s()s(H)AsI(I
)s(
)s(H
)AsI(
0000
本定理中的条件是系统可控可观测的必要条件而不是充分条件,
这点与单变量系统不同 。 可用例题 3-5来说明 。
定理 3-13 系统 (3-32)可控可观测的充分必要条件是 G(s)的极点多项式等于 A的特征多项式。
定义 3-1 G(s)的极点多项式中 s的最高次数称为 G(s)的麦克米伦阶,用记号 δG(s)表示 。
例 3-6,δG1(s)=1 δG2(s)=2 例 3-7 显然 δG(s)=4
例 3-8
A)s(Hs)s(H)s(Hs)s(AH
A)s(Hs)s(Hss
000000
0000
单变量系统零、极对消问题零极对消问题
(1)cadj(sI-A)b与 A的特征式 D(s)有公因子 s-s0,s0或是不可控模态、或是不可观模态、或是既不可控又不可观的模态。
adj(sI-A)b与 A的特征式 D(s)有公因子 s-s0,s0是不可控模态
cadj(sI-A) 与 A的特征式 D(s)有公因子 s-s0,s0是不可观模态
(2) adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)有零、极对消则 adj(sI-A)b与 D(s)有零、极对消,
cadj(sI-A)与 D(s)有零、极对消 。
adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)无零、极对消,也有可能 adj(sI-
A)b与 D(s),cadj(sI-A)与 D(s)都有零、极对消 。
(3)adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)有零、极对消,则 adj(sI-A)b与
D(s)有零、极对消,cadj(sI-A)与 D(s)有零、极对消,即使消去数值上相同的模态，也未必是既不可控又不可观的模态。
见例 1
adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)无零、极对消,也有可能有既不可控又不可观的模态 。 见例 2
例题 1
101c
,
1
1
0
b,
0
1
1
A
不可控模态,1
不可观模态,1
既不可控又不可观的模态：无
adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)有 s=1对消,
adj(sI-A)b与 D(s)有 s=1对消,
cadj(sI-A)与 D(s)有 s=1对消,
消去数值上相同的模态 s=1,s=1不是既不可控又不可观的模态。
例题 2
0101c
0
0
1
1
b,
4
3
2
1
A
不可控模态,3,4 adj(sI-A)b与 D(s)可对消 (s-3)(s-4)
不可观模态,2,4 cadj(sI-A)与 D(s)可对消 (s-2)(s-4)
既不可控又不可观的模态,4 (adj(sI-A)与 D(s)无零、极对消 )
这说明既不可控又不可观的模态一定使 adj(sI-A)b与 D(s)有零、
极对消,也使 cadj(sI-A)与 D(s)有零、极对消。反之不成立。
即使 adj(sI-A)b与 D(s)有零、极对消,也使 cadj(sI-A)与 D(s)有零、
极对消。也不一定 adj(sI-A)与 D(s) 有零、极对消 (例题 2),也不一定有既不可控又不可观的模态 (例题 1 )。
adj(sI-A)与 D(s)
有 s-s0对消有既不可控又不可观的模态 s-s0 。
adj(sI-A)b与 D(s)
有 s-s0对消,
cadj(sI-A)与 D(s)
有 s-s0对消 。
无必然联系
adj(sI-A)b与 D(s)
有 s-s0对消,
cadj(sI-A)与 D(s)
有 s-s0对消 。
反之不成立 反之不成立如何从对消中求既不可控又不可观的模态
1,cadj(sI-A) 与 A的特征式 D(s) 消去的是不可观模态，记为集合｛?｝
2,adj(sI-A)b与 D(s)消去的是不可控模态,将公因式消去后的 adj(sI-A)b与 D(s)分别记为 H(s)和 D1(s)(留下了可控的部分 )
若 cH(s)和 D1(s)仍有公因子相消,设消去的模态之集合,记为集合｛?｝ (这是可控、不可观的部分 )
3,｛?｝ — ｛?｝即为既不可控又不可观的模态集合。 (不可观的除掉可控、不可观的部分就是既不可控又不可观的部分 )
考虑单变量系统，其动态方程为
cxy,buAxx (3-30)
(3-30)式对应的传递函数为
)s(D
)s(N
AsI
b)AsI(c a d jb)AsI(c)s(g 1?
(3-31)
AsI)s(D
b)AsI(c a d j)s(N
式中：
单变量系统
§ 3-3 动态方程的可控性、可观测性与传递函数的关系
N(s)=0的根称为传递函数 g(s)的零点,D(s)=Δ (s)=0的根称为传递函数 g(s)的极点。下面是本段的主要结果。
定理 3-10 动态方程 (3-30)可控、可观测的充分必要条件是
g(s) 无零、极点对消，即 Δ(s)和 N(s)无非常数的公因式。
证明 首先用反证法证明条件的必要性，若有 s=s0既使 N(s0)=0，
又使 Δ (s0)=0
0b)AIs(c a d j,0AIs 00
利用恒等式
IAsI b)AsI(c a d j)AsI()AsI)(AsI( 1
I)s(D)AsI(a d j)AsI(
可得将 s= s0代入，可得
)AIs(A a d j)AIs(a d js 000
将上式前乘 c,后乘 b后即有
0)s(Nsb)AIs(c a d jsb)AIs(c A a d j 00000
前乘 cA,后乘 b后即有
0b)AIs(c A a djsb)AIs(a djcA 0002
依次类推可得
0b)AIs(a d jcA
0b)AIs(a d jcA
0b)AIs(c A a d j
0b)AIs(c a d j)s(N
0
1n
0
2
0
0
这组式子又可写成
0b)AIs(a d j
cA
cA
c
0
1n
因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，
故有
0b)AIs(a d j 0
又由于系统可控，不妨假定 A,b具有可控标准形的形式，直接计算可知
0
s
s
1
b)AIs(a dj
1n
0
0
0
出现矛盾，矛盾表明 N(s)和 D(s)无相同因子，即 g(s)不会出现零、
极点相消的现象。下面再证充分性，即若 N(s)和 D(s)无相同因子，要证明动态方程 (3-30)是可控、可观的。用反证法，若系统不是既可控又可观测的，不妨设 (3-30)是不可控的，这时可按可控性分解为 (2-36)的形式，并且可知这时传递函数，
)s(D
)s(N
AsI
b)AsI(c a d jb)AsI(c)s(g 1?
)s(D
)s(N
AsI
b)AsI(a d jcb)AsI(c
1
1
1
111
1
1
11
在上面的式子中,D(s)是 n 次多项式，而 D1(S)是 n1次多项式，
由于系统不可控，所以 n1 < n,而 N(s)和 D(s)无相同因子可消去，显然
)s(D
)s(N
)s(D
)s(N
1
1?
这和两者应相等矛盾，同样可以证明动态方程也不可能不可观测。充分性证毕。
推论 3-10 单输入 (出 )系统可控 (观 )的充分必要条件是
adj(sI-A)b (cadj(sI-A))与 Δ (s)无非常数公因式。
设多变量系统动态方程为多变量系统
Cxy
BuAxx
(3-32)
其中 A,B,C 分别是 n× n,n× p,q× n的实常量矩阵，其传递函数矩阵为
AsI
B)AsI(Ca d j)s(G
(3-33)
式中 称为系统的特征式。传递函数矩阵 G(s)是一个严格真有理函数阵，即它的每一元素都是 s的有理函数，且分母的阶次严格高于分子的阶次。
AsI?
定理 3-11 若 (3-33)式中,A的特征式 Δ(s)与 之间没有非常数公因式,则系统 (3-32)是可控,可观的 。
B)AsI(C a d j?
u10 01yu10 01x10 01x
显然系统可控且可观，但传递函数阵为例题 3-4 设系统方程为证明 用反证法。（略）
与单变量系统不同,本定理中的条件是系统可控可观测的充分条件,而不是必要条件,可用以下例题来说明 。
1s
1
0
0
1s
1
1s0
01s
)1s(
1
)s(G
2
在 A的特征式与 之间存在公因式 (s-1)。 故定理中的条件不是必要的 。
B)AsI(C a d j?
如果将 (3-33)式的分母写成 A的最小多项式，可以得到 (3-32)可控可观的一个必要条件。设 d(s)是 adj(sI-A)的首一最大公因式，
即 adj(sI-A) =d(s)H(s),多项式矩阵 H(s)各元的公因式为 1。因为
d(s)是 sI-A的 n-1级子式的公因式，因此也是 D(s)的因式，即有
D(s)=d(s)Ψ(s)
这里 Ψ(s) 是 A的最小多项式。于是 G(s)可表示为
)s(
B)s(CH)s(G
定理 3-12 系统 (3-32)是可控可观测的必要条件是 CH(s)B和 Ψ(s)
无非常数公因式。
证明 思路与单变量类似。现就其中一个式子解释如下：
)s(
)s(H
AsI
)AsI(a d j)AsI(I)AsI)(AsI( 11
AH(s0)=s0H(s0)=H(s0)s0=H(s0)A
又
I)s()AsI)(s(HI)AsI(
)s(
)s(H
I)AsI()AsI(
1
)s(AH)s(Hsss
I)s()s(H)AsI(I
)s(
)s(H
)AsI(
0000
本定理中的条件是系统可控可观测的必要条件而不是充分条件,
这点与单变量系统不同 。 可用例题 3-5来说明 。
定理 3-13 系统 (3-32)可控可观测的充分必要条件是 G(s)的极点多项式等于 A的特征多项式。
定义 3-1 G(s)的极点多项式中 s的最高次数称为 G(s)的麦克米伦阶,用记号 δG(s)表示 。
例 3-6,δG1(s)=1 δG2(s)=2 例 3-7 显然 δG(s)=4
例 3-8
A)s(Hs)s(H)s(Hs)s(AH
A)s(Hs)s(Hss
000000
0000
单变量系统零、极对消问题零极对消问题
(1)cadj(sI-A)b与 A的特征式 D(s)有公因子 s-s0,s0或是不可控模态、或是不可观模态、或是既不可控又不可观的模态。
adj(sI-A)b与 A的特征式 D(s)有公因子 s-s0,s0是不可控模态
cadj(sI-A) 与 A的特征式 D(s)有公因子 s-s0,s0是不可观模态
(2) adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)有零、极对消则 adj(sI-A)b与 D(s)有零、极对消,
cadj(sI-A)与 D(s)有零、极对消 。
adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)无零、极对消,也有可能 adj(sI-
A)b与 D(s),cadj(sI-A)与 D(s)都有零、极对消 。
(3)adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)有零、极对消,则 adj(sI-A)b与
D(s)有零、极对消,cadj(sI-A)与 D(s)有零、极对消,即使消去数值上相同的模态，也未必是既不可控又不可观的模态。
见例 1
adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)无零、极对消,也有可能有既不可控又不可观的模态 。 见例 2
例题 1
101c
,
1
1
0
b,
0
1
1
A
不可控模态,1
不可观模态,1
既不可控又不可观的模态：无
adj(sI-A)与 A的特征式 D(s)有 s=1对消,
adj(sI-A)b与 D(s)有 s=1对消,
cadj(sI-A)与 D(s)有 s=1对消,
消去数值上相同的模态 s=1,s=1不是既不可控又不可观的模态。
例题 2
0101c
0
0
1
1
b,
4
3
2
1
A
不可控模态,3,4 adj(sI-A)b与 D(s)可对消 (s-3)(s-4)
不可观模态,2,4 cadj(sI-A)与 D(s)可对消 (s-2)(s-4)
既不可控又不可观的模态,4 (adj(sI-A)与 D(s)无零、极对消 )
这说明既不可控又不可观的模态一定使 adj(sI-A)b与 D(s)有零、
极对消,也使 cadj(sI-A)与 D(s)有零、极对消。反之不成立。
即使 adj(sI-A)b与 D(s)有零、极对消,也使 cadj(sI-A)与 D(s)有零、
极对消。也不一定 adj(sI-A)与 D(s) 有零、极对消 (例题 2),也不一定有既不可控又不可观的模态 (例题 1 )。
adj(sI-A)与 D(s)
有 s-s0对消有既不可控又不可观的模态 s-s0 。
adj(sI-A)b与 D(s)
有 s-s0对消,
cadj(sI-A)与 D(s)
有 s-s0对消 。
无必然联系
adj(sI-A)b与 D(s)
有 s-s0对消,
cadj(sI-A)与 D(s)
有 s-s0对消 。
反之不成立 反之不成立如何从对消中求既不可控又不可观的模态
1,cadj(sI-A) 与 A的特征式 D(s) 消去的是不可观模态，记为集合｛?｝
2,adj(sI-A)b与 D(s)消去的是不可控模态,将公因式消去后的 adj(sI-A)b与 D(s)分别记为 H(s)和 D1(s)(留下了可控的部分 )
若 cH(s)和 D1(s)仍有公因子相消,设消去的模态之集合,记为集合｛?｝ (这是可控、不可观的部分 )
3,｛?｝ — ｛?｝即为既不可控又不可观的模态集合。 (不可观的除掉可控、不可观的部分就是既不可控又不可观的部分 )
