? 1,定线步骤
(1) 徒手画出线形顺适,平缓并与地形相适应的路线概略位置 。
(2)选用直尺和不同半径的圆曲线弯尺拟合徒手画线,把该画线分解成规则的数学单元一圆弧和直线 。
(3)在每一被分解后的圆弧或直线上各采集两个点的坐标,从而将直线和圆固定下来 。 通过试定或试算,用合适的缓和曲线将固定的线形单元顺滑地连接,形成一条以曲线为主的连续面线形 。
二、曲线型定线法坐标计算方法
回旋线参数 A的确定常用方法有：
1)回旋曲线尺法
2,确定回旋线参数
回旋线参数 A的确定常用方法有：
1)回旋曲线尺法
2,确定回旋线参数
回旋线参数 A的确定常用方法有：
1)回旋曲线尺法
2,确定回旋线参数
回旋线参数 A的确定常用方法有：
1)回旋曲线尺法
2)回旋曲线表法
3)近似计算法：
① 直线与圆曲线间用缓和曲线连接：
4 324 DRA?
式中,D—— 圆弧与直线或圆弧与圆弧之间距离；
21
21
RR
RRR
卵型曲线：
21
21
RR
RRR
② S型,卵型曲线,（ 公式同上 ）
换算半径 R,S型曲线：
2,确定回旋线参数
D
（ 1） 直线与圆曲线连接
已知直线上两点 D1（ xD1,yD1） 和 D2（ xD2,yD2）,圆曲线上两点 C1 （ xC1,yC1） 和 D2（ xC2,yC2）,
圆曲线半径为 R。
4） 解析计算法：
要求设计缓和曲线 LS连接圆曲线并与直线 D1~D2相切 。 。
（ 1） 直线与圆曲线连接
R
S
2a rc c o s
① 圆心坐标 M（ xm,ym）
C1C2两点之间距离：
21
21
12 ar ct an xx
yy
C?
221221 )()( CCCC yyxxS
12Cm
12Cm
xm=xC1+Rcosαm
ym=yC1+Rsinαm
4） 解析计算法：
12
22
DD
DD
xx
yyk
② 圆心到直线的距离 D
直线 D1D2斜率：
R
k
yyxxkD DmDm?
2
11
1
|)()(|
（ 1） 直线与圆曲线连接
4） 解析计算法：
12
22
DD
DD
xx
yyk
② 圆心到直线的距离 D
直线 D1D2斜率：
R
k
yyxxkD DmDm?
2
11
1
|)()(|
（ 1） 直线与圆曲线连接
4） 解析计算法：
③ 回旋线参数 A及长度 Ls
圆曲线与直线之间的距离 D即曲线内移值 p，即 p = D。
若按回旋线参数 A2=RLS设计，则
DRLsp 24
2
RDL S 24?
4 324 DRA?
GQ
q2q1
p1 p2
（ 2） 两反向曲线连接 （ S型 ）
两曲线间距 D：
2
12
2
12
2121
)()( mmmm yyxx
DRRMM
2212212121 )()( qqppRRMM
21212212 )()( RRyyxxD mmmm
2122122121 )()( mmmm yyxxDRRMM
22122122121 )()()( DRRqqppRR
3
1
4
1
1 24 R
Ap?
5
1
6
1
1
2
1
1 2 4 02 R
A
R
Aq
3
2
4
2
2 24 R
Ap?
5
2
6
2
2
2
2
2 2402 R
A
R
Aq
21 kAA?设
用牛顿求根法可解出 A1,A2
建立方程：
2212212121 )()( qqppRRMM
（ 3） 两同向曲线连接 （ 卵型 ）
两圆心间距：
2122212121 )()( qqppRRMM
q2-q1
R1+p1-R2-p2
2122122121 )()( mmmm yyxxDRRMM
建立方程：
22121222121 )()()( DRRqqppRR
用牛顿求根法可解出 A。
1） 单曲线计算方法：
由两段缓和曲线把圆曲线与两条直线连接起来。
R
2q
1q
2p
1p
),( mm yxM
HY YH
ZH
HZ
1?
ZHML
2?HZML
1?
N
),( 11 yx
),( 22 yx
N
2?
),( 33 yx
),( 44 yx
12
121 ar c tan
xx
yy
180
,
11
12
xx若
34
342 ar ct an
xx
yy
180,2234xx若
3,曲线型定线坐标计算方法：
（ 1） 曲线主点坐标计算：
ZH,HZ点到圆心 M的方位角：
ZH,HZ点坐标：
11ZM 22 180HM
1
1
1 q
pRa r c tg
2
2
2 q
pRa r c tg
)1 8 0c os ( ZMZ HMMZH LXX?
)1 8 0s in( ZMZ HMMZH LYY?
)180c o s ( HMHZ MMHZ LXX?
)180s in ( HMHZ MMHZ LYY?
2121 )( pRqL Z H M
2222 )( pRqL H Z M
圆心 M到 HY,YH的方位角：
11 90M HY 22 90M Y H
)90c o s ( 11 RXX MHY
)90s in ( 11 RYY MHY
HY,YH的坐标：
)90c os ( 22 RXX MYH
)90s in ( 22 RYY MYH
（ 2） 曲线主点里程桩号计算：
平曲线长度
设前直线上点（ x1,y1）的里程桩号为 Lcz，
2121 )()( ZHZH YyXxL c zZH
212112
1 8 0|| LsLsRL
）（
HY=ZH+Ls1,HZ=ZH+L,YH=HZ-Ls2
（ 2） 曲线主点里程桩号计算：
平曲线长度
设前直线上点（ x1,y1）的里程桩号为 Lcz，
2121 )()( ZHZH YyXxL c zZH
212112
1 8 0|| LsLsRL
）（
HY=ZH+Ls1,HZ=ZH+L,YH=HZ-Ls2
（ 3） 曲线上任意点坐标计算,（ 方法同前 ）
习题：
两直线上分别有两个点的坐标为：
D1(10203.65，,20328.62),D2(10526.08,20665.11)和
D3(10837.56,20733.76),D4(11324.71,20692.14)。
拟设计一个半径为 265m的圆曲线与其连接，圆心坐标为（ 10803.16,20472.29）。其中 D1点桩号为
K23+125.62。
要求计算确定两段缓和曲线长度并计算曲线主点里程桩号。
M2(xm2,ym2)
M1(xm1,ym1)
N
D
αm
2） S型曲线计算方法
已知两圆心坐标为 M1(xm1,ym1),M2(xm2,ym2)，半径 R1,R2
（反向），计算确定缓和曲线长度 Ls1,Ls2。
R2
R1 D3
D2D1
q2
q1
q1+q2
β2
ε
εβ1
N
Q2
Q1
αQ
p2
p1
(1)线形元素连接点坐标计算
2121
21
ppRR
qqtg
)90( MQ
212122122121 )()(|| RRyyxxRRMMD mmmm
公切点 D2坐标计算,
D2点的坐标,
圆心 M1到公切点 D2的方位角：
，
QDM 21
2112 c o s DMDMD LXX
2112 s in DMDMD LYY
θ
LD
LD2
22222 c o s DMDMD LXX
22222 s in DMDMD LYY
公切点 D2坐标计算,
D2点的坐标,
圆心 M1到公切点 D2的方位角,
QDM 21
1
11
q
pRa rc tg21121 )( pRqL D
222222 )( pRqL D
218022 QDM
2
22
2 q
pRa r ct g
圆心 M2到公切点 D2的方位角：
2112 c o s DMDMD LXX
2112 s in DMDMD LYY
22222 c o s DMDMD LXX
22222 s in DMDMD LYY
可通过两种方式解决,设定 D2为公切点，
①移动 M2的位置；
②调整 Ls2的参数 A2。
移动圆心 M2的位置时：
如果回旋线参数 A计算不准确，则由 M1和 M2计算出的 D2坐标不相等，即 D2不是公切点。
22222 c o s DMDDM LXX
22222 s in DMDDM LYY
缓和曲线与圆连接点 D1,D3的坐标计算,（ 公式 同前）
（ 2） 主点里程桩号计算,（ 方法同前 ）
（ 3） 曲线上任意点坐标计算,（ 方法同前 ）
3） 卵型曲线计算方法
已知两圆心坐标为 M1(xm1,ym1),M2(xm2,ym2)，半径 R1,R2
（同向），计算确定缓和曲线长度 Ls1,Ls2。
2R
1R
2M
1M
D
2R
1R
1
2
q2-q1
R1+p1-R2-p2
X
D1
D2
(1)线形元素连接点坐标计算
5,卵型曲线计算方法
22
12tan
MM
MM
xx
yy
如果 xM2< xM1,α=α+180。
2211
12
0 pRpR
qqtg
111DM
101
202
222DM
1?
2?
0?
1? 2
则衔接点 D1和 D2坐标计算公式为：（ i=1,2）
从小圆过渡到大圆时方位角,R1<R2
iiii DMMD Rxx?c o s
iiii DMiMD Ryy?s in
118011DM
21 8 022DM
从大圆过渡到大圆时方位角,R1>R2
222DM
111DM
（ 2）中间缓和曲线坐标计算
必须检查参数 A是否在规定范围 R2/2<A<R2。
中间缓和曲线段长度 LF计算,
衔接点 D1处缓和曲线长度为 lD1,D2点缓和曲线长度为 lD2，
4
3
21
3
2
3
1
)(
24
RR
RDRA
11
2 1
1 RR
Al
D
按近似计算公式 回旋线参数：
2
2
2 R
Al
D?
2
21
21
1
2
2
2
12 ARR
RR
R
A
R
AllL
DDF
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
由 D1坐标推算 M坐标：
① 当 R1>R2时：
D1点切线方位角：
90111 DMD
M点切线方位角：
1
1
111
90
R
l D
DDDM
180
2 1
1
1 R
l D
D?
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
由 D1坐标推算 M坐标：
① 当 R1>R2时,回旋线起点 M位于 D1点后方。
D1点切线方位角：
90111 DMD
M点切线方位角：
1
1
111
90
R
l D
DDDM
M点坐标,)180c o s (c o s/
1 MDM xxx
)180s in(c o s/1 MDM xyy
式中,x,y—— 缓和曲线终点切线支距值；
δ—— 缓和曲线终点弦角，
x
ya rc tg
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
② 当 R1<R2时,回旋线起点 M位于 D2点前方 。
由 D1坐标推算 M坐标：
M点切线方位角：
M点坐标,1
1
111
90
R
l D
DDDM
)1 8 0c o s (c o s/1 MDM xxx
)1 8 0s in (c o s/1 MDM xyy
当计算出之间缓和曲线起点坐标及方位角后,即可据此计算缓和曲线上任意点坐标 。
（ 3）卵型曲线与两边线的连接计算：
从两条直线上分别选取两个点，采集坐标，标定两直线。同时必须确定第一条边上一点的里程桩号，
作为推算该路段里程桩号的基点。
①分别计算卵型曲线连接两直线的缓和曲线长度及参数；
②计算出两段缓和曲线的 pi,qi,β i值；
③分别计算第一圆曲线 R1的 ZH,HY点坐标，第二圆曲线 R2的 YH,HZ点坐标。
（ 3）卵型曲线与两边线的连接计算：
ZH里程桩号由已知里程桩号的导线点（坐标 x1,y1）
推算,
21211 )()( yyxxL c zZH ZHZH
11 LsZHHY
1 8 0||
111 111 RHYYH HYMDM
FLYHHY 12
1 8 0||
222 122 RHYYH YHMDM
22 LsYHHZ
αc o s/1 xLc zZH
1
1
xx
yya rc tg
ZH
ZH
M1
M2
R2
R1q1-q2
p2
p1
R1+p1-R2-p2
X
α
(1) 徒手画出线形顺适,平缓并与地形相适应的路线概略位置 。
(2)选用直尺和不同半径的圆曲线弯尺拟合徒手画线,把该画线分解成规则的数学单元一圆弧和直线 。
(3)在每一被分解后的圆弧或直线上各采集两个点的坐标,从而将直线和圆固定下来 。 通过试定或试算,用合适的缓和曲线将固定的线形单元顺滑地连接,形成一条以曲线为主的连续面线形 。
二、曲线型定线法坐标计算方法
回旋线参数 A的确定常用方法有：
1)回旋曲线尺法
2,确定回旋线参数
回旋线参数 A的确定常用方法有：
1)回旋曲线尺法
2,确定回旋线参数
回旋线参数 A的确定常用方法有：
1)回旋曲线尺法
2,确定回旋线参数
回旋线参数 A的确定常用方法有：
1)回旋曲线尺法
2)回旋曲线表法
3)近似计算法：
① 直线与圆曲线间用缓和曲线连接：
4 324 DRA?
式中,D—— 圆弧与直线或圆弧与圆弧之间距离；
21
21
RR
RRR
卵型曲线：
21
21
RR
RRR
② S型,卵型曲线,（ 公式同上 ）
换算半径 R,S型曲线：
2,确定回旋线参数
D
（ 1） 直线与圆曲线连接
已知直线上两点 D1（ xD1,yD1） 和 D2（ xD2,yD2）,圆曲线上两点 C1 （ xC1,yC1） 和 D2（ xC2,yC2）,
圆曲线半径为 R。
4） 解析计算法：
要求设计缓和曲线 LS连接圆曲线并与直线 D1~D2相切 。 。
（ 1） 直线与圆曲线连接
R
S
2a rc c o s
① 圆心坐标 M（ xm,ym）
C1C2两点之间距离：
21
21
12 ar ct an xx
yy
C?
221221 )()( CCCC yyxxS
12Cm
12Cm
xm=xC1+Rcosαm
ym=yC1+Rsinαm
4） 解析计算法：
12
22
DD
DD
xx
yyk
② 圆心到直线的距离 D
直线 D1D2斜率：
R
k
yyxxkD DmDm?
2
11
1
|)()(|
（ 1） 直线与圆曲线连接
4） 解析计算法：
12
22
DD
DD
xx
yyk
② 圆心到直线的距离 D
直线 D1D2斜率：
R
k
yyxxkD DmDm?
2
11
1
|)()(|
（ 1） 直线与圆曲线连接
4） 解析计算法：
③ 回旋线参数 A及长度 Ls
圆曲线与直线之间的距离 D即曲线内移值 p，即 p = D。
若按回旋线参数 A2=RLS设计，则
DRLsp 24
2
RDL S 24?
4 324 DRA?
GQ
q2q1
p1 p2
（ 2） 两反向曲线连接 （ S型 ）
两曲线间距 D：
2
12
2
12
2121
)()( mmmm yyxx
DRRMM
2212212121 )()( qqppRRMM
21212212 )()( RRyyxxD mmmm
2122122121 )()( mmmm yyxxDRRMM
22122122121 )()()( DRRqqppRR
3
1
4
1
1 24 R
Ap?
5
1
6
1
1
2
1
1 2 4 02 R
A
R
Aq
3
2
4
2
2 24 R
Ap?
5
2
6
2
2
2
2
2 2402 R
A
R
Aq
21 kAA?设
用牛顿求根法可解出 A1,A2
建立方程：
2212212121 )()( qqppRRMM
（ 3） 两同向曲线连接 （ 卵型 ）
两圆心间距：
2122212121 )()( qqppRRMM
q2-q1
R1+p1-R2-p2
2122122121 )()( mmmm yyxxDRRMM
建立方程：
22121222121 )()()( DRRqqppRR
用牛顿求根法可解出 A。
1） 单曲线计算方法：
由两段缓和曲线把圆曲线与两条直线连接起来。
R
2q
1q
2p
1p
),( mm yxM
HY YH
ZH
HZ
1?
ZHML
2?HZML
1?
N
),( 11 yx
),( 22 yx
N
2?
),( 33 yx
),( 44 yx
12
121 ar c tan
xx
yy
180
,
11
12
xx若
34
342 ar ct an
xx
yy
180,2234xx若
3,曲线型定线坐标计算方法：
（ 1） 曲线主点坐标计算：
ZH,HZ点到圆心 M的方位角：
ZH,HZ点坐标：
11ZM 22 180HM
1
1
1 q
pRa r c tg
2
2
2 q
pRa r c tg
)1 8 0c os ( ZMZ HMMZH LXX?
)1 8 0s in( ZMZ HMMZH LYY?
)180c o s ( HMHZ MMHZ LXX?
)180s in ( HMHZ MMHZ LYY?
2121 )( pRqL Z H M
2222 )( pRqL H Z M
圆心 M到 HY,YH的方位角：
11 90M HY 22 90M Y H
)90c o s ( 11 RXX MHY
)90s in ( 11 RYY MHY
HY,YH的坐标：
)90c os ( 22 RXX MYH
)90s in ( 22 RYY MYH
（ 2） 曲线主点里程桩号计算：
平曲线长度
设前直线上点（ x1,y1）的里程桩号为 Lcz，
2121 )()( ZHZH YyXxL c zZH
212112
1 8 0|| LsLsRL
）（
HY=ZH+Ls1,HZ=ZH+L,YH=HZ-Ls2
（ 2） 曲线主点里程桩号计算：
平曲线长度
设前直线上点（ x1,y1）的里程桩号为 Lcz，
2121 )()( ZHZH YyXxL c zZH
212112
1 8 0|| LsLsRL
）（
HY=ZH+Ls1,HZ=ZH+L,YH=HZ-Ls2
（ 3） 曲线上任意点坐标计算,（ 方法同前 ）
习题：
两直线上分别有两个点的坐标为：
D1(10203.65，,20328.62),D2(10526.08,20665.11)和
D3(10837.56,20733.76),D4(11324.71,20692.14)。
拟设计一个半径为 265m的圆曲线与其连接，圆心坐标为（ 10803.16,20472.29）。其中 D1点桩号为
K23+125.62。
要求计算确定两段缓和曲线长度并计算曲线主点里程桩号。
M2(xm2,ym2)
M1(xm1,ym1)
N
D
αm
2） S型曲线计算方法
已知两圆心坐标为 M1(xm1,ym1),M2(xm2,ym2)，半径 R1,R2
（反向），计算确定缓和曲线长度 Ls1,Ls2。
R2
R1 D3
D2D1
q2
q1
q1+q2
β2
ε
εβ1
N
Q2
Q1
αQ
p2
p1
(1)线形元素连接点坐标计算
2121
21
ppRR
qqtg
)90( MQ
212122122121 )()(|| RRyyxxRRMMD mmmm
公切点 D2坐标计算,
D2点的坐标,
圆心 M1到公切点 D2的方位角：
，
QDM 21
2112 c o s DMDMD LXX
2112 s in DMDMD LYY
θ
LD
LD2
22222 c o s DMDMD LXX
22222 s in DMDMD LYY
公切点 D2坐标计算,
D2点的坐标,
圆心 M1到公切点 D2的方位角,
QDM 21
1
11
q
pRa rc tg21121 )( pRqL D
222222 )( pRqL D
218022 QDM
2
22
2 q
pRa r ct g
圆心 M2到公切点 D2的方位角：
2112 c o s DMDMD LXX
2112 s in DMDMD LYY
22222 c o s DMDMD LXX
22222 s in DMDMD LYY
可通过两种方式解决,设定 D2为公切点，
①移动 M2的位置；
②调整 Ls2的参数 A2。
移动圆心 M2的位置时：
如果回旋线参数 A计算不准确，则由 M1和 M2计算出的 D2坐标不相等，即 D2不是公切点。
22222 c o s DMDDM LXX
22222 s in DMDDM LYY
缓和曲线与圆连接点 D1,D3的坐标计算,（ 公式 同前）
（ 2） 主点里程桩号计算,（ 方法同前 ）
（ 3） 曲线上任意点坐标计算,（ 方法同前 ）
3） 卵型曲线计算方法
已知两圆心坐标为 M1(xm1,ym1),M2(xm2,ym2)，半径 R1,R2
（同向），计算确定缓和曲线长度 Ls1,Ls2。
2R
1R
2M
1M
D
2R
1R
1
2
q2-q1
R1+p1-R2-p2
X
D1
D2
(1)线形元素连接点坐标计算
5,卵型曲线计算方法
22
12tan
MM
MM
xx
yy
如果 xM2< xM1,α=α+180。
2211
12
0 pRpR
qqtg
111DM
101
202
222DM
1?
2?
0?
1? 2
则衔接点 D1和 D2坐标计算公式为：（ i=1,2）
从小圆过渡到大圆时方位角,R1<R2
iiii DMMD Rxx?c o s
iiii DMiMD Ryy?s in
118011DM
21 8 022DM
从大圆过渡到大圆时方位角,R1>R2
222DM
111DM
（ 2）中间缓和曲线坐标计算
必须检查参数 A是否在规定范围 R2/2<A<R2。
中间缓和曲线段长度 LF计算,
衔接点 D1处缓和曲线长度为 lD1,D2点缓和曲线长度为 lD2，
4
3
21
3
2
3
1
)(
24
RR
RDRA
11
2 1
1 RR
Al
D
按近似计算公式 回旋线参数：
2
2
2 R
Al
D?
2
21
21
1
2
2
2
12 ARR
RR
R
A
R
AllL
DDF
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
由 D1坐标推算 M坐标：
① 当 R1>R2时：
D1点切线方位角：
90111 DMD
M点切线方位角：
1
1
111
90
R
l D
DDDM
180
2 1
1
1 R
l D
D?
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
由 D1坐标推算 M坐标：
① 当 R1>R2时,回旋线起点 M位于 D1点后方。
D1点切线方位角：
90111 DMD
M点切线方位角：
1
1
111
90
R
l D
DDDM
M点坐标,)180c o s (c o s/
1 MDM xxx
)180s in(c o s/1 MDM xyy
式中,x,y—— 缓和曲线终点切线支距值；
δ—— 缓和曲线终点弦角，
x
ya rc tg
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
② 当 R1<R2时,回旋线起点 M位于 D2点前方 。
由 D1坐标推算 M坐标：
M点切线方位角：
M点坐标,1
1
111
90
R
l D
DDDM
)1 8 0c o s (c o s/1 MDM xxx
)1 8 0s in (c o s/1 MDM xyy
当计算出之间缓和曲线起点坐标及方位角后,即可据此计算缓和曲线上任意点坐标 。
（ 3）卵型曲线与两边线的连接计算：
从两条直线上分别选取两个点，采集坐标，标定两直线。同时必须确定第一条边上一点的里程桩号，
作为推算该路段里程桩号的基点。
①分别计算卵型曲线连接两直线的缓和曲线长度及参数；
②计算出两段缓和曲线的 pi,qi,β i值；
③分别计算第一圆曲线 R1的 ZH,HY点坐标，第二圆曲线 R2的 YH,HZ点坐标。
（ 3）卵型曲线与两边线的连接计算：
ZH里程桩号由已知里程桩号的导线点（坐标 x1,y1）
推算,
21211 )()( yyxxL c zZH ZHZH
11 LsZHHY
1 8 0||
111 111 RHYYH HYMDM
FLYHHY 12
1 8 0||
222 122 RHYYH YHMDM
22 LsYHHZ
αc o s/1 xLc zZH
1
1
xx
yya rc tg
ZH
ZH
M1
M2
R2
R1q1-q2
p2
p1
R1+p1-R2-p2
X
α
