上页 下页 铃结束返回首页一、导数的定义
§ 3.2 导数概念二、导数的几何意义三、左右导数四、可导与连续的关系上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、导数的定义定义 3?1(导数 )
设函数 y?f(x)在点 x0的某个邻域内有定义?如果极限
x
xfxxf
x
y
xx?
)()(l i ml i m 00
00
存在? 则称此极限值为函数 f(x)在点 x0处的导数?可记为
f?( x 0 )? 0| xxy 0xxdxdy? 或 0)( xxxfdxd
导数定义式的的其它形式
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
0
00 )()(lim)(
0 xx
xfxfxf
xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页可导性如果函数 f(x)在点 x 0处有导数? 则称函数 f(x)在点 x0处可导?
否则称函数 f(x)在点 x0处不可导? 如果函数 f(x)在某区间 (a,b)内每一点处都可导?则称 f(x)在区间 (a,b)内可导?
导函数设 f(x)在区间 (a,b)内可导? 此时? 对于区间 (a,b)内每一点
x? 都有一个导数值与它对应? 这就定义了一个新的函数? 称为函数 y?f(x)在区间 (a,b)内对 x的导函数?简称为导数?记作
f?( x )? y dxdy 或 )( xfdxd?
h
xfhxf
x
xfxxfxfy
hx
)()(l i m)()(l i m)(
00
导函数的定义式下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1? 求函数 y?x2在点 x?2处的导数?
当 x由 2改变到 2x时?函数改变量为
y?(2x)2?22?4?x?(?x)2?
因此 xxy 4?
4)4(limlim)2( 00 xxyf xx? 4)4(limlim)2( 00 xxyf xx?
上页 下页 铃结束返回首页解? (1)?y?[a(xx)?b]?(ax?b)
例 2? 求线性函数 y?ax?b的导数?
a?x?
( 2 ) axy
( 3 ) aaxyy xx 00 limlim? ( 3) aaxyy xx 00 limlim?
解?
例 1? 求函数 y?x2在点 x?2处的导数?
当 x由 2改变到 2x时?函数改变量为
y?(2x)2?22?4?x?(?x)2?
因此 xxy 4?
4)4(limlim)2( 00 xxyf xx? 4)4(limlim)2( 00 xxyf xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 3? 求函数 xy 1? 的导数?
解? ( 1 ) )(11 xxx xxxxy
( 2 ) )( 1 xxxxy
( 3 ) 200 1)( 1l i ml i m xxxxxyy xx
解? ( 1 ) )(1 xx xxxxy
( 3 ) 200 1)( 1limlim xxxxxyy xx ( 3) 200 1)( 1limim xxxxxyy xx
上页 下页 铃结束返回首页解?
例 4? 求函数 xy? 的导数?
解? ( 1 ) xxxy
( 2 ) xxxxxxx xx xxxxy 1)(?
( 3 ) xxxxxyy xx 2 11limlim 00
( 2 ) xxxxxxx xx xxxxy 1)(? ( 2 ) xxxxxxx xx xxxxy 1)(?
( 3 ) xxxxxyy xx 2 11limlim 0 ( 3) xxxxxyy xx 2 11limlim 00
解?
例 3? 求函数 xy 1? 的导数?
解? ( 1 ) )(11 xxx xxxxy
( 2 ) )( 1 xxxxy
( 3 ) 200 1)( 1l i ml i m xxxxxyy xx
解? ( 1 ) )(1 xx xxxxy
( 3 ) 200 1)( 1limlim xxxxxyy xx ( 3) 200 1)( 1limim xxxxxyy xx
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 5? 给定函数 f(x)?x3?求? f?(x)?f?(0)?f?(1)?f?(x0)?
(1)?y?(xx)3?x3
( 2 ) 22 )(33 xxxxxy
( 3 ) 22200 3])(33[l i ml i m xxxxxxyy xx
由此 得 f?( x )? 3 x 2? f?( 0 )? 0? f?( 1 )? 3? 200 3)( xxf
3x2?x?3x(?x)2?(?x)3?
( 3 ) 22200 3])(33[l i ml i m xxxxxxyy xx ( 3 ) 22200 3])(33[limlim xxxxxxy xx
由此 得 f?(x)?3x2? f?(0)?0? f?(1)?3? 200 3)( xxf 由此 得 f?(x)?3x2? f?(0)?0? f? 1)?3? 200 3)( xxf 由此 得 f?( x ) 3 2? f?( 0 ) 0? f?( 1 )? 3? 200 3)( xxf
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 6? 用定义讨论函数
0 0
0 1s i n)(
x
xxxxf 在点 x? 0 处的连续性与可导性?
因为
)0(01s inlim)(lim 00 fxxxf xx
所以 f(x)在点 x?0处连续? 因为极限
xx
x
x
x
fxf
xxx
1s i nlim
1s i n
lim
0
)0()(lim
000
不存在?
)0(01s inlim)(lim 00 fxxxf xx )0(01sinlim)(lim 00 fxxxf xx )0(01inlim)(lim 00 fxxxf xx
xx
x
x
x
fxf
xxx
1s inlim
1s in
lim
0
)0()(lim
000
xx
x
x
x
fxf
xxx
1s inlim
1s in
lim
0
)0()(lim
000
所以 f(x)在点 x?0处不可导?
首页上页 下页 铃结束返回首页二、导数的几何意义函数 y?f(x)在点 x0处的导数 f?(x0)就曲线 y?f(x)在点 M(x0,y0)
处的切线的斜率?
由导数的几何意义及直线的点斜式方程? 可知曲线 y?f(x)
上点 (x0,y0)处的切线方程为
y?y0?f?(x0)(x?x0)?
上页 下页 铃结束返回首页解?
例 7? 求曲线 xy 1? 在点 ( 1,1 ) 处的切线方程?
解? 在例 3 中已求得 21)( xxf 因为 f?( 1 ) 1?
所求切线方程为即 x?y?2?0?y?1(x?1)?
解? 在例 3 中已求得 21)( xxf 因为 f?( 1 ) 1?
二、导数的几何意义函数 y?f(x)在点 x0处的导数 f?(x0)就曲线 y?f(x)在点 M(x0,y0)
处的切线的斜率?
由导数的几何意义及直线的点斜式方程? 可知曲线 y?f(x)
上点 (x0,y0)处的切线方程为
y?y0?f?(x0)(x?x0)?
首页上页 下页 铃结束返回首页三、左右导数定义 3?2(左右导数 )
设函数 y?f(x)在 x0的某邻域内有定义?
如果极限 x xfxxfx )()(lim 000 存在? 则称此极限为 f ( x )
在点 x 0 处的左导数? 记作 )( 0xf
如果极限 x xfxxfx )()(lim 000 存在? 则称此极限为 f ( x )
在点 x 0 处的右导数? 记作 )( 0xf
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x xfxxfxf x )()(lim)( 0000?
x xfxxfxf x )()(lim)( 0000?
当且仅当函数在一点的左,右导数存在且相等时? 函数在该点才是可导的?
可导与左右导数的关系函数在闭区间上的可导性函数 f(x)在 [a,b]上可导?指 f(x)在开区间 (a,b)内处处可导?
且存在 f(b)及 f(a)?
首页上页 下页 铃结束返回首页四、可导与连续的关系定理 3?1(可导与连续的关系 )
如果函数 y?f(x)在点 x0处可导?则它在点 x0处一定连续?
这是因为? 如果函数 f(x)在 x0可导?则
00)( limlimlimlim 00000 xfxxyxxyy xxxx?
这个定理的逆定理不成立? 即函数 y?f(x)在点 x0处连续? 但在点 x0处不一定可导?
请记住? 可导一定连续?但连续不一定可导?
应注意的问题
00)( limlimlimlim 00000 xfxxyxy xxxx? 00)( limlimlimlim 00000 xfxxyxyy xxxx? 00)( limlimlim 0000 xfxxyxxyy xxxx?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 8? 讨论函数
0
0
||)(
xx
xx
xxfy 在 x? 0 处的连续性与可导性?
因为
0lim||lim 00 xx xx? 0)(lim||lim 00 xx xx?
所以 0)0(||lim 0 fxx?
从而函数 y?|x|在 x?0处连续? 因为
1lim||limlim)0( 000 xxxxxyf xxx?
1lim||limlim)0( 000 xxxxxyf xxx?
)0( )0( ff?
所以函数 y?|x|在 x?0处不可导?
0lim||lim 00 xx xx? 0)(lim||lim 00 xx xx?
1lim||limlim)0( 000 xxxxxyf xx? 1lim||limlim)0( 00 xxxxf xxx?
1lim||limlim)0( 000 xxxxyf xx? 1lim||limlim)0( 00 xxxyf xxx?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 9? 讨论函数
21 1
10 2
0 1
)(
2 xx
xx
xx
xf 在点 x? 0 及 x? 1 处的连续性与可导性?
(1)连续性?
)0(02lim)(lim 00 fxxf xx
所以 f(x)在点 x?0处不连续? 从而在点 x?0处也不可导?
)0(02lim)(lim 00 fxxf xx )0(02lim)(lim 00 fxxf xx
因为
22lim)(lim 11 xxf xx? 2)1(lim)(lim 211 xxf xx?
所以 2)1()(lim 1 fxfx? 因此 f ( x ) 在点 x? 1 处连 续?
因为 f(0)1?而
22lim)(lim 11 xxf xx? 2)1(lim)(lim 211 xxf xx?
所以 2)1()(lim 1 fxfx? 因此 f ( x ) 在点 x? 1 处连 续?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 9? 讨论函数
21 1
10 2
0 1
)(
2 xx
xx
xx
xf 在点 x? 0 及 x? 1 处的连续性与可导性?
因为
22l i m2)1(2l i m)1( 00 x xxxf xx?
2)(2l i m2]1)1[(l i m)1( 2020 x xxxxf xx?
)1( )1( ff?
所以在点 x?1处 f(x)可导?且 f?(1)?2?
(2)可导性?
因为 f(x)在点 x?0处不连续?所以 f(x)在点 x?0处也不可导?
22l i2)1(2l i m)1( 00 x xxxf xx?
2)(2l i m2]1)1[(l i m)1( 2020 x xxxxf xx?
结束
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设函数 y?f(x)在点 x0的某个邻域内有定义?如果极限
x
xfxxf
x
y
xx?
)()(l i ml i m 00
00
存在? 则称此极限值为函数 f(x)在点 x0处的导数?可记为
f?( x 0 )? 0| xxy 0xxdxdy? 或 0)( xxxfdxd
导数定义式的的其它形式
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
0
00 )()(lim)(
0 xx
xfxfxf
xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页可导性如果函数 f(x)在点 x 0处有导数? 则称函数 f(x)在点 x0处可导?
否则称函数 f(x)在点 x0处不可导? 如果函数 f(x)在某区间 (a,b)内每一点处都可导?则称 f(x)在区间 (a,b)内可导?
导函数设 f(x)在区间 (a,b)内可导? 此时? 对于区间 (a,b)内每一点
x? 都有一个导数值与它对应? 这就定义了一个新的函数? 称为函数 y?f(x)在区间 (a,b)内对 x的导函数?简称为导数?记作
f?( x )? y dxdy 或 )( xfdxd?
h
xfhxf
x
xfxxfxfy
hx
)()(l i m)()(l i m)(
00
导函数的定义式下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1? 求函数 y?x2在点 x?2处的导数?
当 x由 2改变到 2x时?函数改变量为
y?(2x)2?22?4?x?(?x)2?
因此 xxy 4?
4)4(limlim)2( 00 xxyf xx? 4)4(limlim)2( 00 xxyf xx?
上页 下页 铃结束返回首页解? (1)?y?[a(xx)?b]?(ax?b)
例 2? 求线性函数 y?ax?b的导数?
a?x?
( 2 ) axy
( 3 ) aaxyy xx 00 limlim? ( 3) aaxyy xx 00 limlim?
解?
例 1? 求函数 y?x2在点 x?2处的导数?
当 x由 2改变到 2x时?函数改变量为
y?(2x)2?22?4?x?(?x)2?
因此 xxy 4?
4)4(limlim)2( 00 xxyf xx? 4)4(limlim)2( 00 xxyf xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 3? 求函数 xy 1? 的导数?
解? ( 1 ) )(11 xxx xxxxy
( 2 ) )( 1 xxxxy
( 3 ) 200 1)( 1l i ml i m xxxxxyy xx
解? ( 1 ) )(1 xx xxxxy
( 3 ) 200 1)( 1limlim xxxxxyy xx ( 3) 200 1)( 1limim xxxxxyy xx
上页 下页 铃结束返回首页解?
例 4? 求函数 xy? 的导数?
解? ( 1 ) xxxy
( 2 ) xxxxxxx xx xxxxy 1)(?
( 3 ) xxxxxyy xx 2 11limlim 00
( 2 ) xxxxxxx xx xxxxy 1)(? ( 2 ) xxxxxxx xx xxxxy 1)(?
( 3 ) xxxxxyy xx 2 11limlim 0 ( 3) xxxxxyy xx 2 11limlim 00
解?
例 3? 求函数 xy 1? 的导数?
解? ( 1 ) )(11 xxx xxxxy
( 2 ) )( 1 xxxxy
( 3 ) 200 1)( 1l i ml i m xxxxxyy xx
解? ( 1 ) )(1 xx xxxxy
( 3 ) 200 1)( 1limlim xxxxxyy xx ( 3) 200 1)( 1limim xxxxxyy xx
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例 5? 给定函数 f(x)?x3?求? f?(x)?f?(0)?f?(1)?f?(x0)?
(1)?y?(xx)3?x3
( 2 ) 22 )(33 xxxxxy
( 3 ) 22200 3])(33[l i ml i m xxxxxxyy xx
由此 得 f?( x )? 3 x 2? f?( 0 )? 0? f?( 1 )? 3? 200 3)( xxf
3x2?x?3x(?x)2?(?x)3?
( 3 ) 22200 3])(33[l i ml i m xxxxxxyy xx ( 3 ) 22200 3])(33[limlim xxxxxxy xx
由此 得 f?(x)?3x2? f?(0)?0? f?(1)?3? 200 3)( xxf 由此 得 f?(x)?3x2? f?(0)?0? f? 1)?3? 200 3)( xxf 由此 得 f?( x ) 3 2? f?( 0 ) 0? f?( 1 )? 3? 200 3)( xxf
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例 6? 用定义讨论函数
0 0
0 1s i n)(
x
xxxxf 在点 x? 0 处的连续性与可导性?
因为
)0(01s inlim)(lim 00 fxxxf xx
所以 f(x)在点 x?0处连续? 因为极限
xx
x
x
x
fxf
xxx
1s i nlim
1s i n
lim
0
)0()(lim
000
不存在?
)0(01s inlim)(lim 00 fxxxf xx )0(01sinlim)(lim 00 fxxxf xx )0(01inlim)(lim 00 fxxxf xx
xx
x
x
x
fxf
xxx
1s inlim
1s in
lim
0
)0()(lim
000
xx
x
x
x
fxf
xxx
1s inlim
1s in
lim
0
)0()(lim
000
所以 f(x)在点 x?0处不可导?
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处的切线的斜率?
由导数的几何意义及直线的点斜式方程? 可知曲线 y?f(x)
上点 (x0,y0)处的切线方程为
y?y0?f?(x0)(x?x0)?
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例 7? 求曲线 xy 1? 在点 ( 1,1 ) 处的切线方程?
解? 在例 3 中已求得 21)( xxf 因为 f?( 1 ) 1?
所求切线方程为即 x?y?2?0?y?1(x?1)?
解? 在例 3 中已求得 21)( xxf 因为 f?( 1 ) 1?
二、导数的几何意义函数 y?f(x)在点 x0处的导数 f?(x0)就曲线 y?f(x)在点 M(x0,y0)
处的切线的斜率?
由导数的几何意义及直线的点斜式方程? 可知曲线 y?f(x)
上点 (x0,y0)处的切线方程为
y?y0?f?(x0)(x?x0)?
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设函数 y?f(x)在 x0的某邻域内有定义?
如果极限 x xfxxfx )()(lim 000 存在? 则称此极限为 f ( x )
在点 x 0 处的左导数? 记作 )( 0xf
如果极限 x xfxxfx )()(lim 000 存在? 则称此极限为 f ( x )
在点 x 0 处的右导数? 记作 )( 0xf
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x xfxxfxf x )()(lim)( 0000?
x xfxxfxf x )()(lim)( 0000?
当且仅当函数在一点的左,右导数存在且相等时? 函数在该点才是可导的?
可导与左右导数的关系函数在闭区间上的可导性函数 f(x)在 [a,b]上可导?指 f(x)在开区间 (a,b)内处处可导?
且存在 f(b)及 f(a)?
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如果函数 y?f(x)在点 x0处可导?则它在点 x0处一定连续?
这是因为? 如果函数 f(x)在 x0可导?则
00)( limlimlimlim 00000 xfxxyxxyy xxxx?
这个定理的逆定理不成立? 即函数 y?f(x)在点 x0处连续? 但在点 x0处不一定可导?
请记住? 可导一定连续?但连续不一定可导?
应注意的问题
00)( limlimlimlim 00000 xfxxyxy xxxx? 00)( limlimlimlim 00000 xfxxyxyy xxxx? 00)( limlimlim 0000 xfxxyxxyy xxxx?
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例 8? 讨论函数
0
0
||)(
xx
xx
xxfy 在 x? 0 处的连续性与可导性?
因为
0lim||lim 00 xx xx? 0)(lim||lim 00 xx xx?
所以 0)0(||lim 0 fxx?
从而函数 y?|x|在 x?0处连续? 因为
1lim||limlim)0( 000 xxxxxyf xxx?
1lim||limlim)0( 000 xxxxxyf xxx?
)0( )0( ff?
所以函数 y?|x|在 x?0处不可导?
0lim||lim 00 xx xx? 0)(lim||lim 00 xx xx?
1lim||limlim)0( 000 xxxxxyf xx? 1lim||limlim)0( 00 xxxxf xxx?
1lim||limlim)0( 000 xxxxyf xx? 1lim||limlim)0( 00 xxxyf xxx?
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例 9? 讨论函数
21 1
10 2
0 1
)(
2 xx
xx
xx
xf 在点 x? 0 及 x? 1 处的连续性与可导性?
(1)连续性?
)0(02lim)(lim 00 fxxf xx
所以 f(x)在点 x?0处不连续? 从而在点 x?0处也不可导?
)0(02lim)(lim 00 fxxf xx )0(02lim)(lim 00 fxxf xx
因为
22lim)(lim 11 xxf xx? 2)1(lim)(lim 211 xxf xx?
所以 2)1()(lim 1 fxfx? 因此 f ( x ) 在点 x? 1 处连 续?
因为 f(0)1?而
22lim)(lim 11 xxf xx? 2)1(lim)(lim 211 xxf xx?
所以 2)1()(lim 1 fxfx? 因此 f ( x ) 在点 x? 1 处连 续?
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例 9? 讨论函数
21 1
10 2
0 1
)(
2 xx
xx
xx
xf 在点 x? 0 及 x? 1 处的连续性与可导性?
因为
22l i m2)1(2l i m)1( 00 x xxxf xx?
2)(2l i m2]1)1[(l i m)1( 2020 x xxxxf xx?
)1( )1( ff?
所以在点 x?1处 f(x)可导?且 f?(1)?2?
(2)可导性?
因为 f(x)在点 x?0处不连续?所以 f(x)在点 x?0处也不可导?
22l i2)1(2l i m)1( 00 x xxxf xx?
2)(2l i m2]1)1[(l i m)1( 2020 x xxxxf xx?
结束
