第二章
线性系统的状态空间描述
2.1 线性系统的数学描述系统描述中常用的基本概念系统的外部描述 传递函数系统的内部描述 状态空间表达式
1.输入、输出描述
2.松弛性,若系统的输出 由输入
输出方程状态方程
))(( 0ttty?
唯一确定,则称系统在 是松弛的
3.因果性,
4.线性,一个松弛系统,当且仅当对任何输入及任意常数,均有
(可加性 ),(齐次性 ),则该系统称为线性的,否则为非线性,
5.定常性,1)定义,-位移算子
],)[( 0?ttu
GHHuy,
tuuxfy ),,(
21 uu 和
2121 )( HuHuuuH
)()( 11 uHuH
aQ
)()()( tutuQtu a
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入 u和任意实数,均有则称系统是定常的
2.2 状态空间的基本概念
1.状态,表征系统运动的信息和行为
2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量
3.状态向量 [ ]
yQHuQuHQHuy aaa
)(1tx )(2tx T)(tx
4.状态空间：以 n个状态变量作为坐标轴所组成的 n维空间,
5.状态方程：
6.输出方程：
7.状态空间表达式 (动态方程 ),{A,B,C,D}
表示

一阶差分方程一阶微分方程
ux
]),(),([)( ttutxftx ]),(),([)( 1 kkkk ttutxftx
代数方程

u
xy
]),(),([)( ttutxgty? ]),(),([)( kkkk ttutxgty?
),,()(
),,(
tuxgty
tuxfx?

),,()(
),,()( 1
kk
kk
tuxgtg
tuxftx


)()()()()(
)()()()()(
tutDtxtctg
tutBtxtAtx
线性系统线性函数?
线性时变系统线性定常系统 DuCxyBuAxx,?
线性定常离散系统 )()()1( kHukGxkx
)()()( kDukCxky
状态空间分析法举例例 1求图示机械系统的状态空间表达式外力位移
Ku(t)
m
y(t)
b
)(tu
ym?yb ky

牛顿力学
yx?1 yx2令
---弹性系数阻尼系数
21 xx?
)(12 tu
m
y
m
by
m
kyx
)(121 tu
m
x
m
bx
m
k
1xy?
动态方程如下状态空间表达式为：
2
1
x
x

m
b
m
k
10
2
1
x
x
u
m
1
0

2
1
01
x
x
y
例 2求图示 RLC回路的状态空间表达式解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程选
)(ti
dt
di )(tuc )(tu
)(tuc
c
1? idt
R L
+
_
+
_
u(t) u c (t)
+
_ yi(t)
输入 输出
Ri
i1x 2x? idt
c
1
为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵 — 向量的形式为：
1
x
2
x


dt
di
L
R
1x
L
1
2x )(tu
L
1
c
1
1x
y 2x )(tuc
1
x
2
x
L
R
L
1
c
1
0
1x
2x
L
1
0
)(tu
令 为状态向量则：
y
1x
2x
10
1x 2x?x
T
x
L
R?
L
1
c
1
0
x
L
1
0
)(tu
y? 10 x
2.2 线性定常连续系统的状态空间表达式三种方法：微分方程，传递函数，结构图求
{A,B,C,D}
1,由系统微分方程建立状态空间表达式
1） 系统输入量中不含导数项状态空间表达式：
uyayayayay nnnnn 001)2(2)1(1)(
．
cuy
buAxx

.
n
n
x
x
x
x
x
1
2
1

1210
1000
0100
0010
n
aaaa
A
0
0
0
0
b
001c
例 1
设求（ A,B,C,D）
解：选
...
y?
..
y58,y 6 uy 3?
yx?1
.
yx?2
..
yx?3
则：
21 xx?
.
32 xx?
.
3213 5863 xxxuyx
....
1xy?
状态空间表达式为
u
x
x
x
x
x
x

3
0
0
586
100
010
3
2
1
3
2
1

3
2
1
001
x
x
x
y
210 aaa 0?
2) 系统输入量中含有导数项如果单输入 —单输出系统的微分方程为：
一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数 n。为了避免在状态方程中出现 u的导数项，可以选择如下的一组状态变量。

yayayay
n
n
n
01
)1(
1
)(?
ubububub nnnn 01)1(1)(

uhxx
uhxx
uhxx
uhxx
uhyx
n
n
n
n
n
n
i
i
i
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
01





即：
uhxyuhyx 0101
uhuhxyuhuhyx 102102

uhuhuhxy
uhuhuhyx
2103
2103




uhuhuhyx nnnnn 1)2(1)1(0)1(
uhuhuhxy nnnnn 1)2(1)1(0)1(

uhuhuhyx
n
nnn
n 1
)1(
1
)(
0
)(?
将代入得：

uhuhuhyx
n
nnn
n 1
)1(
1
)(
0
)(?
yayayayay nnnnn 01)2(2)1(1)(

ubububub nnnn 01)1(1)(

1021121
)( xaxaxaxay
nnnn
n

)( 1)2(1)1(01 uhuhuha nnnn
)( 2)3(1)2(02 uhuhuha nnnn
)(
00101 )(
n
n ubuhauhuha
ububub nn 01)1(1
nnnnn xaxaxaxax 1122110
)1(
0111
)(
0 )()(

n
nn
n
n uhahbuhb
)2(
021122 )(

n
nnn uhahahb
uhahahahb nnnnn )01322111?
uhahahahab nnnn )( 001122110
选择,使得上式中 u的各阶导数项的系数都等于 0，即可解得：
110,,?nhhh?
01322111
21120333
110222
0111
0
hahahabh
hahahabh
hahabh
habh
bh
nnnnn
nnnn
nnn
nn
n








令上式中 u的系数为,则：
最后可得系统的状态方程：
nh
001122110 hahahahabh nnnnn
uhxaxaxaxax
uhxx
uhxx
uhxx
unnnnn
nnn






1122110
11
232
121

可写成向量 -矩阵的形式：
即：
ducxy
buAxx



1210
1
2
1
1000
0100
0010
nn
n
aaaax
x
x
x

n
n
x
x
x
x
1
2
1
u
h
h
h
h
n
n
1
2
1
uh
x
x
x
y
n
0
2
1
001?
例 2,试写出它的状态空间表达式。
解：
则：
uuuyyyy 324

3,1,1,0,3 0123 bbbbn
4,2,1 210 aaa
1
0
0221
30


habh
bh
状态空间表达式为
13
3
00112203
011212


hahahabh
hahabh



3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
13
3
1
421
100
010
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
2.传递函数化为状态空间表达式设单输入 /输出系统的传递函数：
)(
)(
)(
)(
01
1
1
01
2
2
1
1
01
1
1
01
1
1
)(
SD
sN
n
asasas
sss
n
asasas
bsbsbsb
su
sy
b
b
sG
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n








上式中的系数用长除法得到：
nnnn
nnnn
n
n
bab
bab
bab
bab
111
222
111
000






如果把 写成串联分解的形式
)(
)(
sD
sN

yn
n
z
asasas
u ss
nnn 01
1
11 0111
01
1
1
1
)(
)(
asasassu
sz
n
n
n
uzazazaz nnn 01)1(1)(
选取状态变量
01
1
1)(
)(
ss
n
nsz
sy?
zzzy nn 01)1(1
)1(
321,,,,


n
n zxzxzxzx?
则状态方程为：
uxaxaxa
uzazazax
xx
xx
nn
n
nn


12110
)1(
110
32
21

输出方程为：
写成向量 -矩阵形式为：
nn xxxy 12110
Cxy
buAxx


1210
1000
0100
0010
n
aaaa
A

1
0
0
0
b
110, nc
这样的 A阵又称 友矩阵,若状态方程中的 A，
b具有这种形式，则称为可控标准型。
当时,A,b不变。
系统 {A,b,c,D}称为 G（ s）的可控标准形实现。
)(
)()(
sD
sN
nbsG
ubcxy n