第五章李雅普诺夫稳定性理论
1892年，俄国 Lyapunov在,运动稳定性的 一般问题,中提出了稳定性理论主要内容：
李氏第一法（间接法）：求解特征方程特征值
李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造 L函数
5.1稳定性基本概念
1.自治系统：输入为 0的系统 =Ax+Bu(u=0)
2.初态 =f(x,t)的解为初态
3.平衡状态：
系统的平衡状态
a.线性系统
A非奇异：
A奇异,有无穷多个
x?
x? ),,(
00 txtx
0000 ),,( xtxtx
0),( txfx eeex
Axx nRx?
00 ee xAx
0eAx ex
b.非线性系统可能有多个
eg,
令
0),( txfx e? ex
3
2212
11
xxxx
xx
01?x? 02?x?
0
0
1e
x
1
0
2e
x?
1
0
3e
x
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定如果对每个实数 都对应存在另一个实数 满足
0
0),( 0?t ),( 00 txx e
T
nxxxx ],[ 020100
T
neeee xxxx ],[ 21
2
1
2
0
2
1100 ])()[( nenee xxxxxx
且则称 是李氏意义下的稳定。
et
xtxtx ),,(lim 00
0
0tt?
ex
一致稳定无关与?0t?
2.渐近稳定
1）是李氏意义下的稳定
2）
一致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性对都有
0),,(lim 00
et
xtxtx
无关与 0t?
)(0?sx
0),,(lim 00
et
xtxtx
x)(?s 大范围稳定ex?
4.不稳定性不管 有多小，只要 内由 出发的轨迹超出 以外，则 不稳定
,)(?S 0x
)(?S
ex
5.3李雅普诺夫第一法（间接法）
线性定常系统稳定性的特征值判据：
1）李氏稳定的充要条件：
2）渐进稳定的充要条件：
Axx 0)0( xx? 0?t
0)R e ( i ni?,2,1?
0)R e ( i ni?,2,1?
3）不 稳定的充要条件：
0)R e ( i
5.4李氏第二法能量函数
1.标量函数正定 负定不定 正负半定
)( xV 0)(?xV
)(xV? 0)( xVt?
0)0(
)0(0)(
)1
V
xxV
)0(0)0(
)0(0)(
)2
xV
xxV
0)0(
)0(0)(
)3
V
xxV
)0(0)(
)0(0)(
)4
xxV
xxV
2.二次型标量函数
PXXxV T?)( 2221)( xxxV
nnnn
n
n
PPP
PPP
PPP
P
21
22221
11211
jiij PP?
Tnxxxx?21?
李氏第二法稳定性定理设 1)在 满足
2）
定理 1 若 1) 正定 2) 负定则 渐近稳定
3)若则 大范围渐近稳定
),( txfx ex 0),0(?tf
0?ex 存在),( txV?
),( txV ),( txV?ex
ex
x)( xV
ex
定理 2 若定理 3 若则 是李氏意义下的稳定定理 4 若则平衡状态 是不稳定的正定),()1 txV
正定),()2 txV?
0)3?x 0),(?txV? 则 渐近稳定ex
正定),()1 txV 负半定),()2 txV?
0)3?x 0),(?txV?
ex
正定),()1 txV
负半定),()2 txV?
ex
推论 1 若则 不稳定推论 2 若则 是李雅普诺夫意义下的稳定选取李氏函数的方法
1）构造一个二次型函数正定),()1 txV 正半定),()2 txV?
0)3?x 0),(?txV?
ex
正定),()1 txV 正半定),()2 txV?
0)3?x 0),(?txV?
ex
),( txV?
PxxxV T?)(
2）求
3）判 定号性
4）判? 正负半定反设
eg1,试用李氏第二法判稳
),( txV?
),( txV?
0?x 0),(?txV? V
0),(?txV?
渐近稳定若李氏意义下的稳定若
,0,0
0,0
Vx
Vx
)(
)(
2
2
2
1212
2
2
2
1121
xxxxx
xxxxx
解：令
01?x? 02?x?
0
0
ex
2
2
2
1)( xxxV设 2211 22)( xxxxxV则
0)(2)( 2221 xxxV? 负定
x 2)( xxV 大范围渐近稳定 ex
1892年，俄国 Lyapunov在,运动稳定性的 一般问题,中提出了稳定性理论主要内容：
李氏第一法（间接法）：求解特征方程特征值
李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造 L函数
5.1稳定性基本概念
1.自治系统：输入为 0的系统 =Ax+Bu(u=0)
2.初态 =f(x,t)的解为初态
3.平衡状态：
系统的平衡状态
a.线性系统
A非奇异：
A奇异,有无穷多个
x?
x? ),,(
00 txtx
0000 ),,( xtxtx
0),( txfx eeex
Axx nRx?
00 ee xAx
0eAx ex
b.非线性系统可能有多个
eg,
令
0),( txfx e? ex
3
2212
11
xxxx
xx
01?x? 02?x?
0
0
1e
x
1
0
2e
x?
1
0
3e
x
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定如果对每个实数 都对应存在另一个实数 满足
0
0),( 0?t ),( 00 txx e
T
nxxxx ],[ 020100
T
neeee xxxx ],[ 21
2
1
2
0
2
1100 ])()[( nenee xxxxxx
且则称 是李氏意义下的稳定。
et
xtxtx ),,(lim 00
0
0tt?
ex
一致稳定无关与?0t?
2.渐近稳定
1）是李氏意义下的稳定
2）
一致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性对都有
0),,(lim 00
et
xtxtx
无关与 0t?
)(0?sx
0),,(lim 00
et
xtxtx
x)(?s 大范围稳定ex?
4.不稳定性不管 有多小，只要 内由 出发的轨迹超出 以外，则 不稳定
,)(?S 0x
)(?S
ex
5.3李雅普诺夫第一法（间接法）
线性定常系统稳定性的特征值判据：
1）李氏稳定的充要条件：
2）渐进稳定的充要条件：
Axx 0)0( xx? 0?t
0)R e ( i ni?,2,1?
0)R e ( i ni?,2,1?
3）不 稳定的充要条件：
0)R e ( i
5.4李氏第二法能量函数
1.标量函数正定 负定不定 正负半定
)( xV 0)(?xV
)(xV? 0)( xVt?
0)0(
)0(0)(
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2.二次型标量函数
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n
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李氏第二法稳定性定理设 1)在 满足
2）
定理 1 若 1) 正定 2) 负定则 渐近稳定
3)若则 大范围渐近稳定
),( txfx ex 0),0(?tf
0?ex 存在),( txV?
),( txV ),( txV?ex
ex
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定理 2 若定理 3 若则 是李氏意义下的稳定定理 4 若则平衡状态 是不稳定的正定),()1 txV
正定),()2 txV?
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正定),()1 txV 负半定),()2 txV?
0)3?x 0),(?txV?
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正定),()1 txV
负半定),()2 txV?
ex
推论 1 若则 不稳定推论 2 若则 是李雅普诺夫意义下的稳定选取李氏函数的方法
1）构造一个二次型函数正定),()1 txV 正半定),()2 txV?
0)3?x 0),(?txV?
ex
正定),()1 txV 正半定),()2 txV?
0)3?x 0),(?txV?
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),( txV?
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2）求
3）判 定号性
4）判? 正负半定反设
eg1,试用李氏第二法判稳
),( txV?
),( txV?
0?x 0),(?txV? V
0),(?txV?
渐近稳定若李氏意义下的稳定若
,0,0
0,0
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解：令
01?x? 02?x?
0
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ex
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1)( xxxV设 2211 22)( xxxxxV则
0)(2)( 2221 xxxV? 负定
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