第四章线性系统的设计与综合
4.1状态反馈和输出反馈
1.状态反馈控制律：
则反馈增益阵） npRKKxVu (
DVxDKCy
BVxBKAx
)(
)(?
状态反馈系统若 D=0
闭环传第函数和特征方程为：
CxyBVxBKAx,)(?
0
)()( 1
BKAI
BBKASICsG k
Cxy
BuxHCAx
)(?
2.输出反馈
a.输出反馈至状态微分
BHCASICsG h 1)()(
b.输出反馈至参考输入
4.2闭环系统的能控性和能观性定理 1：
证明：见书 P480
BB F CASICSG
BvxB F CAx
Fyvu
F
1
)()(
)(
状态反馈的引入不改变系统的可控性但可能改变系统的可观测性。
定理 2：输出至参考输入反馈的引入能同时不改变系统的可控性与可观测性，即输出反馈
3.定理 3：输出至 的反馈不改变系统的能观性但可能改变原系统的能控性。
证明见书 P481
系统 为可控（可观测）的充分必要件是被控系统 为可控（可观测）
FS
oS
x?
4.3单输入 — 多输出系统的极点配置。
所谓极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的位置。
设引入状态反馈：
Cxy
BuAxx
Cxy
BvxbKAx
Kxvu
)(?
B
S
1
A
C
F
V u +
+
x x y
_
+
A-bK称为闭环状态阵
0)( bKAI?
为闭环系统特征方程定理 4 利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是系统可观测（证明见 P484）
求状态反馈 K的步骤：
第一步：计算 A的特征多项式，即第二步：计算由 所决定的希望特征多项式，即
0111)d e t ( aSaSaSASI nnn
},,{ 21 n
*
0
*
1
1*
1
21
* )())(()(
aSaSaS
SSSsa
n
n
n
n
第三步：计算第四步：计算变换矩阵
k
1* 11*10*0 nn aaaaaak?
1
1
1
11
111
n
nn
aa
a
bAbbAP
第五步：求 P
第六步：计算状态反馈增益向量引入状态反馈 K后，系统的状态空间表达式为 系统的特
Pkk?
CxyBvxbkAx )(?
征多项式为,令其各项的系数与希望特征多项式中对应项的系数相等，便可确定反馈增益向量 K。
)]([d e t bkASI
例：已知单输入线性定常系统的状态方程为
uxx
0
0
1
1210
061
000
求状态反馈向量 K，使系统的闭环特征值为
jj 112 321
解：系统的可控性判别矩阵为：
系统可控满足可配置条件，系统的特征多项式为：
100
610
001
2 bAAbbQ
c
nQr a n k c 3
SSS
S
S
S
ASI 7218
1210
061
00
d et)d et ( 23
464
)1)(1)(2())()(()(
23
321
*
SSS
jSjSSSSSsa
希望的特征多项式为：
于是可求得：
146642*21*10*0 aaaaaak
变换矩阵为：
1
01
001
21
2
21
aa
abAbbAP
001
0112
11872
11872
0118
001
001
016
100
1 4 4181
1210
100
P
1 2 2 01 8 614
1 4 4181
1210
100
14664
Pkk
321 kkkk?
)1272()7218()18(
1210
061)(d et)(
32121
2
1
3
321
*
kkkSkkSkS
S
S
kkkS
bkASISa
或者直接设：
与希望的特征多项式对应系数相等，于是：
41272
67218
418
321
21
1
kkk
kk
k
]122018614[
122018614 321
k
kkk
4.1状态反馈和输出反馈
1.状态反馈控制律：
则反馈增益阵） npRKKxVu (
DVxDKCy
BVxBKAx
)(
)(?
状态反馈系统若 D=0
闭环传第函数和特征方程为：
CxyBVxBKAx,)(?
0
)()( 1
BKAI
BBKASICsG k
Cxy
BuxHCAx
)(?
2.输出反馈
a.输出反馈至状态微分
BHCASICsG h 1)()(
b.输出反馈至参考输入
4.2闭环系统的能控性和能观性定理 1：
证明：见书 P480
BB F CASICSG
BvxB F CAx
Fyvu
F
1
)()(
)(
状态反馈的引入不改变系统的可控性但可能改变系统的可观测性。
定理 2：输出至参考输入反馈的引入能同时不改变系统的可控性与可观测性，即输出反馈
3.定理 3：输出至 的反馈不改变系统的能观性但可能改变原系统的能控性。
证明见书 P481
系统 为可控（可观测）的充分必要件是被控系统 为可控（可观测）
FS
oS
x?
4.3单输入 — 多输出系统的极点配置。
所谓极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的位置。
设引入状态反馈：
Cxy
BuAxx
Cxy
BvxbKAx
Kxvu
)(?
B
S
1
A
C
F
V u +
+
x x y
_
+
A-bK称为闭环状态阵
0)( bKAI?
为闭环系统特征方程定理 4 利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是系统可观测（证明见 P484）
求状态反馈 K的步骤：
第一步：计算 A的特征多项式，即第二步：计算由 所决定的希望特征多项式，即
0111)d e t ( aSaSaSASI nnn
},,{ 21 n
*
0
*
1
1*
1
21
* )())(()(
aSaSaS
SSSsa
n
n
n
n
第三步：计算第四步：计算变换矩阵
k
1* 11*10*0 nn aaaaaak?
1
1
1
11
111
n
nn
aa
a
bAbbAP
第五步：求 P
第六步：计算状态反馈增益向量引入状态反馈 K后，系统的状态空间表达式为 系统的特
Pkk?
CxyBvxbkAx )(?
征多项式为,令其各项的系数与希望特征多项式中对应项的系数相等，便可确定反馈增益向量 K。
)]([d e t bkASI
例：已知单输入线性定常系统的状态方程为
uxx
0
0
1
1210
061
000
求状态反馈向量 K，使系统的闭环特征值为
jj 112 321
解：系统的可控性判别矩阵为：
系统可控满足可配置条件，系统的特征多项式为：
100
610
001
2 bAAbbQ
c
nQr a n k c 3
SSS
S
S
S
ASI 7218
1210
061
00
d et)d et ( 23
464
)1)(1)(2())()(()(
23
321
*
SSS
jSjSSSSSsa
希望的特征多项式为：
于是可求得：
146642*21*10*0 aaaaaak
变换矩阵为：
1
01
001
21
2
21
aa
abAbbAP
001
0112
11872
11872
0118
001
001
016
100
1 4 4181
1210
100
P
1 2 2 01 8 614
1 4 4181
1210
100
14664
Pkk
321 kkkk?
)1272()7218()18(
1210
061)(d et)(
32121
2
1
3
321
*
kkkSkkSkS
S
S
kkkS
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或者直接设：
与希望的特征多项式对应系数相等，于是：
41272
67218
418
321
21
1
kkk
kk
k
]122018614[
122018614 321
k
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