第一章 多项式
§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.
定义1 设是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么就称为一个数域.
显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q、R、C来代表.全体整数组成的集合就不是数域.
如果数的集合中任意两个数作某一种运算的结果都仍在中，就说数集对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么就称为一个数域.
例1 所有具有形式
的数（其中是任何有理数），构成一个数域.通常用来表示这个数域.
例2 所有可以表成形式
的数组成一数域，其中为任意非负整数，是整数.
例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.
性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.
§2 一元多项式一、一元多项式定义2 设是一非负整数，形式表达式
,(1)
其中全属于数域，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.
在多项式（1）中，称为次项，称为次项的系数.以后用或等来表示多项式.
注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.
定义3 如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么与就称为相等，记为.
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.
在（1）中，如果，那么称为多项式（1）的首项，称为首项系数，称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式的次数记为.
二、多项式的运算设
是数域上两个多项式，那么可以写成
在表示多项式与的和时，如，为了方便起见，在中令，那么与的和为
而与的乘积为
其中次项的系数是
所以可表成
.
显然，数域上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域上的多项式.
对于多项式的加减法，不难看出
.
对于多项式的乘法，可以证明，若，则，并且
由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.
显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.
多项式的运算满足以下的一些规律：
1,加法交换律：.
2,加法结合律：
3,乘法交换律：,
4,乘法结合律：
5,乘法对加法的分配律：
6,乘法消去律：若且，则.
定义4 所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为，称为的系数域.
§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.
一、整除的概念带余除法 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使
(1)
成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.
带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式.
定义5 数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式
成立.用“”表示整除，用“”表示不能整除.
当时，就称为的因式，称为的倍式.
当时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.
定理1 对于数域上的任意两个多项式，，其中，的充要条件是除的余式为零.
带余除法中必须不为零.但中，可以为零.这时.
当时，如，除的商有时也用
来表示.
二、整除的性质
1,任一多项式一定整除它自身.
2,任一多项式都能整除零多项式0.
3,零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.
4,若，则,其中为非零常数.
5,若，则（整除的传递性）.
6,若，则
,
其中是数域上任意的多项式.
通常，称为的一个组合.
由以上性质可以看出，与它的任一个非零常数倍有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，常常可以用来代替.
最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若，是中两个多项式，是包含的一个较大的数域.当然，，也可以看成是中的多项式.从带余除法可以看出，不论把，看成是中或者是中的多项式，用去除所得的商式及余式都是一样的.因此，若在中不能整除，则在中，也不能整除.
例1 证明若，则
例2 求，使,
例3 若，则.
§4 多项式的最大公因式一,多项式的最大公因式如果多项式既是的因式，又是的因式，那么就称为与的一个公因式,
定义6 设与是中两个多项式,中多项式称为，的一个公因式,如果它满足下面两个条件：
1）是与的公因式；
2），的公因式全是的因式.
例如，对于任意多项式，就是与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.
引理 如果有等式
(1)
成立，那么，和，有相同的公因式.
定理2 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使
,(2)
由最大公因式的定义不难看出，如果是，的两个最大公因式，那么一定有与，也就是说.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用
（，）
来表示首项系数是1的那个最大公因式.
定理证明中用来求最大公因式的方法 通常称为辗转相除法(division algorithm).
例 设
求（，），并求使
.
注：定理2的逆不成立.例如令
,
则
.
但显然不是与的最大公因式.
但是当(2)式成立，而是与的一个公因式，则一定是与的一个最大公因式.
二、多项式互素定义7 中两个多项式，称为互素（也称为互质）的，如果
显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.
定理3 中两个多项式，互素的充要条件是有中多项式使
.
定理4 如果，且,那么
.
推论1 如果，且,那么
.
推论2 如果,,那么
推广：对于任意多个多项式，称为的一个最大公因式，如果具有下面的性质：
1）;
2）如果，那么.
我们仍用符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明的最大公因式存在，而且当全不为零时，
就是的最大公因式，即
=
同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式,使
如果，那么就称为互素的.同样有类似定理3的结论.
注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如,但,且.
2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如,,
,则,但.
注意: 个多项式互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式
是互素的,但.
令是含的一个数域,是的多项式与在中的首项系数为1的最大公因式,而是与在中首项系数为1的最大公因式,那么.
即从数域过渡到数域时,与的最大公因式本质上没有改变.
互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：
1)若多项式与
互素，则.
2) 若多项式都整除，且两两互素，则.
3) 若多项式都与互素，则
.
§5 因式分解定理一、不可约多项式
.
定义8 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积.
根据定义，一次多项式总是不可约多项式.
一个多项式是否可约是依赖于系数域的.
显然，不可约多项式的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式与任一多项式之间只可能有两种关系，或者或者.
定理5 如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者.
推广：如果不可约多项式整除一些多项式的乘积，那么一定整除这些多项式之中的一个.
二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式
,
那么必有，并且适当排列因式的次序后有
.
其中是一些非零常数.
应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.
在多项式的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是的分解式成为
,
其中是的首项系数，是不同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为标准分解式.
如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式与的最大公因式就是那些同时在与的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在与中所带的方幂中较小的一个.
由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.
若与的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则与互素.
注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域上一个多项式是否可约一般都是很困难的.
例 在有理数域上分解多项式为不可约多项式的乘积.
§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式称为多项式的重因式,如果,但.
如果，那么根本不是的因式；如果，那么称为的单因式；如果，那么称为的重因式.
注意,重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.
显然，如果的标准分解式为
,
那么分别是的重，重，…,重因式.指数的那些不可约因式是单因式；指数的那些不可约因式是重因式.
不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是存在多项式,使得,且.
二、重因式的判别设有多项式
,
规定它的微商（也称导数或一阶导数）是
.
通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:
同样可以定义高阶微商的概念.微商称为的一阶微商；的微商称为的二阶微商；等等,的阶微商记为.
一个次多项式的微商是一个次多项式；它的阶微商是一个常数；它的阶微商等于0.
定理6 如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是微商的重因式.
分析,要证是微商的重因式,须证,但.
注意:定理6的逆定理不成立.如
,,
是的2重因式,但根本不是是因式.当然更不是三重因式.
推论1 如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是，,…,的因式,但不是的因式.
推论2 不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是是与的公因式.
推论3 多项式没有重因式
这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域过渡到含的数域时都无改变,所以由定理6有以下结论:
若多项式在中没有重因式,那么把看成含的某一数域上的多项式时,也没有重因式.
例1 判断多项式
有无重因式三、去掉重因式的方法设有重因式,其标准分解式为
.
那么由定理5
此处不能被任何整除.于是
用去除所得的商为
这样得到一个没有重因式的多项式.且若不计重数,与含有完全相同的不可约因式.把由找的方法叫做去掉重因式方法.
例2 求多项式
的标准分解式.
§7 多项式函数
到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.
一、多项式函数设
(1)
是中的多项式，是中的数，在(1)中用代所得的数
称为当时的值,记为.这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.
因为在与数域中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果
那么
定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值.
如果在时函数值，那么就称为的一个根或零点.
由余数定理得到根与一次因式的关系.
推论 是的根的充要条件是.
由这个关系，可以定义重根的概念,称为的重根，如果是的重因式.当时，称为单根；当时，称为重根.
定理8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.
二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有
,
而对于中所有的数都有
?
由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.
定理9 如果多项式,的次数都不超过,而它们对n+1个不同的数有相同的值即
,
,那么=.
因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.
三、综合除法根据余数定理,要求当时的值,只需用带余除法求出用除 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.
设
并且设
,(2)
其中
比较等式(2)中两端同次项的系数.得到
这样,欲求系数,只要把前一系数乘以再加上对应系数,而余式也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:
表中的加号通常略去不写.
例1 用除.
例2 求使能被整除注意,若缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.
四、拉格朗日插值公式已知次数的多项式在 的值.设
依次令代入,得
这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.
例3 求次数小于3的多项式,使
.
下面介绍将一个多项式表成一次多项式的方幂和的方法.所谓次多项式表成的方幂和，就是把表示成
的形式.如何求系数，把上式改写成
,
就可看出就是被除所得的余数，而
就是被除所得的商式.又因为
.
又可看出是商式被除所得的余式，而
.
就是被除所得商式.这样逐次用除所得的商式，那么所得的余数就是.
例4 将展开成的多项式.
解 令，则.于是
.
问题变为把多项式表成（即）的方幂和,
-2 | 1 2 -3 1 5
+) -2 0 6 -14
-------------------------------------------------------
-2 | 1 0 -3 7 | -9
+) -2 4 -2
------------------------------------------------------
-2 | 1 -2 1 | 5
+) -2 8
-----------------------------------------------
-2 | 1 -4 | 9
+) -2
----------------------------------
1 | -6
所以
.
注意：将表成的方幂和，把写在综合除法的左边，将的方幂和展开成的多项式，那么相当于将表成的方幂和，要把写在综合除法的左边.
§8 复系数和实系数多项式的因式分解一,复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数的复系数多项式在复数域中有一个根.
利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：
每个次数的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：
复系数多项式因式分解定理 每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
因此，复系数多项式具有标准分解式
其中是不同的复数，是正整数.标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）.
二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果是实系数多项式的复根，那么的共轭数也是的根,并且与有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.
实系数多项式因式分解定理 每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.
因此，实系数多项式具有标准分解式
其中全是实数，,是正整数，并且是不可约的，也就是适合条件..
代数基本定理虽然肯定了次方程有个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.
三、次多项式的根与系数的关系.
令
(1)
是一个(>0)次多项式,那么在复数域中有个根因而在中完全分解为一次因式的乘积:
展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.
其中第个等式的右端是一切可能的个根的乘积之和,乘以.
若多项式
的首项系数那么应用根与系数的关系时须先用除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:
利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.
例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.
例2,分别在复数域和实数域上分解为标准分解式.
§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.
一、有理系数多项式的有理根设
是一个有理系数多项式.选取适当的整数乘，总可以使是一个整系数多项式.如果的各项系数有公因子，就可以提出来，得到
,
也就是
其中是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.
如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积，即
.
可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果
,
其中都是本原多项式，那么必有
因为与只差一个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.
定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.
定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.
以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.
推论 设，是整系数多项式，且是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数多项式.
这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法.
定理12 设
是一个整系数多项式.而是它的一个有理根,其中互素,那么
(1) ;特别如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子.
(2)
其中是一个整系数多项式.
给了一个整系数多项式,设它的最高次项系数的因数是,常数项的因数是那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数用综合除法来进行试验.
当有理数的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.
首先,1和-1永远在有理数中出现,而计算与并不困难.另一方面,若有理数是的根,那么由定理12,
而也是一个整系数多项式.因此商
都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进行试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以用或除而考虑所得的商.)
例1 求多项式
的有理根.
例2 证明
在有理数域上不可约.
二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设
是一个整系数多项式.若有一个素数,使得
1,;
2,;
3,.
则多项式在有理数域上不可约.
由艾森斯坦判断法得到:
有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如.,其中是任意正整数.
艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.
有时对于某一个多项式,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把适当变形后,就可以应用这个判断法.
例3 设是一个素数,多项式
叫做一个分圆多项式,证明在中不可约.
证明：令，则由于
,
,
令，于是
,
由艾森斯坦判断法，在有理数域上不可约，也在有理数域上不可约.
第一章 多项式(小结)
一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.
一、基本概念.
1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.
2．基本结论:
(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.
(2)
(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.
二、整除性理论
1.整除的概念及其基本性质.
2.带余除法.
(1) 带余除法定理.
(2) 设.
因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.
3,最大公因式和互素.
(1) 最大公因式,互素的概念.
(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.
(3) 设是与的最大公因式,则.反之不然.
(4) .
(5)
三,因式分解理论
1.不可约多项式
(1) 不可约多项式的概念.
(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:
(3) 整系数多项式在有理数域上可约它在整数环上可约.
(4) 艾森斯坦判断法.
2.因式分解的有关结果:
(1) 因式分解及唯一性定理.
(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.
(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.
3.重因式
(1) 重因式的概念.
(2) 若不可约多项式是的重因式,则是的重因式.
(3) 没有重因式.
(4) 消去重因式的方法:是一个没有重因式的多项式,它与具有完全相同的不可约因式.
四、多项式根的理论
1.多项式函数,根和重根的概念.
2.余数定理.去除 所得的余式为,则
3.有理系数多项式的有理根的求法.
4.实系数多项式虚根成对定理.
5.代数基本定理.每个次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).
6.韦达定理.
7.根的个数定理.F[x]中次多项式在数域F中至多有个根.
8.多项式函数相等与多项式相等是一致的.
重点:一元多项式的因式分解理论.
难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.
本章主要内容之间的内在联系可用下列图表表示,
§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.
定义1 设是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么就称为一个数域.
显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q、R、C来代表.全体整数组成的集合就不是数域.
如果数的集合中任意两个数作某一种运算的结果都仍在中，就说数集对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么就称为一个数域.
例1 所有具有形式
的数（其中是任何有理数），构成一个数域.通常用来表示这个数域.
例2 所有可以表成形式
的数组成一数域，其中为任意非负整数，是整数.
例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.
性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.
§2 一元多项式一、一元多项式定义2 设是一非负整数，形式表达式
,(1)
其中全属于数域，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.
在多项式（1）中，称为次项，称为次项的系数.以后用或等来表示多项式.
注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.
定义3 如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么与就称为相等，记为.
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.
在（1）中，如果，那么称为多项式（1）的首项，称为首项系数，称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式的次数记为.
二、多项式的运算设
是数域上两个多项式，那么可以写成
在表示多项式与的和时，如，为了方便起见，在中令，那么与的和为
而与的乘积为
其中次项的系数是
所以可表成
.
显然，数域上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域上的多项式.
对于多项式的加减法，不难看出
.
对于多项式的乘法，可以证明，若，则，并且
由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.
显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.
多项式的运算满足以下的一些规律：
1,加法交换律：.
2,加法结合律：
3,乘法交换律：,
4,乘法结合律：
5,乘法对加法的分配律：
6,乘法消去律：若且，则.
定义4 所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为，称为的系数域.
§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.
一、整除的概念带余除法 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使
(1)
成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.
带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式.
定义5 数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式
成立.用“”表示整除，用“”表示不能整除.
当时，就称为的因式，称为的倍式.
当时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.
定理1 对于数域上的任意两个多项式，，其中，的充要条件是除的余式为零.
带余除法中必须不为零.但中，可以为零.这时.
当时，如，除的商有时也用
来表示.
二、整除的性质
1,任一多项式一定整除它自身.
2,任一多项式都能整除零多项式0.
3,零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.
4,若，则,其中为非零常数.
5,若，则（整除的传递性）.
6,若，则
,
其中是数域上任意的多项式.
通常，称为的一个组合.
由以上性质可以看出，与它的任一个非零常数倍有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，常常可以用来代替.
最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若，是中两个多项式，是包含的一个较大的数域.当然，，也可以看成是中的多项式.从带余除法可以看出，不论把，看成是中或者是中的多项式，用去除所得的商式及余式都是一样的.因此，若在中不能整除，则在中，也不能整除.
例1 证明若，则
例2 求，使,
例3 若，则.
§4 多项式的最大公因式一,多项式的最大公因式如果多项式既是的因式，又是的因式，那么就称为与的一个公因式,
定义6 设与是中两个多项式,中多项式称为，的一个公因式,如果它满足下面两个条件：
1）是与的公因式；
2），的公因式全是的因式.
例如，对于任意多项式，就是与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.
引理 如果有等式
(1)
成立，那么，和，有相同的公因式.
定理2 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使
,(2)
由最大公因式的定义不难看出，如果是，的两个最大公因式，那么一定有与，也就是说.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用
（，）
来表示首项系数是1的那个最大公因式.
定理证明中用来求最大公因式的方法 通常称为辗转相除法(division algorithm).
例 设
求（，），并求使
.
注：定理2的逆不成立.例如令
,
则
.
但显然不是与的最大公因式.
但是当(2)式成立，而是与的一个公因式，则一定是与的一个最大公因式.
二、多项式互素定义7 中两个多项式，称为互素（也称为互质）的，如果
显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.
定理3 中两个多项式，互素的充要条件是有中多项式使
.
定理4 如果，且,那么
.
推论1 如果，且,那么
.
推论2 如果,,那么
推广：对于任意多个多项式，称为的一个最大公因式，如果具有下面的性质：
1）;
2）如果，那么.
我们仍用符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明的最大公因式存在，而且当全不为零时，
就是的最大公因式，即
=
同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式,使
如果，那么就称为互素的.同样有类似定理3的结论.
注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如,但,且.
2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如,,
,则,但.
注意: 个多项式互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式
是互素的,但.
令是含的一个数域,是的多项式与在中的首项系数为1的最大公因式,而是与在中首项系数为1的最大公因式,那么.
即从数域过渡到数域时,与的最大公因式本质上没有改变.
互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：
1)若多项式与
互素，则.
2) 若多项式都整除，且两两互素，则.
3) 若多项式都与互素，则
.
§5 因式分解定理一、不可约多项式
.
定义8 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积.
根据定义，一次多项式总是不可约多项式.
一个多项式是否可约是依赖于系数域的.
显然，不可约多项式的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式与任一多项式之间只可能有两种关系，或者或者.
定理5 如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者.
推广：如果不可约多项式整除一些多项式的乘积，那么一定整除这些多项式之中的一个.
二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式
,
那么必有，并且适当排列因式的次序后有
.
其中是一些非零常数.
应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.
在多项式的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是的分解式成为
,
其中是的首项系数，是不同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为标准分解式.
如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式与的最大公因式就是那些同时在与的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在与中所带的方幂中较小的一个.
由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.
若与的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则与互素.
注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域上一个多项式是否可约一般都是很困难的.
例 在有理数域上分解多项式为不可约多项式的乘积.
§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式称为多项式的重因式,如果,但.
如果，那么根本不是的因式；如果，那么称为的单因式；如果，那么称为的重因式.
注意,重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.
显然，如果的标准分解式为
,
那么分别是的重，重，…,重因式.指数的那些不可约因式是单因式；指数的那些不可约因式是重因式.
不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是存在多项式,使得,且.
二、重因式的判别设有多项式
,
规定它的微商（也称导数或一阶导数）是
.
通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:
同样可以定义高阶微商的概念.微商称为的一阶微商；的微商称为的二阶微商；等等,的阶微商记为.
一个次多项式的微商是一个次多项式；它的阶微商是一个常数；它的阶微商等于0.
定理6 如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是微商的重因式.
分析,要证是微商的重因式,须证,但.
注意:定理6的逆定理不成立.如
,,
是的2重因式,但根本不是是因式.当然更不是三重因式.
推论1 如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是，,…,的因式,但不是的因式.
推论2 不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是是与的公因式.
推论3 多项式没有重因式
这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域过渡到含的数域时都无改变,所以由定理6有以下结论:
若多项式在中没有重因式,那么把看成含的某一数域上的多项式时,也没有重因式.
例1 判断多项式
有无重因式三、去掉重因式的方法设有重因式,其标准分解式为
.
那么由定理5
此处不能被任何整除.于是
用去除所得的商为
这样得到一个没有重因式的多项式.且若不计重数,与含有完全相同的不可约因式.把由找的方法叫做去掉重因式方法.
例2 求多项式
的标准分解式.
§7 多项式函数
到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.
一、多项式函数设
(1)
是中的多项式，是中的数，在(1)中用代所得的数
称为当时的值,记为.这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.
因为在与数域中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果
那么
定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值.
如果在时函数值，那么就称为的一个根或零点.
由余数定理得到根与一次因式的关系.
推论 是的根的充要条件是.
由这个关系，可以定义重根的概念,称为的重根，如果是的重因式.当时，称为单根；当时，称为重根.
定理8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.
二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有
,
而对于中所有的数都有
?
由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.
定理9 如果多项式,的次数都不超过,而它们对n+1个不同的数有相同的值即
,
,那么=.
因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.
三、综合除法根据余数定理,要求当时的值,只需用带余除法求出用除 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.
设
并且设
,(2)
其中
比较等式(2)中两端同次项的系数.得到
这样,欲求系数,只要把前一系数乘以再加上对应系数,而余式也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:
表中的加号通常略去不写.
例1 用除.
例2 求使能被整除注意,若缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.
四、拉格朗日插值公式已知次数的多项式在 的值.设
依次令代入,得
这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.
例3 求次数小于3的多项式,使
.
下面介绍将一个多项式表成一次多项式的方幂和的方法.所谓次多项式表成的方幂和，就是把表示成
的形式.如何求系数，把上式改写成
,
就可看出就是被除所得的余数，而
就是被除所得的商式.又因为
.
又可看出是商式被除所得的余式，而
.
就是被除所得商式.这样逐次用除所得的商式，那么所得的余数就是.
例4 将展开成的多项式.
解 令，则.于是
.
问题变为把多项式表成（即）的方幂和,
-2 | 1 2 -3 1 5
+) -2 0 6 -14
-------------------------------------------------------
-2 | 1 0 -3 7 | -9
+) -2 4 -2
------------------------------------------------------
-2 | 1 -2 1 | 5
+) -2 8
-----------------------------------------------
-2 | 1 -4 | 9
+) -2
----------------------------------
1 | -6
所以
.
注意：将表成的方幂和，把写在综合除法的左边，将的方幂和展开成的多项式，那么相当于将表成的方幂和，要把写在综合除法的左边.
§8 复系数和实系数多项式的因式分解一,复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数的复系数多项式在复数域中有一个根.
利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：
每个次数的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：
复系数多项式因式分解定理 每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
因此，复系数多项式具有标准分解式
其中是不同的复数，是正整数.标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）.
二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果是实系数多项式的复根，那么的共轭数也是的根,并且与有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.
实系数多项式因式分解定理 每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.
因此，实系数多项式具有标准分解式
其中全是实数，,是正整数，并且是不可约的，也就是适合条件..
代数基本定理虽然肯定了次方程有个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.
三、次多项式的根与系数的关系.
令
(1)
是一个(>0)次多项式,那么在复数域中有个根因而在中完全分解为一次因式的乘积:
展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.
其中第个等式的右端是一切可能的个根的乘积之和,乘以.
若多项式
的首项系数那么应用根与系数的关系时须先用除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:
利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.
例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.
例2,分别在复数域和实数域上分解为标准分解式.
§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.
一、有理系数多项式的有理根设
是一个有理系数多项式.选取适当的整数乘，总可以使是一个整系数多项式.如果的各项系数有公因子，就可以提出来，得到
,
也就是
其中是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.
如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积，即
.
可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果
,
其中都是本原多项式，那么必有
因为与只差一个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.
定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.
定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.
以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.
推论 设，是整系数多项式，且是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数多项式.
这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法.
定理12 设
是一个整系数多项式.而是它的一个有理根,其中互素,那么
(1) ;特别如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子.
(2)
其中是一个整系数多项式.
给了一个整系数多项式,设它的最高次项系数的因数是,常数项的因数是那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数用综合除法来进行试验.
当有理数的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.
首先,1和-1永远在有理数中出现,而计算与并不困难.另一方面,若有理数是的根,那么由定理12,
而也是一个整系数多项式.因此商
都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进行试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以用或除而考虑所得的商.)
例1 求多项式
的有理根.
例2 证明
在有理数域上不可约.
二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设
是一个整系数多项式.若有一个素数,使得
1,;
2,;
3,.
则多项式在有理数域上不可约.
由艾森斯坦判断法得到:
有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如.,其中是任意正整数.
艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.
有时对于某一个多项式,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把适当变形后,就可以应用这个判断法.
例3 设是一个素数,多项式
叫做一个分圆多项式,证明在中不可约.
证明：令，则由于
,
,
令，于是
,
由艾森斯坦判断法，在有理数域上不可约，也在有理数域上不可约.
第一章 多项式(小结)
一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.
一、基本概念.
1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.
2．基本结论:
(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.
(2)
(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.
二、整除性理论
1.整除的概念及其基本性质.
2.带余除法.
(1) 带余除法定理.
(2) 设.
因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.
3,最大公因式和互素.
(1) 最大公因式,互素的概念.
(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.
(3) 设是与的最大公因式,则.反之不然.
(4) .
(5)
三,因式分解理论
1.不可约多项式
(1) 不可约多项式的概念.
(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:
(3) 整系数多项式在有理数域上可约它在整数环上可约.
(4) 艾森斯坦判断法.
2.因式分解的有关结果:
(1) 因式分解及唯一性定理.
(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.
(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.
3.重因式
(1) 重因式的概念.
(2) 若不可约多项式是的重因式,则是的重因式.
(3) 没有重因式.
(4) 消去重因式的方法:是一个没有重因式的多项式,它与具有完全相同的不可约因式.
四、多项式根的理论
1.多项式函数,根和重根的概念.
2.余数定理.去除 所得的余式为,则
3.有理系数多项式的有理根的求法.
4.实系数多项式虚根成对定理.
5.代数基本定理.每个次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).
6.韦达定理.
7.根的个数定理.F[x]中次多项式在数域F中至多有个根.
8.多项式函数相等与多项式相等是一致的.
重点:一元多项式的因式分解理论.
难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.
本章主要内容之间的内在联系可用下列图表表示,
