第四章 矩 阵
§1 矩阵概念的一些背景在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.
1,在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为
(1)
其中为轴与轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的矩阵
(2)
表示出来.通常，矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式
(3)
同样，矩阵
(4)
就称为坐标变换(3)的矩阵.
2,二次曲线的一般方程为
,(5)
(5)的左端可以简单地用矩阵
(6)
来表示.通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形式的.
3,在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，有个产地，个销地，那么一个调动方案就可以用一个矩阵
来表示，其中表示由产地运到销地的数量.
4,维向量也可以看成矩阵的特殊情形,维行向量就是矩阵，维列向量就是矩阵.
以后用大写的拉丁字母，或者
来表示矩阵.
有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把矩阵写成，或者
(注意矩阵符号与行列式的符号的区别).
设，如果，且，对都成立，我们就说.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.
§2 矩阵的运算现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.
为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.
1,加法定义1 设
,
是两个矩阵，则矩阵
称为和的和，记为
.
矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证，它有结合律：;
交换律：.
元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为，在不致引起含混的时候，可简单地记为.显然，对所有的，
.
矩阵
称为矩阵的负矩阵，记为.显然有
矩阵的减法定义为
例如 在§1我们看到，某一种物资如果有个产地，个销地，那么一个调动方案就可表示为一个矩阵.矩阵中的元素表示由产地要运到销地的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.
根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：
秩（+）≤ 秩（）+秩（）
2,乘法在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题.
设和是两组变量，它们之间的关系为
(1)
又如是第三组变量，它们与的关系为
(2)
由(1)与(2)不难看出与的关系：
,(3)
如果我们用
(4)
来表示与的关系，比较(3),(4)，就有
,(5)
用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵
分别表示变量与以及与之间的关系，那么表示与之间的关系的矩阵
就由公式(5)决定.矩阵称为矩阵与的乘积，记为
一般地，我们有：
定义2 设
,
那么矩阵
,
其中
,(6)
称为矩阵与的乘积，记为
.
由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵与的乘积的第行第列的元素等于第一个矩阵的第行与第二个矩阵的第列的对应元素的乘积的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.
例1 设
,
那么
例2 如果
是一线性方程组的系数矩阵，而
分别是未知量和常数项所成的和矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式
.
例3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系到的坐标变换的矩阵为
如果令
,
那么坐标变换的公式可以写成
.
如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系到第三个坐标系的坐标变换公式为
,
其中
.
那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为
.
矩阵的乘法适合结合律.设
则
.
但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来
.
例如，设
,
而
.
由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当时,不一定有.
定义3 主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的矩阵
称为级单位矩阵，记为，或者在不致引起含混的时候简单写为.显然有
,
.
矩阵的乘法和加法还适合分配律，即
,(9)
,(10)
应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律.
我们还可以定义矩阵的方幂.设是一矩阵，定义
换句话说，就是个连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律，不难证明
,
.
这里是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以与一般不相等.
3,数量乘法
,定义4 矩阵
称为矩阵与数的数量乘积，记为.换句话说，用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上.
数量乘积适合以下的规律：
,(11)
,(12)
,(13)
,(14)
,(15)
矩阵
通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形，如果是一矩阵，那么有
.
这个式子说明，数量矩阵与所有的矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵.再有
,
,
这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.
4,转置把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为的转置，记为.可确切地定义如下：
定义5 设
，
所谓的转置就是指矩阵
.
显然，矩阵的转置是矩阵.
矩阵的转置适合以下的规律：
,(16)
,(17)
,(18)
,(19)
(16)表示两次转置就还原，这是显然的.
例4 设
求.
§3 矩阵乘积的行列式与秩定理1 设是数域上的两个矩阵，那么
,(1)
即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
用数学归纳法，定理1可以推广到多个因子的情形，即有推论1 设是数域上的矩阵，于是
定义6 数域上的矩阵称为非退化的，如果，否则称为退化的.
显然一矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于.
推论2 设是数域上矩阵，矩阵为退化的充要条件是中至少有一个是退化的.
定理2 设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是
,(2)
即乘积的秩不超过各因子的秩.
用数学归纳法，定理2可以推广到多个因子的情形，即有推论3 如果，那么
.
§4 矩阵的逆一、可逆矩阵的概念在§2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.
这一节矩阵，如不特别声明，都是矩阵.
对于任意的级方阵都有
这里是级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看，级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数的倒数可以用等式
来刻划，相仿地，我们引入定义7 级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得
,(1)
这里是级单位矩阵.
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵，适合等式(1)的矩阵是唯一的(如果有的话).
定义8 如果矩阵适合(1)，那么就称为的逆矩阵，记为.
二、可逆矩阵的逆矩阵的求法下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵是可逆的？如果可逆，怎样求？
定义9 设是矩阵
中元素的代数余子式，矩阵
称为矩阵的伴随矩阵.
由行列式按一行(列)展开的公式立即得出：
,(2)
其中.
如果，那么由(2)得
,(3)
定理3 矩阵可逆的充要条件是非退化的，而
根据定理3容易看出，对于级方阵，如果
那么就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.
定理3不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.
由(5)可以看出，如果，那么
推论 如果矩阵可逆，那么与也可逆，且
.
利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组
可以写成
,(6)
如果，那么可逆.用
代入(6)，得恒等式，这就是说是一个解.
如果
是(6)的一个解，那么由
得
,
即
.
这就是说，解是唯一的.用的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.
定理4 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么秩（）=秩（）=秩（）.
§5 矩阵的分块在这一节，我们来介绍一个处理级数较高的矩阵时常用的方法，即矩阵的分块.有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样.特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.这就是所谓矩阵的分块.
为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵
中，表示级单位矩阵，而
.
在矩阵
中，
.
在计算时，把都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是
,
其中
,
.
因之
.
不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.
一般，设，把分成一些小矩阵
,(1)
,(2)
其中每个是小矩阵，每个是小矩阵，于是有
,(3)
其中
,(4)
这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.
应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.
以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚.
实际上，在证明关于矩阵乘积的秩的定理时，已经用了矩阵分块的想法.在那里，用表示的行向量，于是
,
这就是的一种分块.按分块相乘，就有
.
用这个式子很容易看出的行向量是的行向量的线性组合；将进行另一种分块乘法，从结果中可以看出的列向量是的列向量的线性组合.
作为一个例子，我们来求矩阵
的逆矩阵，其中分别是级和级的可逆矩阵，是矩阵，是零矩阵.
首先，因为
,
所以当可逆时，也可逆.设
,
于是
,
这里分别表示级和级单位矩阵.乘出来并比较等式两边，得
由第一、二式得
,
代入第四式，得
,
代入第三式，得
.
因此
.
特别地，当时，有
.
形式为
的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵，而形式为
的矩阵，其中是矩阵，通常称为准对角矩阵.当然，准对角矩阵包括对角矩阵作为特殊情形.
对于两个有相同分块的准对角矩阵
,,
如果它们相应的分块是同级的，那么显然有
它们还是准对角矩阵.
其次，如果都是可逆矩阵，那么
.
§6 初等矩阵这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法.
一、初等矩阵定义10 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
显然，初等矩阵都是方阵，每个初等矩阵都有一个与之相应的初等矩阵.互换矩阵的行与行的位置，得
用数域中非零数乘的行，有
,
把矩阵的行的倍加到行，有
同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出，对单位矩阵作一次初等列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把的列的倍加到列，我们仍然得到.因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵.
引理 对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.
不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实上
.
在第二章§5我们看到，用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初等变换，那么矩阵还可以进一步化简.
二、可逆矩阵及其逆矩阵的求法定义11 矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到.
等价是矩阵间的一种关系.不难证明，它具有反身性、对称性与传递性.
定理5 任意一个矩阵都与一形式为
的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，1的个数等于的秩(1 的个数可以是零).
例1 用初等变换将下列矩阵化为标准形，
根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵.因之，矩阵等价的充要条件是有初等矩阵使
,(1)
级可逆矩阵的秩为，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也是对的.
定理6 级矩阵为可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
,（2）
推论1 两个矩阵等价的充要条件为，存在可逆的级矩阵与可逆的级矩阵使
.
把(2)改写一下，有
,(3)
因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵的左边乘初等矩阵就相当于对作初等行变换，所以(3)说明了推论2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.
以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法.设是一级可逆矩阵.由推论2，有一系列初等矩阵使
,(4)
由(4)即得
,(5)
(4)，(5)两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到.
把这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵
,
按矩阵的分块乘法，(4)，(5)可以合并写成
,(6)
(6)式提供了一个具体求逆矩阵的方法.作矩阵，用初等行变换把它的左边一半化成，这时，右边的一半就是.
例2 设
求.
当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.
§7 分块乘法的初等变换及应用举例将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段.
现设某个单位矩阵如下进行分块：
.
对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵；一行(列)加上另一行(列)的 (矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：
.
和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵
,
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：
,(1)
,(2)
,(3)
同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果.
在(3)中，适当选择，可使.例如可逆时，选，则.于是(3)的右端成为
这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用.
例1 设
,
可逆，求.
例2设
,
其中可逆，试证存在，并求.
例3 证明行列式的乘积公式.
例4 设，且
则有下三角形矩阵使
=上三角形矩阵.
第四章 矩 阵（小结）
一、内容概述
1,矩阵运算
1) 加法与减法
其中都是矩阵
2) 数乘
其中是矩阵
3) 乘法
其中是矩阵,是矩阵,并且若是级矩阵,则 .
4) 可逆矩阵对于级矩阵,若存在矩阵,使得
.
则叫做可逆矩阵,叫做的逆矩阵,记做
2,矩阵的运算规律
1) 满足加法的交换律,结合律,乘法的结合律,数乘对加法的分配律,乘法对加法的左右分配律.此外还有
.
2) 要注意下面的与数不同的性质
(1)
(2) 可能
3,几种特殊的矩阵数量矩阵,对角矩阵,三角形矩阵,对称矩阵,反对称矩阵
4,矩阵可逆的充要条件
级矩阵可逆可以通过初等变换化为单位矩阵;
可以写成初等矩阵的乘积;
的秩为;
的行列式.
逆矩阵的求法:
(1) 初等变换法
(2) 伴随矩阵法
5,矩阵的秩
6,初等矩阵与矩阵的初等变换
1) 三种初等矩阵
分别对应于三种初等变换.
2) 对矩阵作初等行(列)变换,相当于用对应的初等矩阵左(右)乘.
3) 矩阵的等价及标准形.
7,矩阵的分块分块矩阵的运算.
二、本章的主要内容及它们之间的内在联系
本章的重点是矩阵的乘法及其逆运算问题----逆矩阵的存在性和求法问题本章的难点是矩阵的乘法及矩阵的分块乘法
三、解题方法与范例分析本章的基本题型有:求给定矩阵的和,差,积.求与给定矩阵可交换的矩阵,矩阵可逆的证明及逆矩阵的求法,矩阵的秩的计算和证明,解矩阵方程.
1,关于给定矩阵的和,差,积及混合运算例1.设为级实矩阵,证明
2,与给定矩阵可交换的矩阵的求法及证明例2.用表示行列的元素为1，其余元素全为0的矩阵，而.证明
1）若，则当时，当时；
2）若，则当时，当时，且；
3）若与所有的级矩阵可交换，则一定是数量矩阵，即.
3,矩阵可逆性的证明及逆矩阵的求法例3.设级矩阵满足,证明可逆,并求其逆矩阵.
例4.设为级整数矩阵,证明:存在且为整数矩阵的充要条件是
5,矩阵的秩及相关问题的计算和证明例5,证明若是级矩阵(),则
6,解矩阵方程例6,试求矩阵方程
的所有解.
7,分块矩阵的行列式例7.设都是级矩阵，其中并且，证明
.
§1 矩阵概念的一些背景在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.
1,在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为
(1)
其中为轴与轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的矩阵
(2)
表示出来.通常，矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式
(3)
同样，矩阵
(4)
就称为坐标变换(3)的矩阵.
2,二次曲线的一般方程为
,(5)
(5)的左端可以简单地用矩阵
(6)
来表示.通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形式的.
3,在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，有个产地，个销地，那么一个调动方案就可以用一个矩阵
来表示，其中表示由产地运到销地的数量.
4,维向量也可以看成矩阵的特殊情形,维行向量就是矩阵，维列向量就是矩阵.
以后用大写的拉丁字母，或者
来表示矩阵.
有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把矩阵写成，或者
(注意矩阵符号与行列式的符号的区别).
设，如果，且，对都成立，我们就说.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.
§2 矩阵的运算现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.
为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.
1,加法定义1 设
,
是两个矩阵，则矩阵
称为和的和，记为
.
矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证，它有结合律：;
交换律：.
元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为，在不致引起含混的时候，可简单地记为.显然，对所有的，
.
矩阵
称为矩阵的负矩阵，记为.显然有
矩阵的减法定义为
例如 在§1我们看到，某一种物资如果有个产地，个销地，那么一个调动方案就可表示为一个矩阵.矩阵中的元素表示由产地要运到销地的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.
根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：
秩（+）≤ 秩（）+秩（）
2,乘法在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题.
设和是两组变量，它们之间的关系为
(1)
又如是第三组变量，它们与的关系为
(2)
由(1)与(2)不难看出与的关系：
,(3)
如果我们用
(4)
来表示与的关系，比较(3),(4)，就有
,(5)
用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵
分别表示变量与以及与之间的关系，那么表示与之间的关系的矩阵
就由公式(5)决定.矩阵称为矩阵与的乘积，记为
一般地，我们有：
定义2 设
,
那么矩阵
,
其中
,(6)
称为矩阵与的乘积，记为
.
由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵与的乘积的第行第列的元素等于第一个矩阵的第行与第二个矩阵的第列的对应元素的乘积的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.
例1 设
,
那么
例2 如果
是一线性方程组的系数矩阵，而
分别是未知量和常数项所成的和矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式
.
例3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系到的坐标变换的矩阵为
如果令
,
那么坐标变换的公式可以写成
.
如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系到第三个坐标系的坐标变换公式为
,
其中
.
那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为
.
矩阵的乘法适合结合律.设
则
.
但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来
.
例如，设
,
而
.
由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当时,不一定有.
定义3 主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的矩阵
称为级单位矩阵，记为，或者在不致引起含混的时候简单写为.显然有
,
.
矩阵的乘法和加法还适合分配律，即
,(9)
,(10)
应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律.
我们还可以定义矩阵的方幂.设是一矩阵，定义
换句话说，就是个连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律，不难证明
,
.
这里是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以与一般不相等.
3,数量乘法
,定义4 矩阵
称为矩阵与数的数量乘积，记为.换句话说，用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上.
数量乘积适合以下的规律：
,(11)
,(12)
,(13)
,(14)
,(15)
矩阵
通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形，如果是一矩阵，那么有
.
这个式子说明，数量矩阵与所有的矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵.再有
,
,
这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.
4,转置把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为的转置，记为.可确切地定义如下：
定义5 设
，
所谓的转置就是指矩阵
.
显然，矩阵的转置是矩阵.
矩阵的转置适合以下的规律：
,(16)
,(17)
,(18)
,(19)
(16)表示两次转置就还原，这是显然的.
例4 设
求.
§3 矩阵乘积的行列式与秩定理1 设是数域上的两个矩阵，那么
,(1)
即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
用数学归纳法，定理1可以推广到多个因子的情形，即有推论1 设是数域上的矩阵，于是
定义6 数域上的矩阵称为非退化的，如果，否则称为退化的.
显然一矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于.
推论2 设是数域上矩阵，矩阵为退化的充要条件是中至少有一个是退化的.
定理2 设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是
,(2)
即乘积的秩不超过各因子的秩.
用数学归纳法，定理2可以推广到多个因子的情形，即有推论3 如果，那么
.
§4 矩阵的逆一、可逆矩阵的概念在§2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.
这一节矩阵，如不特别声明，都是矩阵.
对于任意的级方阵都有
这里是级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看，级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数的倒数可以用等式
来刻划，相仿地，我们引入定义7 级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得
,(1)
这里是级单位矩阵.
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵，适合等式(1)的矩阵是唯一的(如果有的话).
定义8 如果矩阵适合(1)，那么就称为的逆矩阵，记为.
二、可逆矩阵的逆矩阵的求法下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵是可逆的？如果可逆，怎样求？
定义9 设是矩阵
中元素的代数余子式，矩阵
称为矩阵的伴随矩阵.
由行列式按一行(列)展开的公式立即得出：
,(2)
其中.
如果，那么由(2)得
,(3)
定理3 矩阵可逆的充要条件是非退化的，而
根据定理3容易看出，对于级方阵，如果
那么就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.
定理3不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.
由(5)可以看出，如果，那么
推论 如果矩阵可逆，那么与也可逆，且
.
利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组
可以写成
,(6)
如果，那么可逆.用
代入(6)，得恒等式，这就是说是一个解.
如果
是(6)的一个解，那么由
得
,
即
.
这就是说，解是唯一的.用的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.
定理4 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么秩（）=秩（）=秩（）.
§5 矩阵的分块在这一节，我们来介绍一个处理级数较高的矩阵时常用的方法，即矩阵的分块.有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样.特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.这就是所谓矩阵的分块.
为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵
中，表示级单位矩阵，而
.
在矩阵
中，
.
在计算时，把都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是
,
其中
,
.
因之
.
不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.
一般，设，把分成一些小矩阵
,(1)
,(2)
其中每个是小矩阵，每个是小矩阵，于是有
,(3)
其中
,(4)
这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.
应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.
以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚.
实际上，在证明关于矩阵乘积的秩的定理时，已经用了矩阵分块的想法.在那里，用表示的行向量，于是
,
这就是的一种分块.按分块相乘，就有
.
用这个式子很容易看出的行向量是的行向量的线性组合；将进行另一种分块乘法，从结果中可以看出的列向量是的列向量的线性组合.
作为一个例子，我们来求矩阵
的逆矩阵，其中分别是级和级的可逆矩阵，是矩阵，是零矩阵.
首先，因为
,
所以当可逆时，也可逆.设
,
于是
,
这里分别表示级和级单位矩阵.乘出来并比较等式两边，得
由第一、二式得
,
代入第四式，得
,
代入第三式，得
.
因此
.
特别地，当时，有
.
形式为
的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵，而形式为
的矩阵，其中是矩阵，通常称为准对角矩阵.当然，准对角矩阵包括对角矩阵作为特殊情形.
对于两个有相同分块的准对角矩阵
,,
如果它们相应的分块是同级的，那么显然有
它们还是准对角矩阵.
其次，如果都是可逆矩阵，那么
.
§6 初等矩阵这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法.
一、初等矩阵定义10 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
显然，初等矩阵都是方阵，每个初等矩阵都有一个与之相应的初等矩阵.互换矩阵的行与行的位置，得
用数域中非零数乘的行，有
,
把矩阵的行的倍加到行，有
同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出，对单位矩阵作一次初等列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把的列的倍加到列，我们仍然得到.因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵.
引理 对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.
不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实上
.
在第二章§5我们看到，用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初等变换，那么矩阵还可以进一步化简.
二、可逆矩阵及其逆矩阵的求法定义11 矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到.
等价是矩阵间的一种关系.不难证明，它具有反身性、对称性与传递性.
定理5 任意一个矩阵都与一形式为
的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，1的个数等于的秩(1 的个数可以是零).
例1 用初等变换将下列矩阵化为标准形，
根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵.因之，矩阵等价的充要条件是有初等矩阵使
,(1)
级可逆矩阵的秩为，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也是对的.
定理6 级矩阵为可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
,（2）
推论1 两个矩阵等价的充要条件为，存在可逆的级矩阵与可逆的级矩阵使
.
把(2)改写一下，有
,(3)
因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵的左边乘初等矩阵就相当于对作初等行变换，所以(3)说明了推论2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.
以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法.设是一级可逆矩阵.由推论2，有一系列初等矩阵使
,(4)
由(4)即得
,(5)
(4)，(5)两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到.
把这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵
,
按矩阵的分块乘法，(4)，(5)可以合并写成
,(6)
(6)式提供了一个具体求逆矩阵的方法.作矩阵，用初等行变换把它的左边一半化成，这时，右边的一半就是.
例2 设
求.
当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.
§7 分块乘法的初等变换及应用举例将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段.
现设某个单位矩阵如下进行分块：
.
对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵；一行(列)加上另一行(列)的 (矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：
.
和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵
,
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：
,(1)
,(2)
,(3)
同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果.
在(3)中，适当选择，可使.例如可逆时，选，则.于是(3)的右端成为
这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用.
例1 设
,
可逆，求.
例2设
,
其中可逆，试证存在，并求.
例3 证明行列式的乘积公式.
例4 设，且
则有下三角形矩阵使
=上三角形矩阵.
第四章 矩 阵（小结）
一、内容概述
1,矩阵运算
1) 加法与减法
其中都是矩阵
2) 数乘
其中是矩阵
3) 乘法
其中是矩阵,是矩阵,并且若是级矩阵,则 .
4) 可逆矩阵对于级矩阵,若存在矩阵,使得
.
则叫做可逆矩阵,叫做的逆矩阵,记做
2,矩阵的运算规律
1) 满足加法的交换律,结合律,乘法的结合律,数乘对加法的分配律,乘法对加法的左右分配律.此外还有
.
2) 要注意下面的与数不同的性质
(1)
(2) 可能
3,几种特殊的矩阵数量矩阵,对角矩阵,三角形矩阵,对称矩阵,反对称矩阵
4,矩阵可逆的充要条件
级矩阵可逆可以通过初等变换化为单位矩阵;
可以写成初等矩阵的乘积;
的秩为;
的行列式.
逆矩阵的求法:
(1) 初等变换法
(2) 伴随矩阵法
5,矩阵的秩
6,初等矩阵与矩阵的初等变换
1) 三种初等矩阵
分别对应于三种初等变换.
2) 对矩阵作初等行(列)变换,相当于用对应的初等矩阵左(右)乘.
3) 矩阵的等价及标准形.
7,矩阵的分块分块矩阵的运算.
二、本章的主要内容及它们之间的内在联系
本章的重点是矩阵的乘法及其逆运算问题----逆矩阵的存在性和求法问题本章的难点是矩阵的乘法及矩阵的分块乘法
三、解题方法与范例分析本章的基本题型有:求给定矩阵的和,差,积.求与给定矩阵可交换的矩阵,矩阵可逆的证明及逆矩阵的求法,矩阵的秩的计算和证明,解矩阵方程.
1,关于给定矩阵的和,差,积及混合运算例1.设为级实矩阵,证明
2,与给定矩阵可交换的矩阵的求法及证明例2.用表示行列的元素为1，其余元素全为0的矩阵，而.证明
1）若，则当时，当时；
2）若，则当时，当时，且；
3）若与所有的级矩阵可交换，则一定是数量矩阵，即.
3,矩阵可逆性的证明及逆矩阵的求法例3.设级矩阵满足,证明可逆,并求其逆矩阵.
例4.设为级整数矩阵,证明:存在且为整数矩阵的充要条件是
5,矩阵的秩及相关问题的计算和证明例5,证明若是级矩阵(),则
6,解矩阵方程例6,试求矩阵方程
的所有解.
7,分块矩阵的行列式例7.设都是级矩阵，其中并且，证明
.
