第七章 线性变换
§1 线性变换的定义一、线性变换的定义线性空间到自身的映射称为的一个变换.
定义1 线性空间的一个变换A称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有
A ()=A ()+A ();
A()=A(),（1）
一般用花体拉丁字母A，B，…表示的线性变换，A ()或A代表元素在变换A下的像.
定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.
例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转角，就是一个线性变换，用?表示.如果平面上一个向量在直角坐标系下的坐标是，那么像?()的坐标，即旋转角之后的坐标是按照公式
.
来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.
例2 设是几何空间中一固定非零向量，把每个向量变到它在上的内射影的变换也是一个线性变换，以表示它.用公式表示就是
.
这里表示内积.
例3 线性空间中的恒等变换或称单位变换E，即
E
以及零变换?，即
都是线性变换.
例4 设是数域上的线性空间，是中的某个数，定义的变换如下：
.
这是一个线性变换，称为由数决定的数乘变换，可用K表示.显然当时，便得恒等变换，当时，便得零变换.
例5 在线性空间或者中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即
D（）=.
例6 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以代表.在这个空间中变换
（）=
是一线性变换.
二、线性变换的简单性质：
1,设A是的线性变换，则A (0)=0,A ()=-A ().
2,线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果是的线性组合：
,
那么经过线性变换A之后，A ()是A (),A (),…,A ()同样的线性组合：
A ()=A ()+A ()+…+ A ()
又如果之间有一线性关系式
那么它们的像之间也有同样的关系式
A ()+A ()+…+ A ()=0.
3,线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.
§2 线性变换的运算一、线性变换的乘法设A,,B是线性空间的两个线性变换，定义它们的乘积为.
(AB)()= A,(B ()) ().
则线性变换的乘积也是线性变换.
线性变换的乘法适合结合律，即
(AB)C=A(BC).
但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换
D（）=.
（）=
的乘积D?=?，但一般?D≠?.
对于任意线性变换A，都有
A?=?A = A.
二、线性变换的加法设A,B是线性空间的两个线性变换，定义它们的和A+B为
(A+B)()= A ()+B () ().
则线性变换的和还是线性变换.
线性变换的加法适合结合律与交换律，即
A+(B+C)=(A+B)+C.
A+B=B+A.
对于加法，零变换?与所有线性变换A 的和仍等于A：
A+?=A.
对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A）：
(-A)()=- A () ().
则负变换（-A）也是线性变换，且
A+（-A）=?.
线性变换的乘法对加法有左右分配律，即
A(B+C)=AB+AC，
(B+C)A=BA+CA.
三、线性变换的数量乘法数域中的数与线性变换A的数量乘法定义为
A =KA
即
A()=K(A ())=KA (),
当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：
A=(A),
A=A+A,
(A+B)=A+B,
1A=A.
线性空间上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域上一个线性空间.
的变换A称为可逆的，如果有的变换B 存在，使
AB=BA=E.
这时，变换B称为A的逆变换，记为A.如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A也是线性变换.
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当个（是正整数）线性变换A相乘时，就可以用
来表示，称为A的次幂，简记为A.作为定义，令
A= E.
根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：
A=AA,(A)=A
当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为
A=(A)(是正整数).
值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来
(AB)AB.
设
是中一多项式，A是的一个线性变换，定义
(A)=A+A+…+E
显然(A)是一线性变换，它称为线性变换A的多项式.
不难验证，如果在中
那么
(A)=( A)+( A),(A)=( A)( A).
特别地，
(A)( A)=( A)( A).
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.
例1 在三维几何空间中，对于某一向量的内射影是一个线性变换,可以用下面的公式来表示：
.
其中表示向量的内积.
从图2不难看出，在以为法向量的平面上的内射影可以用公式
表示.因此
?-.
这里?是恒等变换.
对于平面的反射?也是一个线性变换，它的像由公式
给出.因此
=?-2.
设是空间的两个向量.显然，与互相垂直的充要条件为
?
例2 在线性空间中，求微商是一个线性变换，用D表示.显然有
D?.
其次，变换的平移
也是一个线性变换，用?表示.根据泰勒展开式
,
因之?实质上是?的多项式：
=?+D+D+…+D.
§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设是数域上维线性空间.的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.
空间中任意一个向量可以被基线性表出，即有关系式
(1)
其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像A与基的像A,A,…，A之间也必然有相同的关系：
A=A（）
=A()+A()+…+A () (2)
上式表明，如果知道了基的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说
1,设是线性空间的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即
A=B,
那么A= B.
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2,设是线性空间的一组基，对于任意一组向量一定有一个线性变换?使
A=
定理1 设是线性空间的一组基，是中任意个向量.存在唯一的线性变换?使
A=
定义2 设是数域上维线性空间的一组基，A是中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：
用矩阵表示就是
A（）=（A()，A?()，…,A()）
= (5)
其中
矩阵称为线性变换A在基下的矩阵.
例1 设是维线性空间的子空间的一组基，把它扩充为的一组基.指定线性变换A如下
如此确定的线性变换A称为子空间的一个投影.不难证明
A=A
投影A在基下的矩阵是
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域上的维线性空间的线性变换到数域上的矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个矩阵，这个对应具有以下性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和；
2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理2 说明数域上维线性空间的全体线性变换组成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成上一个线性空间，与数域上级方阵构成的线性空间同构.
定理3 设线性变换A在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是,则A在基下的坐标可以按公式
计算.
二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.
定理4设线性空间中线性变换A在两组基
,(6)
(7)
下的矩阵分别为和从基（6）到（7）的过渡矩阵是，于是.
定理4 告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系.
定义3 设，为数域上两个级方阵，如果可以找到数域上的级可逆方阵，使得，就说相似于，记作.
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：
1,反身性：
2,对称性：如果，那么.
3,传递性：如果,,那么.
定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质.
如果,，那么
,
由此可知，如果，且是数域上一多项式，那么
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.
例2 设是数域上一个二维线性空间，是一组基，线性变换A在下的矩阵是
计算A在的另一组基下的矩阵，这里
§4 特征值与特征向量一、线性变换的特征值和特征向量的概念定义4 设A是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使得
A=,（1）
那么称为A的一个特征值,而叫做A的属于特征值的一个特征向量.
从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变或者方向相反,至于时，特征向量就被线性变换变成0.
如果是线性变换A的属于特征值的特征向量，那么的任何一个非零倍数也是A的属于特征值的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值与特征向量的求法设是数域上维线性空间，是它的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵是.设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是,则A的坐标是
.
的坐标是
因此（1）式相当于坐标之间的等式
(2)
或
这说明特征向量的坐标满足齐次方程组
即
(3)
由于,所以它的坐标不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即
.
定义5 设是数域上一个级矩阵,是一个数字.矩阵的行列式
(4)
叫做矩阵的特征多项式,这是数域上的一个次多项式.
上面的分析说明，如果是线性变换A的特征值，那么一定是矩阵的特征多项式的一个根；反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即，那么齐次方程组（3）就有非零解.这时，如果是方程组（3）的一个非零解，那么非零向量
满足（1），即是线性变换A的一个特征值，就是属于特征值的一个特征向量.
因此确定一个线性变换A的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：
1.在线性空间中取一组基，写出A在这组基下的矩阵；
2.求出的特征多项式在数域中全部的根，它们也就是线性变换A的全部特征值；
3.把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组（3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.
矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值，而相应的线性方程组（3）的解也就称为的属于这个特征值的特征向量.
例1 在维线性空间中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是，它的特征多项式是
.
因此，数乘变换K的特征值只有，由定义可知，每个非零向量都是属于数乘变换K的特征向量.
例2 设线性变换A在基下的矩阵是
,
求A的特征值与特征向量.
例3 在空间中，线性变换
D
在基下的矩阵是
的特征多项式是
.
因此，的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.
例4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，§1例1中旋转?在直角坐标系下的矩阵为
它的特征多项式为
当时，这个多项式没有实根.因之，当时，?没有特征值.从几何上看，这个结论是明显的.
容易看出，对于线性变换A的任一个特征值，全部适合条件
A
的向量所成的集合，也就是A的属于的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是的一个子空间，称为A的一个特征子空间，记为.显然，的维数就是属于的线性无关的特征向量的最大个数.用集合记号可写为.
在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的.下面先来看一下它的系数.在
的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积
展开式中的其余项，至多包含个主对角线上的元素，它对的次数最多是.因此特征多项式中含的次与次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是
.
在特征多项式中令，即得常数项.
因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有
,(5)
由根与系数的关系可知，的全体特征值的和为（称为的迹）.而的全体特征值的积为.
特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵有定理6 相似矩阵有相同的特征多项式.
定理6说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，它直接被线性变换所决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.
既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式.因此，以后就可以说线性变换的行列式.
应该指出，定理6的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如
它们的特征多项式都是，但和不相似，因为和相似的矩阵只能是本身.
哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则
推论 设A是有限维空间的线性变换，是A的特征多项式，那么(A)=?.
§5 对角矩阵定理7 设A是维线性空间的一个线性变换，A的矩阵可以在某一基下为对角矩阵的充要条件是A有个线性无关的特征向量.
定理8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
推论1 如果在维线性空间中，线性变换A的特征多项式在数域中有个不同的根，即?有个不同的特征值，那么A在某组基下的矩阵是对角形的.
推论2 在复数上的线性空间中，如果线性变换A的特征多项式没有重根，那么A在某组基下的矩阵是对角形的.
在一个线性变换没有个不同的特征值的情形，要判断这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问题就要复杂些.
定理9 如果是线性变换A的不同的特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，那么向量组也线性无关.
根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形.换句话说，设A全部不同的特征值是，于是A在某一组基下的矩阵成对角形的充要条件是A的特征子空间的维数之和等于空间的维数.
应该看到，当线性变换A在一组基下的矩阵是对角形时：
A的特征多项式就是
因此，如果线性变换A在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正好是的特征多项式全部的根（重根按重数计算）.
根据§3定理5，一个线性变换的矩阵能不能在某一组基下是对角形的问题就相当于一个矩阵是不是相似于一个对角矩阵的问题.
例 在§4的例2中，已经算出线性变换A的特征值是-1（二重）与5，而对应的特征向量是
由此可见，A在基下的矩阵为对角矩阵
而由到的过渡矩阵是
于是，.
§6 线性变换的值域与核定义6 设A是线性空间的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用A表示.所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A表示.
若用集合的记号则A=,A=
线性变换的值域与核都是的子空间.
A的维数称为A的秩，A的维数称为A的零度.
例1 在线性空间中，令
D
则D 的值域就是，D 的核就是子空间.
定理10 设A是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下A的矩阵是，则
1） A的值域A是由基像组生成的子空间，即
A=
2） A的秩=的秩.
定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.
定理11 设A是维线性空间的线性变换，则A的一组基的原像及A的一组基合起来就是的一组基.由此还有
A的秩+A的零度=
推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射.
虽然子空间A与A的维数之和为，但是A+A并不一定是整个空间.
例2 设是一个矩阵，证明相似于一个对角矩阵
(1)
§7 不变子空间对于给定的维线性空间,A∈,如何才能选到的一个基,使A关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的.因而问题也可以这样提出:在一切彼此相似的阶矩阵中,如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.
定义7 设A是数域上线性空间的线性变换,是的一个子空间.如果中的向量在A下的像仍在中，换句话说,对于中任一向量，有A，就称是A的不变子空间，简称A-子空间,
例1 整个空间和零子空间，对于每个线性变换A，都是A-子空间.
例2 A的值域与核都是A-子空间.
例3 若线性变换A与B是可交换的，则B的核与值都是A-子空间.
因为A的多项式(A)是和A交换的，所以(A)的值域与核都是A-子空间.
例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.
特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设是一维A-子空间，是中任何一个非零向量，它构成的一个基.按A-子空间的定义，A,它必是的一个倍数:
A.
这说明是A的特征向量，而即是由生成的一维A-子空间.
反过来，设是A属于特征值的一个特征向量，则以及它任一倍数在A下的像是原像的倍，仍旧是的一个倍数.这说明的倍数构成一个一维A-子空间.
显然，A的属于特征值的一个特征子空间也是A的一不变子空间.
A-子空间的和与交还是A-子空间.
设A是线性空间的线性变换,是A的不变子空间.由于中向量在A下的像仍在中，这就使得有可能不必在整个空间中来考虑A，而只在不变子空间中考虑A，即把A看成是的一个线性变换，称为A在不变子空间上引起的变换.为了区别起见，用符号A|来表示它；但是在很多情况下，仍然用A来表示而不致引起混淆.
必须在概念上弄清楚A与A|的异同：A是的线性变换,中每个向量在A下都有确定的像；A|是不变子空间上的线性变换，对于中任一向量，有
(A|)=A.
但是对于中不属于的向量来说，（A|）是没有意义的.
例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间上引起的变换是数乘变换.
如果线性空间的子空间是由向量组生成的，即，则是A-子空间的充要条件为A,A,…,A全属于.
下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.
1）设A是维线性空间的线性变换，是的A-子空间.在中取一组基,并且把它扩充成的一组基
,(1)
那么，A在这组基下的矩阵就具有下列形状
,(2)
并且左上角的级矩阵就是A|在的基下的矩阵.
2) 设分解成若干个A-子空间的直和：
.
在每一个A-子空间中取基
(3)
并把它们合并起来成为的一组基.则在这组基下，A的矩阵具有准对角形状
(4)
其中就是A|在基(3)下的矩阵.
反之，如果线性变换A在基下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的子空间是A-子空间.
由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的.
下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间按特征值分解成不变子空间的直和.
定理12 设线性变换A的特征多项式为，它可分解成一次因式的乘积
则可分解成不变子空间的直和
其中
.
§8 若尔当(Jordan)标准形介绍由前面的讨论可知，并不是对于每一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵成为对角形.下面先介绍一下，在适当选择的基下，一般的一个线性变换能化简成什么形状.
定义8 形式为
的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如
(1)
其中
,
并且中有一些可以相等.
例如
都是若尔当块，而
是一个若尔当形矩阵.
一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵.
在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角线上的元素正是特征多项式的全部的根（重根按重数计算）.
定理13 设A是复数域上线性空间的一个线性变换，则在中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.
引理 维线性空间上的一个线性变换B满足B=?,是某正整数，就称B为上幂零线性变换.对幂零线性变换B，中必有下列形式的一组元素作为基
(2)
于是B在这组基下的矩阵
上述结果用矩阵表示就是：
定理14 每个级复矩阵都与一个若尔当形矩阵相似.
§9 最小多项式根据哈密尔顿—凯莱定理，任给数域上一个级矩阵，总可以找到数域上一个多项式，使.如果多项式使，就称以为根.当然，以为根的多项式是很多的，其中次数最低的首项系数为1的以为根的多项式称为的最小多项式.这一节讨论应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题.
引理1 矩阵的最小多项式是唯一的.
引理2 设是矩阵的最小多项式，那么以为根的充要条件是整除.
由此可知，矩阵的最小多项式是的特征多项式的一个因式.
例1 数量矩阵的最小多项式为，特别地，单位矩阵的最小多项式为，零矩阵的最小多项式为.另一方面，如果的最小多项式是1次多项式，那么一定是数量矩阵.
例2 设
求的最小多项式.
例3 设
.
与的最小多项式都等于，但是它们的特征多项式不同，因此和不是相似的.
引理3 设是一个准对角矩阵
,
并设的最小多项式为，的最小多项式为,那么的最小多项式为,的最小公倍式.
这个结论可以推广到为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形.即：如果
,
的最小多项式为，那么的最小多项式为
引理4 级若尔当块
的最小多项式为.
定理15 数域上级矩阵与对角矩阵相似的充要条件为的最小多项式是上互素的一次因式的乘积.
推论 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的最小多项式没有重根.
第七章 线性变换(小结)
线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内存联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.
本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换.
一、线性变换及其运算
1,基本概念:线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核，秩与零度;线性变换的和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式.
2,基本结论
(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组
(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.
(3) 线性变换的基本运算规律(略).
(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.
(5) 线性空间的线性变换A的象与核是的子空间.若dim()=,则Im(A)由的一组基的象生成,而A的秩+A的零度=,且A是双射A是单射 Ker(A)={0}.
二、线性变换与矩阵
1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵.
2.基本结论
(1) 若是线性空间的一个基,,则存在唯一A,使得A.
(2) 在取定维线性空间的一个基之后,将的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。
(3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之,若两个矩阵相似,则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.
(4) 若在线性空间的一个基下,线性变换A对应的矩阵为,向量的坐标为,则 A的秩=秩(),A()的坐标
.
三、特征值与特征向量
1.基本概念:线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量;特征多项式与最小多项式；特征子空间.
2.基本结论:
(1) 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略)
(2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,反之不然.
(4) 定理:设线性变换A在某个基下的矩阵为,,则,(A)=0.
四、对角化问题
1,基本概念:不变子空间,标准形.
2,基本结论:
设A是数域上维向量空间的一个线性变换,则
(1) A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵A有个线性无关的特征向量.
可以分解为个一维不变子空间的直和.
A的所有不同的特征子空间的维数之和等于.因而,当A有个不同特征值时,A必在某个基下的矩阵是对角形式.
(2) A在某组基下的矩阵是为角形可以分解为A一子空间的直和 ；A在某组基下的矩阵为对角形A的最小多项式（即A在任一基下矩阵的最小多项式）是上互素的一次因式的乘积.
(3) 设为阶矩阵，则必与一个标准形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下，这个标准形是唯一的；而与对角矩阵相似的最小多项式无重根.于是，当的特征多项式无重根时，必与一个对角矩阵相似.
本章的重点:线性变换的矩阵表示以及它们对角化的条件和方法.
本章的难点:不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.
本章的主要内容及其内存联系可用下图表示:
对角矩阵
矩阵的三大关系
等价
相似
合同
对象
m(n矩阵
n阶方阵
n阶实对称矩阵
来源
A可经初等行变换得到B
一个线性变换在不同基下的矩阵
二次型经非退化线性变换后，新旧矩阵之间的关系
刻划
存在P,Q可逆，
使得B = P A Q
存在P可逆，使得
B = P-1 A P
存在P可逆，使得
B = PT A P
共同点
都满足反身性、对称性和传递性，都保持矩阵的秩不变
最简形式
有n个线性无关的特征向量时相似于对角形矩阵
性质
秩相同
有相同的特征多项式，有相同的特征值
有相同的秩与正惯性指数
等价类个数
r+1,r=min(m,n)
无限多个
§1 线性变换的定义一、线性变换的定义线性空间到自身的映射称为的一个变换.
定义1 线性空间的一个变换A称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有
A ()=A ()+A ();
A()=A(),（1）
一般用花体拉丁字母A，B，…表示的线性变换，A ()或A代表元素在变换A下的像.
定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.
例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转角，就是一个线性变换，用?表示.如果平面上一个向量在直角坐标系下的坐标是，那么像?()的坐标，即旋转角之后的坐标是按照公式
.
来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.
例2 设是几何空间中一固定非零向量，把每个向量变到它在上的内射影的变换也是一个线性变换，以表示它.用公式表示就是
.
这里表示内积.
例3 线性空间中的恒等变换或称单位变换E，即
E
以及零变换?，即
都是线性变换.
例4 设是数域上的线性空间，是中的某个数，定义的变换如下：
.
这是一个线性变换，称为由数决定的数乘变换，可用K表示.显然当时，便得恒等变换，当时，便得零变换.
例5 在线性空间或者中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即
D（）=.
例6 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以代表.在这个空间中变换
（）=
是一线性变换.
二、线性变换的简单性质：
1,设A是的线性变换，则A (0)=0,A ()=-A ().
2,线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果是的线性组合：
,
那么经过线性变换A之后，A ()是A (),A (),…,A ()同样的线性组合：
A ()=A ()+A ()+…+ A ()
又如果之间有一线性关系式
那么它们的像之间也有同样的关系式
A ()+A ()+…+ A ()=0.
3,线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.
§2 线性变换的运算一、线性变换的乘法设A,,B是线性空间的两个线性变换，定义它们的乘积为.
(AB)()= A,(B ()) ().
则线性变换的乘积也是线性变换.
线性变换的乘法适合结合律，即
(AB)C=A(BC).
但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换
D（）=.
（）=
的乘积D?=?，但一般?D≠?.
对于任意线性变换A，都有
A?=?A = A.
二、线性变换的加法设A,B是线性空间的两个线性变换，定义它们的和A+B为
(A+B)()= A ()+B () ().
则线性变换的和还是线性变换.
线性变换的加法适合结合律与交换律，即
A+(B+C)=(A+B)+C.
A+B=B+A.
对于加法，零变换?与所有线性变换A 的和仍等于A：
A+?=A.
对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A）：
(-A)()=- A () ().
则负变换（-A）也是线性变换，且
A+（-A）=?.
线性变换的乘法对加法有左右分配律，即
A(B+C)=AB+AC，
(B+C)A=BA+CA.
三、线性变换的数量乘法数域中的数与线性变换A的数量乘法定义为
A =KA
即
A()=K(A ())=KA (),
当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：
A=(A),
A=A+A,
(A+B)=A+B,
1A=A.
线性空间上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域上一个线性空间.
的变换A称为可逆的，如果有的变换B 存在，使
AB=BA=E.
这时，变换B称为A的逆变换，记为A.如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A也是线性变换.
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当个（是正整数）线性变换A相乘时，就可以用
来表示，称为A的次幂，简记为A.作为定义，令
A= E.
根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：
A=AA,(A)=A
当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为
A=(A)(是正整数).
值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来
(AB)AB.
设
是中一多项式，A是的一个线性变换，定义
(A)=A+A+…+E
显然(A)是一线性变换，它称为线性变换A的多项式.
不难验证，如果在中
那么
(A)=( A)+( A),(A)=( A)( A).
特别地，
(A)( A)=( A)( A).
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.
例1 在三维几何空间中，对于某一向量的内射影是一个线性变换,可以用下面的公式来表示：
.
其中表示向量的内积.
从图2不难看出，在以为法向量的平面上的内射影可以用公式
表示.因此
?-.
这里?是恒等变换.
对于平面的反射?也是一个线性变换，它的像由公式
给出.因此
=?-2.
设是空间的两个向量.显然，与互相垂直的充要条件为
?
例2 在线性空间中，求微商是一个线性变换，用D表示.显然有
D?.
其次，变换的平移
也是一个线性变换，用?表示.根据泰勒展开式
,
因之?实质上是?的多项式：
=?+D+D+…+D.
§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设是数域上维线性空间.的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.
空间中任意一个向量可以被基线性表出，即有关系式
(1)
其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像A与基的像A,A,…，A之间也必然有相同的关系：
A=A（）
=A()+A()+…+A () (2)
上式表明，如果知道了基的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说
1,设是线性空间的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即
A=B,
那么A= B.
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2,设是线性空间的一组基，对于任意一组向量一定有一个线性变换?使
A=
定理1 设是线性空间的一组基，是中任意个向量.存在唯一的线性变换?使
A=
定义2 设是数域上维线性空间的一组基，A是中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：
用矩阵表示就是
A（）=（A()，A?()，…,A()）
= (5)
其中
矩阵称为线性变换A在基下的矩阵.
例1 设是维线性空间的子空间的一组基，把它扩充为的一组基.指定线性变换A如下
如此确定的线性变换A称为子空间的一个投影.不难证明
A=A
投影A在基下的矩阵是
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域上的维线性空间的线性变换到数域上的矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个矩阵，这个对应具有以下性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和；
2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理2 说明数域上维线性空间的全体线性变换组成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成上一个线性空间，与数域上级方阵构成的线性空间同构.
定理3 设线性变换A在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是,则A在基下的坐标可以按公式
计算.
二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.
定理4设线性空间中线性变换A在两组基
,(6)
(7)
下的矩阵分别为和从基（6）到（7）的过渡矩阵是，于是.
定理4 告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系.
定义3 设，为数域上两个级方阵，如果可以找到数域上的级可逆方阵，使得，就说相似于，记作.
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：
1,反身性：
2,对称性：如果，那么.
3,传递性：如果,,那么.
定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质.
如果,，那么
,
由此可知，如果，且是数域上一多项式，那么
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.
例2 设是数域上一个二维线性空间，是一组基，线性变换A在下的矩阵是
计算A在的另一组基下的矩阵，这里
§4 特征值与特征向量一、线性变换的特征值和特征向量的概念定义4 设A是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使得
A=,（1）
那么称为A的一个特征值,而叫做A的属于特征值的一个特征向量.
从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变或者方向相反,至于时，特征向量就被线性变换变成0.
如果是线性变换A的属于特征值的特征向量，那么的任何一个非零倍数也是A的属于特征值的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值与特征向量的求法设是数域上维线性空间，是它的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵是.设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是,则A的坐标是
.
的坐标是
因此（1）式相当于坐标之间的等式
(2)
或
这说明特征向量的坐标满足齐次方程组
即
(3)
由于,所以它的坐标不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即
.
定义5 设是数域上一个级矩阵,是一个数字.矩阵的行列式
(4)
叫做矩阵的特征多项式,这是数域上的一个次多项式.
上面的分析说明，如果是线性变换A的特征值，那么一定是矩阵的特征多项式的一个根；反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即，那么齐次方程组（3）就有非零解.这时，如果是方程组（3）的一个非零解，那么非零向量
满足（1），即是线性变换A的一个特征值，就是属于特征值的一个特征向量.
因此确定一个线性变换A的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：
1.在线性空间中取一组基，写出A在这组基下的矩阵；
2.求出的特征多项式在数域中全部的根，它们也就是线性变换A的全部特征值；
3.把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组（3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.
矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值，而相应的线性方程组（3）的解也就称为的属于这个特征值的特征向量.
例1 在维线性空间中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是，它的特征多项式是
.
因此，数乘变换K的特征值只有，由定义可知，每个非零向量都是属于数乘变换K的特征向量.
例2 设线性变换A在基下的矩阵是
,
求A的特征值与特征向量.
例3 在空间中，线性变换
D
在基下的矩阵是
的特征多项式是
.
因此，的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.
例4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，§1例1中旋转?在直角坐标系下的矩阵为
它的特征多项式为
当时，这个多项式没有实根.因之，当时，?没有特征值.从几何上看，这个结论是明显的.
容易看出，对于线性变换A的任一个特征值，全部适合条件
A
的向量所成的集合，也就是A的属于的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是的一个子空间，称为A的一个特征子空间，记为.显然，的维数就是属于的线性无关的特征向量的最大个数.用集合记号可写为.
在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的.下面先来看一下它的系数.在
的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积
展开式中的其余项，至多包含个主对角线上的元素，它对的次数最多是.因此特征多项式中含的次与次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是
.
在特征多项式中令，即得常数项.
因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有
,(5)
由根与系数的关系可知，的全体特征值的和为（称为的迹）.而的全体特征值的积为.
特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵有定理6 相似矩阵有相同的特征多项式.
定理6说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，它直接被线性变换所决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.
既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式.因此，以后就可以说线性变换的行列式.
应该指出，定理6的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如
它们的特征多项式都是，但和不相似，因为和相似的矩阵只能是本身.
哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则
推论 设A是有限维空间的线性变换，是A的特征多项式，那么(A)=?.
§5 对角矩阵定理7 设A是维线性空间的一个线性变换，A的矩阵可以在某一基下为对角矩阵的充要条件是A有个线性无关的特征向量.
定理8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
推论1 如果在维线性空间中，线性变换A的特征多项式在数域中有个不同的根，即?有个不同的特征值，那么A在某组基下的矩阵是对角形的.
推论2 在复数上的线性空间中，如果线性变换A的特征多项式没有重根，那么A在某组基下的矩阵是对角形的.
在一个线性变换没有个不同的特征值的情形，要判断这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问题就要复杂些.
定理9 如果是线性变换A的不同的特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，那么向量组也线性无关.
根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形.换句话说，设A全部不同的特征值是，于是A在某一组基下的矩阵成对角形的充要条件是A的特征子空间的维数之和等于空间的维数.
应该看到，当线性变换A在一组基下的矩阵是对角形时：
A的特征多项式就是
因此，如果线性变换A在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正好是的特征多项式全部的根（重根按重数计算）.
根据§3定理5，一个线性变换的矩阵能不能在某一组基下是对角形的问题就相当于一个矩阵是不是相似于一个对角矩阵的问题.
例 在§4的例2中，已经算出线性变换A的特征值是-1（二重）与5，而对应的特征向量是
由此可见，A在基下的矩阵为对角矩阵
而由到的过渡矩阵是
于是，.
§6 线性变换的值域与核定义6 设A是线性空间的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用A表示.所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A表示.
若用集合的记号则A=,A=
线性变换的值域与核都是的子空间.
A的维数称为A的秩，A的维数称为A的零度.
例1 在线性空间中，令
D
则D 的值域就是，D 的核就是子空间.
定理10 设A是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下A的矩阵是，则
1） A的值域A是由基像组生成的子空间，即
A=
2） A的秩=的秩.
定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.
定理11 设A是维线性空间的线性变换，则A的一组基的原像及A的一组基合起来就是的一组基.由此还有
A的秩+A的零度=
推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射.
虽然子空间A与A的维数之和为，但是A+A并不一定是整个空间.
例2 设是一个矩阵，证明相似于一个对角矩阵
(1)
§7 不变子空间对于给定的维线性空间,A∈,如何才能选到的一个基,使A关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的.因而问题也可以这样提出:在一切彼此相似的阶矩阵中,如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.
定义7 设A是数域上线性空间的线性变换,是的一个子空间.如果中的向量在A下的像仍在中，换句话说,对于中任一向量，有A，就称是A的不变子空间，简称A-子空间,
例1 整个空间和零子空间，对于每个线性变换A，都是A-子空间.
例2 A的值域与核都是A-子空间.
例3 若线性变换A与B是可交换的，则B的核与值都是A-子空间.
因为A的多项式(A)是和A交换的，所以(A)的值域与核都是A-子空间.
例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.
特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设是一维A-子空间，是中任何一个非零向量，它构成的一个基.按A-子空间的定义，A,它必是的一个倍数:
A.
这说明是A的特征向量，而即是由生成的一维A-子空间.
反过来，设是A属于特征值的一个特征向量，则以及它任一倍数在A下的像是原像的倍，仍旧是的一个倍数.这说明的倍数构成一个一维A-子空间.
显然，A的属于特征值的一个特征子空间也是A的一不变子空间.
A-子空间的和与交还是A-子空间.
设A是线性空间的线性变换,是A的不变子空间.由于中向量在A下的像仍在中，这就使得有可能不必在整个空间中来考虑A，而只在不变子空间中考虑A，即把A看成是的一个线性变换，称为A在不变子空间上引起的变换.为了区别起见，用符号A|来表示它；但是在很多情况下，仍然用A来表示而不致引起混淆.
必须在概念上弄清楚A与A|的异同：A是的线性变换,中每个向量在A下都有确定的像；A|是不变子空间上的线性变换，对于中任一向量，有
(A|)=A.
但是对于中不属于的向量来说，（A|）是没有意义的.
例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间上引起的变换是数乘变换.
如果线性空间的子空间是由向量组生成的，即，则是A-子空间的充要条件为A,A,…,A全属于.
下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.
1）设A是维线性空间的线性变换，是的A-子空间.在中取一组基,并且把它扩充成的一组基
,(1)
那么，A在这组基下的矩阵就具有下列形状
,(2)
并且左上角的级矩阵就是A|在的基下的矩阵.
2) 设分解成若干个A-子空间的直和：
.
在每一个A-子空间中取基
(3)
并把它们合并起来成为的一组基.则在这组基下，A的矩阵具有准对角形状
(4)
其中就是A|在基(3)下的矩阵.
反之，如果线性变换A在基下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的子空间是A-子空间.
由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的.
下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间按特征值分解成不变子空间的直和.
定理12 设线性变换A的特征多项式为，它可分解成一次因式的乘积
则可分解成不变子空间的直和
其中
.
§8 若尔当(Jordan)标准形介绍由前面的讨论可知，并不是对于每一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵成为对角形.下面先介绍一下，在适当选择的基下，一般的一个线性变换能化简成什么形状.
定义8 形式为
的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如
(1)
其中
,
并且中有一些可以相等.
例如
都是若尔当块，而
是一个若尔当形矩阵.
一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵.
在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角线上的元素正是特征多项式的全部的根（重根按重数计算）.
定理13 设A是复数域上线性空间的一个线性变换，则在中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.
引理 维线性空间上的一个线性变换B满足B=?,是某正整数，就称B为上幂零线性变换.对幂零线性变换B，中必有下列形式的一组元素作为基
(2)
于是B在这组基下的矩阵
上述结果用矩阵表示就是：
定理14 每个级复矩阵都与一个若尔当形矩阵相似.
§9 最小多项式根据哈密尔顿—凯莱定理，任给数域上一个级矩阵，总可以找到数域上一个多项式，使.如果多项式使，就称以为根.当然，以为根的多项式是很多的，其中次数最低的首项系数为1的以为根的多项式称为的最小多项式.这一节讨论应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题.
引理1 矩阵的最小多项式是唯一的.
引理2 设是矩阵的最小多项式，那么以为根的充要条件是整除.
由此可知，矩阵的最小多项式是的特征多项式的一个因式.
例1 数量矩阵的最小多项式为，特别地，单位矩阵的最小多项式为，零矩阵的最小多项式为.另一方面，如果的最小多项式是1次多项式，那么一定是数量矩阵.
例2 设
求的最小多项式.
例3 设
.
与的最小多项式都等于，但是它们的特征多项式不同，因此和不是相似的.
引理3 设是一个准对角矩阵
,
并设的最小多项式为，的最小多项式为,那么的最小多项式为,的最小公倍式.
这个结论可以推广到为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形.即：如果
,
的最小多项式为，那么的最小多项式为
引理4 级若尔当块
的最小多项式为.
定理15 数域上级矩阵与对角矩阵相似的充要条件为的最小多项式是上互素的一次因式的乘积.
推论 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的最小多项式没有重根.
第七章 线性变换(小结)
线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内存联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.
本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换.
一、线性变换及其运算
1,基本概念:线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核，秩与零度;线性变换的和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式.
2,基本结论
(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组
(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.
(3) 线性变换的基本运算规律(略).
(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.
(5) 线性空间的线性变换A的象与核是的子空间.若dim()=,则Im(A)由的一组基的象生成,而A的秩+A的零度=,且A是双射A是单射 Ker(A)={0}.
二、线性变换与矩阵
1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵.
2.基本结论
(1) 若是线性空间的一个基,,则存在唯一A,使得A.
(2) 在取定维线性空间的一个基之后,将的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。
(3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之,若两个矩阵相似,则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.
(4) 若在线性空间的一个基下,线性变换A对应的矩阵为,向量的坐标为,则 A的秩=秩(),A()的坐标
.
三、特征值与特征向量
1.基本概念:线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量;特征多项式与最小多项式；特征子空间.
2.基本结论:
(1) 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略)
(2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,反之不然.
(4) 定理:设线性变换A在某个基下的矩阵为,,则,(A)=0.
四、对角化问题
1,基本概念:不变子空间,标准形.
2,基本结论:
设A是数域上维向量空间的一个线性变换,则
(1) A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵A有个线性无关的特征向量.
可以分解为个一维不变子空间的直和.
A的所有不同的特征子空间的维数之和等于.因而,当A有个不同特征值时,A必在某个基下的矩阵是对角形式.
(2) A在某组基下的矩阵是为角形可以分解为A一子空间的直和 ；A在某组基下的矩阵为对角形A的最小多项式（即A在任一基下矩阵的最小多项式）是上互素的一次因式的乘积.
(3) 设为阶矩阵，则必与一个标准形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下，这个标准形是唯一的；而与对角矩阵相似的最小多项式无重根.于是，当的特征多项式无重根时，必与一个对角矩阵相似.
本章的重点:线性变换的矩阵表示以及它们对角化的条件和方法.
本章的难点:不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.
本章的主要内容及其内存联系可用下图表示:
对角矩阵
矩阵的三大关系
等价
相似
合同
对象
m(n矩阵
n阶方阵
n阶实对称矩阵
来源
A可经初等行变换得到B
一个线性变换在不同基下的矩阵
二次型经非退化线性变换后，新旧矩阵之间的关系
刻划
存在P,Q可逆，
使得B = P A Q
存在P可逆，使得
B = P-1 A P
存在P可逆，使得
B = PT A P
共同点
都满足反身性、对称性和传递性，都保持矩阵的秩不变
最简形式
有n个线性无关的特征向量时相似于对角形矩阵
性质
秩相同
有相同的特征多项式，有相同的特征值
有相同的秩与正惯性指数
等价类个数
r+1,r=min(m,n)
无限多个
