第六章 线性空间
§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用
表示是集合的元素，读为：属于.用
表示不是集合的元素，读为：不属于.
所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
设是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成
.
不包含任何元素的集合称为空集，记作.
如果两个集合与含有完全相同的元素，即当且仅当，那么它们就称为相等，记为.
如果集合的元素全是集合的元素，即由可以推出，那么就称为的子集合，记为或.
两个集合和如果同时满足和.，则和相等.
设和是两个集合，既属于又属于的全体元素所成的集合称为与的交，记为.
属于集合或者属于集合的全体元素所成的集合称为与的并，记为.
二、映射设和是两个集合，所谓集合到集合的一个映射就是指一个法则，它使中每一个元素都有中一个确定的元素与之对应.如果映射使元素与元素对应，那么就记为
,
就为在映射下的像，而称为在映射下的一个原像.
到自身的映射，有时也称为到自身的变换.
关于到的映射应注意：
1）与可以相同，也可以不同；
2）对于中每个元素，需要有中一个唯一确定的元素与它对应；
3）一般，中元素不一定都是中元素的像；
4）中不相同元素的像可能相同；
5）两个集合之间可以建立多个映射.
集合到集合的两个映射及，若对的每个元素都有则称它们相等，记作..
例1 是全体整数的集合，是全体偶数的集合，定义
,
这是到的一个映射.
例2 是数域上全体级矩阵的集合，定义
.
这是到的一个映射.
例3 是数域上全体级矩阵的集合，定义
.
是级单位矩阵，这是到的一个映射.
例4 对于,定义
这是到自身的一个映射.
例5 设，是两个非空的集合，是中一个固定的元素，定义
.
这是到的一个映射.
例6 设是一个集合，定义
.
即把的每个元素都映到它自身，称为集合的恒等映射或单位映射，记为.
例7 任意一个定义在全体实数上的函数
都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.
对于映射可以定义乘法,设及分别是集合到，到的映射，乘积定义为
,
即相继施行和的结果，是到的一个映射.
对于集合集合到的任何一个映射显然都有
.
映射的乘法适合结合律.设分别是集合到，到，到的映射，映射乘法的结合律就是
.
设是集合到的一个映射，用
代表在映射下像的全体，称为在映射下的像集合.显然
.
如果，映射称为映上的或满射.
如果在映射下，中不同元素的像也一定不同，即由一定有,那么映射就称为的或单射.
一个映射如果既是单射又是满射就称对应或双射.
对于到的双射可以自然地定义它的逆映射，记为.因为为满射，所以中每个元素都有原像，又因为是单射，所以每个元素只有一个原像，定义
.
显然，是到的一个双射，并且
.
不难证明，如果分别是到，到的双射，那么乘积就是到的一个双射.
§2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义.
例1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.
10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算;
20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R×V3到V3的一个运算.
30 由知道,空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.
例2,数域上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.
定义1 令是一个非空集合，是一个数域.在集合的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于中任意两个向量与,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的和,记为.在数域与集合的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域中任一个数与中任一个元素,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的数量乘积,记为.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么称为数域上的线性空间.
加法满足下面四条规则：:
1) ；
2) ；
3) 在中有一个元素0,,都有（具有这个性质的元素0称为的零元素）；
4) (称为的负元素).
数量乘法满足下面两条规则：
5) ;
6) ;
数量乘法与加法满足下面两条规则：
7) ;
8)
在以上规则中，等表示数域中任意数；等表示集合中任意元素.
例3 数域上一元多项式环,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域上的线性空间.如果只考虑其中次数小于的多项式，再添上零多项式也构成数域上的一个线性空间，用表示.
例4 元素属于数域的矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域上的一个线性空间，用表示.
例5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.
例6数域按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.
例7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域上的线性空间:
1) 平面上全体向量所作成的集合,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法:
.
2) 上次多项式的全体所作成的集合对于多项式的加法和数与多项式的乘法.
例8 设是正实数集,为实数域.规定
(即与的积),
⊙=(即的次幂),
其中.则对于加法⊕和数乘⊙作成上的线性空间.
二 线性空间的简单性质
线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母代表线性空间中的元素，用小写拉丁字母代表数域中的数.
1.零元素是唯一的.
2.负元素是唯一的.
3.
4.如果,那么或者,
§3 维数·基与坐标一、向量的线性相关与线性无关定义2 设是数域上的一个线性空间，是一组向量,是数域中的数，那么向量
称为向量组的一个线性组合，有时也说向量可以用向量组线性表出.
定义3 设
; (1)
(2)
是中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的.
定义4 线性空间中向量称为线性相关，如果在数域中有个不全为零的数，使
,(3)
如果向量不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组称为线性无关，如果等式（3）只有在时才成立.
几个常用的结论：
1,单个向量线性相关的充要条件是.两个以上的向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.
2,如果向量组线性无关，而且可以被线性表出，那么.
由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.
3,如果向量组线性无关，但线性相关，那么可以由被线性表出，而且表示法是唯一的.
在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性.
定义5 如果在线性空间中有个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么就称为维的；如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称为无限维的.
定义6 在维线性空间中，个线性无关的向量称为的一组基.设是中任一向量，于是线性相关，因此可以被基线性表出：
.
其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，记为.
由以上定义看来，在给出空间的一组基之前，必须先确定的维数.
定理1 如果在线性空间中有个线性无关的向量，且中任一向量都可以用它们线性表出，那么是维的，而就是的一组基.
例1 在线性空间中，
是个线性无关的向量，而且每一个次数小于的数域上的多项式都可以被它们线性表出，所以是维的，而就是它的一组基.
例2 在维的空间中，显然
是一组基.对于每一个向量,都有
.
所以就是向量在这组基下的坐标.
例3 如果把复数域看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的.
§4 基变换与坐标变换在维线性空间中，任意个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的.
设与是维线性空间中两组基，它们的关系是
(1)
设向量在这两组基下的坐标分别是与，即
(2)
现在的问题就是找出与的关系.
首先指出，(1)中各式的系数
实际上就是第二组基向量在第一组基下的坐标.向量的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说，这个矩阵是可逆的.
为了写起来方便，引入一种形式的写法.把向量
写成
,(3)
也就是把基写成一个矩阵，把向量的坐标写成一个矩阵，而把向量看作是这两个矩阵的乘积.所以说这种写法是”形式的”，在于这里是以向量作为矩阵的元素，一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的.
相仿地，(1)可以写成
,(4)
矩阵
称为由基到的过渡矩阵，它是可逆的.
在利用形式写法来作计算之前，首先指出这种写法所具有的一些运算规律.
设和是中两个向量组，是两个矩阵，那么
现在回到本节所要解决的问题上来.由(2)有
.
用(4)代入，得
.
与(3)比较，由基向量的线性无关性，得
,(5)
或者
,(6)
(5)与(6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式.
例1 在§3例2 中有
就是过渡矩阵.不难得出
.
因此
也就是
.
与§3所得出的结果是一致的.
例2 取的两个彼此正交的单位向量它们作成的一个基.令分别是由旋转角所得的向量，则也是的一个基，有
所以｛｝到｛｝的过渡矩阵是
.
设的一个向量关于基｛｝和｛｝的坐标分别为与().于是由(5)得
即
这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式.
§5 线性子空间一、线性子空间的概念定义7 数域上的线性空间的一个非空子集合称为的一个线性子空间（或简称子空间），如果对于的两种运算也构成数域上的线性空间,
定理2 如果线性空间的一个非空集合对于两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么就是一个子空间.
既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.
例1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.
例2 线性空间本身也是的一个子空间.
在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.
例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间.
例4 是线性空间的子空间.
例5 在线性空间中，齐次线性方程组
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于，其中为系数矩阵的秩.
二、生成子空间设是线性空间中一组向量，这组向量所有可能的线性组合
所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是的一个子空间，这个子空间叫做由生成的子空间，记为
.
由子空间的定义可知，如果的一个子空间包含向量，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含作为子空间.
在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设是的一个子空间，当然也是有限维的.设是的一组基，就有
.
定理3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）的维数等于向量组的秩.
定理4 设是数域上维线性空间的一个维子空间，是的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在中必定可以找到个向量使得是的一组基.
结论 数域上线性空间的一个非空子集是的一个子空间.
§6子空间的交与和定理5 如果,是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的子空间.
由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：
(交换律)，
（结合律）.
由结合律，可以定义多个子空间的交：
,
它也是子空间.
定义8 设,是线性空间的子空间，所谓与的和，是指由所有能表示成,而的向量组成的子集合，记作.
定理6 如果,是线性空间的子空间，那么它们的和也是的子空间.
由定义有，子空间的和适合下列运算规律：
(交换律)，
（结合律）.
由结合律，可以定义多个子空间的和
.
它是由所有表示成
的向量组成的子空间.
关于子空间的交与和有以下结论：
1,设都是子空间，那么由与可推出；而由与可推出.
2,对于子空间与，以下三个论断是等价的：
1）
2) ;
3).
例1 在三维几何中用表示一条通过原点的直线，表示一张通过原点而且与垂直的平面，那么，与的交是，而与的和是整个空间.
例2 在线性空间中，用与分别表示齐次方程组
与
的解空间，那么就是齐次方程组
的解空间.
例3 在一个线性空间中，有
.
关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.
定理7（维数公式）如果，是线性空间的两个子空间，那么维（）+维（）=维（）+维（）.
从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.
推论 如果维线性空间中两个子空间，的维数之和大于，那么，必含有非零的公共向量.
§7 子空间的直和定义9 设是线性空间的子空间，如果和中每个向量的分解式
是唯一的，这个和就称为直和，记为.
定理8 和是直和的充要条件是等式
只有在全为零时才成立.
推论 和是直和.
定理9 设是线性空间的子空间，令，则
维()=维()+维().
定理10 设是线性空间的一个子空间，那么一定存在一个子空间使.
子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形.
定义10 设都是线性空间的子空间，如果和中每个向量的分解式
是唯一的，这个和就称为直和，记为.
定理11 是线性空间的一些子空间，下面这些条件是等价的：
1）是直和；
2）零向量的表法唯一；
3）;
4）维()=.
§8 线性空间的同构设是线性空间的一组基，在这组基下，中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是到的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间与的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设
,
而向量的坐标分别是,，那么
;
.
于是向量的坐标分别是
,
.
以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间的讨论也就可以归结为的讨论.
定义11 数域上两个线性空间与称为同构的，如果由到有一个双射，具有以下性质：
1）;
2)
其中是中任意向量，是中任意数.这样的映射称为同构映射.
前面的讨论说明在维线性空间中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是到的一个同构映射.因而，数域上任一个维线性空间都与同构.
由定义可以看出，同构映射具有下列性质：
1,.
2,.
3,中向量组线性相关它们的象线性相关.
因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数.
4,如果是的一个线性子空间，那么，在下的象集合
是的子空间，并且与维数相同.
5,同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.
同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.
既然数域上任意一个维线性空间都与同构，由同构的对称性与传递性即得，数域上任意两个维线性空间都同构.
定理12 数域上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.
由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征.
第六章、线性空间(小结)
线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.
一、线性空间
1,线性空间的概念
2,线性间的性质
(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；
(2) ;.
二、基、维数和坐标
1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标；过渡矩阵.
2．基本结论
(1)线性相关性的有关结论.
(2)在维线性空间中，任意个线性无关的向量都作成的一个基；任意个线性无关的向量都可扩充为的一个基；任意个向量都是线性相关的.
(3)若在线性空间中有个线性无关的向量,且中任意向量都可由它线性表示，则是维的，而就是的一个基.
(4)设{}和{}是维线性空间的两个基，是由基{}到基{}的过渡矩阵，和分别是向量在这两个基下的坐标，则是可逆的，且
三、线性子空间及其形成
1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.
2．基本结论：
(1) 线性空间的非空子集合作成的子空间对于的两种运算封闭.
(2) 线性空间的两个子空间的交与和仍为子空间.
(3)(维数公式) 若是线性空间的两个有限维子空间，则
(4).
向量组{}与{}等价.
(5) 设是线性空间的一个子空间，则存在一个子空间，使得，此时称为的一个余子空间.
(6) 设是线性空间的子空间，下面这些条件等价：
① 是直和；
② 零向量的表示法唯一；
③
④ .
四、线性空间的同构
1.同构的定义
2,同构映射的基本性质：
(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；
(2) 同构映射把子空间映成子空间；
(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；
(4) 数域上两个有限维线性空间同构它们有相同的维数，因而，每一个数域上的维线性空间都与元数组所成的线性空间同构.
本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；
难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.
本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.
本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：
§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用
表示是集合的元素，读为：属于.用
表示不是集合的元素，读为：不属于.
所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
设是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成
.
不包含任何元素的集合称为空集，记作.
如果两个集合与含有完全相同的元素，即当且仅当，那么它们就称为相等，记为.
如果集合的元素全是集合的元素，即由可以推出，那么就称为的子集合，记为或.
两个集合和如果同时满足和.，则和相等.
设和是两个集合，既属于又属于的全体元素所成的集合称为与的交，记为.
属于集合或者属于集合的全体元素所成的集合称为与的并，记为.
二、映射设和是两个集合，所谓集合到集合的一个映射就是指一个法则，它使中每一个元素都有中一个确定的元素与之对应.如果映射使元素与元素对应，那么就记为
,
就为在映射下的像，而称为在映射下的一个原像.
到自身的映射，有时也称为到自身的变换.
关于到的映射应注意：
1）与可以相同，也可以不同；
2）对于中每个元素，需要有中一个唯一确定的元素与它对应；
3）一般，中元素不一定都是中元素的像；
4）中不相同元素的像可能相同；
5）两个集合之间可以建立多个映射.
集合到集合的两个映射及，若对的每个元素都有则称它们相等，记作..
例1 是全体整数的集合，是全体偶数的集合，定义
,
这是到的一个映射.
例2 是数域上全体级矩阵的集合，定义
.
这是到的一个映射.
例3 是数域上全体级矩阵的集合，定义
.
是级单位矩阵，这是到的一个映射.
例4 对于,定义
这是到自身的一个映射.
例5 设，是两个非空的集合，是中一个固定的元素，定义
.
这是到的一个映射.
例6 设是一个集合，定义
.
即把的每个元素都映到它自身，称为集合的恒等映射或单位映射，记为.
例7 任意一个定义在全体实数上的函数
都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.
对于映射可以定义乘法,设及分别是集合到，到的映射，乘积定义为
,
即相继施行和的结果，是到的一个映射.
对于集合集合到的任何一个映射显然都有
.
映射的乘法适合结合律.设分别是集合到，到，到的映射，映射乘法的结合律就是
.
设是集合到的一个映射，用
代表在映射下像的全体，称为在映射下的像集合.显然
.
如果，映射称为映上的或满射.
如果在映射下，中不同元素的像也一定不同，即由一定有,那么映射就称为的或单射.
一个映射如果既是单射又是满射就称对应或双射.
对于到的双射可以自然地定义它的逆映射，记为.因为为满射，所以中每个元素都有原像，又因为是单射，所以每个元素只有一个原像，定义
.
显然，是到的一个双射，并且
.
不难证明，如果分别是到，到的双射，那么乘积就是到的一个双射.
§2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义.
例1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.
10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算;
20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R×V3到V3的一个运算.
30 由知道,空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.
例2,数域上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.
定义1 令是一个非空集合，是一个数域.在集合的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于中任意两个向量与,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的和,记为.在数域与集合的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域中任一个数与中任一个元素,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的数量乘积,记为.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么称为数域上的线性空间.
加法满足下面四条规则：:
1) ；
2) ；
3) 在中有一个元素0,,都有（具有这个性质的元素0称为的零元素）；
4) (称为的负元素).
数量乘法满足下面两条规则：
5) ;
6) ;
数量乘法与加法满足下面两条规则：
7) ;
8)
在以上规则中，等表示数域中任意数；等表示集合中任意元素.
例3 数域上一元多项式环,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域上的线性空间.如果只考虑其中次数小于的多项式，再添上零多项式也构成数域上的一个线性空间，用表示.
例4 元素属于数域的矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域上的一个线性空间，用表示.
例5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.
例6数域按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.
例7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域上的线性空间:
1) 平面上全体向量所作成的集合,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法:
.
2) 上次多项式的全体所作成的集合对于多项式的加法和数与多项式的乘法.
例8 设是正实数集,为实数域.规定
(即与的积),
⊙=(即的次幂),
其中.则对于加法⊕和数乘⊙作成上的线性空间.
二 线性空间的简单性质
线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母代表线性空间中的元素，用小写拉丁字母代表数域中的数.
1.零元素是唯一的.
2.负元素是唯一的.
3.
4.如果,那么或者,
§3 维数·基与坐标一、向量的线性相关与线性无关定义2 设是数域上的一个线性空间，是一组向量,是数域中的数，那么向量
称为向量组的一个线性组合，有时也说向量可以用向量组线性表出.
定义3 设
; (1)
(2)
是中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的.
定义4 线性空间中向量称为线性相关，如果在数域中有个不全为零的数，使
,(3)
如果向量不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组称为线性无关，如果等式（3）只有在时才成立.
几个常用的结论：
1,单个向量线性相关的充要条件是.两个以上的向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.
2,如果向量组线性无关，而且可以被线性表出，那么.
由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.
3,如果向量组线性无关，但线性相关，那么可以由被线性表出，而且表示法是唯一的.
在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性.
定义5 如果在线性空间中有个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么就称为维的；如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称为无限维的.
定义6 在维线性空间中，个线性无关的向量称为的一组基.设是中任一向量，于是线性相关，因此可以被基线性表出：
.
其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，记为.
由以上定义看来，在给出空间的一组基之前，必须先确定的维数.
定理1 如果在线性空间中有个线性无关的向量，且中任一向量都可以用它们线性表出，那么是维的，而就是的一组基.
例1 在线性空间中，
是个线性无关的向量，而且每一个次数小于的数域上的多项式都可以被它们线性表出，所以是维的，而就是它的一组基.
例2 在维的空间中，显然
是一组基.对于每一个向量,都有
.
所以就是向量在这组基下的坐标.
例3 如果把复数域看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的.
§4 基变换与坐标变换在维线性空间中，任意个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的.
设与是维线性空间中两组基，它们的关系是
(1)
设向量在这两组基下的坐标分别是与，即
(2)
现在的问题就是找出与的关系.
首先指出，(1)中各式的系数
实际上就是第二组基向量在第一组基下的坐标.向量的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说，这个矩阵是可逆的.
为了写起来方便，引入一种形式的写法.把向量
写成
,(3)
也就是把基写成一个矩阵，把向量的坐标写成一个矩阵，而把向量看作是这两个矩阵的乘积.所以说这种写法是”形式的”，在于这里是以向量作为矩阵的元素，一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的.
相仿地，(1)可以写成
,(4)
矩阵
称为由基到的过渡矩阵，它是可逆的.
在利用形式写法来作计算之前，首先指出这种写法所具有的一些运算规律.
设和是中两个向量组，是两个矩阵，那么
现在回到本节所要解决的问题上来.由(2)有
.
用(4)代入，得
.
与(3)比较，由基向量的线性无关性，得
,(5)
或者
,(6)
(5)与(6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式.
例1 在§3例2 中有
就是过渡矩阵.不难得出
.
因此
也就是
.
与§3所得出的结果是一致的.
例2 取的两个彼此正交的单位向量它们作成的一个基.令分别是由旋转角所得的向量，则也是的一个基，有
所以｛｝到｛｝的过渡矩阵是
.
设的一个向量关于基｛｝和｛｝的坐标分别为与().于是由(5)得
即
这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式.
§5 线性子空间一、线性子空间的概念定义7 数域上的线性空间的一个非空子集合称为的一个线性子空间（或简称子空间），如果对于的两种运算也构成数域上的线性空间,
定理2 如果线性空间的一个非空集合对于两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么就是一个子空间.
既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.
例1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.
例2 线性空间本身也是的一个子空间.
在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.
例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间.
例4 是线性空间的子空间.
例5 在线性空间中，齐次线性方程组
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于，其中为系数矩阵的秩.
二、生成子空间设是线性空间中一组向量，这组向量所有可能的线性组合
所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是的一个子空间，这个子空间叫做由生成的子空间，记为
.
由子空间的定义可知，如果的一个子空间包含向量，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含作为子空间.
在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设是的一个子空间，当然也是有限维的.设是的一组基，就有
.
定理3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）的维数等于向量组的秩.
定理4 设是数域上维线性空间的一个维子空间，是的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在中必定可以找到个向量使得是的一组基.
结论 数域上线性空间的一个非空子集是的一个子空间.
§6子空间的交与和定理5 如果,是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的子空间.
由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：
(交换律)，
（结合律）.
由结合律，可以定义多个子空间的交：
,
它也是子空间.
定义8 设,是线性空间的子空间，所谓与的和，是指由所有能表示成,而的向量组成的子集合，记作.
定理6 如果,是线性空间的子空间，那么它们的和也是的子空间.
由定义有，子空间的和适合下列运算规律：
(交换律)，
（结合律）.
由结合律，可以定义多个子空间的和
.
它是由所有表示成
的向量组成的子空间.
关于子空间的交与和有以下结论：
1,设都是子空间，那么由与可推出；而由与可推出.
2,对于子空间与，以下三个论断是等价的：
1）
2) ;
3).
例1 在三维几何中用表示一条通过原点的直线，表示一张通过原点而且与垂直的平面，那么，与的交是，而与的和是整个空间.
例2 在线性空间中，用与分别表示齐次方程组
与
的解空间，那么就是齐次方程组
的解空间.
例3 在一个线性空间中，有
.
关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.
定理7（维数公式）如果，是线性空间的两个子空间，那么维（）+维（）=维（）+维（）.
从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.
推论 如果维线性空间中两个子空间，的维数之和大于，那么，必含有非零的公共向量.
§7 子空间的直和定义9 设是线性空间的子空间，如果和中每个向量的分解式
是唯一的，这个和就称为直和，记为.
定理8 和是直和的充要条件是等式
只有在全为零时才成立.
推论 和是直和.
定理9 设是线性空间的子空间，令，则
维()=维()+维().
定理10 设是线性空间的一个子空间，那么一定存在一个子空间使.
子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形.
定义10 设都是线性空间的子空间，如果和中每个向量的分解式
是唯一的，这个和就称为直和，记为.
定理11 是线性空间的一些子空间，下面这些条件是等价的：
1）是直和；
2）零向量的表法唯一；
3）;
4）维()=.
§8 线性空间的同构设是线性空间的一组基，在这组基下，中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是到的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间与的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设
,
而向量的坐标分别是,，那么
;
.
于是向量的坐标分别是
,
.
以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间的讨论也就可以归结为的讨论.
定义11 数域上两个线性空间与称为同构的，如果由到有一个双射，具有以下性质：
1）;
2)
其中是中任意向量，是中任意数.这样的映射称为同构映射.
前面的讨论说明在维线性空间中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是到的一个同构映射.因而，数域上任一个维线性空间都与同构.
由定义可以看出，同构映射具有下列性质：
1,.
2,.
3,中向量组线性相关它们的象线性相关.
因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数.
4,如果是的一个线性子空间，那么，在下的象集合
是的子空间，并且与维数相同.
5,同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.
同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.
既然数域上任意一个维线性空间都与同构，由同构的对称性与传递性即得，数域上任意两个维线性空间都同构.
定理12 数域上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.
由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征.
第六章、线性空间(小结)
线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.
一、线性空间
1,线性空间的概念
2,线性间的性质
(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；
(2) ;.
二、基、维数和坐标
1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标；过渡矩阵.
2．基本结论
(1)线性相关性的有关结论.
(2)在维线性空间中，任意个线性无关的向量都作成的一个基；任意个线性无关的向量都可扩充为的一个基；任意个向量都是线性相关的.
(3)若在线性空间中有个线性无关的向量,且中任意向量都可由它线性表示，则是维的，而就是的一个基.
(4)设{}和{}是维线性空间的两个基，是由基{}到基{}的过渡矩阵，和分别是向量在这两个基下的坐标，则是可逆的，且
三、线性子空间及其形成
1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.
2．基本结论：
(1) 线性空间的非空子集合作成的子空间对于的两种运算封闭.
(2) 线性空间的两个子空间的交与和仍为子空间.
(3)(维数公式) 若是线性空间的两个有限维子空间，则
(4).
向量组{}与{}等价.
(5) 设是线性空间的一个子空间，则存在一个子空间，使得，此时称为的一个余子空间.
(6) 设是线性空间的子空间，下面这些条件等价：
① 是直和；
② 零向量的表示法唯一；
③
④ .
四、线性空间的同构
1.同构的定义
2,同构映射的基本性质：
(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；
(2) 同构映射把子空间映成子空间；
(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；
(4) 数域上两个有限维线性空间同构它们有相同的维数，因而，每一个数域上的维线性空间都与元数组所成的线性空间同构.
本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；
难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.
本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.
本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：
