第九章 欧几里得空间
§1定义与基本性质一、向量的内积定义1 设是实数域上一个向量空间,在上定义了一个二元实函数，称为内积,记作,它具有以下性质:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ,当且仅当时,
这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间.
例1 在线性空间中,对于向量
,
定义内积
(1)
则内积(1)适合定义中的条件，这样就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.
在时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.
例2 在里,对于向量
,
定义内积
则内积(1)适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.
例3 在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积
,(2)
对于内积(2)，构成一个欧几里得空间.
同样地，线性空间对于内积(2)也构成欧几里得空间.
例4 令是一切平方和收敛的实数列
所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.
二、欧几里得空间的基本性质
1）定义中条件1）表明内积是对称的.
.
定义2 非负实数称为向量的长度，记为.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
(3)
这里.
长度为1的向量叫做单位向量.如果,由(3)式，向量
就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.
柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量有
(5)
当且仅当线性相关时，等式才成立.
对于例1的空间，(5)式就是
对于例2的空间，(5)式就是
定义3 非零向量的夹角规定为
根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式
.
定义4 如果向量的内积为零，即
那么称为正交或互相垂直，记为.
两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.
只有零向量才与自己正交.
勾股定理：当正交时，
推广：如果向量两两两正交，那么
.
设是一个维欧几里得空间，在中取一组基，对于中任意两个向量
,,
由内积的性质得
令
(8)
显然
于是
(9)
利用矩阵，还可以写成
,(10)
其中
分别是的坐标，而矩阵
称为基的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.
设是空间的另外一组基，而由到的过渡矩阵为，即
于是不难算出，基的度量矩阵
,(11)
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.
根据条件(4)，对于非零向量，即
有
因此，度量矩阵是正定的.
反之，给定一个级正定矩阵及维实线性空间的一组基.可以规定上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的度量矩阵是.
欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间.
欧几里得空间以下简称为欧氏空间.
§2 正交基一、标准正交基定义5 欧氏空间的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.
按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组,
正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过个.
定义6 在维欧氏空间中，由个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
设是一组标准正交基，由定义，有
(1)
显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在维欧氏空间中，标准正交基是存在的.
在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即
,(2)
在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设
那么
(3)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位.
二、规范正交基的存在性及其正交化方法定理1 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基.
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.
定理2 对于维欧氏空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，使
应该指出，定理中的要求
就相当于由基到基的过渡矩阵是上三角形的.
定理2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程.
例1
变成单位正交组.
三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式.
设与是欧氏空间中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是，即
因为是标准正交基，所以
(4)
矩阵的各列就是在标准正交基下的坐标.按公式(3),(4)式可以表示为
(5)
(5)式相当于一个矩阵的等式
(6)
或者
定义7 组实数矩阵称为正交矩阵，如果
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.
最后指出，根据逆矩阵的性质，由
即得
写出来就是
(7)
(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的.
例2 考虑定义在闭区间上一切连续函数所作成的欧氏空间.函数组
构成的一个正交组.
把上面的每一向量除以它的长度,就得到的一个标准正交组:
例3 欧氏空间的基
,
是的一个标准正交基.
§3 同构定义8 实数域上欧氏空间与称为同构的,如果由到有一个双射，满足
1),
2),
3),
这里，这样的映射称为到的同构映射.
由定义，如果是欧氏空间到的一个同构映射，那么也是到作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数.
设是一个维欧氏空间，在中取一组标准正交基，在这组基下，的每个向量都可表成
令
就是到的一个双射，并且适合定义中条件1),2).上一节(3)式说明，也适合条件3)，因而是到的一个同构映射，由此可知，每个维的欧氏空间都与同构.
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.
既然每个维欧氏空间都与同构，按对称性与传递性得，任意两个维欧氏空间都同构.
定理3 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等.
这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.
§4正交变换定义9欧氏空间的线性变换A叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有,都有.
(A,A)=.
正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.
定理4 设A是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：
1）A是正交变换；
2）A保持向量的长度不变，即对于,|A|=||;
3）如果是标准正交基，那么A ,A ,…,A 也是标准正交基；
4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的.由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
如果是正交矩阵，那么由
可知
或者.
因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.
例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基，定义线性变换A为：
A A .
那么，A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.
例1 令是空间里过原点的一个平面,,令对于的镜面反射与它对应.是的一个正交变换.
例2 设,令.则是的一个正交变换.
例3 将的每一向量旋转一个角的正交变换关于的任意标准正交基的矩阵是
.
又令是例1中的正交变换.在平面内取两个正交的单位向量,再取一个垂直于H的单位向量,那么是的一个规范正交基,关于这个基的矩阵是
以上两个矩阵都是正交矩阵.
§5子空间定义10 设是欧氏空间中两个子空间.如果对于任意的，恒有
则称为正交的，记为.一个向量，如果对于任意的，恒有
则称与子空间正交，记为.
因为只有零向量与它自身正交，所以由可知；由,可知.
定理5 如果子空间两两正交，那么和是直和.
定义11 子空间称为子空间的一个正交补，如果，并且.
显然，如果是的正交补，那么也是的正交补.
定理6 维欧氏空间的每一个子空间都有唯一的正交补.
的正交补记为，由定义可知维（）+维（）=
推论 恰由所有与正交的向量组成.
由分解式
可知，中任一向量都可以唯一分解成
其中.称为向量在子空间上的内射影.
§6 实对称矩阵的标准形由第五章得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵使成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是：
对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使
成对角形.
引理1 设是实对称矩阵，则的特征值皆为实数.
对应于实对称矩阵，在维欧氏空间上定义一个线性变换A如下：
A,(1)
显然A在标准正交基
(2)
下的矩阵就是.
引理2 设是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意，有
(A,)=(,A),(3)
或
定义12 欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换.
容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚.
引理3 设A是对称变换，是A-子空间，则也是A-子空间.
引理4 设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交.
定理7 对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使成对角形.
下面来看看在给定了一个实对称矩阵之后，按什么办法求正交矩阵使成对角形.在定理的证明中看到，矩阵按(1)式在中定义了一个线性变换.求正交矩阵的问题就相当于在中求一组由的特征向量构成的标准正交基.事实上，设
是的一组标准正交基，它们都是的特征向量.显然，由到的过渡矩阵就是
是一个正交矩阵，而
就是对角形.
根据上面的讨论，正交矩阵的求法可以按以下步骤进行：
1,求出的特征值.设是的全部不同的特征值.
2,对于每个，解齐次方程组
求出一个基础解系，这就是的特征子空间的一组基.由这组基出发，按定理2的方法求出的一组标准正交基.
3,因为两两不同，所以根据这一节引理4，向量组还是两两正交的.又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成的一组标准正交基，并且也都是的特征向量.这样，正交矩阵也就求出了.
例 已知
求一正交矩阵使成对角形.
应该指出，在定理7中，对于正交矩阵我们还可以进一步要求
事实上，如果求得的正交矩阵的行列式为-1，那么取
那么是正交矩阵，而且
显然.
如果线性替换
的矩阵是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是非退化的.
用二次型的语言，定理7可以叙述为：
定理8 任意一个实二次型
都可以经过正交的线性替换变成平方和
,
其中平方项的系数就是矩阵的特征多项式全部的根.
最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方程，以及讨论二次曲线的分类.
在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是
(5)
令
则(5)可以写成
(6)
经过转轴，坐标变换公式为
或者
其中为正交变换且，在新坐标系中，曲面的方程就是
根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵使
这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为
其中
这时，再按照是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当全不为零时，就作移轴
于是曲面的方程化为
其中
.
§7 向量到子空间的最小距离·最小二乘法在解析几何中，两个点和间的距离等于向量的长度.
定义13 长度称为向量和的距离，记为
不难证明距离的三条性质：
1）;
2），并且仅当时等号才成立；
3）（三角不等式）
在中学所学几何中知道一个点到一个平面（一条直线）上所有点的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空间中各向量间的距离也是以“垂线最短”.
先设一个子空间，它是由向量所生成，即.说一个向量垂直于子空间，就是指向量垂直于中任何一个向量.易证垂直于的充要条件是垂直于每个.
现给定，设是中的向量，满足垂直于.要证明到中各向量的距离以垂线最短，就是要证明，对于中任一向量，有
.
我们可以画出下面的示意图：
证明 因是子空间，,则.故垂直于.由勾股定理，
故
这就证明了，向量到子空间各向量间的距离以垂线最短.
这个几何事实可以用来解决一些实际问题.其中的一个应用就是解决最小二乘法问题.
例 已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成分有关.下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几次数值：
(%)
1.00
0.9
0.9
0.81
0.60
0.56
0.35
(%)
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.0
4.2
我们想找出对的一个近似公式.
最小二乘法问题：线性方程组
可能无解.即任何一组数都可能使
(1)
不等于零.我们设法找使（1）最小，这样的称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.
下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件.令
(2)
用距离的概念，（1）就是
最小二乘法就是找使与的距离最短.但从（2），知道向量就是
把的各列向量分别记成.由它们生成的子空间为.就是中的向量.于是最小二乘法问题可叙述成：
找使（1）最小，就是在中找一向量，使得到它的距离比到子空间中其它向量的距离都短.
应用前面所讲的结论，设
是所求的向量，则
必须垂直于子空间.为此只须而且必须
回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即
而按行正好排成矩阵，上述一串等式合起来就是
或
这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是，常数项是.这种线性方程组总是有解的.
回到前面的例子，易知
最小二乘解所满足的方程就是
,
即为
解得
（取三位有效数字）.
§8 酉空间介绍定义14 设是复数域上一个线性空间，在上定义了一个二元复函数，称为内积,记作，它具有以下性质:
1) ，是的共轭复数;
2) ;
3) ;
4) 是非负实数,且当且仅当
这里是中任意的向量,是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.
例1 在线性空间,对向量
定义内积为
,(1)
显然内积（1）满足定义14中的条件.这样就成为一个酉空间.
由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.
1) .
2) .
3) 叫做向量的长度，记为.
4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量有
,
当且仅当线性相关时等号成立.
注意：酉空间中的内积一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入
5) 向量，当时称为正交的或互相垂直.
在维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：
6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.
7）对级复矩阵，用表示以的元素的共轭复数作元素的矩阵.如满足，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.
两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.
8) 酉空间的线性变换A，满足
(A,A)=(,),
就称为的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
9）如矩阵满足
则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间中令
A
则
(A,)=(,A).
A也是对称变换.
10）是酉空间，是子空间，是的正交补，则
又设是对称变换的不变子空间，则也是不变子空间.
11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.
12）若是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵，使
是对角形知阵.
13）设为埃尔米特矩阵，二次齐次函数
叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵，当时
.
第九章 欧几里得空间 (小结)
一、欧氏空间
1,内积、欧氏空间的概念及其简单性质.
2,柯西—布涅可夫斯基不等式:
.
3,向量的长度:.
4,两个非零向量与的夹角:.
若,则与正交.
二、标准正交基
１,标准正交基的概念.
２,标准正交基的求法—施密特正交化方法.
３,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基.
三、正交补 内射影
1,向量与集合正交的概念.
2,欧氏空间的子空间的正交补的概念.
3,设是的子空间,则,且可以唯一写成,其中,则称是在上的内射影.
四、欧氏空间的线性变换
1.正交变换
(1) 的线性变换是正交变换
① 保持向量的长度不变.
② 保持向量的内积不变.
③ 把规范正交基仍变为规范正交基.
④ 关于规范正交基的矩阵是正交矩阵.
(2) 正交矩阵的性质
① 正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵.
② 正交矩阵的行列式为1或-1.
③ 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵.
2,对称变换
(1) 假如欧氏空间的线性变换满足:
,
那么叫做对称变换.
(2) 维欧氏空间的线性变换是对称变换在的标准正交基下的矩阵是对称矩阵.
(3) 设是欧氏空间的对称变换,若是的不变子空间,则也是的不变子空间.
(4) 实对称矩阵的特征值都是实数,相应地有对称变换的特征值都是实数.
(5) 设是实对称矩阵,则属于的不同特征值的特征向量是正交的.
(6) 任一个阶实对称矩阵都可以正交对角化,即存在正交矩阵,使得是对角形式,相应地有对于欧氏空间的任一个对称变换,存在的标准正交基,在这个标准正交基下的矩阵是对角形式.
六、欧氏空间的同构
1,欧氏空间同构的概念.
2,两个有限维欧氏空间同构它们的维数相同.
3,每个维欧氏空间都与同构.
本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵.
难点是正交变换、正交补、对称变换.
§1定义与基本性质一、向量的内积定义1 设是实数域上一个向量空间,在上定义了一个二元实函数，称为内积,记作,它具有以下性质:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ,当且仅当时,
这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间.
例1 在线性空间中,对于向量
,
定义内积
(1)
则内积(1)适合定义中的条件，这样就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.
在时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.
例2 在里,对于向量
,
定义内积
则内积(1)适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.
例3 在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积
,(2)
对于内积(2)，构成一个欧几里得空间.
同样地，线性空间对于内积(2)也构成欧几里得空间.
例4 令是一切平方和收敛的实数列
所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.
二、欧几里得空间的基本性质
1）定义中条件1）表明内积是对称的.
.
定义2 非负实数称为向量的长度，记为.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
(3)
这里.
长度为1的向量叫做单位向量.如果,由(3)式，向量
就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.
柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量有
(5)
当且仅当线性相关时，等式才成立.
对于例1的空间，(5)式就是
对于例2的空间，(5)式就是
定义3 非零向量的夹角规定为
根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式
.
定义4 如果向量的内积为零，即
那么称为正交或互相垂直，记为.
两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.
只有零向量才与自己正交.
勾股定理：当正交时，
推广：如果向量两两两正交，那么
.
设是一个维欧几里得空间，在中取一组基，对于中任意两个向量
,,
由内积的性质得
令
(8)
显然
于是
(9)
利用矩阵，还可以写成
,(10)
其中
分别是的坐标，而矩阵
称为基的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.
设是空间的另外一组基，而由到的过渡矩阵为，即
于是不难算出，基的度量矩阵
,(11)
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.
根据条件(4)，对于非零向量，即
有
因此，度量矩阵是正定的.
反之，给定一个级正定矩阵及维实线性空间的一组基.可以规定上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的度量矩阵是.
欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间.
欧几里得空间以下简称为欧氏空间.
§2 正交基一、标准正交基定义5 欧氏空间的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.
按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组,
正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过个.
定义6 在维欧氏空间中，由个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
设是一组标准正交基，由定义，有
(1)
显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在维欧氏空间中，标准正交基是存在的.
在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即
,(2)
在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设
那么
(3)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位.
二、规范正交基的存在性及其正交化方法定理1 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基.
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.
定理2 对于维欧氏空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，使
应该指出，定理中的要求
就相当于由基到基的过渡矩阵是上三角形的.
定理2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程.
例1
变成单位正交组.
三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式.
设与是欧氏空间中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是，即
因为是标准正交基，所以
(4)
矩阵的各列就是在标准正交基下的坐标.按公式(3),(4)式可以表示为
(5)
(5)式相当于一个矩阵的等式
(6)
或者
定义7 组实数矩阵称为正交矩阵，如果
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.
最后指出，根据逆矩阵的性质，由
即得
写出来就是
(7)
(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的.
例2 考虑定义在闭区间上一切连续函数所作成的欧氏空间.函数组
构成的一个正交组.
把上面的每一向量除以它的长度,就得到的一个标准正交组:
例3 欧氏空间的基
,
是的一个标准正交基.
§3 同构定义8 实数域上欧氏空间与称为同构的,如果由到有一个双射，满足
1),
2),
3),
这里，这样的映射称为到的同构映射.
由定义，如果是欧氏空间到的一个同构映射，那么也是到作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数.
设是一个维欧氏空间，在中取一组标准正交基，在这组基下，的每个向量都可表成
令
就是到的一个双射，并且适合定义中条件1),2).上一节(3)式说明，也适合条件3)，因而是到的一个同构映射，由此可知，每个维的欧氏空间都与同构.
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.
既然每个维欧氏空间都与同构，按对称性与传递性得，任意两个维欧氏空间都同构.
定理3 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等.
这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.
§4正交变换定义9欧氏空间的线性变换A叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有,都有.
(A,A)=.
正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.
定理4 设A是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：
1）A是正交变换；
2）A保持向量的长度不变，即对于,|A|=||;
3）如果是标准正交基，那么A ,A ,…,A 也是标准正交基；
4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的.由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
如果是正交矩阵，那么由
可知
或者.
因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.
例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基，定义线性变换A为：
A A .
那么，A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.
例1 令是空间里过原点的一个平面,,令对于的镜面反射与它对应.是的一个正交变换.
例2 设,令.则是的一个正交变换.
例3 将的每一向量旋转一个角的正交变换关于的任意标准正交基的矩阵是
.
又令是例1中的正交变换.在平面内取两个正交的单位向量,再取一个垂直于H的单位向量,那么是的一个规范正交基,关于这个基的矩阵是
以上两个矩阵都是正交矩阵.
§5子空间定义10 设是欧氏空间中两个子空间.如果对于任意的，恒有
则称为正交的，记为.一个向量，如果对于任意的，恒有
则称与子空间正交，记为.
因为只有零向量与它自身正交，所以由可知；由,可知.
定理5 如果子空间两两正交，那么和是直和.
定义11 子空间称为子空间的一个正交补，如果，并且.
显然，如果是的正交补，那么也是的正交补.
定理6 维欧氏空间的每一个子空间都有唯一的正交补.
的正交补记为，由定义可知维（）+维（）=
推论 恰由所有与正交的向量组成.
由分解式
可知，中任一向量都可以唯一分解成
其中.称为向量在子空间上的内射影.
§6 实对称矩阵的标准形由第五章得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵使成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是：
对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使
成对角形.
引理1 设是实对称矩阵，则的特征值皆为实数.
对应于实对称矩阵，在维欧氏空间上定义一个线性变换A如下：
A,(1)
显然A在标准正交基
(2)
下的矩阵就是.
引理2 设是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意，有
(A,)=(,A),(3)
或
定义12 欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换.
容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚.
引理3 设A是对称变换，是A-子空间，则也是A-子空间.
引理4 设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交.
定理7 对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使成对角形.
下面来看看在给定了一个实对称矩阵之后，按什么办法求正交矩阵使成对角形.在定理的证明中看到，矩阵按(1)式在中定义了一个线性变换.求正交矩阵的问题就相当于在中求一组由的特征向量构成的标准正交基.事实上，设
是的一组标准正交基，它们都是的特征向量.显然，由到的过渡矩阵就是
是一个正交矩阵，而
就是对角形.
根据上面的讨论，正交矩阵的求法可以按以下步骤进行：
1,求出的特征值.设是的全部不同的特征值.
2,对于每个，解齐次方程组
求出一个基础解系，这就是的特征子空间的一组基.由这组基出发，按定理2的方法求出的一组标准正交基.
3,因为两两不同，所以根据这一节引理4，向量组还是两两正交的.又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成的一组标准正交基，并且也都是的特征向量.这样，正交矩阵也就求出了.
例 已知
求一正交矩阵使成对角形.
应该指出，在定理7中，对于正交矩阵我们还可以进一步要求
事实上，如果求得的正交矩阵的行列式为-1，那么取
那么是正交矩阵，而且
显然.
如果线性替换
的矩阵是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是非退化的.
用二次型的语言，定理7可以叙述为：
定理8 任意一个实二次型
都可以经过正交的线性替换变成平方和
,
其中平方项的系数就是矩阵的特征多项式全部的根.
最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方程，以及讨论二次曲线的分类.
在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是
(5)
令
则(5)可以写成
(6)
经过转轴，坐标变换公式为
或者
其中为正交变换且，在新坐标系中，曲面的方程就是
根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵使
这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为
其中
这时，再按照是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当全不为零时，就作移轴
于是曲面的方程化为
其中
.
§7 向量到子空间的最小距离·最小二乘法在解析几何中，两个点和间的距离等于向量的长度.
定义13 长度称为向量和的距离，记为
不难证明距离的三条性质：
1）;
2），并且仅当时等号才成立；
3）（三角不等式）
在中学所学几何中知道一个点到一个平面（一条直线）上所有点的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空间中各向量间的距离也是以“垂线最短”.
先设一个子空间，它是由向量所生成，即.说一个向量垂直于子空间，就是指向量垂直于中任何一个向量.易证垂直于的充要条件是垂直于每个.
现给定，设是中的向量，满足垂直于.要证明到中各向量的距离以垂线最短，就是要证明，对于中任一向量，有
.
我们可以画出下面的示意图：
证明 因是子空间，,则.故垂直于.由勾股定理，
故
这就证明了，向量到子空间各向量间的距离以垂线最短.
这个几何事实可以用来解决一些实际问题.其中的一个应用就是解决最小二乘法问题.
例 已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成分有关.下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几次数值：
(%)
1.00
0.9
0.9
0.81
0.60
0.56
0.35
(%)
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.0
4.2
我们想找出对的一个近似公式.
最小二乘法问题：线性方程组
可能无解.即任何一组数都可能使
(1)
不等于零.我们设法找使（1）最小，这样的称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.
下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件.令
(2)
用距离的概念，（1）就是
最小二乘法就是找使与的距离最短.但从（2），知道向量就是
把的各列向量分别记成.由它们生成的子空间为.就是中的向量.于是最小二乘法问题可叙述成：
找使（1）最小，就是在中找一向量，使得到它的距离比到子空间中其它向量的距离都短.
应用前面所讲的结论，设
是所求的向量，则
必须垂直于子空间.为此只须而且必须
回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即
而按行正好排成矩阵，上述一串等式合起来就是
或
这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是，常数项是.这种线性方程组总是有解的.
回到前面的例子，易知
最小二乘解所满足的方程就是
,
即为
解得
（取三位有效数字）.
§8 酉空间介绍定义14 设是复数域上一个线性空间，在上定义了一个二元复函数，称为内积,记作，它具有以下性质:
1) ，是的共轭复数;
2) ;
3) ;
4) 是非负实数,且当且仅当
这里是中任意的向量,是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.
例1 在线性空间,对向量
定义内积为
,(1)
显然内积（1）满足定义14中的条件.这样就成为一个酉空间.
由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.
1) .
2) .
3) 叫做向量的长度，记为.
4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量有
,
当且仅当线性相关时等号成立.
注意：酉空间中的内积一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入
5) 向量，当时称为正交的或互相垂直.
在维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：
6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.
7）对级复矩阵，用表示以的元素的共轭复数作元素的矩阵.如满足，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.
两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.
8) 酉空间的线性变换A，满足
(A,A)=(,),
就称为的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
9）如矩阵满足
则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间中令
A
则
(A,)=(,A).
A也是对称变换.
10）是酉空间，是子空间，是的正交补，则
又设是对称变换的不变子空间，则也是不变子空间.
11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.
12）若是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵，使
是对角形知阵.
13）设为埃尔米特矩阵，二次齐次函数
叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵，当时
.
第九章 欧几里得空间 (小结)
一、欧氏空间
1,内积、欧氏空间的概念及其简单性质.
2,柯西—布涅可夫斯基不等式:
.
3,向量的长度:.
4,两个非零向量与的夹角:.
若,则与正交.
二、标准正交基
１,标准正交基的概念.
２,标准正交基的求法—施密特正交化方法.
３,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基.
三、正交补 内射影
1,向量与集合正交的概念.
2,欧氏空间的子空间的正交补的概念.
3,设是的子空间,则,且可以唯一写成,其中,则称是在上的内射影.
四、欧氏空间的线性变换
1.正交变换
(1) 的线性变换是正交变换
① 保持向量的长度不变.
② 保持向量的内积不变.
③ 把规范正交基仍变为规范正交基.
④ 关于规范正交基的矩阵是正交矩阵.
(2) 正交矩阵的性质
① 正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵.
② 正交矩阵的行列式为1或-1.
③ 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵.
2,对称变换
(1) 假如欧氏空间的线性变换满足:
,
那么叫做对称变换.
(2) 维欧氏空间的线性变换是对称变换在的标准正交基下的矩阵是对称矩阵.
(3) 设是欧氏空间的对称变换,若是的不变子空间,则也是的不变子空间.
(4) 实对称矩阵的特征值都是实数,相应地有对称变换的特征值都是实数.
(5) 设是实对称矩阵,则属于的不同特征值的特征向量是正交的.
(6) 任一个阶实对称矩阵都可以正交对角化,即存在正交矩阵,使得是对角形式,相应地有对于欧氏空间的任一个对称变换,存在的标准正交基,在这个标准正交基下的矩阵是对角形式.
六、欧氏空间的同构
1,欧氏空间同构的概念.
2,两个有限维欧氏空间同构它们的维数相同.
3,每个维欧氏空间都与同构.
本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵.
难点是正交变换、正交补、对称变换.
