第三章 经济增长
1.资本积累
2.资本积累的黄金率
3.人口增长与技术进步
4.经济增长理论的深化索洛模型与内生增长理论
经济增长是指一国产出水平的提高，
通常情况下，用一国人均 GDP的增长率来衡量一国的经济增长情况。
促进经济增长是一国经济政策的核心目标。
本章以索洛模型为基础，对经济增长进行分析，本章是本篇以及本书的重点之一。
第一节 资本积累
一、基本假定
Solow growth model是为了说明在一个经济中，
资本存量的增长、劳动力的增长以及技术进步如何影响一国物品与劳务的总产出。
对于 Solow growth model的考察首先从其中的供给和需求如何决定资本积累开始。
为了简单起见，首先让劳动力和技术保持不变，以后再放松这些假定。这样的假定不会影响结论的正确性。
1,Solow growth model在供给方面的假定
生产函数 Y=F(K,L)
索洛模型采用的生产函数是新古典主义的，新古典的生产函数表明，产出取决于资本存量和劳动力，技术因素隐含在函数 F的形式中。
新古典生产函数的基本特征是劳动和资本两种要素之间可以平滑替代，即函数 F有连续的一阶和二阶导数。并且满足以下性质,（ 1）各要素的边际产出大于零且递减。即：
00
00
2
2
2
2
L
F
L
F
K
F
K
F
，
，
（ 2）规模报酬不变，也就是说生产函数满足一次齐次性，即
λY=F(λK,λL)，对于任意的正数 λ，
上述公式都成立。
（ 3）资本（或劳动）趋向于 0
时，资本（或劳动）的边际产出趋向于无穷大；资本（或劳动）趋向于无穷大时，资本（或劳动）的边际产出趋向于 0。
为了分析更简单，可以把索洛模型中的变量都表示成人均的形式，
只要用 λ=1/L，并用小写字母表示人均数量，则索洛的生产函数就是：
y=F (k,1)=f (k) 即人均产出值和人均资本有关，是人均资本的函数。
y
0
f (k)
k图 3.1 生产函数
2,Solow growth model在需求方面的假定
模型的需求分为消费和投资两部分。即人均产出分为人均消费和人均投资，均衡时，
y=c+i 。模型中的消费取决于,c=(1-s)y注 。 s
是该经济的储蓄率,0≤s≤1。
在此基础上，我们有：
y=(1-s)y+i
y=y-sy+i
i=sy
即：一个经济的人均投资等于人均储蓄，这是产品市场均衡的要求。
注,Y=C+S C=Y-S C/N=Y/N-S/N
c=y-S/N S/N=S/N× Y/Y=S/Y× Y/N=sy
c=y-sy =(1-s)y
一是投资。 投资越多，资本存量越大。
那么投资是如何决定的？
a.投资取决于人均资本存量。由于人均投资是每个劳动力产出的一定比例，即
i=sy。把生产函数带入上述方程，投资就变成了人均资本的函数,i=sf(k)。同时，由于投资又是影响资本存量的两个因素之一，而且是主要因素。因此，在储蓄率一定的条件下，资本存量和投资之间实际上存在着一种动态循环的影响和决定关系。
二、资本积累和稳态由于人均产出只与人均资本有关，现在讨论一个经济的资本存量的变化是如何影响经济增长的。
1.影响资本存量变化的因素：投资 (I)+折旧 (D)
b.投资取决于储蓄率。储蓄率越高，则在资本存量和产出水平一定的条件下，
投资水平越高。而且，由于投资和消费之间存在替代关系，一定条件下，投资越多，则消费越少。这可以通过图 3.2来反映。
y
0
y=f (k)
i=s f (k)
y
c
i
图 3.2 产出、消费和投资
k
二是折旧 。折旧是资本存量随着使用和时间的变化而损耗和减少的资本量。为了简单起见，假定一个经济中所有的资本都以一个固定的比例 δ 减少，把 δ 称为平均折旧率。则，每年折旧掉的资本数量就是 D=δ K,每年折旧掉的 人均 资本数量就是 d=δ k，也就是人均资本的函数。可以用下图说明。
δk δk
k0
图 3.3 折旧由上述内容可见，折旧既取决于折旧率，也取决于人均资本存量。
当我们把影响资本存量的上述两个因素（投资和折旧）放在一起时，有,
kksfkik )(
2.资本存量的稳态
根据上述公式,人均 资本存量的变化等于人均投资 i=s f (k)减去现有资本的人均折旧，在储蓄率和折旧率一定的情况下，
资本存量的变化只取决于资本存量本身和生产函数的形式。
对此可以通过图 3.4来说明。
i
0
δk
s f (k)
k
k1 k* k2
图 3.4 投资、折旧和稳态从图中可以看出,(1)人均资本存量越高人均投资越大，同时人均折旧也越大。 (2)人均资本存量的净变化可能大于 0也可能小于 0，
这取决于在当前人均资本存量水平上人均投资和人均折旧的相对大小。 (3)在储蓄率、折旧率一定的情况下，而生产函数具有边际产出递减的性质时，一定存在唯一的满足新增投资正好与折旧相同的点，此时 △ k=0，人均资本存量会保持 稳态 水平。即在 k*点。
在索洛模型中，稳定状态是一个经济的长期均衡，而且具有一种真正的稳定性。不管经济的初始水平是什么，它最后总会达到稳定状态的资本水平，并且即使由于某种意外情况的冲击，
经济偏离了原来的稳定状态，它也能够回复到原来的稳定状态。
如图 3.4的 k1 k2点所示。
同时，根据稳态资本变化量的公式，我们可以得出储蓄率、折旧率、稳态人均资本、稳态人均产出水平四者之间的关系。
)(
)(
0)(
)(
kf
ks
kksf
kksf
kk
kksfk
有：
表示。为稳态资本存量，则用若
：由于，特别注意
3.稳态的意义
稳态不仅对应一个特殊的资本存量水平，而且也对应特定的产出、收入和消费水平。
有较高的资本稳态水平，一定有较高的稳态产出水平。
通过政策手段，调控储蓄率，可以影响稳态的产出水平。
三、储蓄率对稳态的影响假定一个经济的储蓄率提高，则较高的储蓄率会对应较高的 人均资本存量水平、较高的 人均 产出水平，因此也就有较高的 人均 收入和 人均 较高的消费水平。
s2 f (k)
图 3.5 储蓄率变化对稳态的影响
2k
索洛模型表明：如果一个经济的储蓄率上升，这个经济稳定状态的人均资本存量和人均产出水平等都会上升。
如果一个经济的储蓄率下降，
那么就会出现相反的变化，
即这个经济稳定状态的人均资本存量和人均产出水平等都下降。 储蓄率是一个经济中稳态资本存量的关键决定因素 。
i,y
0
δk
k
s1 f (k)
1k
i1*=δk1*
i2*=δk2*
储蓄率对一个经济稳定状态的影响，说明了储蓄率的高低对经济增长速度的一方面影响。因为 较高的储蓄率意味着较高的稳定状态,那么当一个经济的当前资本存量水平较低时，就意味着与稳定状态可能存在更大的差距，这样经济增长就会有较大的空间和速度。
但较高的储蓄率导致较快的增长仅仅是暂时的 。因为在长期中只要经济达到它的稳态，那么它就不会再继续增长。如果一个经济保持较高的储蓄率，它会保持较大的资本存量和较高的产出水平，但它无法保持较高的增长率，甚至无法保持增长。在模型的假设下，理论上除非增长率不断提高，否则人均意义上的经济增长是不可能长期持续的。
第二节 资本积累的黄金律
上一节分析了储蓄率和稳态资本存量及收入之间的关系，现在进一步讨论什么是最优的资本积累水平这个问题。在第四节中则将讨论政府的政策如何影响储蓄率，这里的分析可以看作是给这些政策提供理论根据。
首先假设政策制定者可以把储蓄率调控到任意水平。因此通过调控储蓄率，政策制定者可以得到任意资本存量的稳定状态。那么政策制定者会选择资本存量水平多高的稳定状态?是否资本存量水平越高越好呢?
一、黄金率
首先可以肯定的是，资本数量和产出不是人们追求的根本目标，人们进行经济活动要实现的根本目标是长期中的消费福利，即他们在长期中能够消费的产品和服务的数量。由于高产出很可能是以高储蓄、
高投资为代价实现的，而高储蓄则会减少当前消费的数量，因此高产出有可能不仅不能导致更多的消费，反而会降低消费，因此消费福利与产出并不完全一致。
因此，一个以人们的福利为根本目标的政策制定者，
应该以尽可能提高人们的长期消费总水平为制定政策和选择稳定状态的标准。也就是说，一个好的政策制定者应该选择长期消费水平最高的稳定状态。
长期消费总水平最高的稳定状态被称为资本积累的
“黄金律水平” (Golden rule level)。记为 k*。
那么一个经济的黄金律稳态水平在哪里呢?怎么能判断出一个经济的稳定状态是否正好是黄金律水平呢?
要得到这些问题的答案，必须先知道一个经济稳定状态的人均消费水平是由什么决定的，然后才能知道怎样的稳定状态是使消费最大化的。
为了找到稳定状态人均消费，可以从 y=c+i开始，把上式写为 c=y-i。
由于稳态的人均产出为 f (k*)，稳态投资等于折旧
δk*。因此，则稳态的人均消费为：
c*= f (k*)－ δk*。
即 稳定状态的消费是稳态产出和稳态折旧之差 。
c*= f (k*) － δk* 表明稳定状态资本水平的提高，对稳定状态的人均消费有两种对立的影响，它通过使产出增加提高消费，但同时又因为需要有更多的产出去替代折旧掉的资本而使消费减少，而最终稳定状态的消费究竟是提高了还是降低了则要看两者力度的相对大小。
图 3.6反映了稳定状态消费水平与稳定状态产出和稳定状态折旧之间的关系。该图表明存在一个资本积累水平，能够使得 f (k*)和 δk*之间的距离，也就是稳定状态消费水平最大化。这个稳定状态资本存量水平当然就是前面定义的黄金律水平 k*。 图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
如果资本存量低于黄金律水平，
资本存量增加所增加的产出比增加的折旧大，从而消费将会增加。在这种情况下，生产函数比 δk*线更陡，
从而当资本存量增加时，等于消费的两条线之间的距离倾向于上升。
这时候促使稳定状态资本水平上升是有益的，能够提高稳定状态的消费水平。
相反，如果资本存量已经在黄金律水平之上，那么资本存量的增加则将会反过来减少稳定状态的人均消费，因为产出增加小于折旧的增加。在这种情况下，应该降低稳定状态的资本水平。在资本的黄金律水平，生产函数和 δk*线的斜率相同，
消费达到最大值，这是应该维持的最佳水平的稳定状态。
再用稍有不同的方法加以说明。
假设一个经济初始的稳定状态资本存量水平为 k*,而政策制定者正在考虑把稳定状态的资本存量提高到 k* +1。那么增加的产出将是 f (k* +1)－ f (k*)，这就是资本的边际产出 MPK。
由于再增加 1个单位资本增加的折旧等于 δ，因此该额外单位资本对消费的净影响为 MPK－ δ，即资本的边际产出减去折旧率。如果稳定状态资本存量低于黄金律水平，那么资本存量的增加会增加消费，因为资本的边际产出大于折旧率。如果资本存量超过黄金律水平，则资本的增加会减少消费，因为资本的边际产出低于折旧率。因此，黄金律的基本条件是：
MPK=δ
即在资本的黄金律稳态水平,资本的边际产出等于折旧率 。
也就是说,在黄金律水平,资本的边际产出减去折旧等于 0。
需要注意的是，虽然一个经济会自动收敛于一个稳定状态，但并不会自动收敛到一个黄金律的稳定状态。事实上，要让一个经济有黄金律的稳定状态，要通过对储蓄率的选择，使稳定状态的资本存量水平正好是黄金率水平。
图 3.7就说明了只要选择储蓄率使储蓄曲线与折旧线相交于黄金律稳态资本存量，那么该经济的稳定状态一定是黄金律稳定状态。
如果储蓄率高于这个水平，则稳态资本存量就会太高；如果储蓄率低于此水平，则稳态资本存量又会偏低，都不能实现长期消费的最大化。
在图中,储蓄 =投资 =折旧；
折旧曲线的斜率 =
生产函数曲线的斜率图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
在图中的均衡点上，一个经济具有稳态的增长率；
具有稳态折旧率；具有稳态的最佳储蓄率；具有长期消费的最高水平；也具有最佳的资本存量水平。
而这种黄金率稳态，是通过选择储蓄率而得到的。
图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
二、黄金稳态过程到目前为止，我们一直简单化地假定政策制定者能够通过选择，直接得到想要的稳定状态。在这种情况下，政策制定者选择有最高消费水平的稳态，即黄金律稳态，是理所当然的。
但事实上任何一个经济在政策制定者确定它的稳定状态目标的时候，可能已经达到了一个非黄金律的稳态，因此政策制定者要选择黄金律的稳态，意味着必须有一种稳定状态的“变换”。
这种在稳态之间的变换很可能会对消费、投资等发生冲击和影响，这些冲击和影响是否会有什么特别的后果，是否会阻止政策制定者去尝试实现黄金律稳态，如果要使政策制定者的选择决策更符合实际，那么这些问题是必须加以讨论的。
需要考虑的有两种情况，一种情况是经济的初始稳态资本存量高于黄金律稳态，另一种是低于黄金律稳态。在这两种情况中，资本过少的第二种情况的问题更棘手。因为第一种情况实现黄金律稳态的手段是采取促进当前消费的政策，这通常阻力会较小一些，而后一种情况则迫使政策制定者必须考虑是否以减少当前消费为代价，提高储蓄率和将来的消费，因此必须对当前的消费利益和将来的消费利益进行评估和取舍。
图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
t00 t
原稳态投资 i*
原稳态消费 c*
原稳态产出 y*
我们先考虑一个经济的资本存量比它的黄金律稳定状态资本存量更多的情况。在这种情况下，政策制定者将采取降低储蓄率以降低稳态资本存量的政策。
假设政策能够成功，储蓄率将在时刻 t0 降到最终会实现黄金律稳态的水平。图 3.8反映了当储蓄率下降的时候，对产出、消费和投资分别有什么影响。
i
cy
图 3.8资本过多时降低储蓄率的影响
t0
图 3.8资本过少时降低储蓄率的影响
0 t
原稳态投资 i*
原稳态消费 c*
原稳态产出 y*
但如果一个经济从低于黄金律稳态的资本水平开始，情况就有些不同了。这时候政策制定者必须提高储蓄率以达到黄金律稳态。图 3.9表明将会发生什么情况。
最终，新的消费水平高于原来的消费水平
t
c
y
上述储蓄率变化虽然最终也能够提高人们长期的消费水平，但却并不能保证这种政策是绝对值得肯定的，一定会得到支持和能够顺利实行的。原因是虽然黄金律稳态的消费水平高于当前储蓄水平相应的稳态消费，但要通过提高储蓄率使稳定状态从当前水平调整到黄金律水平，在这种调整的开始阶段消费会下降。这与在任何时点都产生较高的消费的从高于黄金律的稳态开始的情况有很大的差别。这时候政策制定者必须在当前的消费和未来的消费之间进行选择，必须决定是否以牺牲当前的消费为代价追求将来的更多消费。
y
第三节 人口增长和技术进步
基本的索洛模型表明，高储蓄和高投资是能提高一个经济的稳定状态资本和产出水平，在原来资本水平较低 (低于黄金律稳态水平 )时也能够提高长期中的消费，并能够在该经济达到新的稳定状态之前的阶段中，促进经济增长,但资本积累本身却不能解释持续的经济增长 。因为在储蓄率及其他条件不变的情况下，投资和产出最终都会逼近一个稳定状态，
不再发生变化。
因此，要解释持续的经济增长就必须对索洛模型加以扩展。
扩展索洛模型以解释持续经济增长的方法是将基本的索洛模型中没有考虑的两个因素，即人口增长 (也意味着劳动力增加 )和技术进步引进模型。本节先把人口增长引入模型，即不再像在前两节中那样假设人口固定不变，而是 假设人口和劳动力以固定速率 n增长。
一,人口增长的影响
首先我们分析一下人口的增长对一个经济的稳态有什么影响 。
为了回答这个问题,首先分析一下人口的增长与投资和折旧一起,是如何影响人均资本积累的 。 正如早已知道的,投资会提高资本存量,而折旧则会减少它 。 现在有第三种力量也对人均资本产生影响,那就是人口或劳动力数量的增长,它会导致人均资本的下降 。
我们仍然用小写字母代表人均数量,因此 y=Y/L代表人均产出,而 k=K/L表示人均资本,但现在必须记住,这个劳动力数量 L不再是固定不变的,而是不断增长的 。 因此,现在人均资本的变化为：
△ k=i－ (δ+n) k 注
该方程表明新投资、折旧和人口增长是如何影响人均资本存量的。新投资会提高 k，同时折旧和人口增长则在降低 k 。
以前的人均资本变化公式是这个方程在人口不变，即 n＝ 0 情况下的特例。
注,I=ΔK+δK,
设,ΔK=ΔK1+ΔK2,令,K2=ΔLk
则,I=ΔK1+ΔK2+δK
=ΔK1+ ΔLk+δK
上式两边同除以 L，得,
I/L=ΔK1/L+ ΔLk/L+δK/L
i=Δk+ΔL/L× k+δk= Δk+nk+δk
Δk=i–(nk+δk)= i–(n+δ)k
△ k=i－ (δ+n) k
我们可以把 (δ+n)k项看作是一种,平衡投资,,即在存在折旧和人口增长的情况下,为了保持人均资本不变必需追加的投资 。 平衡投资包括对现有资本的折旧 δk 的弥补,还包括给新劳动力配备资本的投资,必需的数量是 nk,即 n个新劳动力每人 k单位资本 。 该方程表明人口增长在降低人均资本积累方面的影响是与资本折旧相似的,只是折旧是通过资本的折损降低 k,而人口增长则是通过资本存量在一个更大的人口中摊薄而降低 k。
用 sf(k)代替人均资本变化方程中的投资 i,则方程可以写成：
△ k=sf(k)－ (δ+n) k (3.19)
我们可以通过图 3.10来说明这种包括了人口增长因素的稳定状态 。
如果人均资本存量 k小于 k* （ 在 k*
左边 ）,新增人均 i投资大于平衡投资，因而 k会上升,y也会相应的增加；如果 k大于 k* (在 k*右边 ），
人均投资 i小于平衡投资,k就会下降,y也会相应的减少；当 k正好等于稳态水平时，新增人均投资 i
对人均资本存量的正效应，正好与人均折旧和人口增长的负效应相平衡,k将保持不变。 一旦经济处于稳态，投资只有两个目的，
一部分臵换折旧掉的资本；其余的给新劳动力提供稳态水平的人均资本。
i
0
(δ+n) k
收支相抵的投资
s f (k)=i
kk*
图 3.10 有人口增长的稳态
人口增长在三个方面改变了基本的索洛模型。
首先,它使得我们距离对持续增长的解释接近了一些。因为在有人口增长的稳态，虽然人均资本和产出不变，但由于劳动力的数量以速率 n增长，
因此总资本和总产出也会以速率 n增长，人口增长虽然不能解释生活水平意义上的持续增长，因为在稳态人均产出没有变化，但 至少能解释在总产出意义上的持续增长 。
其次,把人口增长引进索洛模型为我们提供了关于为什么有些国家富裕而另一些国家则很贫穷的一种解释。
我们用图 3.11来加以说明。如果假设两个国家在经济各方面的条件基本相同，但两国的人口增长率分别为 n1和
n2，且 n1< n2 。那么这两个国家的稳定状态人均资本将是不同的。很明显有较高人口增长率的国家的稳定状态人均资本较低，人口增长率较高国家的稳定状态人均产出也较低。就是说，
在其他条件都相同的情况下，长期中人口增长率较高的国家的人均 GDP水平较低，从而生活水平也会较低。这就说明 人口增长率的不同很可能是不同国家富裕程度差别的重要原因 。 图 3.11 人口增长对稳态的影响条件 n1< n2
i
0
(δ+n1) k
平衡投资
s f (k)=i
k?1k?2k
(δ+n2) k
平衡投资
① 人口增长率的提高,...
② 减少了稳态资本存量
①
最后,引进人口增长率会改变决定资本积累黄金律水平的公式，人均消费为,c=y－ i
把引进人口增长因素的稳态产出 f (k*),稳态投资
(δ+n) k* 代入上式，可以得到有人口增长的稳态消费为：
c*= f (k*)－ (δ+n) k*
因此，能够使稳态人均消费最大化的稳态人均资本水平 k*必须满足下式：
MPk=δ+n
也就是说，在黄金率稳定状态，资本的边际产出应该等于折旧率加上人口增长率。
二,技术进步和劳动效率
到目前为止,一直是在仅有资本和劳动两种投入要素,以及生产技术和劳动效率因素是不变的前提下进行讨论的 。 事实上,这与现实情况之间显然是有差距的,而且排斥技术进步也使得无法解释人均意义上的持续经济增长 。 现在把技术进步因素结合进索洛模型 。
为了引进技术进步,我们回到把总资本,总劳动力和总产出联系在一起的生产函数,而且,为了让技术进步在生产函数中反映出来,我们把生产函数写为,Y=F(K,L?E)
E≥1是能够反映技术进步的,劳动效率,变量 。 L?E可以看作是用,效率单位,衡量的劳动数量 。
现在,总产出就取决于资本单位数 K和劳动效率单位数 L?E两个因素 。
在有了上述铺垫以后,技术进步可以用劳动效率变量 E的增长来反映,最简单的是假设技术进步使 E以一个固定速率 g=ΔE/E增长 。 如
g=0.02,即每个单位劳动力的效率都提高 2%。
这种形式的技术进步被称为,劳 动 增 强型,(Labor augmenting),g则称为,劳动增强技术进步速率,。 由于劳动力 L以速率 n增长,
而每单位劳动力的效率 E以速率 g提高,因此劳动力效率单位数 L?E以速率 （ n+g） 增长 。
三,有技术进步的稳定状态
用对劳动的,放大,理解技术进步,技术进步的作用就与人口增长很相似了 。 我们已经讨论过在人口,即劳动力数量随时间增长时经济的稳定状态条件下,人均意义上的资本和产出增长问题 。 为了把技术进步因素考虑进来,进一步在每劳动力效率单位的意义上,在允许劳动力效率单位数量增长的情况下进行分析 。
首先对变量的代数符号进行重新安排,现在 k=K/(L?E),是每劳动力效率单位资本,而不是人均资本； y=Y/(L?E)是每劳动力效率单位的产出,而不是人均产出 。 原来意义上的 k和 y则可以看作劳动力的效率 E不变且等于 1时的特例 。 当 k和 y的意义重新定义过以后,有技术进步的生产函数就仍然可以写成：
y=f (k) (3.24)
分析的次序仍然与讨论人口增长时一样 。 现在每劳动力效率单位资本 k的变化规律为：
△ k=s f (k)－ (δ+ n+ g) k (3.25)
当我们对 k和 y重新定义过以后,引进技术进步因素,
在形式上对一个经济的稳定状态等并不会产生影响,
图 3.12与没有技术进步的图 3.10之间的差别,只是平衡投资线中多了一个因素 gk。 图 3.12表明在有技术进步时经济同样存在一个资本水平 k*,在此处资本存量具有稳定性,即这个经济的稳定状态,该稳定状态同样代表经济的长期均衡 。
i
0
(δ+ n+ g) k
平衡投资
s f (k)=i
kk*
图 3.12 有技术进步的稳态
gn
s
kf
k
kgnksf
)(
)()(
所以：
注意：由于稳态时有
但实际上图 3.12与图 3.10所对应的经济之间的差别,并不只有表面上的那么少,因为现在模型中的资本和产出都是每劳动力效率单位意义上的平均数量,而不是原来的人均数量 。
因此 在有技术进步的索洛模型中,虽然在稳定状态每效率单位的资本 k=K/(L?E)和产出
y=Y/(L?E)都不变,但人均产出 Y/L=y?E 和总产出 Y=y?E?L 却分别以 g和 n+g的速率增长 。
因此,在加进技术进步以后,索洛模型终于能够解释我们所观察到的生活水平意义上的持续增长了,即技术进步能够导致人均产出的持续增长 。
由于提高储蓄率只能实现在到达稳态之前的短期中的增长,
而不是可以长期持续的高增长率,而人口的增长则对人均意义上的增长没有意义 。 因此索洛模型表明,只有技术进步是一个经济长期持续增长的源泉,能够推动产出和生活水平的不断上升 。
引进技术进步因素同样也会改变确定黄金律稳定状态的公式 。
资本积累的黄金律水平现在是最大化每劳动力效率单位消费的水平 。 很容易证明每劳动力效率单位的稳定状态消费为：
c*= f (k*)－ (δ+n+ g) k*
因此,稳定状态消费实现最大化的条件是：
MPK=δ+n+ g
也就是说,在资本积累的黄金律水平,资本的边际净产出
MPK－ δ,应该等于总产出的增长率 (n+g)。 由于现实经济既有人口的增长,也有技术进步,因此这是判断各个国家的资本存量高于还是低于黄金律稳态水平的更加现实的标准 。
附：新古典增长模型公式的推导
nkk
N
K
N
K
n
N
K
k
k
N
K
N
nKK
k
k
K
n
K
K
N
N
K
K
k
k
k
N
K
k
ksyNK
N
KsYK
有：上式两边同除以的增长率可以写为：，于是由于有：两边同除以劳动量
/
有：同除以
，则有：假定技术进步率为合并后得：
，
N
gKnKK
k
k
K
gn
K
K
k
k
E
E
N
N
K
K
k
k
g
knsyk
nkksyk
ksynkk
nkk
N
K
ksy
N
K
)(?
)25.367.()()(
)(
公式pkgnksfk
kgnsyk
gknkksyk
ksygknkk
gknkk
N
K
N
K
g
N
K
n
N
K
k
k
N
K
第四节 经济增长理论的深化
一,索洛模型的缺陷
以索洛增长模型为代表的新古典经济增长理论是现代经济增长理论的基础 。 索格模型描述了一个完全竞争的经济,物质资本和劳动投入的增长引起产出的增长 。 新古典生产函数决定了在劳动供给不变时,资本的边际收益递减 。 这一生产函数与储蓄率不变的假设相结合,形成了一个简单的一般均衡模型 。
新古典经济增长模型的这些假设自然引出了这样一些推论,首先,当资本存量增长时,由于边际报酬递减,经济增长会减慢,最终经济增长将停止 。 在索洛模型中,稳态的人均资本存量和人均产量,决定于储蓄率,
人口增长率和生产函数等因素 。 新古典增长理论的这一结论并不符合世界各国经济增长的现实 。 在过去的 100多年间,许多国家的人均产出保持了正的增长率,增长率并没有长期下降的趋势 。 对于 16个统计数据比较完整的发达国家,经济增长率在 1970年以来确实有所下降,但是近代的经济增长率仍明显地高于 1870年以后早期的经济增长率 。 这一事实与理论的矛盾促使经济学家以假定外生的技术进步弥补基本索洛模型的缺陷 。
这种方法能用以说明长期的正的人均产出增长率,但并不能帮助新古典经济增长理论家摆脱困境,因为这意味着经济增长的主要动力来自于增长理论研究的范围之外,增长模型不能解释经济的持续增长 。
新古典经济增长理论的另一个主要结论是穷国应该比富国增长更快,因为穷国的人均资本存量较低,每单位新增投资能得到较高的报酬率 。 然而根据 118个国家在 1960— 1985年期间的统计数据,在 1960年时较穷的国家并没有显示较高的经济增长率 。 实际情况是,穷国的经济增长往往更缓慢 。
2003年世界各国（地区） GDP总值排名
（按 2004年 1月 1日汇率）
01----美国 --------10,8572亿美元
02----日本 ---------4,2907亿美元
03----德国 ---------2,3862亿美元
04----英国 ---------1,7750亿美元
05----法国 ---------1,7316亿美元
06---意大利 --------1,4554亿美元
07----中国 ---------1,3720亿美元 ★★★★★
08---加拿大 ----------8505亿美元
09---西班牙 ----------8271亿美元
10---墨西哥 ----------6116亿美元国家或地区 GDP/人 (美元 ) 数据来源
1 卢森堡 48,900 未注明的为 2002年
2 美国 36,300
3 百慕达群岛 35,200
4 开曼群岛 35,000
5 圣马利诺 34,600 2001
6 挪威 33,000
7 瑞士 32,000
8 冰岛 30,200
9 加拿大 29,300
10 爱尔兰 29,300
11 比利时 29,200
12 丹麦 28,900
13 日本 28,700
14 阿卢巴 28,000
15 奥地利 27,900
16 香港 27,200
17 荷兰 27,200
18 摩纳哥 27,000 1999
19 澳大利亚 26,900
20 德国 26,200
中国排名第 127，人均 4700美元，
印度排名第 156，人均 2600美元。
二、新经济增长理论
索洛模型在解释现实经济增长过程中之所以会出现一些问题，
关键在于模型中储蓄率、人口增长率、资本折旧率和技术进步都是外生变量。资本折旧率是外生常数容易理解，因为资本折旧速度不容易人为控制，不同经济的资本折旧率不会有明显差距。储蓄率、人口增长率和技术进步是由人们的行为决定的，也是可以通过政策等加以影响的，在不同的经济中其水平很不相同。
因此当新古典增长模型不能很好解释增长时，我们自然就会想将储蓄率、人口增长率和技术进步等重要参数作为内生变量来考虑，从而可以由模型的内部来决定经济的长期增长率，
这些模型被称作内生经济增长模型。这种以内生经济增长为主要特征的新经济增长理论的诞生，标志着现代经济增长理论进入了一个新的发展阶段。
内生增长理论要素投入的内生增长技术进步的内生增长资本 ← 储蓄率 ←
劳动家庭的跨期最优消费选择居民对生育、移民和工作时间的选择将技术进步内生化的方法：
1.报酬递增的生产函数；
2.人力资本投资；
3.干中学；
4.创新。
三、促进经济增长的政策储蓄率政策技术政策和人力资本制度变革
1.资本积累
2.资本积累的黄金率
3.人口增长与技术进步
4.经济增长理论的深化索洛模型与内生增长理论
经济增长是指一国产出水平的提高，
通常情况下，用一国人均 GDP的增长率来衡量一国的经济增长情况。
促进经济增长是一国经济政策的核心目标。
本章以索洛模型为基础，对经济增长进行分析，本章是本篇以及本书的重点之一。
第一节 资本积累
一、基本假定
Solow growth model是为了说明在一个经济中，
资本存量的增长、劳动力的增长以及技术进步如何影响一国物品与劳务的总产出。
对于 Solow growth model的考察首先从其中的供给和需求如何决定资本积累开始。
为了简单起见，首先让劳动力和技术保持不变，以后再放松这些假定。这样的假定不会影响结论的正确性。
1,Solow growth model在供给方面的假定
生产函数 Y=F(K,L)
索洛模型采用的生产函数是新古典主义的，新古典的生产函数表明，产出取决于资本存量和劳动力，技术因素隐含在函数 F的形式中。
新古典生产函数的基本特征是劳动和资本两种要素之间可以平滑替代，即函数 F有连续的一阶和二阶导数。并且满足以下性质,（ 1）各要素的边际产出大于零且递减。即：
00
00
2
2
2
2
L
F
L
F
K
F
K
F
，
，
（ 2）规模报酬不变，也就是说生产函数满足一次齐次性，即
λY=F(λK,λL)，对于任意的正数 λ，
上述公式都成立。
（ 3）资本（或劳动）趋向于 0
时，资本（或劳动）的边际产出趋向于无穷大；资本（或劳动）趋向于无穷大时，资本（或劳动）的边际产出趋向于 0。
为了分析更简单，可以把索洛模型中的变量都表示成人均的形式，
只要用 λ=1/L，并用小写字母表示人均数量，则索洛的生产函数就是：
y=F (k,1)=f (k) 即人均产出值和人均资本有关，是人均资本的函数。
y
0
f (k)
k图 3.1 生产函数
2,Solow growth model在需求方面的假定
模型的需求分为消费和投资两部分。即人均产出分为人均消费和人均投资，均衡时，
y=c+i 。模型中的消费取决于,c=(1-s)y注 。 s
是该经济的储蓄率,0≤s≤1。
在此基础上，我们有：
y=(1-s)y+i
y=y-sy+i
i=sy
即：一个经济的人均投资等于人均储蓄，这是产品市场均衡的要求。
注,Y=C+S C=Y-S C/N=Y/N-S/N
c=y-S/N S/N=S/N× Y/Y=S/Y× Y/N=sy
c=y-sy =(1-s)y
一是投资。 投资越多，资本存量越大。
那么投资是如何决定的？
a.投资取决于人均资本存量。由于人均投资是每个劳动力产出的一定比例，即
i=sy。把生产函数带入上述方程，投资就变成了人均资本的函数,i=sf(k)。同时，由于投资又是影响资本存量的两个因素之一，而且是主要因素。因此，在储蓄率一定的条件下，资本存量和投资之间实际上存在着一种动态循环的影响和决定关系。
二、资本积累和稳态由于人均产出只与人均资本有关，现在讨论一个经济的资本存量的变化是如何影响经济增长的。
1.影响资本存量变化的因素：投资 (I)+折旧 (D)
b.投资取决于储蓄率。储蓄率越高，则在资本存量和产出水平一定的条件下，
投资水平越高。而且，由于投资和消费之间存在替代关系，一定条件下，投资越多，则消费越少。这可以通过图 3.2来反映。
y
0
y=f (k)
i=s f (k)
y
c
i
图 3.2 产出、消费和投资
k
二是折旧 。折旧是资本存量随着使用和时间的变化而损耗和减少的资本量。为了简单起见，假定一个经济中所有的资本都以一个固定的比例 δ 减少，把 δ 称为平均折旧率。则，每年折旧掉的资本数量就是 D=δ K,每年折旧掉的 人均 资本数量就是 d=δ k，也就是人均资本的函数。可以用下图说明。
δk δk
k0
图 3.3 折旧由上述内容可见，折旧既取决于折旧率，也取决于人均资本存量。
当我们把影响资本存量的上述两个因素（投资和折旧）放在一起时，有,
kksfkik )(
2.资本存量的稳态
根据上述公式,人均 资本存量的变化等于人均投资 i=s f (k)减去现有资本的人均折旧，在储蓄率和折旧率一定的情况下，
资本存量的变化只取决于资本存量本身和生产函数的形式。
对此可以通过图 3.4来说明。
i
0
δk
s f (k)
k
k1 k* k2
图 3.4 投资、折旧和稳态从图中可以看出,(1)人均资本存量越高人均投资越大，同时人均折旧也越大。 (2)人均资本存量的净变化可能大于 0也可能小于 0，
这取决于在当前人均资本存量水平上人均投资和人均折旧的相对大小。 (3)在储蓄率、折旧率一定的情况下，而生产函数具有边际产出递减的性质时，一定存在唯一的满足新增投资正好与折旧相同的点，此时 △ k=0，人均资本存量会保持 稳态 水平。即在 k*点。
在索洛模型中，稳定状态是一个经济的长期均衡，而且具有一种真正的稳定性。不管经济的初始水平是什么，它最后总会达到稳定状态的资本水平，并且即使由于某种意外情况的冲击，
经济偏离了原来的稳定状态，它也能够回复到原来的稳定状态。
如图 3.4的 k1 k2点所示。
同时，根据稳态资本变化量的公式，我们可以得出储蓄率、折旧率、稳态人均资本、稳态人均产出水平四者之间的关系。
)(
)(
0)(
)(
kf
ks
kksf
kksf
kk
kksfk
有：
表示。为稳态资本存量，则用若
：由于，特别注意
3.稳态的意义
稳态不仅对应一个特殊的资本存量水平，而且也对应特定的产出、收入和消费水平。
有较高的资本稳态水平，一定有较高的稳态产出水平。
通过政策手段，调控储蓄率，可以影响稳态的产出水平。
三、储蓄率对稳态的影响假定一个经济的储蓄率提高，则较高的储蓄率会对应较高的 人均资本存量水平、较高的 人均 产出水平，因此也就有较高的 人均 收入和 人均 较高的消费水平。
s2 f (k)
图 3.5 储蓄率变化对稳态的影响
2k
索洛模型表明：如果一个经济的储蓄率上升，这个经济稳定状态的人均资本存量和人均产出水平等都会上升。
如果一个经济的储蓄率下降，
那么就会出现相反的变化，
即这个经济稳定状态的人均资本存量和人均产出水平等都下降。 储蓄率是一个经济中稳态资本存量的关键决定因素 。
i,y
0
δk
k
s1 f (k)
1k
i1*=δk1*
i2*=δk2*
储蓄率对一个经济稳定状态的影响，说明了储蓄率的高低对经济增长速度的一方面影响。因为 较高的储蓄率意味着较高的稳定状态,那么当一个经济的当前资本存量水平较低时，就意味着与稳定状态可能存在更大的差距，这样经济增长就会有较大的空间和速度。
但较高的储蓄率导致较快的增长仅仅是暂时的 。因为在长期中只要经济达到它的稳态，那么它就不会再继续增长。如果一个经济保持较高的储蓄率，它会保持较大的资本存量和较高的产出水平，但它无法保持较高的增长率，甚至无法保持增长。在模型的假设下，理论上除非增长率不断提高，否则人均意义上的经济增长是不可能长期持续的。
第二节 资本积累的黄金律
上一节分析了储蓄率和稳态资本存量及收入之间的关系，现在进一步讨论什么是最优的资本积累水平这个问题。在第四节中则将讨论政府的政策如何影响储蓄率，这里的分析可以看作是给这些政策提供理论根据。
首先假设政策制定者可以把储蓄率调控到任意水平。因此通过调控储蓄率，政策制定者可以得到任意资本存量的稳定状态。那么政策制定者会选择资本存量水平多高的稳定状态?是否资本存量水平越高越好呢?
一、黄金率
首先可以肯定的是，资本数量和产出不是人们追求的根本目标，人们进行经济活动要实现的根本目标是长期中的消费福利，即他们在长期中能够消费的产品和服务的数量。由于高产出很可能是以高储蓄、
高投资为代价实现的，而高储蓄则会减少当前消费的数量，因此高产出有可能不仅不能导致更多的消费，反而会降低消费，因此消费福利与产出并不完全一致。
因此，一个以人们的福利为根本目标的政策制定者，
应该以尽可能提高人们的长期消费总水平为制定政策和选择稳定状态的标准。也就是说，一个好的政策制定者应该选择长期消费水平最高的稳定状态。
长期消费总水平最高的稳定状态被称为资本积累的
“黄金律水平” (Golden rule level)。记为 k*。
那么一个经济的黄金律稳态水平在哪里呢?怎么能判断出一个经济的稳定状态是否正好是黄金律水平呢?
要得到这些问题的答案，必须先知道一个经济稳定状态的人均消费水平是由什么决定的，然后才能知道怎样的稳定状态是使消费最大化的。
为了找到稳定状态人均消费，可以从 y=c+i开始，把上式写为 c=y-i。
由于稳态的人均产出为 f (k*)，稳态投资等于折旧
δk*。因此，则稳态的人均消费为：
c*= f (k*)－ δk*。
即 稳定状态的消费是稳态产出和稳态折旧之差 。
c*= f (k*) － δk* 表明稳定状态资本水平的提高，对稳定状态的人均消费有两种对立的影响，它通过使产出增加提高消费，但同时又因为需要有更多的产出去替代折旧掉的资本而使消费减少，而最终稳定状态的消费究竟是提高了还是降低了则要看两者力度的相对大小。
图 3.6反映了稳定状态消费水平与稳定状态产出和稳定状态折旧之间的关系。该图表明存在一个资本积累水平，能够使得 f (k*)和 δk*之间的距离，也就是稳定状态消费水平最大化。这个稳定状态资本存量水平当然就是前面定义的黄金律水平 k*。 图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
如果资本存量低于黄金律水平，
资本存量增加所增加的产出比增加的折旧大，从而消费将会增加。在这种情况下，生产函数比 δk*线更陡，
从而当资本存量增加时，等于消费的两条线之间的距离倾向于上升。
这时候促使稳定状态资本水平上升是有益的，能够提高稳定状态的消费水平。
相反，如果资本存量已经在黄金律水平之上，那么资本存量的增加则将会反过来减少稳定状态的人均消费，因为产出增加小于折旧的增加。在这种情况下，应该降低稳定状态的资本水平。在资本的黄金律水平，生产函数和 δk*线的斜率相同，
消费达到最大值，这是应该维持的最佳水平的稳定状态。
再用稍有不同的方法加以说明。
假设一个经济初始的稳定状态资本存量水平为 k*,而政策制定者正在考虑把稳定状态的资本存量提高到 k* +1。那么增加的产出将是 f (k* +1)－ f (k*)，这就是资本的边际产出 MPK。
由于再增加 1个单位资本增加的折旧等于 δ，因此该额外单位资本对消费的净影响为 MPK－ δ，即资本的边际产出减去折旧率。如果稳定状态资本存量低于黄金律水平，那么资本存量的增加会增加消费，因为资本的边际产出大于折旧率。如果资本存量超过黄金律水平，则资本的增加会减少消费，因为资本的边际产出低于折旧率。因此，黄金律的基本条件是：
MPK=δ
即在资本的黄金律稳态水平,资本的边际产出等于折旧率 。
也就是说,在黄金律水平,资本的边际产出减去折旧等于 0。
需要注意的是，虽然一个经济会自动收敛于一个稳定状态，但并不会自动收敛到一个黄金律的稳定状态。事实上，要让一个经济有黄金律的稳定状态，要通过对储蓄率的选择，使稳定状态的资本存量水平正好是黄金率水平。
图 3.7就说明了只要选择储蓄率使储蓄曲线与折旧线相交于黄金律稳态资本存量，那么该经济的稳定状态一定是黄金律稳定状态。
如果储蓄率高于这个水平，则稳态资本存量就会太高；如果储蓄率低于此水平，则稳态资本存量又会偏低，都不能实现长期消费的最大化。
在图中,储蓄 =投资 =折旧；
折旧曲线的斜率 =
生产函数曲线的斜率图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
在图中的均衡点上，一个经济具有稳态的增长率；
具有稳态折旧率；具有稳态的最佳储蓄率；具有长期消费的最高水平；也具有最佳的资本存量水平。
而这种黄金率稳态，是通过选择储蓄率而得到的。
图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
二、黄金稳态过程到目前为止，我们一直简单化地假定政策制定者能够通过选择，直接得到想要的稳定状态。在这种情况下，政策制定者选择有最高消费水平的稳态，即黄金律稳态，是理所当然的。
但事实上任何一个经济在政策制定者确定它的稳定状态目标的时候，可能已经达到了一个非黄金律的稳态，因此政策制定者要选择黄金律的稳态，意味着必须有一种稳定状态的“变换”。
这种在稳态之间的变换很可能会对消费、投资等发生冲击和影响，这些冲击和影响是否会有什么特别的后果，是否会阻止政策制定者去尝试实现黄金律稳态，如果要使政策制定者的选择决策更符合实际，那么这些问题是必须加以讨论的。
需要考虑的有两种情况，一种情况是经济的初始稳态资本存量高于黄金律稳态，另一种是低于黄金律稳态。在这两种情况中，资本过少的第二种情况的问题更棘手。因为第一种情况实现黄金律稳态的手段是采取促进当前消费的政策，这通常阻力会较小一些，而后一种情况则迫使政策制定者必须考虑是否以减少当前消费为代价，提高储蓄率和将来的消费，因此必须对当前的消费利益和将来的消费利益进行评估和取舍。
图 3.6 资本积累的黄金率水平
f (k)
E
gc
y
0 k
δk
gk
i=sgf(k)
i=s1f(k)
i=s2f(k)
k2*
c2*
c1*
k1*
t00 t
原稳态投资 i*
原稳态消费 c*
原稳态产出 y*
我们先考虑一个经济的资本存量比它的黄金律稳定状态资本存量更多的情况。在这种情况下，政策制定者将采取降低储蓄率以降低稳态资本存量的政策。
假设政策能够成功，储蓄率将在时刻 t0 降到最终会实现黄金律稳态的水平。图 3.8反映了当储蓄率下降的时候，对产出、消费和投资分别有什么影响。
i
cy
图 3.8资本过多时降低储蓄率的影响
t0
图 3.8资本过少时降低储蓄率的影响
0 t
原稳态投资 i*
原稳态消费 c*
原稳态产出 y*
但如果一个经济从低于黄金律稳态的资本水平开始，情况就有些不同了。这时候政策制定者必须提高储蓄率以达到黄金律稳态。图 3.9表明将会发生什么情况。
最终，新的消费水平高于原来的消费水平
t
c
y
上述储蓄率变化虽然最终也能够提高人们长期的消费水平，但却并不能保证这种政策是绝对值得肯定的，一定会得到支持和能够顺利实行的。原因是虽然黄金律稳态的消费水平高于当前储蓄水平相应的稳态消费，但要通过提高储蓄率使稳定状态从当前水平调整到黄金律水平，在这种调整的开始阶段消费会下降。这与在任何时点都产生较高的消费的从高于黄金律的稳态开始的情况有很大的差别。这时候政策制定者必须在当前的消费和未来的消费之间进行选择，必须决定是否以牺牲当前的消费为代价追求将来的更多消费。
y
第三节 人口增长和技术进步
基本的索洛模型表明，高储蓄和高投资是能提高一个经济的稳定状态资本和产出水平，在原来资本水平较低 (低于黄金律稳态水平 )时也能够提高长期中的消费，并能够在该经济达到新的稳定状态之前的阶段中，促进经济增长,但资本积累本身却不能解释持续的经济增长 。因为在储蓄率及其他条件不变的情况下，投资和产出最终都会逼近一个稳定状态，
不再发生变化。
因此，要解释持续的经济增长就必须对索洛模型加以扩展。
扩展索洛模型以解释持续经济增长的方法是将基本的索洛模型中没有考虑的两个因素，即人口增长 (也意味着劳动力增加 )和技术进步引进模型。本节先把人口增长引入模型，即不再像在前两节中那样假设人口固定不变，而是 假设人口和劳动力以固定速率 n增长。
一,人口增长的影响
首先我们分析一下人口的增长对一个经济的稳态有什么影响 。
为了回答这个问题,首先分析一下人口的增长与投资和折旧一起,是如何影响人均资本积累的 。 正如早已知道的,投资会提高资本存量,而折旧则会减少它 。 现在有第三种力量也对人均资本产生影响,那就是人口或劳动力数量的增长,它会导致人均资本的下降 。
我们仍然用小写字母代表人均数量,因此 y=Y/L代表人均产出,而 k=K/L表示人均资本,但现在必须记住,这个劳动力数量 L不再是固定不变的,而是不断增长的 。 因此,现在人均资本的变化为：
△ k=i－ (δ+n) k 注
该方程表明新投资、折旧和人口增长是如何影响人均资本存量的。新投资会提高 k，同时折旧和人口增长则在降低 k 。
以前的人均资本变化公式是这个方程在人口不变，即 n＝ 0 情况下的特例。
注,I=ΔK+δK,
设,ΔK=ΔK1+ΔK2,令,K2=ΔLk
则,I=ΔK1+ΔK2+δK
=ΔK1+ ΔLk+δK
上式两边同除以 L，得,
I/L=ΔK1/L+ ΔLk/L+δK/L
i=Δk+ΔL/L× k+δk= Δk+nk+δk
Δk=i–(nk+δk)= i–(n+δ)k
△ k=i－ (δ+n) k
我们可以把 (δ+n)k项看作是一种,平衡投资,,即在存在折旧和人口增长的情况下,为了保持人均资本不变必需追加的投资 。 平衡投资包括对现有资本的折旧 δk 的弥补,还包括给新劳动力配备资本的投资,必需的数量是 nk,即 n个新劳动力每人 k单位资本 。 该方程表明人口增长在降低人均资本积累方面的影响是与资本折旧相似的,只是折旧是通过资本的折损降低 k,而人口增长则是通过资本存量在一个更大的人口中摊薄而降低 k。
用 sf(k)代替人均资本变化方程中的投资 i,则方程可以写成：
△ k=sf(k)－ (δ+n) k (3.19)
我们可以通过图 3.10来说明这种包括了人口增长因素的稳定状态 。
如果人均资本存量 k小于 k* （ 在 k*
左边 ）,新增人均 i投资大于平衡投资，因而 k会上升,y也会相应的增加；如果 k大于 k* (在 k*右边 ），
人均投资 i小于平衡投资,k就会下降,y也会相应的减少；当 k正好等于稳态水平时，新增人均投资 i
对人均资本存量的正效应，正好与人均折旧和人口增长的负效应相平衡,k将保持不变。 一旦经济处于稳态，投资只有两个目的，
一部分臵换折旧掉的资本；其余的给新劳动力提供稳态水平的人均资本。
i
0
(δ+n) k
收支相抵的投资
s f (k)=i
kk*
图 3.10 有人口增长的稳态
人口增长在三个方面改变了基本的索洛模型。
首先,它使得我们距离对持续增长的解释接近了一些。因为在有人口增长的稳态，虽然人均资本和产出不变，但由于劳动力的数量以速率 n增长，
因此总资本和总产出也会以速率 n增长，人口增长虽然不能解释生活水平意义上的持续增长，因为在稳态人均产出没有变化，但 至少能解释在总产出意义上的持续增长 。
其次,把人口增长引进索洛模型为我们提供了关于为什么有些国家富裕而另一些国家则很贫穷的一种解释。
我们用图 3.11来加以说明。如果假设两个国家在经济各方面的条件基本相同，但两国的人口增长率分别为 n1和
n2，且 n1< n2 。那么这两个国家的稳定状态人均资本将是不同的。很明显有较高人口增长率的国家的稳定状态人均资本较低，人口增长率较高国家的稳定状态人均产出也较低。就是说，
在其他条件都相同的情况下，长期中人口增长率较高的国家的人均 GDP水平较低，从而生活水平也会较低。这就说明 人口增长率的不同很可能是不同国家富裕程度差别的重要原因 。 图 3.11 人口增长对稳态的影响条件 n1< n2
i
0
(δ+n1) k
平衡投资
s f (k)=i
k?1k?2k
(δ+n2) k
平衡投资
① 人口增长率的提高,...
② 减少了稳态资本存量
①
最后,引进人口增长率会改变决定资本积累黄金律水平的公式，人均消费为,c=y－ i
把引进人口增长因素的稳态产出 f (k*),稳态投资
(δ+n) k* 代入上式，可以得到有人口增长的稳态消费为：
c*= f (k*)－ (δ+n) k*
因此，能够使稳态人均消费最大化的稳态人均资本水平 k*必须满足下式：
MPk=δ+n
也就是说，在黄金率稳定状态，资本的边际产出应该等于折旧率加上人口增长率。
二,技术进步和劳动效率
到目前为止,一直是在仅有资本和劳动两种投入要素,以及生产技术和劳动效率因素是不变的前提下进行讨论的 。 事实上,这与现实情况之间显然是有差距的,而且排斥技术进步也使得无法解释人均意义上的持续经济增长 。 现在把技术进步因素结合进索洛模型 。
为了引进技术进步,我们回到把总资本,总劳动力和总产出联系在一起的生产函数,而且,为了让技术进步在生产函数中反映出来,我们把生产函数写为,Y=F(K,L?E)
E≥1是能够反映技术进步的,劳动效率,变量 。 L?E可以看作是用,效率单位,衡量的劳动数量 。
现在,总产出就取决于资本单位数 K和劳动效率单位数 L?E两个因素 。
在有了上述铺垫以后,技术进步可以用劳动效率变量 E的增长来反映,最简单的是假设技术进步使 E以一个固定速率 g=ΔE/E增长 。 如
g=0.02,即每个单位劳动力的效率都提高 2%。
这种形式的技术进步被称为,劳 动 增 强型,(Labor augmenting),g则称为,劳动增强技术进步速率,。 由于劳动力 L以速率 n增长,
而每单位劳动力的效率 E以速率 g提高,因此劳动力效率单位数 L?E以速率 （ n+g） 增长 。
三,有技术进步的稳定状态
用对劳动的,放大,理解技术进步,技术进步的作用就与人口增长很相似了 。 我们已经讨论过在人口,即劳动力数量随时间增长时经济的稳定状态条件下,人均意义上的资本和产出增长问题 。 为了把技术进步因素考虑进来,进一步在每劳动力效率单位的意义上,在允许劳动力效率单位数量增长的情况下进行分析 。
首先对变量的代数符号进行重新安排,现在 k=K/(L?E),是每劳动力效率单位资本,而不是人均资本； y=Y/(L?E)是每劳动力效率单位的产出,而不是人均产出 。 原来意义上的 k和 y则可以看作劳动力的效率 E不变且等于 1时的特例 。 当 k和 y的意义重新定义过以后,有技术进步的生产函数就仍然可以写成：
y=f (k) (3.24)
分析的次序仍然与讨论人口增长时一样 。 现在每劳动力效率单位资本 k的变化规律为：
△ k=s f (k)－ (δ+ n+ g) k (3.25)
当我们对 k和 y重新定义过以后,引进技术进步因素,
在形式上对一个经济的稳定状态等并不会产生影响,
图 3.12与没有技术进步的图 3.10之间的差别,只是平衡投资线中多了一个因素 gk。 图 3.12表明在有技术进步时经济同样存在一个资本水平 k*,在此处资本存量具有稳定性,即这个经济的稳定状态,该稳定状态同样代表经济的长期均衡 。
i
0
(δ+ n+ g) k
平衡投资
s f (k)=i
kk*
图 3.12 有技术进步的稳态
gn
s
kf
k
kgnksf
)(
)()(
所以：
注意：由于稳态时有
但实际上图 3.12与图 3.10所对应的经济之间的差别,并不只有表面上的那么少,因为现在模型中的资本和产出都是每劳动力效率单位意义上的平均数量,而不是原来的人均数量 。
因此 在有技术进步的索洛模型中,虽然在稳定状态每效率单位的资本 k=K/(L?E)和产出
y=Y/(L?E)都不变,但人均产出 Y/L=y?E 和总产出 Y=y?E?L 却分别以 g和 n+g的速率增长 。
因此,在加进技术进步以后,索洛模型终于能够解释我们所观察到的生活水平意义上的持续增长了,即技术进步能够导致人均产出的持续增长 。
由于提高储蓄率只能实现在到达稳态之前的短期中的增长,
而不是可以长期持续的高增长率,而人口的增长则对人均意义上的增长没有意义 。 因此索洛模型表明,只有技术进步是一个经济长期持续增长的源泉,能够推动产出和生活水平的不断上升 。
引进技术进步因素同样也会改变确定黄金律稳定状态的公式 。
资本积累的黄金律水平现在是最大化每劳动力效率单位消费的水平 。 很容易证明每劳动力效率单位的稳定状态消费为：
c*= f (k*)－ (δ+n+ g) k*
因此,稳定状态消费实现最大化的条件是：
MPK=δ+n+ g
也就是说,在资本积累的黄金律水平,资本的边际净产出
MPK－ δ,应该等于总产出的增长率 (n+g)。 由于现实经济既有人口的增长,也有技术进步,因此这是判断各个国家的资本存量高于还是低于黄金律稳态水平的更加现实的标准 。
附：新古典增长模型公式的推导
nkk
N
K
N
K
n
N
K
k
k
N
K
N
nKK
k
k
K
n
K
K
N
N
K
K
k
k
k
N
K
k
ksyNK
N
KsYK
有：上式两边同除以的增长率可以写为：，于是由于有：两边同除以劳动量
/
有：同除以
，则有：假定技术进步率为合并后得：
，
N
gKnKK
k
k
K
gn
K
K
k
k
E
E
N
N
K
K
k
k
g
knsyk
nkksyk
ksynkk
nkk
N
K
ksy
N
K
)(?
)25.367.()()(
)(
公式pkgnksfk
kgnsyk
gknkksyk
ksygknkk
gknkk
N
K
N
K
g
N
K
n
N
K
k
k
N
K
第四节 经济增长理论的深化
一,索洛模型的缺陷
以索洛增长模型为代表的新古典经济增长理论是现代经济增长理论的基础 。 索格模型描述了一个完全竞争的经济,物质资本和劳动投入的增长引起产出的增长 。 新古典生产函数决定了在劳动供给不变时,资本的边际收益递减 。 这一生产函数与储蓄率不变的假设相结合,形成了一个简单的一般均衡模型 。
新古典经济增长模型的这些假设自然引出了这样一些推论,首先,当资本存量增长时,由于边际报酬递减,经济增长会减慢,最终经济增长将停止 。 在索洛模型中,稳态的人均资本存量和人均产量,决定于储蓄率,
人口增长率和生产函数等因素 。 新古典增长理论的这一结论并不符合世界各国经济增长的现实 。 在过去的 100多年间,许多国家的人均产出保持了正的增长率,增长率并没有长期下降的趋势 。 对于 16个统计数据比较完整的发达国家,经济增长率在 1970年以来确实有所下降,但是近代的经济增长率仍明显地高于 1870年以后早期的经济增长率 。 这一事实与理论的矛盾促使经济学家以假定外生的技术进步弥补基本索洛模型的缺陷 。
这种方法能用以说明长期的正的人均产出增长率,但并不能帮助新古典经济增长理论家摆脱困境,因为这意味着经济增长的主要动力来自于增长理论研究的范围之外,增长模型不能解释经济的持续增长 。
新古典经济增长理论的另一个主要结论是穷国应该比富国增长更快,因为穷国的人均资本存量较低,每单位新增投资能得到较高的报酬率 。 然而根据 118个国家在 1960— 1985年期间的统计数据,在 1960年时较穷的国家并没有显示较高的经济增长率 。 实际情况是,穷国的经济增长往往更缓慢 。
2003年世界各国（地区） GDP总值排名
（按 2004年 1月 1日汇率）
01----美国 --------10,8572亿美元
02----日本 ---------4,2907亿美元
03----德国 ---------2,3862亿美元
04----英国 ---------1,7750亿美元
05----法国 ---------1,7316亿美元
06---意大利 --------1,4554亿美元
07----中国 ---------1,3720亿美元 ★★★★★
08---加拿大 ----------8505亿美元
09---西班牙 ----------8271亿美元
10---墨西哥 ----------6116亿美元国家或地区 GDP/人 (美元 ) 数据来源
1 卢森堡 48,900 未注明的为 2002年
2 美国 36,300
3 百慕达群岛 35,200
4 开曼群岛 35,000
5 圣马利诺 34,600 2001
6 挪威 33,000
7 瑞士 32,000
8 冰岛 30,200
9 加拿大 29,300
10 爱尔兰 29,300
11 比利时 29,200
12 丹麦 28,900
13 日本 28,700
14 阿卢巴 28,000
15 奥地利 27,900
16 香港 27,200
17 荷兰 27,200
18 摩纳哥 27,000 1999
19 澳大利亚 26,900
20 德国 26,200
中国排名第 127，人均 4700美元，
印度排名第 156，人均 2600美元。
二、新经济增长理论
索洛模型在解释现实经济增长过程中之所以会出现一些问题，
关键在于模型中储蓄率、人口增长率、资本折旧率和技术进步都是外生变量。资本折旧率是外生常数容易理解，因为资本折旧速度不容易人为控制，不同经济的资本折旧率不会有明显差距。储蓄率、人口增长率和技术进步是由人们的行为决定的，也是可以通过政策等加以影响的，在不同的经济中其水平很不相同。
因此当新古典增长模型不能很好解释增长时，我们自然就会想将储蓄率、人口增长率和技术进步等重要参数作为内生变量来考虑，从而可以由模型的内部来决定经济的长期增长率，
这些模型被称作内生经济增长模型。这种以内生经济增长为主要特征的新经济增长理论的诞生，标志着现代经济增长理论进入了一个新的发展阶段。
内生增长理论要素投入的内生增长技术进步的内生增长资本 ← 储蓄率 ←
劳动家庭的跨期最优消费选择居民对生育、移民和工作时间的选择将技术进步内生化的方法：
1.报酬递增的生产函数；
2.人力资本投资；
3.干中学；
4.创新。
三、促进经济增长的政策储蓄率政策技术政策和人力资本制度变革
