2009年 7月 24日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作
(C)
1
第四章图像变换
二维正交变换
傅立叶变换
离散余弦变换
Walsh－ Hadamard(沃尔什一哈达玛）变换
Haar（哈尔）变换
斜 (slant) 变换
小波变换
卷积
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二维正交变换数字图象处理的方法主要分为两大类：一个是空间域处理法,一个是频域法 （ 或称变换域法 ） 。 在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理 。 变换理论在图像处理中起着关键作用,二维变换已被用于图像增强,图象复原,图象编码,图象描绘和图象特征抽取等方面 。
当矩阵的逆矩阵等于其复数共轭转置矩阵时,叫酉矩阵 。 即设 AM和
AN为二维酉矩阵,则变换：
Y﹦ AM× AN
称为二维酉变换 。 上式中 AM为 M× M元矩阵,AN为 N× N元矩阵 。 当酉矩阵中各元素均为实数时称为正交矩阵,这种情况下,上述变换称二维正交变换 。
二维正交变换是图象处理中一种常用的变换,其特点是变换结果能量分布向低频成分方面集中,图象上的边缘,线条等信息在高频成分上得到反映 。 基于这一特点图象在变换域上的处理得到了广泛的应用 。
本章将对几种主要的正交变换进行较详细地讨论 。
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4.1傅立叶变换傅立叶 (Fourier)变换是大家所熟知的正交变换 。 在一维信号处理中得到了广泛应用 。 把这种处理方法推广到图象处理中是很自然的事 。 本节将对付里哀变换的基本概念及算法作一些讨论 。
4.1.1定义傅立叶变换在数学中的定义是严格的 。 设 f(x)为 x的函数,如果 f(x)满足下面的狄里赫莱条件：
（ 1） 具有有限个间断点；
（ 2） 具有有限个极值点；
（ 3） 绝对可积 。
则有下列二式成立
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上面两式称为 傅立叶 变换对,其中 x为时域变量,u为频域变量 。
令?=2?u,则有
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函数 f(x)的 傅立叶 一般情况下是一个复数量,可以表示为：
写成指数形式：
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其中称 |F(ω)|为 f(x)的 傅立叶幅度 谱，而 Φ(ω)为相位谱。
4.1.2二维 傅立叶 变换傅立叶变换可推广到二维函数 。 如果二维函数 f(x,y)
满足狄里赫莱条件,那么存在下面的二维傅立叶变换对：
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类似于一维 傅立叶变换，二维傅立叶变换的幅度 谱和相位谱如下：
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4.1.3傅立叶 变换的性质傅立叶变换有许多重其要的性质,这些性质为实际应用提供了诸多便利 。 下面以二维傅立叶变换为例,介绍几个主要的性质 。
1 可分性这个性质说明 一 个 二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶变换来实现。
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2 线性傅立叶变换是线性变换,满足线性变换的叠加性：
3 共 轭 对称性如果 F(u,v)是 f(x,y)的傅立叶变换,F*(-u,-v)是傅立叶变换的共轭函数，那么
4 旋转性如果空间域函数旋转的角度为 θ 0,那么在变换域中此函数的 傅立叶变换也旋转同样的角度，即：
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5 比例变换性如果如果是的 傅立叶变换,a和 b是两个标量,那么：
6 Parseval定理这个性质也称为能量保持定理 。 如果 F(u,v)是 f(x,y)
的 傅立叶变换,那么有下式成立：
这个性质说明变换前后的能量保持不变。
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7 相关定理两个二维函数 f(x,y),g(x,y)的相关函数定义如下：
符号,ο,表示相关运算。 傅立叶变换的一个重要性质是相关定理：
式中 F(u,v)是 f(x,y)的 傅立叶变换,G(u,v)是 g(x,y)的 傅立叶变换,G*(u,v)是 G(u,v)的共 轭,g*(x,y)是 g(x,y)的共 轭,符号,·”表示乘积运算 。
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8 卷积定理两个二维函数 f(x,y),g(x,y)的卷积运算定义如下：
符号,*” 表示卷积运算。根据上面的定义,傅立叶变换的 卷积定理如下：
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4.1.4 离散 傅立叶 变换如果 x(n)为一数字序列,0≤n≤N -1,则其离散 傅立叶变换定义如下：
离散 傅立叶反 变换为：
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4.1.5 快速 傅立叶 变换 （ FFT）
1965年,库利 — 图基提出把原始的 N点序列依次分解成一系列短序列,然后求出这些短序列的离散 傅立叶 变换,以此来减少乘法运算,这就是快速 傅立叶 变换
（ Fast Fourier Transform,FFT） 。
对于一个有限长序列 {x(n)},0≤n≤N -1,其 傅立叶 变换为：
令
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傅立叶 变换对可以改写成下式：
展开正变换式可以得到如下式子：
X(0)=x(0)W00﹢ x(1)W01﹢,....,﹢ x(N-1) W0(N-1)
X(1)=x(0)W10﹢ x(1) W11﹢,....,﹢ x(N-1) W1(N-1)
......
X(N-1)=x(0) W(N-1)0 + x(1)W(N-1)1 +,.....+ x(N-1)W(N-1)(N-1)
，正变换
，反变换
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其矩阵形式为：
从上式可以看出,要得到每一个频率分量,需要进行 N次乘法和 （ N-1） 次加法运算 。 要完成整个变换需要 N2次乘法和
N(N-1)次加法运算 。 但观察可知,Wmn是以 N为周期的,也就是说,如果 K,L为任意的两个整数,则
W(m+L.N)(n+K.N)=Wmn
Wm.L.N=Wn.K.N=WL.K.N.N=1(Wm.L.N=e(-j2π m/N).L.N=e-j2π m.L=1,
Wn.K.N=e(-j2π n/N).K.N=e-j2π n.K=1)
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例：如果 N=8，其周期性如图所示：
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由于 W= e-j2π /N=cos(2?/N)-jsin(2?/N)
当 N=8 时：
WN=1,WN/2=-1,WN/4=-j,W3N/4=j。
设 x1(n)=x(2n) n=0,1,......N/2 - 1；偶序列
x2(n)=x(2n+1) n=0,1,......N/2 - 1；奇序列由此,离散 傅立叶 变换可以写成下面的形式
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因为
(证明,)
所以
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式中,X1(m) 和 X2(m)分别是 x1(n)和 x2(n)的 N/2点的 傅立叶变换 。 由于 X1(m) 和 X2(m)均是以 N/2为周期的,所以
X1(m+N/2)=X1(m)
X2(m+N/2)=X2(m)
即当 m≥N/ 2时,上式也是重复的,因此有通过上式可以看出,一个 N点的离散 傅立叶 变换可以由二个
N/2点的 傅立叶 变换得到 。 分解后,其乘法次数大为减少,
第一项为 (N/2)2,第二项为 (N/2)2+N次,总共为
2·(N/2)2+ N
次运算 。 这比 N次运算大约减少了一半 。
当 N是 2的整数次幂时,上式还可以分解成两个更短的序列,因此计算时间会更短,由此可见,利用 W 的周期性和分解运算,从而减少乘法运算次数是实现快速运算的关键 。
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上面的式子可以使用蝶式流程图表示（ N=8）：
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此蝶式流程图中,输出的每一项都用到了输入的每一项,但不是直接使用,而是通过简接共用来减少计算量 。
使用蝶式流程图表示,只是使计算有一个直观的表示,
其画法可以有不同的形式,但运算关系不变 。 对 N=8
对 N=8,不分解时计算的乘法次数为 N2=64；
如果分解一层计算的乘法次数为 2·(8/2)2+8=40
如果分解二层计算的乘法次数为 2·(2·(4/2)2+4)=24
（ 上面蝶形图中,共 24次 W的指数乘法 ）
在具体计算时,使用蝶形图提示的过程,主要是安排好顺序和相乘因子 W的指数,即迭代次数 r的确定,对偶节点的计算,加权系数 W 的计算,重新排序 等问题 。
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整个快速傅立叶变换需要的复数乘法和加法次数同
Nlog2N成正比。当 N越大时,FFT算法的优越性越显著。
DFT和 FFT算法计算量比较
N DFT计算量 FFT计算量
8 64 24
16 256 64
32 1024 160
64 4096 384
128 16384 896
256 65536 2048
512 262144 4608
1024 1048576 10240
2048 4194304 22528
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4.1.6 二维傅立叶变换
1,空间频率 若把一个一维输入信号,作一维傅立叶变换,该信号就被变换成频率域上的信号,即得到了构成该输入信号的频谱,频谱反映了该输入信号由那些频率组成 。
这是一种分析与处理一维信号的重要手段 。
图象是一种灰度在二维空间变化的信息,因此空间频谱是分析与处理二维图象信号的重要手段 。 通过二维离散傅立叶变换,可将输入图象的二维灰度分布变换为对应的二维空间频率域中的频谱 。 该谱反映了输入图象由那些空间频率所构成 。 图象处理亦可以在空间频率域中进行 。 具体做法是,将待处理的输入图象,先经二维离散傅立叶变换,
变换到空间频率域,然后在空间频率域中对该信号作必要的处理,再将处理结果作二维离散傅立叶反变换而最终得到处理后的最终输出图象 。 与空间频率域相对应,往往把灰度图象本身叫空间域 。,
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2,二维傅立叶变换对某一特定的图象,二维傅立叶变换是求该图象二维频谱的手段 。 对一幅连续图象 g(x,y)当时,由 g(x,y)求其对应的傅立叶变换 G(u,v)及由 G(u,v)
求 g(x,y)的傅立叶反变换为
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对离散情况下，二维离散傅立叶变换及其反变换分别为：
上式中 M,N分别为数字图象横向及纵向的象素数 。
k,m均取 0,1,…,M-1；
l,n均取 0,1,…,N-1；
W1=exp(-j2π /M)；
W2=exp(-j2π/N)） 。
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在图象处理中,一般总是选择方形阵列,所以通常情况下有 M=N,因此二维变换中,变换控制变量可以记为：
x,y=0,1,2,......,N-1。
式中,u和 v可以称作为空间频率 。
利用可分离性,可以使二维变换用两次一维变换来实现 。
另外,二维离散 傅立叶 变换具有平移性,即
f(x,y)·exp[j2?(u0x + v0y)/N]<=>F(u-u0,v-v0)
f(x-x0,y-y0)<=>F(u,v)exp[-j2?(u0x + v0y)/N]
周期性,F(u,v)=F(u+N,v)=F(u,v+N)=F(u+N,v+N)
共轭对称性,即,F(u,v)=F*(-u,-v)
另外,连续二维 傅立叶 变换的其它性质,离散 傅立叶 氏变换也都具有 。
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数字图象的二维离散傅立叶变换所得结果的频率成分分布示意下图所示 。 即变换 结果的左上,右上,左下,
右下四个角的周围对应于低频成分,中央部分对应于高频成分 。 为使直流成分出现在变换结果数组的中央,可采用换位方法显示,将低频分量集中在中心,依此向外推移的是高频分量,便于观察员 。
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下图为二维傅立叶变换图例。
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以 N=8为例：
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离散 傅立叶 变换分析处理图象信息有许多优点,但也存在缺点,其一是变换需要计算复数而不是实数,其二是收敛速度慢 。 因此在图象处理中,还会用到其它一些变换,
例沃尔什变换等 。
下面给出一个 8× 8图像阵列，请大家计算它的正反变换。
通过计算可以更好的理解傅立叶变换的方法和性质。
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第四章图像变换
二维正交变换
傅立叶变换
离散余弦变换
Walsh－ Hadamard(沃尔什一哈达玛）变换
Haar（哈尔）变换
斜 (slant) 变换
小波变换
卷积
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二维正交变换数字图象处理的方法主要分为两大类：一个是空间域处理法,一个是频域法 （ 或称变换域法 ） 。 在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理 。 变换理论在图像处理中起着关键作用,二维变换已被用于图像增强,图象复原,图象编码,图象描绘和图象特征抽取等方面 。
当矩阵的逆矩阵等于其复数共轭转置矩阵时,叫酉矩阵 。 即设 AM和
AN为二维酉矩阵,则变换：
Y﹦ AM× AN
称为二维酉变换 。 上式中 AM为 M× M元矩阵,AN为 N× N元矩阵 。 当酉矩阵中各元素均为实数时称为正交矩阵,这种情况下,上述变换称二维正交变换 。
二维正交变换是图象处理中一种常用的变换,其特点是变换结果能量分布向低频成分方面集中,图象上的边缘,线条等信息在高频成分上得到反映 。 基于这一特点图象在变换域上的处理得到了广泛的应用 。
本章将对几种主要的正交变换进行较详细地讨论 。
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4.1傅立叶变换傅立叶 (Fourier)变换是大家所熟知的正交变换 。 在一维信号处理中得到了广泛应用 。 把这种处理方法推广到图象处理中是很自然的事 。 本节将对付里哀变换的基本概念及算法作一些讨论 。
4.1.1定义傅立叶变换在数学中的定义是严格的 。 设 f(x)为 x的函数,如果 f(x)满足下面的狄里赫莱条件：
（ 1） 具有有限个间断点；
（ 2） 具有有限个极值点；
（ 3） 绝对可积 。
则有下列二式成立
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4
上面两式称为 傅立叶 变换对,其中 x为时域变量,u为频域变量 。
令?=2?u,则有
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函数 f(x)的 傅立叶 一般情况下是一个复数量,可以表示为：
写成指数形式：
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6
其中称 |F(ω)|为 f(x)的 傅立叶幅度 谱，而 Φ(ω)为相位谱。
4.1.2二维 傅立叶 变换傅立叶变换可推广到二维函数 。 如果二维函数 f(x,y)
满足狄里赫莱条件,那么存在下面的二维傅立叶变换对：
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类似于一维 傅立叶变换，二维傅立叶变换的幅度 谱和相位谱如下：
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8
4.1.3傅立叶 变换的性质傅立叶变换有许多重其要的性质,这些性质为实际应用提供了诸多便利 。 下面以二维傅立叶变换为例,介绍几个主要的性质 。
1 可分性这个性质说明 一 个 二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶变换来实现。
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2 线性傅立叶变换是线性变换,满足线性变换的叠加性：
3 共 轭 对称性如果 F(u,v)是 f(x,y)的傅立叶变换,F*(-u,-v)是傅立叶变换的共轭函数，那么
4 旋转性如果空间域函数旋转的角度为 θ 0,那么在变换域中此函数的 傅立叶变换也旋转同样的角度，即：
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5 比例变换性如果如果是的 傅立叶变换,a和 b是两个标量,那么：
6 Parseval定理这个性质也称为能量保持定理 。 如果 F(u,v)是 f(x,y)
的 傅立叶变换,那么有下式成立：
这个性质说明变换前后的能量保持不变。
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7 相关定理两个二维函数 f(x,y),g(x,y)的相关函数定义如下：
符号,ο,表示相关运算。 傅立叶变换的一个重要性质是相关定理：
式中 F(u,v)是 f(x,y)的 傅立叶变换,G(u,v)是 g(x,y)的 傅立叶变换,G*(u,v)是 G(u,v)的共 轭,g*(x,y)是 g(x,y)的共 轭,符号,·”表示乘积运算 。
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8 卷积定理两个二维函数 f(x,y),g(x,y)的卷积运算定义如下：
符号,*” 表示卷积运算。根据上面的定义,傅立叶变换的 卷积定理如下：
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4.1.4 离散 傅立叶 变换如果 x(n)为一数字序列,0≤n≤N -1,则其离散 傅立叶变换定义如下：
离散 傅立叶反 变换为：
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4.1.5 快速 傅立叶 变换 （ FFT）
1965年,库利 — 图基提出把原始的 N点序列依次分解成一系列短序列,然后求出这些短序列的离散 傅立叶 变换,以此来减少乘法运算,这就是快速 傅立叶 变换
（ Fast Fourier Transform,FFT） 。
对于一个有限长序列 {x(n)},0≤n≤N -1,其 傅立叶 变换为：
令
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傅立叶 变换对可以改写成下式：
展开正变换式可以得到如下式子：
X(0)=x(0)W00﹢ x(1)W01﹢,....,﹢ x(N-1) W0(N-1)
X(1)=x(0)W10﹢ x(1) W11﹢,....,﹢ x(N-1) W1(N-1)
......
X(N-1)=x(0) W(N-1)0 + x(1)W(N-1)1 +,.....+ x(N-1)W(N-1)(N-1)
，正变换
，反变换
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其矩阵形式为：
从上式可以看出,要得到每一个频率分量,需要进行 N次乘法和 （ N-1） 次加法运算 。 要完成整个变换需要 N2次乘法和
N(N-1)次加法运算 。 但观察可知,Wmn是以 N为周期的,也就是说,如果 K,L为任意的两个整数,则
W(m+L.N)(n+K.N)=Wmn
Wm.L.N=Wn.K.N=WL.K.N.N=1(Wm.L.N=e(-j2π m/N).L.N=e-j2π m.L=1,
Wn.K.N=e(-j2π n/N).K.N=e-j2π n.K=1)
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例：如果 N=8，其周期性如图所示：
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由于 W= e-j2π /N=cos(2?/N)-jsin(2?/N)
当 N=8 时：
WN=1,WN/2=-1,WN/4=-j,W3N/4=j。
设 x1(n)=x(2n) n=0,1,......N/2 - 1；偶序列
x2(n)=x(2n+1) n=0,1,......N/2 - 1；奇序列由此,离散 傅立叶 变换可以写成下面的形式
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(证明,)
所以
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式中,X1(m) 和 X2(m)分别是 x1(n)和 x2(n)的 N/2点的 傅立叶变换 。 由于 X1(m) 和 X2(m)均是以 N/2为周期的,所以
X1(m+N/2)=X1(m)
X2(m+N/2)=X2(m)
即当 m≥N/ 2时,上式也是重复的,因此有通过上式可以看出,一个 N点的离散 傅立叶 变换可以由二个
N/2点的 傅立叶 变换得到 。 分解后,其乘法次数大为减少,
第一项为 (N/2)2,第二项为 (N/2)2+N次,总共为
2·(N/2)2+ N
次运算 。 这比 N次运算大约减少了一半 。
当 N是 2的整数次幂时,上式还可以分解成两个更短的序列,因此计算时间会更短,由此可见,利用 W 的周期性和分解运算,从而减少乘法运算次数是实现快速运算的关键 。
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上面的式子可以使用蝶式流程图表示（ N=8）：
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此蝶式流程图中,输出的每一项都用到了输入的每一项,但不是直接使用,而是通过简接共用来减少计算量 。
使用蝶式流程图表示,只是使计算有一个直观的表示,
其画法可以有不同的形式,但运算关系不变 。 对 N=8
对 N=8,不分解时计算的乘法次数为 N2=64；
如果分解一层计算的乘法次数为 2·(8/2)2+8=40
如果分解二层计算的乘法次数为 2·(2·(4/2)2+4)=24
（ 上面蝶形图中,共 24次 W的指数乘法 ）
在具体计算时,使用蝶形图提示的过程,主要是安排好顺序和相乘因子 W的指数,即迭代次数 r的确定,对偶节点的计算,加权系数 W 的计算,重新排序 等问题 。
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整个快速傅立叶变换需要的复数乘法和加法次数同
Nlog2N成正比。当 N越大时,FFT算法的优越性越显著。
DFT和 FFT算法计算量比较
N DFT计算量 FFT计算量
8 64 24
16 256 64
32 1024 160
64 4096 384
128 16384 896
256 65536 2048
512 262144 4608
1024 1048576 10240
2048 4194304 22528
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4.1.6 二维傅立叶变换
1,空间频率 若把一个一维输入信号,作一维傅立叶变换,该信号就被变换成频率域上的信号,即得到了构成该输入信号的频谱,频谱反映了该输入信号由那些频率组成 。
这是一种分析与处理一维信号的重要手段 。
图象是一种灰度在二维空间变化的信息,因此空间频谱是分析与处理二维图象信号的重要手段 。 通过二维离散傅立叶变换,可将输入图象的二维灰度分布变换为对应的二维空间频率域中的频谱 。 该谱反映了输入图象由那些空间频率所构成 。 图象处理亦可以在空间频率域中进行 。 具体做法是,将待处理的输入图象,先经二维离散傅立叶变换,
变换到空间频率域,然后在空间频率域中对该信号作必要的处理,再将处理结果作二维离散傅立叶反变换而最终得到处理后的最终输出图象 。 与空间频率域相对应,往往把灰度图象本身叫空间域 。,
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2,二维傅立叶变换对某一特定的图象,二维傅立叶变换是求该图象二维频谱的手段 。 对一幅连续图象 g(x,y)当时,由 g(x,y)求其对应的傅立叶变换 G(u,v)及由 G(u,v)
求 g(x,y)的傅立叶反变换为
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对离散情况下，二维离散傅立叶变换及其反变换分别为：
上式中 M,N分别为数字图象横向及纵向的象素数 。
k,m均取 0,1,…,M-1；
l,n均取 0,1,…,N-1；
W1=exp(-j2π /M)；
W2=exp(-j2π/N)） 。
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在图象处理中,一般总是选择方形阵列,所以通常情况下有 M=N,因此二维变换中,变换控制变量可以记为：
x,y=0,1,2,......,N-1。
式中,u和 v可以称作为空间频率 。
利用可分离性,可以使二维变换用两次一维变换来实现 。
另外,二维离散 傅立叶 变换具有平移性,即
f(x,y)·exp[j2?(u0x + v0y)/N]<=>F(u-u0,v-v0)
f(x-x0,y-y0)<=>F(u,v)exp[-j2?(u0x + v0y)/N]
周期性,F(u,v)=F(u+N,v)=F(u,v+N)=F(u+N,v+N)
共轭对称性,即,F(u,v)=F*(-u,-v)
另外,连续二维 傅立叶 变换的其它性质,离散 傅立叶 氏变换也都具有 。
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数字图象的二维离散傅立叶变换所得结果的频率成分分布示意下图所示 。 即变换 结果的左上,右上,左下,
右下四个角的周围对应于低频成分,中央部分对应于高频成分 。 为使直流成分出现在变换结果数组的中央,可采用换位方法显示,将低频分量集中在中心,依此向外推移的是高频分量,便于观察员 。
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下图为二维傅立叶变换图例。
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以 N=8为例：
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离散 傅立叶 变换分析处理图象信息有许多优点,但也存在缺点,其一是变换需要计算复数而不是实数,其二是收敛速度慢 。 因此在图象处理中,还会用到其它一些变换,
例沃尔什变换等 。
下面给出一个 8× 8图像阵列，请大家计算它的正反变换。
通过计算可以更好的理解傅立叶变换的方法和性质。
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