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第五章 图像增强
用直方图修改技术进行图像增强
图像点处理
图像平滑处理
图像尖锐化处理
卷积方法
彩色图像处理
图像几何处理
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图像增强是图像处理的基本内容之一。图像增强是指按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时，削弱或去除某些不需要的信息。这类处理是为了某种应用目的去改善图像质量，处理的结果更适合于人的视觉特性或机器识别系统。增强处理并不能增加原始图像的信息，而只能增强对某种信息的辨识能力，并且这种处理有可能损失一些其它信息。
图像增强技术主要包括直方图处理,图像点处理,图像平滑处理、图像锐化处理、伪彩色技术及图像几何处理等。
图像增强处理技术基本上可以分成两大类，一类是频域处方法，一类是空域处理方法。
频域处理方法的基础是卷积定理，它采用修改图像富里叶变换的方法实现对图像的增强处理。
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设处理系统的冲激响应是 h(x,y),那么处理过程可以由下式表示：
g(x,y) = h(x,y)*f(x,y)
在频域里，卷积可以转换为乘积关系，即
G(u,v) = H(u,v)·F(u,v)
式中,H(u,v)为传递函数。
g(x,y) = F[H(u,v)·F(u,v)]
得到的 g(x,y)比 f(x,y)在某些特性方面更加鲜明,突出,
因而更加易于识别和解释 。 例如,可以强调图像中的低频分量使图像得到平滑,也可以强调图像中的高频分量使图像的边缘得到增强等等 。 以上就是频域处理法的基本原理 。
空域法是直接对图像中的像素进行处理,基本上是以灰度映射变换为基础的,所用的映射变换取决于增强的目的 。
例如增加图像的对比度,改善图像的灰度层次等处理均属空域法处理 。
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应该指出的是增强后的图像质量好坏主要靠人的视觉来评定，而视觉评定是一种主观处理。因此，为了一种特定的用途而采用的一种特定的处理方法，得到一幅特定的图像，对其质量的评价方法和准则也是特定的，所以，很难对各种处理定出一个通用的标准。因此说，图像增强没有通用理论。
5.1 用直方图修改技术进行图像增强
5.1.1直方图对一幅数字图像，若对应于每－灰度值，统计出具有该灰度值的象素数，并据此绘出象素数 -灰度值图形，则该图形称该图像的灰度直方图，简称直方图。直方图是以灰度值作横坐标，象素数作纵坐标。有时直方图亦采用某一灰度值的象素数占全图总象素数的百分比（即某一灰度值出现的频数）作为纵坐标。
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5.1.2直方图的性质
1,直方图是一幅图像中各象素灰度值出现次数 （ 或频数 ） 的统计结果,它只反映该图像中不同灰度值出现的次数 （ 或频数 〕,而未反映每一灰度值象素所在位置 。 也就是说,它只包含了该图像中某一灰度值的象素出现的概率,
而丢失了其所在位置的信息 。
2,任一幅图像,都能唯一地算出一幅与它对应的直方图,但不同的图像,可能有相同的直方图 。 也就说,图像与直方图之间是一种多对一的映射关系 。
3,由于直方图是对具有相同灰度值的象素统计计数得到的,因此,一幅图像各子区的直方图之和就等于该图全图的直方图 。
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5.1.3 用直方图修改图像设变量 r代表图像中像素灰度级,在图像中,像素的灰度级可作归一化处理,这样 r的值将限定在下述范围之内：
0≤r≤ 1
在灰度级中,r=0代表黑,r=1代表白 。 对于一幅给定的图像来说,每一个像素取得 [0,1]区间内的灰度级是随机的,
也就是说,是一个随机变量 。
在离散的形式下,用 rk代表离散灰度级,用 P(rk)代表概率密度函数,并且有下式成立：
式中 nk为图像中出现 rk这种灰度的像素数,n是图像中像素总数,nk/n就是概率论中的频数,l是灰度级的总数目 。 在直角坐标系中作出 rk与 P(rk)的关系图形,就得到直方图,下图为两个例子 。
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从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度分布特性。
例如，从上图中的（ a）和（ b）两个灰度密度分布函数中可以以看出：（ a）的大多数像素灰度值取在较暗的区域，所以这幅图像肯定较暗，一般在摄影过程中曝光过强就会造成这种结果；而（ b）图像的像素灰度值集中在亮区，因此，图像（ b）的特性将偏亮，一般在摄影中曝光太弱将导致这种结果。当然，从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均不理想。
图（ a） 图（ b）
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为了改善图像质量，可以对灰度分布进行变换改变，
其中一种方法称为直方图均衡化处理。
直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的直方图修正法 。 假定变换函数为式中 ω 是积分变量,而 T(r)就是 r的累积分布函数 。 这里,
累积分布函数是 r的函数,并且单调地从 0增加到 1,所以这个变换函数满足 T(r)在 0≤r≤ 1内单值单调增加 。 可以证明,
用 r的累积分布函数作为变换函数可产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像 。 其结果扩展了像素取值的动态范围 。 通常把为得到均匀直方图的图像增强技术叫做直方图均衡化处理或直方图线性化处理 。
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用离散形式表示累积分布函数为：
其反变换为：
例如假定有一幅像素数为 64× 64，灰度级为 8级的图像、其灰度级分布如表所示：
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r k n k P r (r k )=n k /n
r 0 =0 790 0.19
r 1 =1 1023 0.25
r 2 =2 850 0.21
r 3 =3 656 0.16
r 4 =4 329 0.08
r 5 =5 245 0.06
r 6 =6 122 0.03
r 7 =7 81 0.02
其灰度级直方图如下图 (a)所示
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对其进行均衡化处理，其过程如下：
以此类推
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变换函数如图 (b)所示。这里对图像只取 8个等间隔的灰度级，变换后的 s值也只能选择最靠近的一个灰度级的值。
因此，对上述计算值加以修正：
由上述数值可见，新图像将只有 5个不同的灰度级别，可以重新定义一个符号：
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因为,r0经变换得 s0=1/7，所以有 790个像素取 s0这个灰度值，
r1映射到 s1=3/7，所以有 1023个像素取 s1=3/7这一灰度值，以此类推，有 850个像素取 s2=5/7这一灰度值。但是，因为囕 r3和 r4均映射到 s3=6/7这一灰度级，所以有 656＋ 329=985个像素取这个值。
同样，有 245＋ 122＋ 81=448个像素取 s4=l这个新灰度值。用
n=4096来除上述这些 nk，值便可得到新的直方图。新直方图如图
（ c）所示。
由上面的例子可见,利用累积分布函数作为灰度变换函数,
经变换后得到的新灰度的直方图虽然不很平坦,但毕竟比原始图像的直方图平坦得多,而且其动态范围也大大地扩展了 。 因此这种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的 。
因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象，由于简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少的，这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡只是近似的。
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产生简并现象的根源是利用变换公式求新灰度时，所得到的 sk往往不是允许的灰度值，这时就要采用舍入的方法求近似值，以便用与它最接近的允许灰度来代替它。在舍入的过程中，一些相邻的 sk值变成了相同的值，这就发生了简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数。比如，通常用
8bit来代表一个像素，而现在用 12bit来表示一个像素，这样就可减少简并现象发生的机会，从而减少灰度层次的损失。
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5.2 图像点处理点处理是一种最基本的图像处理操作 。 在所有图像处理操作中它是一种简单而有效的处理方法 。 它既可单独使用,也可和其它算法组合使用 。
点处理算法是指仅根据图像中象素的原值 （ 有时还要考虑该象素在图像中的位置 ） 按一定的规则 （ 或变换 ） 来确定其新值的一种算法,也就是说,单个象素的新值仅仅依赖于该象素原值的大小 。
由于象素原值与新值之间算法上的这种联系,点处理算法一般是可逆的 。 点处理算法一般采取逐点扫描图像象素的方式来完成各象素的变换处理 。 由于点处理变换是一种仅仅依赖于象素原值的变换,
所以这种变换过程可以借助于查找表来快速实现 。 如果点处理算法中还要考虑象素的位置,则除了查找表外还要用到计算公式 。 一般来讲,点处理算法并不改变一幅图像中各象素之间的空间关系,正因为如此,点处理算法不能用于修饰图像中所包含的细节 。
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5.2.1 查找表查找表是一个很简便的处理方法 。 由于这个特点,许多图像采集设备的制造厂商都以硬件的方式提供查找表 。 硬件查找表最大限度地提高了图像处理算法的速度 。 也可以以数组的形式来实现查找表 。 这种软件实现查找表的方法取决于数组的存取速度 。
软件实现的查找表是以输入象素的值作为数组的索引,返回的新值作为该象素的输出值 。 当然,事先要根据图像处理所需的变换对查找表的数组进行赋值 。 对硬件实现的查找表来说,可以在 RAM中单独分出一部分作为查找表,输入象素的值作为 RAM的地址,RAM中相应单元的值作为输出象素值 。 同样,事先必须根据所要进行的变换对 RAM各单元赋值 。
数组中字节的位置与输入象素值相对应,以象素值作为查找表素引,
查找表相应位置处的值即是象素的输出值 。 处理之前必须根据相应的变换关系对查找表作初始化 。 否则,就不能保证该查找表的输出／输入值关系符合要求 。 对查找表进行初始化的一种最简单的方法就是,分别将查找表数组的下标值赋给相应的查找表数组的元素,即查找表数组的第 0
个元素赋值为 0,第 1个元素赋值 1,一直到最大的元素赋值为最大值 。
使用按这种方法初始化的查找表,其输入数据和输出数据是一样的 。
换言之,对数据进行的变换是线性的 。
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5.2.2 灰度的线性变换灰度的线性变换就是将图像中所有的点的灰度按照线性灰度变换函数进行变换,该线性灰度变换函数 f(x)是一个一维线性函数：
f(x)=ax+b
灰度变换方程为：
I’=a× I+b
式中参数 a为线性函数的斜率,b为线性函数在 y轴的截距,I表示输入图像的灰度,I’表示输出图像的灰度 。 当 a＞ 1时,输出图像的对比度将增大；当 a＜ 1时,输出图像的对比度将减小；当 a=1且 b≠O 时,操作仅使所有像累的灰度值上移或下移,其效果是使整个图像更暗或更亮；
特殊情况下,当 a=1,b=0时,输出图像和输入图像相同 。 当 a=-1，
b=255时,输出图像的灰度正好反转 。
图像亮度调整示例
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5.2.3图像亮度反置图像亮度反置有点象根据照片制作负片,是一种很简单的点处理技术 。 用这种方法对图像进行处理后,图像亮的部分变暗,暗的部分变亮,较亮的部分变成较暗,较暗的部分变成较亮 。 其处理方法是,
用可能的最大象素值减去象素的值作为该象素的新值 (绝对值 )。 图像中最暗的部分,其象素值为 0,处理后变成最亮的部分,其象素值为
255。 反之,图像中最亮的部分经变换后反置最暗的部分 。
反置处理可以给定一个 阈值,以限定只对那些大于等于该阈值的象素反置 。 如果阈值为 0,则对所有象素反置,这一点很有用 。 例如,当需要去掉图像中较亮的部分 （ 将该部分图像变暗 ） 以便突出图像中其它细节时,采用给定阈值进行亮度反置的方法是很有效的 。 反之,当需要查看图像中较亮部分的细节时,可对整幅图像进行亮度反置 。 这是因为人的眼睛分辨较暗区域图像的能力要强于分辨较亮区域图像的能力 。
图像亮度反置示例
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5.2.4 灰度的阈值变换灰度的阈值变换可以将一幅灰度图像转换成黑白二值图像 。 它的操作过程是先指定一个阈值,如果图像中某像素的灰度值小于该阈值,则将该像素的灰度值设置为 0,否则灰度值设置为 255。
灰度阈值变换的变换函数表达式如下：
其中 T为指定的阈值 。
图像阈值化示例
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5.2.5 灰度的窗口变换灰度的窗口变换也是一种常见的运算 。 它的操作和阈值变换相类似 。 它限定一个窗口范围,该窗口中的灰度值保持不变；
小于该窗口下限的灰度值直接设置为 0,大于该窗口上限的灰度值直接设置为 255。 灰度窗口变换的变换函数表达式如下 。
式中 L1表示窗口的下限,L2表示窗口的上限 。
灰度窗口变换非常实用 。 例如：一幅图像的背景是浅色,图像上的物体是深色,则直方图上的第一个峰值表示物体,第二个峰值表示背景 。 设双峰之间的谷底在 T处,当该图像进行窗口变换时,窗口上限取值为 T下限为 0,变换后的结果将有效的消除图像的背景 。
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5.2.6 灰度拉伸灰度拉伸和灰度的线性变换有点类似,都用到了灰度的线性变换 。 但不同之处在于灰度拉伸不是完全的线性变换,而是分段进行线性变换 。 它的灰度变换函数如图所示,函数表达式如下：
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式中 (x1,y1)和 (x2,y2)是两个转折点的坐标 。 灰度拉伸可以更加灵活的控制输出灰度直方图的分布,它可以有选择的拉伸某段灰度区间以改善输出图像 。 下图所示的变换函数的运算结果是将原图在 x1和 x2之间的灰度拉伸到 y1和 y2之间 。 如果一幅图像灰度集中在较暗的区域而导致图像偏暗,可以用灰度拉伸功能来拉伸 （ 斜率
＞ l） 物体灰度区间以改善图像；同样如果图像灰度集中在较亮的区域而导致图像偏亮,也可以用灰度拉伸功能来压缩 （ 斜率＜ 1）
物体灰度区间以改善图像质量 。
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图像灰度拉伸示例
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5.3 图像平滑化处理一幅图像可能存在着各种寄生效应，这些寄生效应可能在传输中产生，也可能在量化等处理过程中产生。较好的平滑处理方法应该能够消除这些寄生效应，又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊。图像的平滑处理方法也分为空域方法和时域方法两大类。主要有邻域平均法，低通滤波方法和多图像平均方法等。
5.2.1邻域平均法邻域平均法是简单的空域处理方法 。 这种方法的基本思想是用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度 。 假定有一幅 N× N个像素的图像
f(x,y）,平滑处理后得到一幅图像 g(x,y） 。 g(x,y)由下式决定：
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式中 x,y=0,1,2,…,N-1,S是 (x,y)点邻域中点的集合,但其中不包括 (x,y)点,M是集合内坐标点的总数 。 上式说明,平滑化的图像 g(x,y)中的每个像素的灰度值均由包含在 (x,y)的预定邻域中的 f(x,y)的几个像素的灰度值的平均值来决定 。 例如,可以以 (x,y)点为中心,取单位距离构成一个邻域,其中点的坐标集合为
S={(x,y+1),(x,y-l),(x+1,y),(x-1,y)}
下图给出了两种从图像阵列中选取邻域的方法 。 图 （ a）
的方法是一个点的邻域,定义为以该点为中心的一个圆的内部或边界上的点的集合 。 图中选取点的灰度值就是圆周上 4个像素灰度值的平均值 。 图 （ b） 是选择圆的边界上的点和在圆内的点为 S的集合 。
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处理结果表明,上述选择邻域的方法对抑制噪声是有效的,
但是随着邻域的加大,图像的模糊程度也愈加严重 。 为克服这一缺点,可以采用阈值法减少由于邻域平均所产生的模糊效应 。 其基本方法由下式决定：
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式中 T就是规定的非负阈值 。 这个表达式的物理概念是：当一些点和它的邻域内的点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值 T时,就仍然保留其原灰度值不变,如果大于阈值 T时就用它们的平均值来代替该点的灰度值 。 这样就可以大大减少模糊的程度 。
5.2.2低通滤波法这种方法是一种频域处理法 。 在分析图像信号的频率特性时,一幅图像的边缘,跳跃部分以及颗粒噪声代表图像信号的高频分量,而大面积的背景区则代表图像信号的低频分量 。 用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声,使图像得到平滑 。
图像平滑处理示例
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由卷积定理可知,
G(u,v)=H(u,v)·F(u,v)
其中 F(u,v)是含有噪声的图像的傅里叶变换,G(u,v)是平滑处理后的图像之傅里叶变换,H(u,v)是传递函数 。 选择传递函数 H(u,v),使 F(u,v)的高频分量得到衰减,得到
G(u,v)后再经反傅里叶变换就可以得到所希望的平滑图像
g(x,y)。 根据前面的分析,显然 H(u,v)应该具有低通滤波特性,所以这种方法被称之为低通滤波法平滑化处理 。 低通滤波平滑化处理流程如下图所示 。
常用的低通滤波器有下面几种,
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1,理想低通滤波器一个理想的二维低通滤波器的传递函数由下式表示：
(5-2-1)
式中 D0是一个规定的非负的量,叫做理想低通滤波器的截止频率 。 D(u,v)是从频率域的原点到 (u,v)点的距离,即,
D(u,v)=[u﹢ v]
H(u,v)对 u,v来说是一幅三维图形 。 H(u,v)特性如下图所示 。
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所谓理想低通滤波器,是指以截频 D0为半径的圆内的所有频率都能无损地通过,而在截频之外的频率分量完全被衰减 。 理想低通滤波器可以用计算机模拟实现,但却不能用电子元器件来实现 。
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理想低通滤波器平滑处理的概念是清晰的,但在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象 。 这种现象正是由于傅里叶变换的性质决定的 。 因为滤波过程是由式 （ 5-2-1） 描述的,由卷积定理可知在空域中则是一种卷积关系,即
g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)
式中 g(x,y),h(x,y),f(x,y)分别是 G(u,v)，
H(u,v),F(u,v)的傅里叶反变换 。 既然 H(u,v)是理想的矩形特性,那么它的反变换 h(x,y)的特性必然会产生无限的振铃特性 。 经与 f(x,y)卷积后则给
g(x,y)带来模糊和振铃现象,D0越小这种现象越严重,当然,其平滑效果也就较差 。 这是理想低通不可克服的弱点 。
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2,Butterworth低通滤波器一个 n阶 Butterworth低通滤波器的传递函数由下式表示：
(5-2-2)
式中 D0为截止频率,D(u,v)的值由下式决定：
D(u,v)=[u﹢ v] 1/2
Butterworth低通滤波器又称最大平坦滤波器 。 它与理想低通滤波器不同,它的通带与阻带之间没有明显的不连续性 。 也就是说,在通带和阻带之间有一个平滑的过渡带 。 通常把 H(u,v)下降到某一值的那一点定为截止频率 D0。
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在式 (5-2-2)中是把 H(u,v)下降到原来值的 1/2时的 D(u,v)
定为截频点 D0。一般情况下常采用下降到 H(u,v)最大值的
1/21/2那一点为截频点。这样，式 (5-2-2)可修改为式 (5-2-3)
的形式：
(5-2-3)
Butterworth低通滤波器 H(u,v)的如下图所示 。
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与理想低通滤波器的处理结果相比，经 Butterworth滤波器处理过的图像模糊程度会大大减少。因为它的 H(u,v)不是陡峭的截止特性，它的尾部会包含有大量的高频成份。另外，经 Butterworth低通滤波器处理的图像将不会有振铃现象。这是由于在滤波器的通带和阻带之间有一平滑过渡的缘故。另外，由于图像信号本身的特性，在卷积过程中的折迭误差也可以忽略掉。由此可知,Butterworth 低通滤波器的处理结果比理想滤波器为好。
3,指数低通滤波器在图像处理中常用的另一种平滑滤波器是指数低通滤波器 。
它的传递函数如下式表示：
(5-2-4)
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式中 D0为截止频率,D(u,v)的值由下式决定：
D(u,v)=[u﹢ v]
式中的 n是决定衰减率的系数 。 从式 (5-2-4)可见,如果 D(u,v)= D0,则
H(u,v)=1/e
如果仍然把截止频率定在 H(u,v)最大值的 1/21/2处,那么,公式可作如下修改：
指数低通滤波器传递函数图如下图所示 。
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由于指教低通滤波器有更快的衰减率,所以,经指数低通滤波的图像比 Butterworth低通滤波器处理的图像稍模糊一些 。 由于指数低通滤波器的传递函数也有较平滑的过渡带,所以图像中也没有振铃现象 。
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4.梯形低通滤波器梯形低通滤波器传递函数的形状介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波器之间 。 它的传递函数由下式表示：
其中 D(u,v)=[u﹢ v],在规定 D0和 D1时要满足 D0＜ D1的条件 。 一般为了方便,把传递函数的第一个转折点 D0
定义为截止频率,第二个变量 D1可以任意选取,只要
D1大 D0就可以 。 梯形低通滤波器传递函数的示意图如下图所示 。
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由于梯形滤波器的传递函数特性介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带滤波器之间,所以其处理效果也介于其两者中间 。 梯形滤波法的结果有一定的振铃现象 。
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用低通滤波器进行平滑处理可以使噪声伪轮廓等寄生效应减低到不显眼的程度,但是由于低通滤波器对噪声等寄生成份滤除的同时,对有用高频成份也滤除,因此,这种去噪声的美化处理是以牺牲清晰度为代价而换取的 。
5.2.3多图像平均法如果一幅图像包含有加性噪声,这些噪声对于每个坐标点是不相关的,并且其平均值为零,在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目的 。
设 g(x,y)为有噪声图像,n(x,y)为噪声,
f(x,y)为原始图像,可用下式表示：
g(x,y)= f(x,y)+ n(x,y)
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多图像平均法是把一系列有噪声的图像培 { g(x,y)}
迭加起来,然后再取平均值以达到平滑的目的 。 具体做法如下：
取 M幅内容相同但含有不同噪声的图像,将它们迭加起来,然后作平均计算,如下式所示：
由此得出：
（ 5-2-5）
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由上二式可见,M增加则像素值的方差就减小,这说明由于平均的结果使得由噪声造成的像素灰度值的偏差变小 。 从式 （ 5-2-5） 中可以看出,当作平均处理的噪声图像数目增加时,其统计平均值就越接近原始无噪声图像 。 这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来,以便使相应的像素能正确地对应排列 。
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第五章 图像增强
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图像增强是图像处理的基本内容之一。图像增强是指按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时，削弱或去除某些不需要的信息。这类处理是为了某种应用目的去改善图像质量，处理的结果更适合于人的视觉特性或机器识别系统。增强处理并不能增加原始图像的信息，而只能增强对某种信息的辨识能力，并且这种处理有可能损失一些其它信息。
图像增强技术主要包括直方图处理,图像点处理,图像平滑处理、图像锐化处理、伪彩色技术及图像几何处理等。
图像增强处理技术基本上可以分成两大类，一类是频域处方法，一类是空域处理方法。
频域处理方法的基础是卷积定理，它采用修改图像富里叶变换的方法实现对图像的增强处理。
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设处理系统的冲激响应是 h(x,y),那么处理过程可以由下式表示：
g(x,y) = h(x,y)*f(x,y)
在频域里，卷积可以转换为乘积关系，即
G(u,v) = H(u,v)·F(u,v)
式中,H(u,v)为传递函数。
g(x,y) = F[H(u,v)·F(u,v)]
得到的 g(x,y)比 f(x,y)在某些特性方面更加鲜明,突出,
因而更加易于识别和解释 。 例如,可以强调图像中的低频分量使图像得到平滑,也可以强调图像中的高频分量使图像的边缘得到增强等等 。 以上就是频域处理法的基本原理 。
空域法是直接对图像中的像素进行处理,基本上是以灰度映射变换为基础的,所用的映射变换取决于增强的目的 。
例如增加图像的对比度,改善图像的灰度层次等处理均属空域法处理 。
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应该指出的是增强后的图像质量好坏主要靠人的视觉来评定，而视觉评定是一种主观处理。因此，为了一种特定的用途而采用的一种特定的处理方法，得到一幅特定的图像，对其质量的评价方法和准则也是特定的，所以，很难对各种处理定出一个通用的标准。因此说，图像增强没有通用理论。
5.1 用直方图修改技术进行图像增强
5.1.1直方图对一幅数字图像，若对应于每－灰度值，统计出具有该灰度值的象素数，并据此绘出象素数 -灰度值图形，则该图形称该图像的灰度直方图，简称直方图。直方图是以灰度值作横坐标，象素数作纵坐标。有时直方图亦采用某一灰度值的象素数占全图总象素数的百分比（即某一灰度值出现的频数）作为纵坐标。
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5.1.2直方图的性质
1,直方图是一幅图像中各象素灰度值出现次数 （ 或频数 ） 的统计结果,它只反映该图像中不同灰度值出现的次数 （ 或频数 〕,而未反映每一灰度值象素所在位置 。 也就是说,它只包含了该图像中某一灰度值的象素出现的概率,
而丢失了其所在位置的信息 。
2,任一幅图像,都能唯一地算出一幅与它对应的直方图,但不同的图像,可能有相同的直方图 。 也就说,图像与直方图之间是一种多对一的映射关系 。
3,由于直方图是对具有相同灰度值的象素统计计数得到的,因此,一幅图像各子区的直方图之和就等于该图全图的直方图 。
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5.1.3 用直方图修改图像设变量 r代表图像中像素灰度级,在图像中,像素的灰度级可作归一化处理,这样 r的值将限定在下述范围之内：
0≤r≤ 1
在灰度级中,r=0代表黑,r=1代表白 。 对于一幅给定的图像来说,每一个像素取得 [0,1]区间内的灰度级是随机的,
也就是说,是一个随机变量 。
在离散的形式下,用 rk代表离散灰度级,用 P(rk)代表概率密度函数,并且有下式成立：
式中 nk为图像中出现 rk这种灰度的像素数,n是图像中像素总数,nk/n就是概率论中的频数,l是灰度级的总数目 。 在直角坐标系中作出 rk与 P(rk)的关系图形,就得到直方图,下图为两个例子 。
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从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度分布特性。
例如，从上图中的（ a）和（ b）两个灰度密度分布函数中可以以看出：（ a）的大多数像素灰度值取在较暗的区域，所以这幅图像肯定较暗，一般在摄影过程中曝光过强就会造成这种结果；而（ b）图像的像素灰度值集中在亮区，因此，图像（ b）的特性将偏亮，一般在摄影中曝光太弱将导致这种结果。当然，从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均不理想。
图（ a） 图（ b）
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为了改善图像质量，可以对灰度分布进行变换改变，
其中一种方法称为直方图均衡化处理。
直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的直方图修正法 。 假定变换函数为式中 ω 是积分变量,而 T(r)就是 r的累积分布函数 。 这里,
累积分布函数是 r的函数,并且单调地从 0增加到 1,所以这个变换函数满足 T(r)在 0≤r≤ 1内单值单调增加 。 可以证明,
用 r的累积分布函数作为变换函数可产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像 。 其结果扩展了像素取值的动态范围 。 通常把为得到均匀直方图的图像增强技术叫做直方图均衡化处理或直方图线性化处理 。
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用离散形式表示累积分布函数为：
其反变换为：
例如假定有一幅像素数为 64× 64，灰度级为 8级的图像、其灰度级分布如表所示：
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r k n k P r (r k )=n k /n
r 0 =0 790 0.19
r 1 =1 1023 0.25
r 2 =2 850 0.21
r 3 =3 656 0.16
r 4 =4 329 0.08
r 5 =5 245 0.06
r 6 =6 122 0.03
r 7 =7 81 0.02
其灰度级直方图如下图 (a)所示
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对其进行均衡化处理，其过程如下：
以此类推
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(C)
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变换函数如图 (b)所示。这里对图像只取 8个等间隔的灰度级，变换后的 s值也只能选择最靠近的一个灰度级的值。
因此，对上述计算值加以修正：
由上述数值可见，新图像将只有 5个不同的灰度级别，可以重新定义一个符号：
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(C)
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因为,r0经变换得 s0=1/7，所以有 790个像素取 s0这个灰度值，
r1映射到 s1=3/7，所以有 1023个像素取 s1=3/7这一灰度值，以此类推，有 850个像素取 s2=5/7这一灰度值。但是，因为囕 r3和 r4均映射到 s3=6/7这一灰度级，所以有 656＋ 329=985个像素取这个值。
同样，有 245＋ 122＋ 81=448个像素取 s4=l这个新灰度值。用
n=4096来除上述这些 nk，值便可得到新的直方图。新直方图如图
（ c）所示。
由上面的例子可见,利用累积分布函数作为灰度变换函数,
经变换后得到的新灰度的直方图虽然不很平坦,但毕竟比原始图像的直方图平坦得多,而且其动态范围也大大地扩展了 。 因此这种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的 。
因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象，由于简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少的，这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡只是近似的。
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产生简并现象的根源是利用变换公式求新灰度时，所得到的 sk往往不是允许的灰度值，这时就要采用舍入的方法求近似值，以便用与它最接近的允许灰度来代替它。在舍入的过程中，一些相邻的 sk值变成了相同的值，这就发生了简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数。比如，通常用
8bit来代表一个像素，而现在用 12bit来表示一个像素，这样就可减少简并现象发生的机会，从而减少灰度层次的损失。
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5.2 图像点处理点处理是一种最基本的图像处理操作 。 在所有图像处理操作中它是一种简单而有效的处理方法 。 它既可单独使用,也可和其它算法组合使用 。
点处理算法是指仅根据图像中象素的原值 （ 有时还要考虑该象素在图像中的位置 ） 按一定的规则 （ 或变换 ） 来确定其新值的一种算法,也就是说,单个象素的新值仅仅依赖于该象素原值的大小 。
由于象素原值与新值之间算法上的这种联系,点处理算法一般是可逆的 。 点处理算法一般采取逐点扫描图像象素的方式来完成各象素的变换处理 。 由于点处理变换是一种仅仅依赖于象素原值的变换,
所以这种变换过程可以借助于查找表来快速实现 。 如果点处理算法中还要考虑象素的位置,则除了查找表外还要用到计算公式 。 一般来讲,点处理算法并不改变一幅图像中各象素之间的空间关系,正因为如此,点处理算法不能用于修饰图像中所包含的细节 。
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5.2.1 查找表查找表是一个很简便的处理方法 。 由于这个特点,许多图像采集设备的制造厂商都以硬件的方式提供查找表 。 硬件查找表最大限度地提高了图像处理算法的速度 。 也可以以数组的形式来实现查找表 。 这种软件实现查找表的方法取决于数组的存取速度 。
软件实现的查找表是以输入象素的值作为数组的索引,返回的新值作为该象素的输出值 。 当然,事先要根据图像处理所需的变换对查找表的数组进行赋值 。 对硬件实现的查找表来说,可以在 RAM中单独分出一部分作为查找表,输入象素的值作为 RAM的地址,RAM中相应单元的值作为输出象素值 。 同样,事先必须根据所要进行的变换对 RAM各单元赋值 。
数组中字节的位置与输入象素值相对应,以象素值作为查找表素引,
查找表相应位置处的值即是象素的输出值 。 处理之前必须根据相应的变换关系对查找表作初始化 。 否则,就不能保证该查找表的输出／输入值关系符合要求 。 对查找表进行初始化的一种最简单的方法就是,分别将查找表数组的下标值赋给相应的查找表数组的元素,即查找表数组的第 0
个元素赋值为 0,第 1个元素赋值 1,一直到最大的元素赋值为最大值 。
使用按这种方法初始化的查找表,其输入数据和输出数据是一样的 。
换言之,对数据进行的变换是线性的 。
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5.2.2 灰度的线性变换灰度的线性变换就是将图像中所有的点的灰度按照线性灰度变换函数进行变换,该线性灰度变换函数 f(x)是一个一维线性函数：
f(x)=ax+b
灰度变换方程为：
I’=a× I+b
式中参数 a为线性函数的斜率,b为线性函数在 y轴的截距,I表示输入图像的灰度,I’表示输出图像的灰度 。 当 a＞ 1时,输出图像的对比度将增大；当 a＜ 1时,输出图像的对比度将减小；当 a=1且 b≠O 时,操作仅使所有像累的灰度值上移或下移,其效果是使整个图像更暗或更亮；
特殊情况下,当 a=1,b=0时,输出图像和输入图像相同 。 当 a=-1，
b=255时,输出图像的灰度正好反转 。
图像亮度调整示例
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5.2.3图像亮度反置图像亮度反置有点象根据照片制作负片,是一种很简单的点处理技术 。 用这种方法对图像进行处理后,图像亮的部分变暗,暗的部分变亮,较亮的部分变成较暗,较暗的部分变成较亮 。 其处理方法是,
用可能的最大象素值减去象素的值作为该象素的新值 (绝对值 )。 图像中最暗的部分,其象素值为 0,处理后变成最亮的部分,其象素值为
255。 反之,图像中最亮的部分经变换后反置最暗的部分 。
反置处理可以给定一个 阈值,以限定只对那些大于等于该阈值的象素反置 。 如果阈值为 0,则对所有象素反置,这一点很有用 。 例如,当需要去掉图像中较亮的部分 （ 将该部分图像变暗 ） 以便突出图像中其它细节时,采用给定阈值进行亮度反置的方法是很有效的 。 反之,当需要查看图像中较亮部分的细节时,可对整幅图像进行亮度反置 。 这是因为人的眼睛分辨较暗区域图像的能力要强于分辨较亮区域图像的能力 。
图像亮度反置示例
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5.2.4 灰度的阈值变换灰度的阈值变换可以将一幅灰度图像转换成黑白二值图像 。 它的操作过程是先指定一个阈值,如果图像中某像素的灰度值小于该阈值,则将该像素的灰度值设置为 0,否则灰度值设置为 255。
灰度阈值变换的变换函数表达式如下：
其中 T为指定的阈值 。
图像阈值化示例
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5.2.5 灰度的窗口变换灰度的窗口变换也是一种常见的运算 。 它的操作和阈值变换相类似 。 它限定一个窗口范围,该窗口中的灰度值保持不变；
小于该窗口下限的灰度值直接设置为 0,大于该窗口上限的灰度值直接设置为 255。 灰度窗口变换的变换函数表达式如下 。
式中 L1表示窗口的下限,L2表示窗口的上限 。
灰度窗口变换非常实用 。 例如：一幅图像的背景是浅色,图像上的物体是深色,则直方图上的第一个峰值表示物体,第二个峰值表示背景 。 设双峰之间的谷底在 T处,当该图像进行窗口变换时,窗口上限取值为 T下限为 0,变换后的结果将有效的消除图像的背景 。
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5.2.6 灰度拉伸灰度拉伸和灰度的线性变换有点类似,都用到了灰度的线性变换 。 但不同之处在于灰度拉伸不是完全的线性变换,而是分段进行线性变换 。 它的灰度变换函数如图所示,函数表达式如下：
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式中 (x1,y1)和 (x2,y2)是两个转折点的坐标 。 灰度拉伸可以更加灵活的控制输出灰度直方图的分布,它可以有选择的拉伸某段灰度区间以改善输出图像 。 下图所示的变换函数的运算结果是将原图在 x1和 x2之间的灰度拉伸到 y1和 y2之间 。 如果一幅图像灰度集中在较暗的区域而导致图像偏暗,可以用灰度拉伸功能来拉伸 （ 斜率
＞ l） 物体灰度区间以改善图像；同样如果图像灰度集中在较亮的区域而导致图像偏亮,也可以用灰度拉伸功能来压缩 （ 斜率＜ 1）
物体灰度区间以改善图像质量 。
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图像灰度拉伸示例
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5.3 图像平滑化处理一幅图像可能存在着各种寄生效应，这些寄生效应可能在传输中产生，也可能在量化等处理过程中产生。较好的平滑处理方法应该能够消除这些寄生效应，又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊。图像的平滑处理方法也分为空域方法和时域方法两大类。主要有邻域平均法，低通滤波方法和多图像平均方法等。
5.2.1邻域平均法邻域平均法是简单的空域处理方法 。 这种方法的基本思想是用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度 。 假定有一幅 N× N个像素的图像
f(x,y）,平滑处理后得到一幅图像 g(x,y） 。 g(x,y)由下式决定：
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式中 x,y=0,1,2,…,N-1,S是 (x,y)点邻域中点的集合,但其中不包括 (x,y)点,M是集合内坐标点的总数 。 上式说明,平滑化的图像 g(x,y)中的每个像素的灰度值均由包含在 (x,y)的预定邻域中的 f(x,y)的几个像素的灰度值的平均值来决定 。 例如,可以以 (x,y)点为中心,取单位距离构成一个邻域,其中点的坐标集合为
S={(x,y+1),(x,y-l),(x+1,y),(x-1,y)}
下图给出了两种从图像阵列中选取邻域的方法 。 图 （ a）
的方法是一个点的邻域,定义为以该点为中心的一个圆的内部或边界上的点的集合 。 图中选取点的灰度值就是圆周上 4个像素灰度值的平均值 。 图 （ b） 是选择圆的边界上的点和在圆内的点为 S的集合 。
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处理结果表明,上述选择邻域的方法对抑制噪声是有效的,
但是随着邻域的加大,图像的模糊程度也愈加严重 。 为克服这一缺点,可以采用阈值法减少由于邻域平均所产生的模糊效应 。 其基本方法由下式决定：
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式中 T就是规定的非负阈值 。 这个表达式的物理概念是：当一些点和它的邻域内的点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值 T时,就仍然保留其原灰度值不变,如果大于阈值 T时就用它们的平均值来代替该点的灰度值 。 这样就可以大大减少模糊的程度 。
5.2.2低通滤波法这种方法是一种频域处理法 。 在分析图像信号的频率特性时,一幅图像的边缘,跳跃部分以及颗粒噪声代表图像信号的高频分量,而大面积的背景区则代表图像信号的低频分量 。 用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声,使图像得到平滑 。
图像平滑处理示例
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由卷积定理可知,
G(u,v)=H(u,v)·F(u,v)
其中 F(u,v)是含有噪声的图像的傅里叶变换,G(u,v)是平滑处理后的图像之傅里叶变换,H(u,v)是传递函数 。 选择传递函数 H(u,v),使 F(u,v)的高频分量得到衰减,得到
G(u,v)后再经反傅里叶变换就可以得到所希望的平滑图像
g(x,y)。 根据前面的分析,显然 H(u,v)应该具有低通滤波特性,所以这种方法被称之为低通滤波法平滑化处理 。 低通滤波平滑化处理流程如下图所示 。
常用的低通滤波器有下面几种,
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1,理想低通滤波器一个理想的二维低通滤波器的传递函数由下式表示：
(5-2-1)
式中 D0是一个规定的非负的量,叫做理想低通滤波器的截止频率 。 D(u,v)是从频率域的原点到 (u,v)点的距离,即,
D(u,v)=[u﹢ v]
H(u,v)对 u,v来说是一幅三维图形 。 H(u,v)特性如下图所示 。
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所谓理想低通滤波器,是指以截频 D0为半径的圆内的所有频率都能无损地通过,而在截频之外的频率分量完全被衰减 。 理想低通滤波器可以用计算机模拟实现,但却不能用电子元器件来实现 。
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理想低通滤波器平滑处理的概念是清晰的,但在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象 。 这种现象正是由于傅里叶变换的性质决定的 。 因为滤波过程是由式 （ 5-2-1） 描述的,由卷积定理可知在空域中则是一种卷积关系,即
g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)
式中 g(x,y),h(x,y),f(x,y)分别是 G(u,v)，
H(u,v),F(u,v)的傅里叶反变换 。 既然 H(u,v)是理想的矩形特性,那么它的反变换 h(x,y)的特性必然会产生无限的振铃特性 。 经与 f(x,y)卷积后则给
g(x,y)带来模糊和振铃现象,D0越小这种现象越严重,当然,其平滑效果也就较差 。 这是理想低通不可克服的弱点 。
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2,Butterworth低通滤波器一个 n阶 Butterworth低通滤波器的传递函数由下式表示：
(5-2-2)
式中 D0为截止频率,D(u,v)的值由下式决定：
D(u,v)=[u﹢ v] 1/2
Butterworth低通滤波器又称最大平坦滤波器 。 它与理想低通滤波器不同,它的通带与阻带之间没有明显的不连续性 。 也就是说,在通带和阻带之间有一个平滑的过渡带 。 通常把 H(u,v)下降到某一值的那一点定为截止频率 D0。
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在式 (5-2-2)中是把 H(u,v)下降到原来值的 1/2时的 D(u,v)
定为截频点 D0。一般情况下常采用下降到 H(u,v)最大值的
1/21/2那一点为截频点。这样，式 (5-2-2)可修改为式 (5-2-3)
的形式：
(5-2-3)
Butterworth低通滤波器 H(u,v)的如下图所示 。
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与理想低通滤波器的处理结果相比，经 Butterworth滤波器处理过的图像模糊程度会大大减少。因为它的 H(u,v)不是陡峭的截止特性，它的尾部会包含有大量的高频成份。另外，经 Butterworth低通滤波器处理的图像将不会有振铃现象。这是由于在滤波器的通带和阻带之间有一平滑过渡的缘故。另外，由于图像信号本身的特性，在卷积过程中的折迭误差也可以忽略掉。由此可知,Butterworth 低通滤波器的处理结果比理想滤波器为好。
3,指数低通滤波器在图像处理中常用的另一种平滑滤波器是指数低通滤波器 。
它的传递函数如下式表示：
(5-2-4)
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式中 D0为截止频率,D(u,v)的值由下式决定：
D(u,v)=[u﹢ v]
式中的 n是决定衰减率的系数 。 从式 (5-2-4)可见,如果 D(u,v)= D0,则
H(u,v)=1/e
如果仍然把截止频率定在 H(u,v)最大值的 1/21/2处,那么,公式可作如下修改：
指数低通滤波器传递函数图如下图所示 。
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由于指教低通滤波器有更快的衰减率,所以,经指数低通滤波的图像比 Butterworth低通滤波器处理的图像稍模糊一些 。 由于指数低通滤波器的传递函数也有较平滑的过渡带,所以图像中也没有振铃现象 。
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4.梯形低通滤波器梯形低通滤波器传递函数的形状介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波器之间 。 它的传递函数由下式表示：
其中 D(u,v)=[u﹢ v],在规定 D0和 D1时要满足 D0＜ D1的条件 。 一般为了方便,把传递函数的第一个转折点 D0
定义为截止频率,第二个变量 D1可以任意选取,只要
D1大 D0就可以 。 梯形低通滤波器传递函数的示意图如下图所示 。
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由于梯形滤波器的传递函数特性介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带滤波器之间,所以其处理效果也介于其两者中间 。 梯形滤波法的结果有一定的振铃现象 。
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用低通滤波器进行平滑处理可以使噪声伪轮廓等寄生效应减低到不显眼的程度,但是由于低通滤波器对噪声等寄生成份滤除的同时,对有用高频成份也滤除,因此,这种去噪声的美化处理是以牺牲清晰度为代价而换取的 。
5.2.3多图像平均法如果一幅图像包含有加性噪声,这些噪声对于每个坐标点是不相关的,并且其平均值为零,在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目的 。
设 g(x,y)为有噪声图像,n(x,y)为噪声,
f(x,y)为原始图像,可用下式表示：
g(x,y)= f(x,y)+ n(x,y)
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多图像平均法是把一系列有噪声的图像培 { g(x,y)}
迭加起来,然后再取平均值以达到平滑的目的 。 具体做法如下：
取 M幅内容相同但含有不同噪声的图像,将它们迭加起来,然后作平均计算,如下式所示：
由此得出：
（ 5-2-5）
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由上二式可见,M增加则像素值的方差就减小,这说明由于平均的结果使得由噪声造成的像素灰度值的偏差变小 。 从式 （ 5-2-5） 中可以看出,当作平均处理的噪声图像数目增加时,其统计平均值就越接近原始无噪声图像 。 这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来,以便使相应的像素能正确地对应排列 。
