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(C)
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第六章 图象复原
退化模型
复原的代数方法
逆虑波
去卷积方法
中值虑波
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所谓图像复原,是指去除或减轻在获取数字图像过程中发生的图像质量下降 （ 退化 ） 这些退化包括由光学系统,运动等等造成图像的模糊,以及源自电路和光度学因素的噪声 。
图像复原的目标是对退化的图像进行处理,使它趋向于复原成没有退化的理想图像 。 成像过程的每一个环节 （ 透镜,感光片,数字化等等 ） 都会引起退化 。 视其具体应用的不同,将损失掉的图像质量部分复原过来可以起到不同的作用在进行图像复原时,还有许多其它选择 。 首先,问题既可以用连续数学,也可以用离散数学进行处理 。 其次,处理既可在空间域,也可在频域进行 。
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6.1 退化模型
6.1.1退化模型的建立对活动的，彩色的立体图象，其数学表达式为：
对静止的平面图象静止的平面图象的退化模型：
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6.1.2 系统 H的基本定义就一般而言，系统是某些元件或部件以某种方式构造而成的整体。系统本身所具有的某些特性就构成了通过系统的输入信号与输出信号的某种联系。
系统的分类可有：线性系统和非线性系统，时变系统和非时变系统，集总参数系统和分布参数系统，连续系统和离散系统。
1）线性系统：是具有均匀性和相加性的系统如果不考虑噪声,则有,
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2）时不变系统：满足各个参数不随时间变化。
实际上，大部分系统是非线性和空间变化的，但以这样的模型处理起来困难很大，一般都简化为线性的非时变和非空间变化的近似模型进行处理。这样近似的优点是使线性系统理论中的许多理论可以直接用来解决图象复原问题。
6.1.3连续函数的退化模型设系统 H对坐标为 (?,?)处的冲激函数?(x-?,y-?)
的冲激响应为 h(x,?,y,?)，则
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此式说明，如果系统 H对冲激函数的响应为已知，则对任意输入的响应可用上式求得，即，线性系统 H完全可以由冲激响应来表征。
在有噪音的情况下
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6.1.4离散函数的退化模型对和进行均匀取样后，就可引伸出离散函数的退化模型。用一维的来说明。如果和都具有周期 N的序列，那么它们的时域离散卷积可 定义 为下式：
显然，也是具有周期 N的序列。
如果和不具有周期性，则可以用延拓的方法使其成为周期函数。
如果用矩阵来表示上述离散退化模型，可写成下式之形式
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其中由于的 h(x)周期性，使得 [H]成为一个循环矩阵。
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推广一维的成二维有：
g(x,y)也为周期函数，其周期同 f(x,y)和 h(x,y)一样。
当 f(x,y)与 h(x,y)的周期不同，或拓展后不相同时，
应将其中一个周期短的延长扩展，使两者成为相同周期。写成矩阵形式：
对于有噪音的情况上述的离散退化模型都是在线性空间不变的前提下推出的。
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6.2 复原的代数方法图象复原的主要目的是当给定退化的图象 g(x,y)及系统 h(x,y)和噪声 n(x,y)的某种了解或假设，估计出原始图象 f(x,y)。其代数表达式即为 g=Hf+n，此时可用线性代数中的理论解决复原问题。
6.2.1非约束复原方法复原时以消除噪声为目的的方法，可将上式改为在最小二乘方意义上说，希望找到一个 使为最小。
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这种方法要求知道成象系统的表达式 H。
6.2.2约束复原方法在最小二乘方复原处理中，为了在数学上更容易处理，常常附加某种约束条件。
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其处理方法如下：
式中为一常数,是拉格朗日系数 。 加上约束条件后,
就可以按一般求极小值的方法进行求解 。 将上式对微 分,并使结果为零,则有
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6.3 逆虑波由于如果各函数的富里叶变换存在，由卷积定理可得：
则求反变换此方法称为逆滤波方法。
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对有噪声的情况式中 N(u,v)是噪声 n(x,y)的富里叶变换。
这种方法要求噪声的类型及表达式为可知，系统的冲激响应也为已知。
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6.4 去卷积方法上面所述的逆滤波方法是针对噪声干扰的，还有一种退化是由于仪器设备的非线性响应引起的。
实际上，各种成象设备都存在非线性的问题，一般情况下，它们对低频端的响应较好，但对高频端的响应会迅速变差。
去卷积技术很早就被应用在电子滤波器设计和时间序列分析中。在六十年代中期，去卷积开始被广泛地用于数字图像复原。 Nathan用二维去卷积方法来处理由漫游者、探索者等外星探索发射得到的图像。由于与噪声相比，信号的频谱随着频率升高下降较快，因此高频部分主要是噪声。
目前，去卷积是图像复原的一种标准技术。
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下图说明去卷积的过程。
实际图像 物理成像 含噪音图像 去卷积 修复图像
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下图说明去卷积技术如何使图像得到改进。
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在上述过程中，当取 M(x,y)=1/H(x,y)时，其作用相同于逆滤波方法。因此时存在的问题是,在 u,v平面上有些点或区域会产生
H(u,v)=0或 H(u,v)非常小的情况,在这种情况下,即使没有噪,也无法精确地恢复 f(x,y)。 另外,在有噪声存在时,
在 H(u,v)的邻域内,H(u,v)的值可能比 N(u,v)的值小的多,
因此得到的噪声项可能会非常大,这样也会使 f(x,y)不能正确恢复 。
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6.4.1维纳去卷积在大部分图像中,邻近的像素是高度相关的,
而距离较远的像素其相关性却较弱 。 由此我们可以认为典型图像的自相关函数通常随着与原点的距离增加而下降 。 由于图像的功率谱是其自相关函数的
（ 实,偶 ） 傅立叶变换,可以认为图像的功率谱随着频率的升高而下降 。
对于能量有限的图象信号 g(x,y)的自相关函数，
由下式表示：
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自相关函数的富里叶变换为：
称为 f(t)的功率谱密度函数或功率谱。如果 f(t)是实函数，它的自相关函数是实偶函数，因此它的功率谱也是实偶函数。
一般地，噪声源往往具有平坦的功率谱，即使不是如此，其随频率升高而下降的趋势也要比典型的图像功率谱慢的多。因此，可以料想功率谱的低频部分以信号为主，而高频部分则主要被噪声所占据。
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Helstrom采用最小均方误差估计法，提出了具有如下二维传递函数的维纳去卷积滤波器：
其中,分别为信号和噪声的功率谱。
维纳去卷积提供了一种在有噪声情况下导出去卷积传递函数的最优方法,但有三个问题限制了它的有效性 。 首先,当图像复原的目的是供人观察时,均方误差准则并不是一个特别好的优化准则 。 由于使均方误差最小化,维纳滤波器以一种并非最适合人眼的方式对图像进行了平滑 。
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其二,经典的维纳去卷积不能处理具有空间可变的情形 （ 例如存在慧差,散差,表面像场弯曲以及含旋转的运动模糊的情况下 ） 。
最后，这种技术不能处理有着非平稳信号和噪声的一般情形。大多数图像都是高度非平稳的，有着被陡峭边缘分开的大块平坦区域。此外，许多重要的噪声源是与局部灰度有关的（信号有关噪声）。在下面是维纳去卷积的变通和改进的方法。
6.4.2功率谱均衡
Canon证明，如下形式的滤波器可将退化图像的功率谱复原至其原先的幅度：
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和维纳滤波器类似，这种功率谱均衡滤波器也是无相移的（是实偶函数）。
功率谱均衡 滤波器与维纳滤波器间的相似是十分明显的 。 当无噪声时,这两种滤波器都简化为直接的去卷积；
当无信号时,这两种滤波器都完全截止 。 然而,不同的是功率谱均衡 滤波器在传递函数 F(u,v)为零处并不截止至零 。
功率谱均衡 滤波器具有相当强的图像复原能力,在某些情况下其性能忧于维纳滤波器 。 功率谱均衡 滤波器有时也被叫做同态滤波器 。
6.4.3几何均值滤波器考察如下形式的滤波器传递函数：
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其中,α,γ为正的实常数。这种滤波器是前面讨论过的几种滤波器的一般形式，其传递函数具有参数 α和 γ。若令
α=1/2,γ=1，则它就变为功率均衡滤波器。
进一步观察,还可注意到当 α =1/2时,上式定义的是普通去卷积和维纳去卷积的几何平均 。 因此,称为几何均值滤波器 。
若 α=0,就得到了参数化维纳滤波器当 α =1时,它就变成了维纳去卷积滤波器；而当 γ =0时,
它就变成了单纯的去卷积 。 一般来说,可通过选择 γ 的数值来获得所希望的维纳平滑效果 。
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6.5 中值虑波对受到噪声污染的退化图象的复原，可以采用线性滤波的方法来处理。中值滤波在某些条件下可以做到既去除噪声又保护了图象边缘的较满意的复原效果。中值滤波是一种去除噪声的非线性处理方法。由图基在 1971
年提出。
中值虑波的基本原理是，把图象或数字序列中的一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替。（中值是中间位置的值，而不是平均值。）其定义为：一组数
x1,x2,...,xn，把 n个数按值的大小顺序排列如下
xi1?xi2?...?xin
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y称为序列 x1,x2,...,xn的中值。例如有一序列为 {80,90，
200,110,120}，这个序列的中值为 110。
把一个点的特定长度或形状的邻域称作窗口。在一维情形下，中值滤波器是一个含有奇数个象素的滑动窗口。窗口正中间那个象素的值用窗口内各象素值的中值代替。
设输入序列为 ｛ xi,i∈I ｝ I为自然数集合或子集,
窗口长度为 n。 则滤波器输出为：
其中 i∈ I,u=(n-1)/2。
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例如,有一输入序列如下：
｛ xi}={0 0 0 8 0 0 2 3 2 0 2 3 2 0 3 5 3 0 3 5 3 0
0 2 3 4 5 5 5 5 5 0 0 0}
在此序列中前面的 8是脉冲噪声,中间一段是一种寄生振荡,后面是希望保留的斜坡和跳变 。 在此来用长度为 3
的窗口,得到的结果为：
{yi}＝ {O O 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 0 0
2 3 4 5 5 5 5 5 0 0 0 0}
显然,经中值滤波后,脉冲噪声 8被滤除了,振荡被平滑掉了,斜坡和阶跃部分被保存了下来 。
中值滤波的运算方法可以在有限程度上作些分析 。 例如常数 K与序列人门相乘的中值有如下关系存在
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而常数 K与序列 f(i)相加的中值有如下关系：
中值滤波的概念很容易推广到二维,此时可以利用某种形式的二维窗口 。 窗口可以取方形,也可以取近似圆形或十字形 。
如果希望强调中间点或距中间点最近的几个点的作用，可以采用加权中值滤波的方法。加权中值滤波方法的基本原理是改变窗口中变量的个数，可以使一个以上的变量等同于同一点的值，然后对扩张后的数字集求中值。例如，如果要维持边缘的值不被更改，
可对边缘值进行复计，使其值保留。
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例：对下面的 10× 10图象数据，使用 3× 3的窗口进行中值滤波的结果如右。
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第六章 图象复原
退化模型
复原的代数方法
逆虑波
去卷积方法
中值虑波
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2
所谓图像复原,是指去除或减轻在获取数字图像过程中发生的图像质量下降 （ 退化 ） 这些退化包括由光学系统,运动等等造成图像的模糊,以及源自电路和光度学因素的噪声 。
图像复原的目标是对退化的图像进行处理,使它趋向于复原成没有退化的理想图像 。 成像过程的每一个环节 （ 透镜,感光片,数字化等等 ） 都会引起退化 。 视其具体应用的不同,将损失掉的图像质量部分复原过来可以起到不同的作用在进行图像复原时,还有许多其它选择 。 首先,问题既可以用连续数学,也可以用离散数学进行处理 。 其次,处理既可在空间域,也可在频域进行 。
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6.1 退化模型
6.1.1退化模型的建立对活动的，彩色的立体图象，其数学表达式为：
对静止的平面图象静止的平面图象的退化模型：
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6.1.2 系统 H的基本定义就一般而言，系统是某些元件或部件以某种方式构造而成的整体。系统本身所具有的某些特性就构成了通过系统的输入信号与输出信号的某种联系。
系统的分类可有：线性系统和非线性系统，时变系统和非时变系统，集总参数系统和分布参数系统，连续系统和离散系统。
1）线性系统：是具有均匀性和相加性的系统如果不考虑噪声,则有,
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2）时不变系统：满足各个参数不随时间变化。
实际上，大部分系统是非线性和空间变化的，但以这样的模型处理起来困难很大，一般都简化为线性的非时变和非空间变化的近似模型进行处理。这样近似的优点是使线性系统理论中的许多理论可以直接用来解决图象复原问题。
6.1.3连续函数的退化模型设系统 H对坐标为 (?,?)处的冲激函数?(x-?,y-?)
的冲激响应为 h(x,?,y,?)，则
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此式说明，如果系统 H对冲激函数的响应为已知，则对任意输入的响应可用上式求得，即，线性系统 H完全可以由冲激响应来表征。
在有噪音的情况下
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6.1.4离散函数的退化模型对和进行均匀取样后，就可引伸出离散函数的退化模型。用一维的来说明。如果和都具有周期 N的序列，那么它们的时域离散卷积可 定义 为下式：
显然，也是具有周期 N的序列。
如果和不具有周期性，则可以用延拓的方法使其成为周期函数。
如果用矩阵来表示上述离散退化模型，可写成下式之形式
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其中由于的 h(x)周期性，使得 [H]成为一个循环矩阵。
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推广一维的成二维有：
g(x,y)也为周期函数，其周期同 f(x,y)和 h(x,y)一样。
当 f(x,y)与 h(x,y)的周期不同，或拓展后不相同时，
应将其中一个周期短的延长扩展，使两者成为相同周期。写成矩阵形式：
对于有噪音的情况上述的离散退化模型都是在线性空间不变的前提下推出的。
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6.2 复原的代数方法图象复原的主要目的是当给定退化的图象 g(x,y)及系统 h(x,y)和噪声 n(x,y)的某种了解或假设，估计出原始图象 f(x,y)。其代数表达式即为 g=Hf+n，此时可用线性代数中的理论解决复原问题。
6.2.1非约束复原方法复原时以消除噪声为目的的方法，可将上式改为在最小二乘方意义上说，希望找到一个 使为最小。
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这种方法要求知道成象系统的表达式 H。
6.2.2约束复原方法在最小二乘方复原处理中，为了在数学上更容易处理，常常附加某种约束条件。
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13
其处理方法如下：
式中为一常数,是拉格朗日系数 。 加上约束条件后,
就可以按一般求极小值的方法进行求解 。 将上式对微 分,并使结果为零,则有
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6.3 逆虑波由于如果各函数的富里叶变换存在，由卷积定理可得：
则求反变换此方法称为逆滤波方法。
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对有噪声的情况式中 N(u,v)是噪声 n(x,y)的富里叶变换。
这种方法要求噪声的类型及表达式为可知，系统的冲激响应也为已知。
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6.4 去卷积方法上面所述的逆滤波方法是针对噪声干扰的，还有一种退化是由于仪器设备的非线性响应引起的。
实际上，各种成象设备都存在非线性的问题，一般情况下，它们对低频端的响应较好，但对高频端的响应会迅速变差。
去卷积技术很早就被应用在电子滤波器设计和时间序列分析中。在六十年代中期，去卷积开始被广泛地用于数字图像复原。 Nathan用二维去卷积方法来处理由漫游者、探索者等外星探索发射得到的图像。由于与噪声相比，信号的频谱随着频率升高下降较快，因此高频部分主要是噪声。
目前，去卷积是图像复原的一种标准技术。
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下图说明去卷积的过程。
实际图像 物理成像 含噪音图像 去卷积 修复图像
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18
下图说明去卷积技术如何使图像得到改进。
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在上述过程中，当取 M(x,y)=1/H(x,y)时，其作用相同于逆滤波方法。因此时存在的问题是,在 u,v平面上有些点或区域会产生
H(u,v)=0或 H(u,v)非常小的情况,在这种情况下,即使没有噪,也无法精确地恢复 f(x,y)。 另外,在有噪声存在时,
在 H(u,v)的邻域内,H(u,v)的值可能比 N(u,v)的值小的多,
因此得到的噪声项可能会非常大,这样也会使 f(x,y)不能正确恢复 。
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6.4.1维纳去卷积在大部分图像中,邻近的像素是高度相关的,
而距离较远的像素其相关性却较弱 。 由此我们可以认为典型图像的自相关函数通常随着与原点的距离增加而下降 。 由于图像的功率谱是其自相关函数的
（ 实,偶 ） 傅立叶变换,可以认为图像的功率谱随着频率的升高而下降 。
对于能量有限的图象信号 g(x,y)的自相关函数，
由下式表示：
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自相关函数的富里叶变换为：
称为 f(t)的功率谱密度函数或功率谱。如果 f(t)是实函数，它的自相关函数是实偶函数，因此它的功率谱也是实偶函数。
一般地，噪声源往往具有平坦的功率谱，即使不是如此，其随频率升高而下降的趋势也要比典型的图像功率谱慢的多。因此，可以料想功率谱的低频部分以信号为主，而高频部分则主要被噪声所占据。
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Helstrom采用最小均方误差估计法，提出了具有如下二维传递函数的维纳去卷积滤波器：
其中,分别为信号和噪声的功率谱。
维纳去卷积提供了一种在有噪声情况下导出去卷积传递函数的最优方法,但有三个问题限制了它的有效性 。 首先,当图像复原的目的是供人观察时,均方误差准则并不是一个特别好的优化准则 。 由于使均方误差最小化,维纳滤波器以一种并非最适合人眼的方式对图像进行了平滑 。
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其二,经典的维纳去卷积不能处理具有空间可变的情形 （ 例如存在慧差,散差,表面像场弯曲以及含旋转的运动模糊的情况下 ） 。
最后，这种技术不能处理有着非平稳信号和噪声的一般情形。大多数图像都是高度非平稳的，有着被陡峭边缘分开的大块平坦区域。此外，许多重要的噪声源是与局部灰度有关的（信号有关噪声）。在下面是维纳去卷积的变通和改进的方法。
6.4.2功率谱均衡
Canon证明，如下形式的滤波器可将退化图像的功率谱复原至其原先的幅度：
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和维纳滤波器类似，这种功率谱均衡滤波器也是无相移的（是实偶函数）。
功率谱均衡 滤波器与维纳滤波器间的相似是十分明显的 。 当无噪声时,这两种滤波器都简化为直接的去卷积；
当无信号时,这两种滤波器都完全截止 。 然而,不同的是功率谱均衡 滤波器在传递函数 F(u,v)为零处并不截止至零 。
功率谱均衡 滤波器具有相当强的图像复原能力,在某些情况下其性能忧于维纳滤波器 。 功率谱均衡 滤波器有时也被叫做同态滤波器 。
6.4.3几何均值滤波器考察如下形式的滤波器传递函数：
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其中,α,γ为正的实常数。这种滤波器是前面讨论过的几种滤波器的一般形式，其传递函数具有参数 α和 γ。若令
α=1/2,γ=1，则它就变为功率均衡滤波器。
进一步观察,还可注意到当 α =1/2时,上式定义的是普通去卷积和维纳去卷积的几何平均 。 因此,称为几何均值滤波器 。
若 α=0,就得到了参数化维纳滤波器当 α =1时,它就变成了维纳去卷积滤波器；而当 γ =0时,
它就变成了单纯的去卷积 。 一般来说,可通过选择 γ 的数值来获得所希望的维纳平滑效果 。
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6.5 中值虑波对受到噪声污染的退化图象的复原，可以采用线性滤波的方法来处理。中值滤波在某些条件下可以做到既去除噪声又保护了图象边缘的较满意的复原效果。中值滤波是一种去除噪声的非线性处理方法。由图基在 1971
年提出。
中值虑波的基本原理是，把图象或数字序列中的一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替。（中值是中间位置的值，而不是平均值。）其定义为：一组数
x1,x2,...,xn，把 n个数按值的大小顺序排列如下
xi1?xi2?...?xin
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y称为序列 x1,x2,...,xn的中值。例如有一序列为 {80,90，
200,110,120}，这个序列的中值为 110。
把一个点的特定长度或形状的邻域称作窗口。在一维情形下，中值滤波器是一个含有奇数个象素的滑动窗口。窗口正中间那个象素的值用窗口内各象素值的中值代替。
设输入序列为 ｛ xi,i∈I ｝ I为自然数集合或子集,
窗口长度为 n。 则滤波器输出为：
其中 i∈ I,u=(n-1)/2。
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例如,有一输入序列如下：
｛ xi}={0 0 0 8 0 0 2 3 2 0 2 3 2 0 3 5 3 0 3 5 3 0
0 2 3 4 5 5 5 5 5 0 0 0}
在此序列中前面的 8是脉冲噪声,中间一段是一种寄生振荡,后面是希望保留的斜坡和跳变 。 在此来用长度为 3
的窗口,得到的结果为：
{yi}＝ {O O 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 0 0
2 3 4 5 5 5 5 5 0 0 0 0}
显然,经中值滤波后,脉冲噪声 8被滤除了,振荡被平滑掉了,斜坡和阶跃部分被保存了下来 。
中值滤波的运算方法可以在有限程度上作些分析 。 例如常数 K与序列人门相乘的中值有如下关系存在
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而常数 K与序列 f(i)相加的中值有如下关系：
中值滤波的概念很容易推广到二维,此时可以利用某种形式的二维窗口 。 窗口可以取方形,也可以取近似圆形或十字形 。
如果希望强调中间点或距中间点最近的几个点的作用，可以采用加权中值滤波的方法。加权中值滤波方法的基本原理是改变窗口中变量的个数，可以使一个以上的变量等同于同一点的值，然后对扩张后的数字集求中值。例如，如果要维持边缘的值不被更改，
可对边缘值进行复计，使其值保留。
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例：对下面的 10× 10图象数据，使用 3× 3的窗口进行中值滤波的结果如右。
