第四章 静 定 拱（实体三铰拱）
§ ４－１ 概 述一,拱的概念拱的轴线一般是曲线形状，实体拱指由充满密实材料的杆构成的拱。 拱的受力特征是，在竖向荷载作用下可产生水平支座反力（水平推力 )。具有这类受力特征的结构称为有推力结构 。
二、拱的分类
１、按具有的铰的数量分类：
三铰拱、两铰拱、无铰拱。
２、按几何组成（或计算方法）分类：
静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱；
超静定拱,两铰拱、无铰拱。
§ 4-2 三铰拱的内力计算三铰拱的构造及各部名称，及相应于拱的简支梁
（相应简支梁）。
一,三铰拱的支座反力
（一）、三铰拱的支座反力三铰拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方法完全相同，即以其中两个铰分别建立力矩平衡方程，集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法。
当三铰拱的两个底铰在一条水平线上时，
其支座反力的计算常采取如下步骤：
１、由拱的整体平衡条件求两个竖向支座反力；
２、由拱顶铰 C任一侧的平衡条件，求在这一侧上的水平支座反力；
３、再由拱的整体平衡条件，求另一水平支座反力。
1,∑MA=0
FByl–FP1a1–FP2a2–FP3a3 =0
FBy=(FP1a1+FP2a2+FP3a3)/l
(↑) (a)
∑MB=0
FAyl– FP1b1–FP2b2FP3b3=0
FAy=(FP1b1+FP2b2+FP3b3)/l
(↑) (b)
２,∑MC=0
FByl2–FBxf–FP3(l2–b3)=0
FBx=[FByl2–FP3(l2–b3)]/f
(←) （ c)
３,∑Fx=0
FBx–FAx=0 FAx=FBx=FH
(d)
说明：上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支座反力的方法和步骤，适用于任意荷载作用下的情况。但两个底铰的水平反力相同仅是在只有竖向荷载作用的情况下。
（二）、三铰拱与相应简支梁的几个关系式：
相应简支梁，指与拱的跨度、荷载相同的简支梁。容易得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关系式：
FAy = F0Ay FBy= F0By FH=M0C/f 。 (4-2-1)
这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下成立。
由第三式分析，在拱上作用的荷载和拱的跨度不变的条件下,M0C是一个常数,FH与 f 得出，拱的推力 FH与它的高跨比 f / l 有关，即当高跨比 f
/ l越小（越大）,则水平推力 FH越大（越小）。
二、拱的内力计算拱的任一截面上一般有三个内力（ M,FQ,FN），
内力计算的基本方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时，截面法线角度不断改变，截面上内力（ FQ,FN）的方向也相应改变。
例 4-2-1 已知图示三铰拱的拱轴方程为
y(x)=4fx(l－ x)/l2,求支座反力及 K截面的内力。
解：（１）求支座反力由拱的整体平衡条件：
∑MA = 0 FBy× 16 –10× 12–2× 8× 4= 0
FBy = 11.5 kN (↑)
∑MB = 0 FAy× 16 –10× 4–2× 8× 12= 0
FAy = 14.5 kN (↑)
取铰Ｃ以右部分的平衡条件,
∑MC = 0 FH × 4–FBy× 8 + 10× 4= 0
FH = 13 kN (←)
（２）求Ｋ截面的内力取Ｋ截面以左部分,截面各内力均按正方向画
（注意：规定拱的轴力以受压为正；剪力和弯矩的规定仍同前） 。
确定Ｋ截面位置参数 yK和 αK：
将Ｋ截面坐标 x = 4m 代入,y(x)=4fx(l－ x)/l2和
tanαK=dy/dx=4f(l－ 2x)/l2 得：
yK=3m tanαK=0.5 则有,
αK=26.57° sinαK=0.447 cosαK =0.894
建立隔离体的平衡方程，求Ｋ截面的内力：
以截面Ｋ的外法线 n和切向 τ的方向分别建立投影方程，求 FNK和 FQK：
§ ４－１ 概 述一,拱的概念拱的轴线一般是曲线形状，实体拱指由充满密实材料的杆构成的拱。 拱的受力特征是，在竖向荷载作用下可产生水平支座反力（水平推力 )。具有这类受力特征的结构称为有推力结构 。
二、拱的分类
１、按具有的铰的数量分类：
三铰拱、两铰拱、无铰拱。
２、按几何组成（或计算方法）分类：
静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱；
超静定拱,两铰拱、无铰拱。
§ 4-2 三铰拱的内力计算三铰拱的构造及各部名称，及相应于拱的简支梁
（相应简支梁）。
一,三铰拱的支座反力
（一）、三铰拱的支座反力三铰拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方法完全相同，即以其中两个铰分别建立力矩平衡方程，集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法。
当三铰拱的两个底铰在一条水平线上时，
其支座反力的计算常采取如下步骤：
１、由拱的整体平衡条件求两个竖向支座反力；
２、由拱顶铰 C任一侧的平衡条件，求在这一侧上的水平支座反力；
３、再由拱的整体平衡条件，求另一水平支座反力。
1,∑MA=0
FByl–FP1a1–FP2a2–FP3a3 =0
FBy=(FP1a1+FP2a2+FP3a3)/l
(↑) (a)
∑MB=0
FAyl– FP1b1–FP2b2FP3b3=0
FAy=(FP1b1+FP2b2+FP3b3)/l
(↑) (b)
２,∑MC=0
FByl2–FBxf–FP3(l2–b3)=0
FBx=[FByl2–FP3(l2–b3)]/f
(←) （ c)
３,∑Fx=0
FBx–FAx=0 FAx=FBx=FH
(d)
说明：上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支座反力的方法和步骤，适用于任意荷载作用下的情况。但两个底铰的水平反力相同仅是在只有竖向荷载作用的情况下。
（二）、三铰拱与相应简支梁的几个关系式：
相应简支梁，指与拱的跨度、荷载相同的简支梁。容易得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关系式：
FAy = F0Ay FBy= F0By FH=M0C/f 。 (4-2-1)
这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下成立。
由第三式分析，在拱上作用的荷载和拱的跨度不变的条件下,M0C是一个常数,FH与 f 得出，拱的推力 FH与它的高跨比 f / l 有关，即当高跨比 f
/ l越小（越大）,则水平推力 FH越大（越小）。
二、拱的内力计算拱的任一截面上一般有三个内力（ M,FQ,FN），
内力计算的基本方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时，截面法线角度不断改变，截面上内力（ FQ,FN）的方向也相应改变。
例 4-2-1 已知图示三铰拱的拱轴方程为
y(x)=4fx(l－ x)/l2,求支座反力及 K截面的内力。
解：（１）求支座反力由拱的整体平衡条件：
∑MA = 0 FBy× 16 –10× 12–2× 8× 4= 0
FBy = 11.5 kN (↑)
∑MB = 0 FAy× 16 –10× 4–2× 8× 12= 0
FAy = 14.5 kN (↑)
取铰Ｃ以右部分的平衡条件,
∑MC = 0 FH × 4–FBy× 8 + 10× 4= 0
FH = 13 kN (←)
（２）求Ｋ截面的内力取Ｋ截面以左部分,截面各内力均按正方向画
（注意：规定拱的轴力以受压为正；剪力和弯矩的规定仍同前） 。
确定Ｋ截面位置参数 yK和 αK：
将Ｋ截面坐标 x = 4m 代入,y(x)=4fx(l－ x)/l2和
tanαK=dy/dx=4f(l－ 2x)/l2 得：
yK=3m tanαK=0.5 则有,
αK=26.57° sinαK=0.447 cosαK =0.894
建立隔离体的平衡方程，求Ｋ截面的内力：
以截面Ｋ的外法线 n和切向 τ的方向分别建立投影方程，求 FNK和 FQK：
