1
2,1 支 路 电 流 法
2.2 节 点 电 压 法
2.3 网 孔 电 流 法
2.4 迭 加 定 理
2.5 置 换 定 理
2.6 戴维南定理和诺顿定理第 2章 电阻性网络分析的一般方法
2
【 本章重点 】
●支路电流法及其在电路分析、计算中的运用。
● 节点电压法、网孔电流法。
● 叠加定理、戴维南定理。
● 诺顿定理、置换定理。
● 节点电压法、网孔电流法。
● 综合运用电路的分析方法和重要定理解决复杂电路。
【 本章难点 】
3
2.1 支路电流法支路电流法是以支路电流作为电路的变量，直接应用基尔霍夫电压、电流定律，列出与支路电流数目相等的独立节点电流方程和回路电压方程，然后联立解出各支路电流的一种方法。
以图 2-1为例说明其方法和步骤：
（ 1）由电路的支路数 m,确定待求的支路电流。该电路 m=6,则支路电流有 i1,i2…,i6六个。
（ 2）节点数 n=4,可列出 n-1个独立的节点方程。
0
0
0
653
432
621
iii
iii
iii节点 1-3
4
（ 3）根据 KVL列出回路方程。选取 l=m-(n-1) 个独立的回路，选定绕性方向，由 KVL列出 l个独立的回路方程。
图 2-1 支 路 电 流 法
5
回路 1-3
0663322
2554433
1442211
RiRiRi
uRiRiRi
uRiRiRi
S
S
（ 4）将六个独立方程联立求解，得各支路电流。
如果支路电流的值为正,则表示实际电流方向与参考方向相同；如果某一 支路的电流值为负,则表示实际电流的方向与参考方向相反 。
（ 5） 根据电路的要求,求出其他待求量,如支路或元件上的电压、功率等。
6RP 2 iiu
例 2-1 用支路电流法求解下图所示电路中各支路电流及各电阻上吸收的功率 。
解：（ 1）求各支路电流。 该电路有三条支路、两个节点。首先指定各支路电流的参考方向，见图 2-2中所示。
图 2-2
7
列出节点电流方程节点① –? 1 +? 2 +? 3 = 0
选取独立回路，并指定绕行方向，列回路方程回路 1 7? 1 + 11? 2 = 6 – 70 = – 64
回路 2 -11i2+7i3= -6
联立求解，得到,? 1 = – 6 A
2 = – 2 A
3 = – 4 A
支路电流?1,?2,?3的值为负，说明?1,?2、
3的实际方向与参考方向相反。
8
（ 2）求各电阻上吸收的功率。电阻吸收的功率电阻 R1吸收的功率电阻 R2吸收的功率电阻 R3吸收的功率
W 2 5 276)(P 21
W 1 1 27)4(P 23
W 4411)2(P 22
9
2.2 节 点 电 压 法在电路中任意选择一个节点为非独立节点,称此节点为参考点 。 其它独立节点与参考点之间的电压,
称为该节点的节点电压 。
节点电压法是以节点电压为求解电路的未知量,
利用基尔霍夫电流定律和欧姆定律导出 （ ｎ –１ ） 个独立节点电压为未知量的方程,联立求解,得出各节点电压 。 然后进一步求出各待求量 。
节点电压法适用于结构复杂,非平面电路,独立回路选择麻烦,以及节点少,回路多的电路的分析求解 。 对于 n个节点,m条支路的电路,节点电压法仅需
（ n – 1） 个独立方程,比支路电流法少 [m –（ n – 1） ]
个方程 。
10
2.2.1 节点电压方程式的一般形式图 2-3所示是具有三个节点的电路,下面以该图为例说明用节点电压法进行的电路分析方法和求解步骤,导出节点电压方程式的一般形式 。
图 2-3
11
0212S1S iiii
0S 3232 iiii S
)(G
R
G
R
212
2
21
2
11
1
1
1
uu
uu
i
u
u
i
节点 ①
节点 ②
首先选择节点 ③ 为参考节点,则 u3 = 0。 设节点 ①
的电压为 u1,节点 ② 的电压为 u2,各支路电流及参考方向见图 2-3中的标示 。 应用基尔霍夫电流定律,对节点
①,节点 ② 分别列出节点电流方程：
用节点电压表示支路电流
12
23
3
2
3 GR u
ui
0RR
2
21
1
1
S2S1?
uuuii
0RR
3
2
2
21
32S
u
uu
ii S
S2S12
2
1
21 R
1)
R
1
R
1( iiu u
代入节点 ①,节点 ② 电流方程,得到整理后可得：
2Siiuu S32
32
1
2
)R 1R 1(R 1
13
节点 ① 方程中的 （ G1 + G2） 是与节点 ① 相连接的各支路的电导之和,称为节点 ① 的自电导,用 G11表示 。
由于 （ G1 + G2） 取正值,故 G11=（ G1 + G2） 也取正值 。
节点 ① 方程中的 -G2是连接节点 ① 和节点 ② 之间支路的电导之和,称为节点 ① 和节点 ② 之间的互电导,用
G12表示 。 由于 G2取正值,故 G12 = - G2取负值 。
节点 ② 方程中的 （ G2 + G3） 是与节点 ② 相连接的各支路的电导之和,称为节点 ② 的自电导,用 G22表示 。
由于 （ G2 + G3） 取正值,故 G22=（ G2 + G3） 也取正值 。
分析上述节点方程,可知：
14
节点②方程中的 G2是连接节点②和节点①之间各支路的电导之和,-G2 称为节点②和节点①之间的互电导，
用 G21表示。且 G12 = G21,故 G21取负值。
S 1 1221111 G G iuu
22S222112 G G iuu
iS1 + iS2是流向节点 ① 的理想电流源电流的代数和,
用 iS11表示 。 流入节点的电流取,+” ； 流出节点的取
,–,。
iS3 – iS2是流向节点 ② 的理想电流源电流的代数和,用 iS22
表示 。 iS3,iS2前的符号取向同上 。根据以上分析,节点电压方程可写成,
15
这是具有两个独立节点的电路的节点电压方程的一般形式。也可以将其推广到具有 n个节点（独立节点为 n
– 1 个）的电路，具有 n个节点的节点电压方程的一般形式为：
综合以上分析,采用节点电压法对电路进行求解
,可以根据节点电压方程的一般形式直接写出电路的节点电压方程 。 其步骤归纳如下：
1)1) ( nS ( n1)-(n1)-1) ( n-(n21) 2-(n11) 1-(n
S 221)(n1)2( n222121
S 111)(n1)1( n221111
GGG
GG G
GG G
iuuu
iuuu
iuuu
16
（ 1）指定电路中某一节点为参考点，标出各独立节点电位（符号）。
（ 2）按照节点电压方程的一般形式，根据实际电路直接列出各节点电压方程。
列写第 K个节点电压方程时，与 K节点相连接的支路上电阻元件的电导之和（自电导）一律取,+”号；与 K节点相关联支路的电阻元件的电导 （互电导）一律取,–,号。流入 K节点的理想电流源的电流取,+”号；流出的则取
,–,号。
17
2.3 网孔电流法网孔电流法是以网孔电流作为电路的变量，
利用基尔霍夫电压定律列写网孔电压方程，进行网孔电流的求解。然后再根据电路的要求，
进一步求出待求量。
2.3.1 网孔电流法的一般步骤网孔电流是一个假想沿着各自网孔内循环流动的电流，
见图 2-4中的标示。设网孔①的电流为 i?1； 网孔②的电流为 i?2； 网孔③的电流为 i?3。 网孔电流在实际电路中是不存在的，但它是一个很有用的用于计算的量。选定图中电路的支路电流参考方向，再观察电路可知，假想的网孔电流与支路 电流电流有以下的关系：
18
i1 = i?1 i2 = i?2 i3 = i?2 + i?3
i4 = i?2– i?1 i5 = i?1 + i?3 i6 = i?3
图 2-4 网孔电流法
19
用网孔电流替代支路电流列出各网孔电压方程：
网孔 ① R1i?1+ R4（ i?1 –i?2 ） + R5（ i?1 + i?3） = -uS1
网孔 ② R2i?2 + R4（ i?2 –i?1） + R3（ i?2 + i?3） = uS2–uS3
网孔 ③ R6i?3 + R3（ i?2 + i?3） + R5（ i?1 + i?3） = - uS3
将网孔电压方程进行整理为：
网孔 ① （ R1 + R4 + R5 ） i?1 – R4i?2 + R5i?3 = -uS1
网孔 ② –R4i?1 +（ R2 + R3+ R4） i?2 + R3i?3 = uS2 – uS3
网孔 ③ R5i?1 + R3i?2 +（ R3 + R5 + R6） i?3 = - uS3
20
（ 1） 网孔 ① 中电流 i?1的系数 （ R1+R4+R5）,网络
② 中电流 i?2的系数 （ R2+R3+R4）,网孔 ③ 中电流 i?3
的系数 （ R3+R5+R6） 分别为对应网孔电阻之和,称为网孔的自电阻,用 Rij表示,i代表所在的网孔 。
（ 2） 网孔 ① 方程中 i?2前的系数 -R4,它是网孔 ①,
网孔 ② 公共支路上的电阻,称为网孔间的互电阻,
用 R12表示,R4前的负号表示网孔 ① 与网孔 ② 的电流通过 R4时方向相反； i?3前的系数 R5是网孔 ① 与网孔
③ 的互电阻,用 R13表示,R5取正表示网孔 ① 与网孔
③ 的电流通过 R5时方向相同；网孔 ②,网孔 ③ 方程中互电阻与此类似 。
分析上述网络电压方程可知,
21
互电阻可正可负，如果两个网孔电流的流向相同，互电阻取正值；反之，互电阻取负值，且
Rij= Rji,如 R23 = R32 = R3。
（ 3） -u S1,u S2 – u S3,-u S3 分别是网孔①、网孔 ②、
网孔③中的理想电压源的代数和。当网孔电 流从电压源的,+,端流出时，该电压源前取,+,号；否则取“
-,号。理想电压源的代数和称为网孔 i的等效电压源，
用 uS i i 表示,i代表所在的网孔。
根据以上分析，网孔①、②、③的电流方程可写成：
22
R11 i?1 + R12 i?2 + R13 i?3 = uS11
R21 i?1 + R22 i?2 + R23 i?3 = uS22
R31 i?1 + R32 i?2 + R33 i?3 = uS33
这是具有三个网孔电路的网孔电流方程的一般形式 。
也可以将其推广到具有 n个网孔的电路,n个网孔的电路网孔电流方程的一般形式为
R11 i?1 + R12 i?2 + … + R1n i?n = uS11
R21 i?1 + R22 i?2 + … + R2n i?n = uS22
┇
Rn1 i?1 + Rn2 i?2 + … +Rnn i?n = u S n n
综合以上分析,网孔电流法求解可以根据网孔电流方程的一般形式写出网孔电流方程 。
23
（ 1）选定各网孔电流的参考方向。
（ 2）按照网孔电流方程的一般形式列出各网孔电流方程。 自电阻始终取正值，互电阻前的符号由通过互电阻上的两个网孔电流的流向而定，两个网孔电流的流向相同，取正；否则取负。等效电压源是理想电压源的代数和，注意理想电压源前的符号。
（ 3）联立求解，解出各网孔电流。
（ 4）根据网孔电流再求待求量。
其步骤归纳如下：
24
2.3.2 电路中含有理想电流源支路的处理方法如果电路中含有一理想电流源支路，无电阻支路与之并联，它不能应用电源等效变换的方法将其变换成实际电压源，在这种情况下需要特殊处理。
下面以例 2-2为例介绍两种处理方法。
例 2-2 用网孔电流法求图 2-5所示电路中电流源两端的电压 u和电压源支路的电流 i。
25
图 2-5 例 2-2图解,方法一,在选取网孔时，使含有理想电流源支路仅属于一个网孔，该网孔电流,列写网孔电流方程
si
sm ii
网孔 1 65.135.4
321 iii
附加方程网孔 2 053
321 iii
Ai 5.03?
26
联立求解，可得
1A83.1 21 iAi ；
电压源支路电流
Aii 83.11
电流源两端的电压
V
iiiiu
55.133.25.1
)(1)(5.1 3231
方法二,一个理想电流源电流 是已知的，在外电路给定的条件下，其两端的电压也是确定的。设两端电压为，把电流源的电压作为电路变量，用于网孔电流法中。网孔的选择不受电流源支路的限制，
但增加了一个电路变量，还需增加一个理想电流源与网孔电流之间的约束关系的附加方程，方能求解。
si
27
设网孔电流分别为,电流源两端电压为,列写网孔电流方程 321 iii,、u
网孔 1
网孔 2
网孔 3
65.135.4 321 iii
053 321 iii
uiii 321 5.25.1
附加方程
5.03?i
联立求解，可得
AiAi 183.1 21 ；
电压源支路电流
Aii 83.11
28
电流源两端的电压
V
iiiiu
55.133.25.1
)(1)(5.1 3231
比较上述两种方法，可知第一种处理方法网孔电流方程少，计算方便，计算量小，
显得更为简单。如果电路所含理想电流源仅属于一个网孔，当然应该采用方法一进行电路求解，但电路中理想电流源属于多个网孔，
则只有采用方法二。
29
2.4 叠 加 定 理叠加性是线性电路的基本性质,叠加定理是反映线性电路特性的重要的定理,是线性网络电路分析中普遍适用的重要原理,在电路理论上占有重要的地位 。
下面以图 2-6电路求支路电流 i1为例介绍叠加定理 。
图 2-6 叠 加 定 理
30
S2
S22121 u R)R(R
ii
i i
S
21
2
S
21
1 RR
R
RR
1 iui
1 1S
21
2
S
21
11 RR
R
RR
1 iiiuii
由图 2-6（ a） 可知支路电流 i1与网孔电流 i?1是相等的,即图 2-6（ a） 是一个双网孔电路,现用网孔电流法进行求解 。 支路电流和网孔电流的参考方向如图 2-6（ a） 中所示,其网孔 1方程为：
联立求解
31
分析上式,支路电流 i1由两个分量组成,一个是 i '1 =
uS / （ R1 + R2）,仅与电压源 uS有关；另一个 i "1 = – R2
iS / （ R1 + R2）,仅与电流源 is有关 。 它们都是电路中各电源单独作用产生的结果,且是单独作用电源的一次函数 。
我们不仿用相应的电路模型将求这两个分量电流的对应电路描述出来：
从表达式 i‘1= uS / (R1 + R2） 可知，这是一个电压源与两个电阻串联组成的电路,i‘1是电压源作用下，回路中产生的电流。电流源不起作用，即 is = 0,相当于开路。
对应的电路如图 2-6（ b） 所示。
32
S
21
21
RR
R ii
这也就是说图 2-6（ a） 中的支路电流 i1为各理想电源单独作用产生的电流之和 。 但对由 m条支路,?个独立回路的线性电路,求解支路电流都成立,并且也适合求电压 。
综合以上分析,得出以下结论：
在含有多个激励源的线性电路中,任一支路的电流 （ 或电压 ） 等于各理想激励源单独作用在该电路时,
在该支路中产生的电流 （ 或两点间产生的电压 ） 的代数之和 。
线性电路的这一性质称之为叠加定理 。
由表达式 可知,这是一个电流源,两个并联电阻组成的电路,i”1 是电流源作用下,并联电阻 R1
所在支路中产生的电流 。 电压源不起作用,即 uS = 0,相当于短路,对应的电路如图 2-6（ C） 所示 。
33
应用叠加定理求解电路的步骤如下：
（ 1）将含有多个电源的电路，分解成若干个仅含有单个电源的分电路。并给出每个分电路的电流或电压的参考方向。在考虑某一电源作用时，其余的理想电源应置为零，即理想电压源短路；理想电流源开路。
（ 2）对每一个分电路进行计算，求出各相应支路的分电流、分电压。
（ 3）将求出的分电路中的电压、电流进行叠加，
求出原电路中的支路电流、电压。
叠加是代数量相加，当分量与总量的参考方向一致，取,+”号；与总量的参考方向相反，则取,–,号。
34
置换定理的内容是指：在任意的具有唯一解的线性和非线性电路中,若已知其第 K条支路的电压为 uK和电流为 iK,无论该支路是由什么元件组成,都可以把这条支路移去,而用一个理想电压源来代替,这个电压源的电压 uS的大小和极性与 K支路电压 uK的大小及极性一致；
或用一个理想电流源来代替,这个电流源的电流 iS的大小和极性与 K支路电流 iK的大小及极性一致 。 若置换后电路仍有唯一的解,则不会影响电路中其它部分的电流和电压 。
例 2-3 图 2-7所示是一个具有三条支路,两个网孔的线性电路,uS1 = 30V,uS2 = 24V,R1 = R2 = R3 =
10Ω。
2.5 置 换 定 理
35
按指定的各支路电流参考方向和独立回路参考方向，
求出各支路电流和电压。
图 2-7
S23322
S2S12211
321
RR
RR
uii
uuii
iii
2
1
0
回路回路节点解：（ 1）求支路电流。对图 2- 7(a)列电路方程
36
A 8.1
10
18
A 6.0
10
1824
3
2
3
S
SS2
2
R
R
u
i
uu
i
A 2.16.08.1231 iii
联立求解,得出
i1 = 1.2A； i2 = 0.6A ； i3 = 1.8A
（ 2） 求支路电压。各支路电压均等于节电电压将图 2-7 (a)中的 R1与 uS1串联的支路用一个理想电压源 uS
置换,uS = u1 = 18V,极性与 u1相同,电路如图 2-7（ b）
所示 。 重新计算各支路电流 。
已知节点 a的电压 ua = uS = 18V
支路电流由 KCL
1 8 V101,8R 33321a iuuuu
37
置换后所得电流 i1,i2,i3的值与图 2-7（ a） 电路用支路法所求得的值相等 。 虽然被置换的电压源的电流可以是任意的,但因为在置换前后,被置换的部分的工作条件没有改变,电路其它部分的结构没有改变,i2,i3电流没有改变,流过电压源 uS的电流 i1也不会改变,是唯一的 。 也可以用电压源置换其它支路或用电流源进行置换,结果都是一致的 。
置换定理的应用可以从一条支路推广到一部分电路,只要这部分电路与其它电路只有两个连接点,就可以利用置换定理把电路分成两部分,也可以把一个复杂电路分成若干部分,使计算得到简化 。
38
2.6 戴维南定理和诺顿定理
2.6.1 戴维南定理图 2-8 戴维南定理戴维南定理指出：对于任意一个线性有源二端网络，如图 2-8（ a）,可用一个电压源及其内阻 RS的串联组合来代替，如图 2-8（ b） 所示。电压源的电压为该网络 N的开路电压 uOC,见图 2-8（ c）； 内阻 RS等于该网络 N中所有理想电源为零时，从网络两端看进去的电阻，见图 2-8（ d）。
39
SC
OC
SR i
u?
网络 N的开路电压 uOC的计算方法可根据网络 N的实际情况,适当地选用所学的电阻性网络分析的方法及电源等效变换,叠加原理等进行 。
内阻 RS的计算,除了可用无源二端网络的等效变换方法求出其等效电阻,还可以采用以下两种方法：
（ 1） 开路 / 短路法,
先分别求出有源二端网络的开路电压 uOC 和短路电流 iSC,如图 2-8 (a),(b)所示,再根据戴维南等效电路求出入端电阻,如图 2-8 (c)所示 。
40
（ 2） 外加电源法
S
SR
i
u
S?
令网络 N中所有理想电源为零,在所得到的无源二端网络两端之间外加一个电压源 uS （ 或 iS） 如图 2-9
（ a）,求出电压源提供的电流 iS（ 或电流源两端的电压
uS）,再根据图 2-9（ b） 求出入端电阻：
图 2-9
41
解,(1) 将待求支路电阻 R作为负载断开,电路的剩余部分构成有源二端网络,如图 2-10(b)所示 。
例 2-4：用戴维南定理求图 2-10所示电路中的电流 I。
图 2-10
（ 2） 求解网络的开路电压 UOC。 该例用叠加定理求解较简便,电源单独作用时的电路如图 2-10
(c),(d)所示 。
42
得开路电压,
US=UOC=U/OC+U//OC=2.667+10.667=13.334V
（ 3） 求等效电压源内阻 RS。 将图 2-10 (b)电路中的电压源短路、电流源开路，得到如图 2-11 (a)
所示无源二端网络，其等效电阻为
Ω 2,6 6 7
84
84
RR
RRR
21
21
S
Ω
84
4
I
RR
RR
U
Ω 2,6 6 78
84
4
R
RR
U
U
21
21
OC
2
21
S1
OC
6 6 7.104
8
2
S
43
A 24667.2 334.13RR UsI
S
画出戴维南等效电路，接入负载 R支路，如图 2-11
（ b） 所示，求得图 2-11 戴维南等效电路
44
第 2章 小 结
1.支路电流法支路电流法是以支路电流作为电路的待求量，列出与支路电流数目相等的方程。在选定各支路电流参考方向的情况下，首先应用基尔霍夫电流定律列出独立节方程，其余的方程在独立回路选定绕行方向后，应用基尔霍夫电压定律和欧姆定律列出回路电压方程，
然后联立解出各支路的电流。可以根据要求，再进一步求出其他待求量。
支路电流法适用于支路少的情况。
45
2.节点电压法节点电压法是以节点电压为求解电路的未知量，利用基尔霍夫定律和欧姆定律导出（ n-1）个独立节点的电压方程，或根据节点电压方程的一般形式，代入已知的参数，自电导之和取,+”号,互电导取,－,号，
流入节点的理想电流源的电流为正、流出的则为负，
直接列出各节点电压方程，联立求解，得出各节点电压。
3.网孔电流法网孔电流法是以网孔电流作为电路的变量，利用基尔霍夫电压定律和欧姆定律列写网孔电流方程，进行网孔电流的求解，然后再根据电路的要求，进一步求出待求量。
46
4.叠加定理叠加定理是指在含有多个激励源的线性电路中，任一支路的电流（或任意两点间的电压）等于各理想激励源单独作用在该电路时，在该支路中产生的电流（或该两点间产生的电压）的代数之和。
5.戴维南定理和诺顿定理戴维南定理指出,对于任意一个线性有源二端网络，
可用一个电压源及内阻为的串联组合来代替。电压源的电压为该网络的开路电压，内阻等于该网络中所有理想电源为零时，从网络两端看进去的电阻。
诺顿定理指出,对于任意一个线性有源二端网络，可用一个电流源及内阻为的并联组合来代替。电流源的电流为该网络的短路电流，内阻等于该网络中所有理想电源为零时，从网络两端看进去的电阻。
47
置换定理是指在任意的具有唯一解的线性和非线性电路中，若已知其第条支路的电压为和电流为，无论该支路是由什么元件组成，都可以把这条支路移去，而用一个理想电压源来代替，这个电压源的电压的大小和极性与支路电压的大小和极性一致；或用一个理想电流源来代替，这个电流源的电流的大小和极性与支路电流的大小和极性一致。若置换后电路仍有唯一的解，则不会影响电路中其他部分的电流和电压。
6.置换定理
2,1 支 路 电 流 法
2.2 节 点 电 压 法
2.3 网 孔 电 流 法
2.4 迭 加 定 理
2.5 置 换 定 理
2.6 戴维南定理和诺顿定理第 2章 电阻性网络分析的一般方法
2
【 本章重点 】
●支路电流法及其在电路分析、计算中的运用。
● 节点电压法、网孔电流法。
● 叠加定理、戴维南定理。
● 诺顿定理、置换定理。
● 节点电压法、网孔电流法。
● 综合运用电路的分析方法和重要定理解决复杂电路。
【 本章难点 】
3
2.1 支路电流法支路电流法是以支路电流作为电路的变量，直接应用基尔霍夫电压、电流定律，列出与支路电流数目相等的独立节点电流方程和回路电压方程，然后联立解出各支路电流的一种方法。
以图 2-1为例说明其方法和步骤：
（ 1）由电路的支路数 m,确定待求的支路电流。该电路 m=6,则支路电流有 i1,i2…,i6六个。
（ 2）节点数 n=4,可列出 n-1个独立的节点方程。
0
0
0
653
432
621
iii
iii
iii节点 1-3
4
（ 3）根据 KVL列出回路方程。选取 l=m-(n-1) 个独立的回路，选定绕性方向，由 KVL列出 l个独立的回路方程。
图 2-1 支 路 电 流 法
5
回路 1-3
0663322
2554433
1442211
RiRiRi
uRiRiRi
uRiRiRi
S
S
（ 4）将六个独立方程联立求解，得各支路电流。
如果支路电流的值为正,则表示实际电流方向与参考方向相同；如果某一 支路的电流值为负,则表示实际电流的方向与参考方向相反 。
（ 5） 根据电路的要求,求出其他待求量,如支路或元件上的电压、功率等。
6RP 2 iiu
例 2-1 用支路电流法求解下图所示电路中各支路电流及各电阻上吸收的功率 。
解：（ 1）求各支路电流。 该电路有三条支路、两个节点。首先指定各支路电流的参考方向，见图 2-2中所示。
图 2-2
7
列出节点电流方程节点① –? 1 +? 2 +? 3 = 0
选取独立回路，并指定绕行方向，列回路方程回路 1 7? 1 + 11? 2 = 6 – 70 = – 64
回路 2 -11i2+7i3= -6
联立求解，得到,? 1 = – 6 A
2 = – 2 A
3 = – 4 A
支路电流?1,?2,?3的值为负，说明?1,?2、
3的实际方向与参考方向相反。
8
（ 2）求各电阻上吸收的功率。电阻吸收的功率电阻 R1吸收的功率电阻 R2吸收的功率电阻 R3吸收的功率
W 2 5 276)(P 21
W 1 1 27)4(P 23
W 4411)2(P 22
9
2.2 节 点 电 压 法在电路中任意选择一个节点为非独立节点,称此节点为参考点 。 其它独立节点与参考点之间的电压,
称为该节点的节点电压 。
节点电压法是以节点电压为求解电路的未知量,
利用基尔霍夫电流定律和欧姆定律导出 （ ｎ –１ ） 个独立节点电压为未知量的方程,联立求解,得出各节点电压 。 然后进一步求出各待求量 。
节点电压法适用于结构复杂,非平面电路,独立回路选择麻烦,以及节点少,回路多的电路的分析求解 。 对于 n个节点,m条支路的电路,节点电压法仅需
（ n – 1） 个独立方程,比支路电流法少 [m –（ n – 1） ]
个方程 。
10
2.2.1 节点电压方程式的一般形式图 2-3所示是具有三个节点的电路,下面以该图为例说明用节点电压法进行的电路分析方法和求解步骤,导出节点电压方程式的一般形式 。
图 2-3
11
0212S1S iiii
0S 3232 iiii S
)(G
R
G
R
212
2
21
2
11
1
1
1
uu
uu
i
u
u
i
节点 ①
节点 ②
首先选择节点 ③ 为参考节点,则 u3 = 0。 设节点 ①
的电压为 u1,节点 ② 的电压为 u2,各支路电流及参考方向见图 2-3中的标示 。 应用基尔霍夫电流定律,对节点
①,节点 ② 分别列出节点电流方程：
用节点电压表示支路电流
12
23
3
2
3 GR u
ui
0RR
2
21
1
1
S2S1?
uuuii
0RR
3
2
2
21
32S
u
uu
ii S
S2S12
2
1
21 R
1)
R
1
R
1( iiu u
代入节点 ①,节点 ② 电流方程,得到整理后可得：
2Siiuu S32
32
1
2
)R 1R 1(R 1
13
节点 ① 方程中的 （ G1 + G2） 是与节点 ① 相连接的各支路的电导之和,称为节点 ① 的自电导,用 G11表示 。
由于 （ G1 + G2） 取正值,故 G11=（ G1 + G2） 也取正值 。
节点 ① 方程中的 -G2是连接节点 ① 和节点 ② 之间支路的电导之和,称为节点 ① 和节点 ② 之间的互电导,用
G12表示 。 由于 G2取正值,故 G12 = - G2取负值 。
节点 ② 方程中的 （ G2 + G3） 是与节点 ② 相连接的各支路的电导之和,称为节点 ② 的自电导,用 G22表示 。
由于 （ G2 + G3） 取正值,故 G22=（ G2 + G3） 也取正值 。
分析上述节点方程,可知：
14
节点②方程中的 G2是连接节点②和节点①之间各支路的电导之和,-G2 称为节点②和节点①之间的互电导，
用 G21表示。且 G12 = G21,故 G21取负值。
S 1 1221111 G G iuu
22S222112 G G iuu
iS1 + iS2是流向节点 ① 的理想电流源电流的代数和,
用 iS11表示 。 流入节点的电流取,+” ； 流出节点的取
,–,。
iS3 – iS2是流向节点 ② 的理想电流源电流的代数和,用 iS22
表示 。 iS3,iS2前的符号取向同上 。根据以上分析,节点电压方程可写成,
15
这是具有两个独立节点的电路的节点电压方程的一般形式。也可以将其推广到具有 n个节点（独立节点为 n
– 1 个）的电路，具有 n个节点的节点电压方程的一般形式为：
综合以上分析,采用节点电压法对电路进行求解
,可以根据节点电压方程的一般形式直接写出电路的节点电压方程 。 其步骤归纳如下：
1)1) ( nS ( n1)-(n1)-1) ( n-(n21) 2-(n11) 1-(n
S 221)(n1)2( n222121
S 111)(n1)1( n221111
GGG
GG G
GG G
iuuu
iuuu
iuuu
16
（ 1）指定电路中某一节点为参考点，标出各独立节点电位（符号）。
（ 2）按照节点电压方程的一般形式，根据实际电路直接列出各节点电压方程。
列写第 K个节点电压方程时，与 K节点相连接的支路上电阻元件的电导之和（自电导）一律取,+”号；与 K节点相关联支路的电阻元件的电导 （互电导）一律取,–,号。流入 K节点的理想电流源的电流取,+”号；流出的则取
,–,号。
17
2.3 网孔电流法网孔电流法是以网孔电流作为电路的变量，
利用基尔霍夫电压定律列写网孔电压方程，进行网孔电流的求解。然后再根据电路的要求，
进一步求出待求量。
2.3.1 网孔电流法的一般步骤网孔电流是一个假想沿着各自网孔内循环流动的电流，
见图 2-4中的标示。设网孔①的电流为 i?1； 网孔②的电流为 i?2； 网孔③的电流为 i?3。 网孔电流在实际电路中是不存在的，但它是一个很有用的用于计算的量。选定图中电路的支路电流参考方向，再观察电路可知，假想的网孔电流与支路 电流电流有以下的关系：
18
i1 = i?1 i2 = i?2 i3 = i?2 + i?3
i4 = i?2– i?1 i5 = i?1 + i?3 i6 = i?3
图 2-4 网孔电流法
19
用网孔电流替代支路电流列出各网孔电压方程：
网孔 ① R1i?1+ R4（ i?1 –i?2 ） + R5（ i?1 + i?3） = -uS1
网孔 ② R2i?2 + R4（ i?2 –i?1） + R3（ i?2 + i?3） = uS2–uS3
网孔 ③ R6i?3 + R3（ i?2 + i?3） + R5（ i?1 + i?3） = - uS3
将网孔电压方程进行整理为：
网孔 ① （ R1 + R4 + R5 ） i?1 – R4i?2 + R5i?3 = -uS1
网孔 ② –R4i?1 +（ R2 + R3+ R4） i?2 + R3i?3 = uS2 – uS3
网孔 ③ R5i?1 + R3i?2 +（ R3 + R5 + R6） i?3 = - uS3
20
（ 1） 网孔 ① 中电流 i?1的系数 （ R1+R4+R5）,网络
② 中电流 i?2的系数 （ R2+R3+R4）,网孔 ③ 中电流 i?3
的系数 （ R3+R5+R6） 分别为对应网孔电阻之和,称为网孔的自电阻,用 Rij表示,i代表所在的网孔 。
（ 2） 网孔 ① 方程中 i?2前的系数 -R4,它是网孔 ①,
网孔 ② 公共支路上的电阻,称为网孔间的互电阻,
用 R12表示,R4前的负号表示网孔 ① 与网孔 ② 的电流通过 R4时方向相反； i?3前的系数 R5是网孔 ① 与网孔
③ 的互电阻,用 R13表示,R5取正表示网孔 ① 与网孔
③ 的电流通过 R5时方向相同；网孔 ②,网孔 ③ 方程中互电阻与此类似 。
分析上述网络电压方程可知,
21
互电阻可正可负，如果两个网孔电流的流向相同，互电阻取正值；反之，互电阻取负值，且
Rij= Rji,如 R23 = R32 = R3。
（ 3） -u S1,u S2 – u S3,-u S3 分别是网孔①、网孔 ②、
网孔③中的理想电压源的代数和。当网孔电 流从电压源的,+,端流出时，该电压源前取,+,号；否则取“
-,号。理想电压源的代数和称为网孔 i的等效电压源，
用 uS i i 表示,i代表所在的网孔。
根据以上分析，网孔①、②、③的电流方程可写成：
22
R11 i?1 + R12 i?2 + R13 i?3 = uS11
R21 i?1 + R22 i?2 + R23 i?3 = uS22
R31 i?1 + R32 i?2 + R33 i?3 = uS33
这是具有三个网孔电路的网孔电流方程的一般形式 。
也可以将其推广到具有 n个网孔的电路,n个网孔的电路网孔电流方程的一般形式为
R11 i?1 + R12 i?2 + … + R1n i?n = uS11
R21 i?1 + R22 i?2 + … + R2n i?n = uS22
┇
Rn1 i?1 + Rn2 i?2 + … +Rnn i?n = u S n n
综合以上分析,网孔电流法求解可以根据网孔电流方程的一般形式写出网孔电流方程 。
23
（ 1）选定各网孔电流的参考方向。
（ 2）按照网孔电流方程的一般形式列出各网孔电流方程。 自电阻始终取正值，互电阻前的符号由通过互电阻上的两个网孔电流的流向而定，两个网孔电流的流向相同，取正；否则取负。等效电压源是理想电压源的代数和，注意理想电压源前的符号。
（ 3）联立求解，解出各网孔电流。
（ 4）根据网孔电流再求待求量。
其步骤归纳如下：
24
2.3.2 电路中含有理想电流源支路的处理方法如果电路中含有一理想电流源支路，无电阻支路与之并联，它不能应用电源等效变换的方法将其变换成实际电压源，在这种情况下需要特殊处理。
下面以例 2-2为例介绍两种处理方法。
例 2-2 用网孔电流法求图 2-5所示电路中电流源两端的电压 u和电压源支路的电流 i。
25
图 2-5 例 2-2图解,方法一,在选取网孔时，使含有理想电流源支路仅属于一个网孔，该网孔电流,列写网孔电流方程
si
sm ii
网孔 1 65.135.4
321 iii
附加方程网孔 2 053
321 iii
Ai 5.03?
26
联立求解，可得
1A83.1 21 iAi ；
电压源支路电流
Aii 83.11
电流源两端的电压
V
iiiiu
55.133.25.1
)(1)(5.1 3231
方法二,一个理想电流源电流 是已知的，在外电路给定的条件下，其两端的电压也是确定的。设两端电压为，把电流源的电压作为电路变量，用于网孔电流法中。网孔的选择不受电流源支路的限制，
但增加了一个电路变量，还需增加一个理想电流源与网孔电流之间的约束关系的附加方程，方能求解。
si
27
设网孔电流分别为,电流源两端电压为,列写网孔电流方程 321 iii,、u
网孔 1
网孔 2
网孔 3
65.135.4 321 iii
053 321 iii
uiii 321 5.25.1
附加方程
5.03?i
联立求解，可得
AiAi 183.1 21 ；
电压源支路电流
Aii 83.11
28
电流源两端的电压
V
iiiiu
55.133.25.1
)(1)(5.1 3231
比较上述两种方法，可知第一种处理方法网孔电流方程少，计算方便，计算量小，
显得更为简单。如果电路所含理想电流源仅属于一个网孔，当然应该采用方法一进行电路求解，但电路中理想电流源属于多个网孔，
则只有采用方法二。
29
2.4 叠 加 定 理叠加性是线性电路的基本性质,叠加定理是反映线性电路特性的重要的定理,是线性网络电路分析中普遍适用的重要原理,在电路理论上占有重要的地位 。
下面以图 2-6电路求支路电流 i1为例介绍叠加定理 。
图 2-6 叠 加 定 理
30
S2
S22121 u R)R(R
ii
i i
S
21
2
S
21
1 RR
R
RR
1 iui
1 1S
21
2
S
21
11 RR
R
RR
1 iiiuii
由图 2-6（ a） 可知支路电流 i1与网孔电流 i?1是相等的,即图 2-6（ a） 是一个双网孔电路,现用网孔电流法进行求解 。 支路电流和网孔电流的参考方向如图 2-6（ a） 中所示,其网孔 1方程为：
联立求解
31
分析上式,支路电流 i1由两个分量组成,一个是 i '1 =
uS / （ R1 + R2）,仅与电压源 uS有关；另一个 i "1 = – R2
iS / （ R1 + R2）,仅与电流源 is有关 。 它们都是电路中各电源单独作用产生的结果,且是单独作用电源的一次函数 。
我们不仿用相应的电路模型将求这两个分量电流的对应电路描述出来：
从表达式 i‘1= uS / (R1 + R2） 可知，这是一个电压源与两个电阻串联组成的电路,i‘1是电压源作用下，回路中产生的电流。电流源不起作用，即 is = 0,相当于开路。
对应的电路如图 2-6（ b） 所示。
32
S
21
21
RR
R ii
这也就是说图 2-6（ a） 中的支路电流 i1为各理想电源单独作用产生的电流之和 。 但对由 m条支路,?个独立回路的线性电路,求解支路电流都成立,并且也适合求电压 。
综合以上分析,得出以下结论：
在含有多个激励源的线性电路中,任一支路的电流 （ 或电压 ） 等于各理想激励源单独作用在该电路时,
在该支路中产生的电流 （ 或两点间产生的电压 ） 的代数之和 。
线性电路的这一性质称之为叠加定理 。
由表达式 可知,这是一个电流源,两个并联电阻组成的电路,i”1 是电流源作用下,并联电阻 R1
所在支路中产生的电流 。 电压源不起作用,即 uS = 0,相当于短路,对应的电路如图 2-6（ C） 所示 。
33
应用叠加定理求解电路的步骤如下：
（ 1）将含有多个电源的电路，分解成若干个仅含有单个电源的分电路。并给出每个分电路的电流或电压的参考方向。在考虑某一电源作用时，其余的理想电源应置为零，即理想电压源短路；理想电流源开路。
（ 2）对每一个分电路进行计算，求出各相应支路的分电流、分电压。
（ 3）将求出的分电路中的电压、电流进行叠加，
求出原电路中的支路电流、电压。
叠加是代数量相加，当分量与总量的参考方向一致，取,+”号；与总量的参考方向相反，则取,–,号。
34
置换定理的内容是指：在任意的具有唯一解的线性和非线性电路中,若已知其第 K条支路的电压为 uK和电流为 iK,无论该支路是由什么元件组成,都可以把这条支路移去,而用一个理想电压源来代替,这个电压源的电压 uS的大小和极性与 K支路电压 uK的大小及极性一致；
或用一个理想电流源来代替,这个电流源的电流 iS的大小和极性与 K支路电流 iK的大小及极性一致 。 若置换后电路仍有唯一的解,则不会影响电路中其它部分的电流和电压 。
例 2-3 图 2-7所示是一个具有三条支路,两个网孔的线性电路,uS1 = 30V,uS2 = 24V,R1 = R2 = R3 =
10Ω。
2.5 置 换 定 理
35
按指定的各支路电流参考方向和独立回路参考方向，
求出各支路电流和电压。
图 2-7
S23322
S2S12211
321
RR
RR
uii
uuii
iii
2
1
0
回路回路节点解：（ 1）求支路电流。对图 2- 7(a)列电路方程
36
A 8.1
10
18
A 6.0
10
1824
3
2
3
S
SS2
2
R
R
u
i
uu
i
A 2.16.08.1231 iii
联立求解,得出
i1 = 1.2A； i2 = 0.6A ； i3 = 1.8A
（ 2） 求支路电压。各支路电压均等于节电电压将图 2-7 (a)中的 R1与 uS1串联的支路用一个理想电压源 uS
置换,uS = u1 = 18V,极性与 u1相同,电路如图 2-7（ b）
所示 。 重新计算各支路电流 。
已知节点 a的电压 ua = uS = 18V
支路电流由 KCL
1 8 V101,8R 33321a iuuuu
37
置换后所得电流 i1,i2,i3的值与图 2-7（ a） 电路用支路法所求得的值相等 。 虽然被置换的电压源的电流可以是任意的,但因为在置换前后,被置换的部分的工作条件没有改变,电路其它部分的结构没有改变,i2,i3电流没有改变,流过电压源 uS的电流 i1也不会改变,是唯一的 。 也可以用电压源置换其它支路或用电流源进行置换,结果都是一致的 。
置换定理的应用可以从一条支路推广到一部分电路,只要这部分电路与其它电路只有两个连接点,就可以利用置换定理把电路分成两部分,也可以把一个复杂电路分成若干部分,使计算得到简化 。
38
2.6 戴维南定理和诺顿定理
2.6.1 戴维南定理图 2-8 戴维南定理戴维南定理指出：对于任意一个线性有源二端网络，如图 2-8（ a）,可用一个电压源及其内阻 RS的串联组合来代替，如图 2-8（ b） 所示。电压源的电压为该网络 N的开路电压 uOC,见图 2-8（ c）； 内阻 RS等于该网络 N中所有理想电源为零时，从网络两端看进去的电阻，见图 2-8（ d）。
39
SC
OC
SR i
u?
网络 N的开路电压 uOC的计算方法可根据网络 N的实际情况,适当地选用所学的电阻性网络分析的方法及电源等效变换,叠加原理等进行 。
内阻 RS的计算,除了可用无源二端网络的等效变换方法求出其等效电阻,还可以采用以下两种方法：
（ 1） 开路 / 短路法,
先分别求出有源二端网络的开路电压 uOC 和短路电流 iSC,如图 2-8 (a),(b)所示,再根据戴维南等效电路求出入端电阻,如图 2-8 (c)所示 。
40
（ 2） 外加电源法
S
SR
i
u
S?
令网络 N中所有理想电源为零,在所得到的无源二端网络两端之间外加一个电压源 uS （ 或 iS） 如图 2-9
（ a）,求出电压源提供的电流 iS（ 或电流源两端的电压
uS）,再根据图 2-9（ b） 求出入端电阻：
图 2-9
41
解,(1) 将待求支路电阻 R作为负载断开,电路的剩余部分构成有源二端网络,如图 2-10(b)所示 。
例 2-4：用戴维南定理求图 2-10所示电路中的电流 I。
图 2-10
（ 2） 求解网络的开路电压 UOC。 该例用叠加定理求解较简便,电源单独作用时的电路如图 2-10
(c),(d)所示 。
42
得开路电压,
US=UOC=U/OC+U//OC=2.667+10.667=13.334V
（ 3） 求等效电压源内阻 RS。 将图 2-10 (b)电路中的电压源短路、电流源开路，得到如图 2-11 (a)
所示无源二端网络，其等效电阻为
Ω 2,6 6 7
84
84
RR
RRR
21
21
S
Ω
84
4
I
RR
RR
U
Ω 2,6 6 78
84
4
R
RR
U
U
21
21
OC
2
21
S1
OC
6 6 7.104
8
2
S
43
A 24667.2 334.13RR UsI
S
画出戴维南等效电路，接入负载 R支路，如图 2-11
（ b） 所示，求得图 2-11 戴维南等效电路
44
第 2章 小 结
1.支路电流法支路电流法是以支路电流作为电路的待求量，列出与支路电流数目相等的方程。在选定各支路电流参考方向的情况下，首先应用基尔霍夫电流定律列出独立节方程，其余的方程在独立回路选定绕行方向后，应用基尔霍夫电压定律和欧姆定律列出回路电压方程，
然后联立解出各支路的电流。可以根据要求，再进一步求出其他待求量。
支路电流法适用于支路少的情况。
45
2.节点电压法节点电压法是以节点电压为求解电路的未知量，利用基尔霍夫定律和欧姆定律导出（ n-1）个独立节点的电压方程，或根据节点电压方程的一般形式，代入已知的参数，自电导之和取,+”号,互电导取,－,号，
流入节点的理想电流源的电流为正、流出的则为负，
直接列出各节点电压方程，联立求解，得出各节点电压。
3.网孔电流法网孔电流法是以网孔电流作为电路的变量，利用基尔霍夫电压定律和欧姆定律列写网孔电流方程，进行网孔电流的求解，然后再根据电路的要求，进一步求出待求量。
46
4.叠加定理叠加定理是指在含有多个激励源的线性电路中，任一支路的电流（或任意两点间的电压）等于各理想激励源单独作用在该电路时，在该支路中产生的电流（或该两点间产生的电压）的代数之和。
5.戴维南定理和诺顿定理戴维南定理指出,对于任意一个线性有源二端网络，
可用一个电压源及内阻为的串联组合来代替。电压源的电压为该网络的开路电压，内阻等于该网络中所有理想电源为零时，从网络两端看进去的电阻。
诺顿定理指出,对于任意一个线性有源二端网络，可用一个电流源及内阻为的并联组合来代替。电流源的电流为该网络的短路电流，内阻等于该网络中所有理想电源为零时，从网络两端看进去的电阻。
47
置换定理是指在任意的具有唯一解的线性和非线性电路中，若已知其第条支路的电压为和电流为，无论该支路是由什么元件组成，都可以把这条支路移去，而用一个理想电压源来代替，这个电压源的电压的大小和极性与支路电压的大小和极性一致；或用一个理想电流源来代替，这个电流源的电流的大小和极性与支路电流的大小和极性一致。若置换后电路仍有唯一的解，则不会影响电路中其他部分的电流和电压。
6.置换定理
