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第 4章 耦合电感元件和理想变压器
4.1 耦 合 电 感 元 件
4.4 理 想 变 压 器
4.3 空心变压器电路的分析
4.2 耦合电感的去耦等效
2
【 本章重点 】
● 互感线圈、互感系数、耦合系数的含义。
● 互感电压和互感线圈的同名端。
● 互感线圈串联、并联去耦等效及型去耦等效。
● 空芯变压器电路在正弦稳态下的分析方法 —
回路分析法。
● 理想变压器的含义。理想变压器变换电压、
电流及阻抗的关系式。
【 本章难点 】
● 互感电压和互感线圈的同名端。
● 空芯变压器电路在正弦稳态下的分析方法 —— 回路分析法。
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4.1 耦合电感元件
4.1.1 耦合电感的概念图 4-1是两个相距很近的线圈（电感），当线圈 1中通入电流 i1时，在线圈 1中就会产生自感磁通 Φ11,而其中一部分磁通 Φ21 它不仅穿过线圈 1，
同时也穿过线圈 2，且 Φ21≤Φ11。 同样，若在线圈
2中通入电流 i2,它产生的自感磁通 Φ22,其中也有一部分磁通 Φ12不仅穿过线圈 2，同时也穿过线圈 1，且 Φ12 ≤Φ22 。 像这种一个线圈的磁通与另一个线圈相交链的现象，称为磁耦合，即互感。
Φ21 和 Φ12 称为耦合磁通或互感磁通。
4
假定穿过线圈每一匝的磁通都相等，则交链线圈 1的自感磁链与互感磁链分别为 ψ11 =N1Φ11，
ψ12=N1Φ12； 交链线圈 2的自感磁链与互感磁链分别为 ψ22=N2Φ22,ψ21=N2Φ21 。
图 4-1 磁通互助的耦合电感
5
上两式表明线圈 1对线圈 2的互感系数 M21，
等于穿越线圈 2的互感磁链与激发该磁链的线圈 1中的电流之比；线圈 2对线圈 1的互感系数 M12,等于穿越线圈 1
的互感磁链与激发该磁链的线圈 2中的电流之比。可以证明。
M21=M12=M
1
21
21 iM
2
12
12 iM
类似于自感系数的定义，互感系数的定义为：
我们以后不再加下标,一律用 M表示两线圈的互感系数,简称互感 。 互感的单位与自感相同,也是亨利
（ H） 。 因为 Φ21≤Φ11,Φ12≤Φ22,所以可以得出
6
两线圈的互感系数小于等于两线圈自感系数的几何平均值，即
21 LLM?
上式仅说明互感 M比 小 （ 或相等 ）,但并不能说明 M比 小到什么程度 。 为此,工程上常用耦合系数
K来表示两线圈的耦合松紧程度,其定义为
21LL
21LL
21 LLKM?
21 LL
MK?
可知,0≤K≤1,K值越大,说明两个线圈之间耦合越紧,当 K=1时,称全耦合,当 K=0时,说明两线圈没有耦合 。
则
7
耦合系数 K的大小与两线圈的结构,相互位置以及周围磁介质有关 。 如图 4-2(a)所示的两线圈绕在一起,其
K值可能接近 1。 相反,如图 4-2(b)所示,两线圈相互垂直,其 K值可能近似于零 。 由此可见,改变或调整两线圈的相互位置,可以改变耦合系数 K的大小 。
图 4-2
8
4.1.2 耦合电感元件的电压,电流关系当有互感的两线圈上都有电流时，交链每一线圈的磁链不仅与该线圈本身的电流有关，也与另一个线圈的电流有关。如果每个线圈的电压、电流为关联参考方向，且每个线圈的电流与该电流产生的磁通符合右手螺旋法则，而自感磁通又与互感磁通方向一致，
即磁通相助，如图 4-1所示。这种情况，交链线圈 1,2
的磁链分别为：
21112111 MiiL
12221222 MiiL
9
由电磁感应定律，当通过线圈的电流变化时，线圈两端会产生感应电压
dt
diM
dt
diL
dt
du 12
2
2
2
dt
diM
dt
diL
dt
du 21
1
1
1
式中,分别为线圈 1,2的自感电压,
,分别为线圈 1,2的互感电压 。
如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消，
如图 4-3所示，则耦合电感的电压、电流关系方程式为：
dt
diL 1
1 dt
diL 2
2
dt
diM 2
dt
diM 1
10图 4-3 磁通相消的耦和电感
dt
diM
dt
diL
dt
du 21
1
1
1
dt
diM
dt
diL
dt
du 12
2
2
2
11
对以上磁通相助、相消两种情况进行归纳总结得出：
自感电压,取正还是取负，取决于本电感的 u、
i的参考方向是否关联，若关联，自感电压取正；反之取负。
而互感电压,的符号这样确定：当两线圈电流均从同名端流入（或流出）时，线圈中磁通相助，互感电压与该线圈中的自感电压同号。即自感电压取正号时互感电压亦取正号，自感电压取负号时互感电压亦取负号；否则，当两线圈电流从异名端流入（或流出）时，由于线圈中磁通相消，故互感电压与自感电压异号，即自感电压取正号时互感电压取负号，反之亦然。
dt
diL 1
1 dt
diL 2
2
dt
diM 2
dt
diM 1
12
4.1.3 同名端线圈的同名端是这样规定的：具有磁耦合的两线圈，当电流分别从两线圈各自的某端同时流入（或流出）
时，若两者产生的磁通相助，则这两端叫作互感线圈的同名端，用黑点,·”或星号,*”作标记。
例如，对图 4-4 (a),当 i1、
i2分别由端纽 a和 d流入（或流出）时，它们各自产生的磁通相助，因此 a端和 d端是同名端（当然 b端和 c端也是同名端）； a端与 c端（或 b
端与 d端）称异名端。
图 4-4 同 名 端
13
有了同名端规定后，像图 4-4(a)所示的互感线圈在电路中可以用图 4-4(b)所示的模型表示，在图 4-4(b)
中，设电流 i1,i2分别从 a,d端流入，磁通相助，如果再设各线圈的 u,i为关联参考方向，那么两线圈上的电压分别为
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
如果像图 4-4(c)所示,设
i1仍从 a端流入,而 i2从 d端流出,可以判定磁通相消,那么两线圈上的电压分别为 dtdiMdtdiLu 2111
dt
diM
dt
diLu 12
22
14图 4-4 (b) (d) 磁通相助； (c) (e) 磁通相消
15
对于已标定同名端的耦合电感,可根据 u,i
的参考方向以及同名端的位置写出其 u-i关系方程 。
也可以将耦合电感的特性用电感元件和受控电压源来模拟，例如图 4-4 (b),(c) 电路可分别用
(d),(e) 电路来代替。可以看出：受控电压源（
互感电压）的极性与产生它的变化电流的参考方向对同名端是一致的。
这样,将互感电压模拟成受控电压源后,可直接由图 4-4(d),(e)写出两线圈上的电压,使用这种方法,在列写互感线圈 u— i关系方程时,
会感到非常方便 。
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4.2 耦合电感的去耦等效
4.2.1 耦合电感的串联等效耦合电感的串联有两种方式 —— 顺接和反接 。 顺接就是异名端相接,如图 4-5（ a） 所示 。
图 4-5 耦合电感顺接串联
17
把互感电压看作受控电压源后得电路如图 4-5(b)所示，由该图（顺接）可得其中 L=L1+L2+2M
由此可知，顺接串联的耦合电感可以用一个等效电感
L来代替，等效电感 L的值由式上式来定。
耦合电感的另一种串联方式是反接串联。 反接串联是同名端相接,如图 4-6(a)所示，把互感电压看作受控电压源后得电路如图 4-6(b)所示，由图 (b)图（反接）可得
dt
diL
dt
diMLL
dt
diM
dt
diL
dt
diM
dt
diLu )2(
2121
18
其中 L=L1+L2-2M
图 4-6 耦合电感的反接串联由此可知,
反接 串 联的 耦合电 感 可以 用一个等效电感 L
代替,等效 电感 L的值由上式来定 。
dt
diL
dt
diMLL
dt
diM
dt
diL
dt
diM
dt
diLu )2(
21211
19
4.2.2 耦合电感的 T型等效
1,互感线圈的同名端连在一起如图 4-7所示，为三支路共一节点、其中有两条支路存在互感的电路，由图可知,L1的 b端与 L2的 d端是同名端且连接在一起，两线圈上的电压分别为图 4-7 同名端相连的 T型去耦等效电路
20
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
将以上两式经数学变换,可得
dt iidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu 2111211111
dt iidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu 2122122222
画出两式 T型等效电路如图 4-7(b)所示。在图 (b)中因有 3个电感相互间无互感，它们的自感系数分别为 L1-M、
L2-M和 M,又连接成 T型结构形式，所以称之为互感线圈的 T型去耦等效电路。
21
2、互感线圈的异名端连接在一起图 4-8(a) 与图 4-7(a)两电路相比较结构一样，只是具有互感的两支路的异名端连接在一起，两线圈上的电压分别如右式
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
图 4-8 异名端相连的 T型去耦等效电路
22
同样将以上两式经数学变换，可得
dt iidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu 2111211111
dt iidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu 2122122222
画得 T型等效电路如图 4-8(b) 所示，这里 (b) 图中 -M
为一等效的负电感。
利用上述等效电路，可以得出如图 4-9(a) 和 (c) 所示的耦合电感并联的去耦等效电路，分别如图 4-9 (b) 和 (d)
所示。由图 (b) (d)应用无互感的电感串、并联关系，可以得到同名端、异名端连接时耦合电感并联的等效电感分别为,
23
MLL
MLL
MLML
MLMLML
221
2
21
21
21
MLL
MLL
MLML
MLMLML
221
2
21
21
21
图 4-9 两个耦和电感的并联
24
4.3 空芯变压器电路的分析变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号的器件。通常有一个初级线圈和一个次级线圈，初级线圈接电源，次级线圈接负载，能量可以通过磁场的耦合，由电源传递给负载。
常用的实际变压器有空芯变压器和铁芯变压器两种类型。所谓空芯变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并且具有互感的线圈组成的，其耦合系数较小，
属于松耦合。
因变压器是利用电磁感应原理而制成的，故可以用耦合电感来构成它的模型。这一模型常用于分析空芯变压器电路。
设空芯变压器电路如图 4-10(a) 所示，其中 R!,R2分别为变压器初、次级绕组的电阻,RL为负载电阻，设 uS
为正弦输入电压。
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互感的作用可以在电路中用增添受控电压源来计及，因此分析含耦合电感元件的电路时，常常使用回路分析法。如图 4-10(b)所示。
图 4-10 空心变压器电路由图 4-10 (b) 所示的相量模型图可列出回路方程为,
26
SUIMjILjR 2111
02221 IRLjRIMj L
或写为
SUIZIZ
212111
0222121 IZIZ
式中
Z11= R1 +jωL1 称为初级回路自阻抗；
Z22=R2 +jωL2 +RL 称为次级回路自阻抗；
Z12=Z21=jωM 称为初次级回路互阻抗。
可求得图 4-10(b)所示耦合电感的初级、次级电流相量分别为,
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21122211
22
2221
1211
22
12
1
0
ZZZZ
UZ
ZZ
ZZ
Z
ZU
I
S
S
S
L
L U
MRLjRLjR
RLjR?
22
2211
22
)()(
S
L
U
MRLjRLjR
MjI
22
2211
2
)()(
是由次级中的感应电压 产生的，根据图 4-
10(b)中所示的感应电压极性，不难理解第二式中负号的来历。显然，如果同名端的位置不同或电流参考方向不同，
互阻抗的符号将会改变。
2?I?1IMj?
28
对初级电流 来说，由于式中的 jωM以平方形式出现，
不管 jωM的符号为正还是为负，得出的 都是一样的。
求得由电源端看进去的输入阻抗为
1?I
r e f
L
S
i ZZRLjR
M
LjR
I
U
Z
11
22
22
11
1
由此可见，输入阻抗由两部分组成：
Z11=R1+jωL1,即初级回路的自阻抗；
22
22
22
22
Z
M
RLjR
MZ
L
r e f
Zref即次级回路在初级回路的反映阻抗
1?I
29
这就是说，次级回路对初级回路的影响可以用反映阻抗来计及。因此，由电源端看进去的等效电路，也就是初级等效电路应如图 4-11所示。当我们只需要求解初级电流时，可利用这一等效电路迅速求得结果。
图 4-11 初级等效电路反映阻抗的算法是很容易记住的，把
ω2M2除以次级回路的阻抗即为反映阻抗。显然，从以上推导可以看出：反映阻抗的概念不能用于次级含有独立源的耦合电感电路。
30
另外可求得次、初级电流之比为
LRLjR
Mj
I
I
221
2
22
1
22
1
2
Z
IMj
RLjR
IMjI
L
所以其中 是初级电流 通过互感而在次级线圈中产生的感应电压，次级电流就是这一电压作用的结果。因此,除以次级的总阻抗即得次级电流 。在算得 后，
可利用上式求出 。
1
IMj?
1?I
1
IMj?
LRLjR 22? 2?I
1
I
2
I
31
4.4 理想变压器理想变压器是铁芯变压器的理想化模型，它的唯一参数只是一个称之为变比的常数 n,而不是 L1,L2,M等参数，
理想变压器满足以下 3个理想条件：
(1) 耦合系数 K=1,即为全耦合，做芯的铁磁材料的磁导率 μ无穷大 。
(2) 自感系数 L1,L2为无穷大，但 L1/L2为常数。
(3) 无任何损耗，这意味着绕线圈的金属导线无任何电阻,
4.4.1 理想变压器两端口的电压、电流之间的关系图 4-12 (a) 所示的铁芯变压器，其初、次级匝数分别为
N1和 N2,可判定 a,c为同名端，设 i1,i2分别从同名端流入
（属磁通相助），设初、次级电压 u1,u2与各自线圈上的电流 i1,i2为关联参考方向 。
32
由于为全耦合，则线圈的互感磁通必等于自感磁通，
即 φ21=φ11,φ12=φ22,穿过初、次级线圈的磁通相同，
即图 4-12 变压器示意图及其模型
φ11+φ12=φ11+φ22=φ
φ22+φ21=φ22+φ11=φ
上式中 φ称为主磁通。
33
而与初、次级线圈交链的磁链 ψ1,ψ2分别分别为,
对 ψ1,ψ2求导，
得初、次级电压分别为,
dt
dN
dt
du
1
1
1
dt
dN
dt
du
2
2
2
所以
n
N
N
u
u
2
1
2
1
21 nuu?
或上式为理想变压器初、次级电压之间的关系。式中 n
称为匝比或变比，它等于初级与次级线圈的匝数之比。
理想变压器的电路模型如图 4-12(b) 所示。
ψ1=N1φ
ψ2=N2φ
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由安培环路定律
lslBHlNiNi 2211
由于 μ为无穷大，磁通 φ为有限值，因此
i1N1+i2N2=0
21
1
2
2
1 11 i
ninN
N
i
i 或上式反映了理想变压器初、次级电流之间的关系。
通过以上分析，说明理想变压器具有变换电压和电流的作用。在正弦稳态下，其相量形式为,
即
35
n
N
N
U
U
2
1
2
1
nN
N
I
I 1
1
2
2
1
应该强调以下几点：
（ 1）对于变压关系 式取,+”还是取,-”，仅取决于电压参考方向与同名端的位置。当 u1,u2参考方向在同名端极性相同时，则该式冠以,+”号；反之，
若 u1,u2参考方向一个在同名端为,+”，一个在异名端为,+”，该式冠以,-”号。
（ 2）对于变流关系式取,+”还是取,-”，仅取决于电流参考方向与同名端的位置。当初、次级电流 i1
,i2分别从同名端同时流入（或同时流出）时，该式冠以,-”号，反之若 i1,i2一个从同名端流入，一个从异名端流入，该式冠以,+”号。
36
（ 3）任意时刻，理想变压器吸收的功率恒等于零。例如对图 4-12所示的理想变压器，其瞬时功率为
0)1()( 22222211 iuinnuiuiutp
即理想变压器不消耗能量也不储存能量，从初级线圈输入的功率全部都能从次级线圈输出到负载。理想变压器不存储能量，是一种无记忆元件。
4.4.2 理想变压器的阻抗变换性质理想变压器在正弦稳态电路中，还表现出有变换阻抗的特性，如图 4-13所示理想变压器，次级接负载阻抗
ZL,由设出的电压、电流参考方向及同名端位置，可得理想变压器在正弦电路里相量形式为,
37
2
1
2
1
2
2
1
1
I
N
N
I
U
N
N
U
图 4-13 理想变压器阻抗变换特性由 ab端看，输入阻抗为,
2
22
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
I
U
n
I
U
N
N
I
N
N
U
N
N
I
U
Z i
因负载 ZL上电压、电流为非关联参考方向，
将 代入上式，即得
2
2
I
UZ
L
38
LLi ZnZN
NZ 22
2
1
上式表明,当次级接阻抗 ZL,对初级来说，相当于在初级接一个值为 n2ZL性质相同的阻抗，即理想变压器有变换阻抗的作用。习惯上，把 ZL称为次级对初级的折合阻抗。实际应用中，一定的电阻负载 RL接在变压器次级，在变压器初级相当于接（ N1/N2)2RL的电阻。
如果改变 n=N1/N2,输入电阻 n2RL也改变，所以可利用改变变压器匝比来改变输入电阻，实现与电源匹配，
使负载获得最大功率。
由以上介绍可知,理想变压器有 3个主要性能，即变压、变流、变阻抗。 理想变压器的变压关系适用于一切变动的电压、电流情况。
39
本章讲述的耦合电感元件是线性电路中一种主要的无源非时变多端元件,它就是实际中使用的空芯变压器,在实际电路中有着广泛的应用 。
1,耦合电感的同名端在列写伏安关系及去耦等效中是非常重要的,只有知道了同名端,并标出电压,电流参考方向的条件下,才能正确列写 u-i关系方程,也只有知道了同名端,也才能进行去耦等效 。
第 4章 小 结
40
2,空芯变压器电路的分析，亦就是对含互感线圈电路的分析，我们讲述的是这类电路在正弦稳态下分析计算的基本方法，
仍然是运用相量法。即根据相量模型列出初、次级的回路方程，进而求出初、次级电流相量、次级回路在初级回路中的反映阻抗等。
必须注意的是,按 KVL列回路方程，
应计入由于互感作用而存在的互感电压
，并正确选定互感电压的正负号。
IMj?
41
3,理想变压器是实际铁芯变压器的理想化模型，它是满足无损耗、全耦合、参数无穷大三个理想条件的另一类多端元件。它的初、次级电压电流关系是代数关系，因而它是不储能、不耗能的即时元件，是一种无记忆元件。
变压、变流、变阻抗是理想变压器的三个重要特征,其变压、变流关系式与同名端及所设电压、电流参考方向密切相关，应用中只需记住变压与匝数成正比，变流与匝数成反比，至于变压、变流关系式中应是带负号还是带正号，则要看同名端位置与所设电压电流参考方向，不能一概而论盲目记住一种变换式。
第 4章 耦合电感元件和理想变压器
4.1 耦 合 电 感 元 件
4.4 理 想 变 压 器
4.3 空心变压器电路的分析
4.2 耦合电感的去耦等效
2
【 本章重点 】
● 互感线圈、互感系数、耦合系数的含义。
● 互感电压和互感线圈的同名端。
● 互感线圈串联、并联去耦等效及型去耦等效。
● 空芯变压器电路在正弦稳态下的分析方法 —
回路分析法。
● 理想变压器的含义。理想变压器变换电压、
电流及阻抗的关系式。
【 本章难点 】
● 互感电压和互感线圈的同名端。
● 空芯变压器电路在正弦稳态下的分析方法 —— 回路分析法。
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4.1 耦合电感元件
4.1.1 耦合电感的概念图 4-1是两个相距很近的线圈（电感），当线圈 1中通入电流 i1时，在线圈 1中就会产生自感磁通 Φ11,而其中一部分磁通 Φ21 它不仅穿过线圈 1，
同时也穿过线圈 2，且 Φ21≤Φ11。 同样，若在线圈
2中通入电流 i2,它产生的自感磁通 Φ22,其中也有一部分磁通 Φ12不仅穿过线圈 2，同时也穿过线圈 1，且 Φ12 ≤Φ22 。 像这种一个线圈的磁通与另一个线圈相交链的现象，称为磁耦合，即互感。
Φ21 和 Φ12 称为耦合磁通或互感磁通。
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假定穿过线圈每一匝的磁通都相等，则交链线圈 1的自感磁链与互感磁链分别为 ψ11 =N1Φ11，
ψ12=N1Φ12； 交链线圈 2的自感磁链与互感磁链分别为 ψ22=N2Φ22,ψ21=N2Φ21 。
图 4-1 磁通互助的耦合电感
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上两式表明线圈 1对线圈 2的互感系数 M21，
等于穿越线圈 2的互感磁链与激发该磁链的线圈 1中的电流之比；线圈 2对线圈 1的互感系数 M12,等于穿越线圈 1
的互感磁链与激发该磁链的线圈 2中的电流之比。可以证明。
M21=M12=M
1
21
21 iM
2
12
12 iM
类似于自感系数的定义，互感系数的定义为：
我们以后不再加下标,一律用 M表示两线圈的互感系数,简称互感 。 互感的单位与自感相同,也是亨利
（ H） 。 因为 Φ21≤Φ11,Φ12≤Φ22,所以可以得出
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两线圈的互感系数小于等于两线圈自感系数的几何平均值，即
21 LLM?
上式仅说明互感 M比 小 （ 或相等 ）,但并不能说明 M比 小到什么程度 。 为此,工程上常用耦合系数
K来表示两线圈的耦合松紧程度,其定义为
21LL
21LL
21 LLKM?
21 LL
MK?
可知,0≤K≤1,K值越大,说明两个线圈之间耦合越紧,当 K=1时,称全耦合,当 K=0时,说明两线圈没有耦合 。
则
7
耦合系数 K的大小与两线圈的结构,相互位置以及周围磁介质有关 。 如图 4-2(a)所示的两线圈绕在一起,其
K值可能接近 1。 相反,如图 4-2(b)所示,两线圈相互垂直,其 K值可能近似于零 。 由此可见,改变或调整两线圈的相互位置,可以改变耦合系数 K的大小 。
图 4-2
8
4.1.2 耦合电感元件的电压,电流关系当有互感的两线圈上都有电流时，交链每一线圈的磁链不仅与该线圈本身的电流有关，也与另一个线圈的电流有关。如果每个线圈的电压、电流为关联参考方向，且每个线圈的电流与该电流产生的磁通符合右手螺旋法则，而自感磁通又与互感磁通方向一致，
即磁通相助，如图 4-1所示。这种情况，交链线圈 1,2
的磁链分别为：
21112111 MiiL
12221222 MiiL
9
由电磁感应定律，当通过线圈的电流变化时，线圈两端会产生感应电压
dt
diM
dt
diL
dt
du 12
2
2
2
dt
diM
dt
diL
dt
du 21
1
1
1
式中,分别为线圈 1,2的自感电压,
,分别为线圈 1,2的互感电压 。
如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消，
如图 4-3所示，则耦合电感的电压、电流关系方程式为：
dt
diL 1
1 dt
diL 2
2
dt
diM 2
dt
diM 1
10图 4-3 磁通相消的耦和电感
dt
diM
dt
diL
dt
du 21
1
1
1
dt
diM
dt
diL
dt
du 12
2
2
2
11
对以上磁通相助、相消两种情况进行归纳总结得出：
自感电压,取正还是取负，取决于本电感的 u、
i的参考方向是否关联，若关联，自感电压取正；反之取负。
而互感电压,的符号这样确定：当两线圈电流均从同名端流入（或流出）时，线圈中磁通相助，互感电压与该线圈中的自感电压同号。即自感电压取正号时互感电压亦取正号，自感电压取负号时互感电压亦取负号；否则，当两线圈电流从异名端流入（或流出）时，由于线圈中磁通相消，故互感电压与自感电压异号，即自感电压取正号时互感电压取负号，反之亦然。
dt
diL 1
1 dt
diL 2
2
dt
diM 2
dt
diM 1
12
4.1.3 同名端线圈的同名端是这样规定的：具有磁耦合的两线圈，当电流分别从两线圈各自的某端同时流入（或流出）
时，若两者产生的磁通相助，则这两端叫作互感线圈的同名端，用黑点,·”或星号,*”作标记。
例如，对图 4-4 (a),当 i1、
i2分别由端纽 a和 d流入（或流出）时，它们各自产生的磁通相助，因此 a端和 d端是同名端（当然 b端和 c端也是同名端）； a端与 c端（或 b
端与 d端）称异名端。
图 4-4 同 名 端
13
有了同名端规定后，像图 4-4(a)所示的互感线圈在电路中可以用图 4-4(b)所示的模型表示，在图 4-4(b)
中，设电流 i1,i2分别从 a,d端流入，磁通相助，如果再设各线圈的 u,i为关联参考方向，那么两线圈上的电压分别为
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
如果像图 4-4(c)所示,设
i1仍从 a端流入,而 i2从 d端流出,可以判定磁通相消,那么两线圈上的电压分别为 dtdiMdtdiLu 2111
dt
diM
dt
diLu 12
22
14图 4-4 (b) (d) 磁通相助； (c) (e) 磁通相消
15
对于已标定同名端的耦合电感,可根据 u,i
的参考方向以及同名端的位置写出其 u-i关系方程 。
也可以将耦合电感的特性用电感元件和受控电压源来模拟，例如图 4-4 (b),(c) 电路可分别用
(d),(e) 电路来代替。可以看出：受控电压源（
互感电压）的极性与产生它的变化电流的参考方向对同名端是一致的。
这样,将互感电压模拟成受控电压源后,可直接由图 4-4(d),(e)写出两线圈上的电压,使用这种方法,在列写互感线圈 u— i关系方程时,
会感到非常方便 。
16
4.2 耦合电感的去耦等效
4.2.1 耦合电感的串联等效耦合电感的串联有两种方式 —— 顺接和反接 。 顺接就是异名端相接,如图 4-5（ a） 所示 。
图 4-5 耦合电感顺接串联
17
把互感电压看作受控电压源后得电路如图 4-5(b)所示，由该图（顺接）可得其中 L=L1+L2+2M
由此可知，顺接串联的耦合电感可以用一个等效电感
L来代替，等效电感 L的值由式上式来定。
耦合电感的另一种串联方式是反接串联。 反接串联是同名端相接,如图 4-6(a)所示，把互感电压看作受控电压源后得电路如图 4-6(b)所示，由图 (b)图（反接）可得
dt
diL
dt
diMLL
dt
diM
dt
diL
dt
diM
dt
diLu )2(
2121
18
其中 L=L1+L2-2M
图 4-6 耦合电感的反接串联由此可知,
反接 串 联的 耦合电 感 可以 用一个等效电感 L
代替,等效 电感 L的值由上式来定 。
dt
diL
dt
diMLL
dt
diM
dt
diL
dt
diM
dt
diLu )2(
21211
19
4.2.2 耦合电感的 T型等效
1,互感线圈的同名端连在一起如图 4-7所示，为三支路共一节点、其中有两条支路存在互感的电路，由图可知,L1的 b端与 L2的 d端是同名端且连接在一起，两线圈上的电压分别为图 4-7 同名端相连的 T型去耦等效电路
20
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
将以上两式经数学变换,可得
dt iidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu 2111211111
dt iidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu 2122122222
画出两式 T型等效电路如图 4-7(b)所示。在图 (b)中因有 3个电感相互间无互感，它们的自感系数分别为 L1-M、
L2-M和 M,又连接成 T型结构形式，所以称之为互感线圈的 T型去耦等效电路。
21
2、互感线圈的异名端连接在一起图 4-8(a) 与图 4-7(a)两电路相比较结构一样，只是具有互感的两支路的异名端连接在一起，两线圈上的电压分别如右式
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
图 4-8 异名端相连的 T型去耦等效电路
22
同样将以上两式经数学变换，可得
dt iidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu 2111211111
dt iidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu 2122122222
画得 T型等效电路如图 4-8(b) 所示，这里 (b) 图中 -M
为一等效的负电感。
利用上述等效电路，可以得出如图 4-9(a) 和 (c) 所示的耦合电感并联的去耦等效电路，分别如图 4-9 (b) 和 (d)
所示。由图 (b) (d)应用无互感的电感串、并联关系，可以得到同名端、异名端连接时耦合电感并联的等效电感分别为,
23
MLL
MLL
MLML
MLMLML
221
2
21
21
21
MLL
MLL
MLML
MLMLML
221
2
21
21
21
图 4-9 两个耦和电感的并联
24
4.3 空芯变压器电路的分析变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号的器件。通常有一个初级线圈和一个次级线圈，初级线圈接电源，次级线圈接负载，能量可以通过磁场的耦合，由电源传递给负载。
常用的实际变压器有空芯变压器和铁芯变压器两种类型。所谓空芯变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并且具有互感的线圈组成的，其耦合系数较小，
属于松耦合。
因变压器是利用电磁感应原理而制成的，故可以用耦合电感来构成它的模型。这一模型常用于分析空芯变压器电路。
设空芯变压器电路如图 4-10(a) 所示，其中 R!,R2分别为变压器初、次级绕组的电阻,RL为负载电阻，设 uS
为正弦输入电压。
25
互感的作用可以在电路中用增添受控电压源来计及，因此分析含耦合电感元件的电路时，常常使用回路分析法。如图 4-10(b)所示。
图 4-10 空心变压器电路由图 4-10 (b) 所示的相量模型图可列出回路方程为,
26
SUIMjILjR 2111
02221 IRLjRIMj L
或写为
SUIZIZ
212111
0222121 IZIZ
式中
Z11= R1 +jωL1 称为初级回路自阻抗；
Z22=R2 +jωL2 +RL 称为次级回路自阻抗；
Z12=Z21=jωM 称为初次级回路互阻抗。
可求得图 4-10(b)所示耦合电感的初级、次级电流相量分别为,
27
21122211
22
2221
1211
22
12
1
0
ZZZZ
UZ
ZZ
ZZ
Z
ZU
I
S
S
S
L
L U
MRLjRLjR
RLjR?
22
2211
22
)()(
S
L
U
MRLjRLjR
MjI
22
2211
2
)()(
是由次级中的感应电压 产生的，根据图 4-
10(b)中所示的感应电压极性，不难理解第二式中负号的来历。显然，如果同名端的位置不同或电流参考方向不同，
互阻抗的符号将会改变。
2?I?1IMj?
28
对初级电流 来说，由于式中的 jωM以平方形式出现，
不管 jωM的符号为正还是为负，得出的 都是一样的。
求得由电源端看进去的输入阻抗为
1?I
r e f
L
S
i ZZRLjR
M
LjR
I
U
Z
11
22
22
11
1
由此可见，输入阻抗由两部分组成：
Z11=R1+jωL1,即初级回路的自阻抗；
22
22
22
22
Z
M
RLjR
MZ
L
r e f
Zref即次级回路在初级回路的反映阻抗
1?I
29
这就是说，次级回路对初级回路的影响可以用反映阻抗来计及。因此，由电源端看进去的等效电路，也就是初级等效电路应如图 4-11所示。当我们只需要求解初级电流时，可利用这一等效电路迅速求得结果。
图 4-11 初级等效电路反映阻抗的算法是很容易记住的，把
ω2M2除以次级回路的阻抗即为反映阻抗。显然，从以上推导可以看出：反映阻抗的概念不能用于次级含有独立源的耦合电感电路。
30
另外可求得次、初级电流之比为
LRLjR
Mj
I
I
221
2
22
1
22
1
2
Z
IMj
RLjR
IMjI
L
所以其中 是初级电流 通过互感而在次级线圈中产生的感应电压，次级电流就是这一电压作用的结果。因此,除以次级的总阻抗即得次级电流 。在算得 后，
可利用上式求出 。
1
IMj?
1?I
1
IMj?
LRLjR 22? 2?I
1
I
2
I
31
4.4 理想变压器理想变压器是铁芯变压器的理想化模型，它的唯一参数只是一个称之为变比的常数 n,而不是 L1,L2,M等参数，
理想变压器满足以下 3个理想条件：
(1) 耦合系数 K=1,即为全耦合，做芯的铁磁材料的磁导率 μ无穷大 。
(2) 自感系数 L1,L2为无穷大，但 L1/L2为常数。
(3) 无任何损耗，这意味着绕线圈的金属导线无任何电阻,
4.4.1 理想变压器两端口的电压、电流之间的关系图 4-12 (a) 所示的铁芯变压器，其初、次级匝数分别为
N1和 N2,可判定 a,c为同名端，设 i1,i2分别从同名端流入
（属磁通相助），设初、次级电压 u1,u2与各自线圈上的电流 i1,i2为关联参考方向 。
32
由于为全耦合，则线圈的互感磁通必等于自感磁通，
即 φ21=φ11,φ12=φ22,穿过初、次级线圈的磁通相同，
即图 4-12 变压器示意图及其模型
φ11+φ12=φ11+φ22=φ
φ22+φ21=φ22+φ11=φ
上式中 φ称为主磁通。
33
而与初、次级线圈交链的磁链 ψ1,ψ2分别分别为,
对 ψ1,ψ2求导，
得初、次级电压分别为,
dt
dN
dt
du
1
1
1
dt
dN
dt
du
2
2
2
所以
n
N
N
u
u
2
1
2
1
21 nuu?
或上式为理想变压器初、次级电压之间的关系。式中 n
称为匝比或变比，它等于初级与次级线圈的匝数之比。
理想变压器的电路模型如图 4-12(b) 所示。
ψ1=N1φ
ψ2=N2φ
34
由安培环路定律
lslBHlNiNi 2211
由于 μ为无穷大，磁通 φ为有限值，因此
i1N1+i2N2=0
21
1
2
2
1 11 i
ninN
N
i
i 或上式反映了理想变压器初、次级电流之间的关系。
通过以上分析，说明理想变压器具有变换电压和电流的作用。在正弦稳态下，其相量形式为,
即
35
n
N
N
U
U
2
1
2
1
nN
N
I
I 1
1
2
2
1
应该强调以下几点：
（ 1）对于变压关系 式取,+”还是取,-”，仅取决于电压参考方向与同名端的位置。当 u1,u2参考方向在同名端极性相同时，则该式冠以,+”号；反之，
若 u1,u2参考方向一个在同名端为,+”，一个在异名端为,+”，该式冠以,-”号。
（ 2）对于变流关系式取,+”还是取,-”，仅取决于电流参考方向与同名端的位置。当初、次级电流 i1
,i2分别从同名端同时流入（或同时流出）时，该式冠以,-”号，反之若 i1,i2一个从同名端流入，一个从异名端流入，该式冠以,+”号。
36
（ 3）任意时刻，理想变压器吸收的功率恒等于零。例如对图 4-12所示的理想变压器，其瞬时功率为
0)1()( 22222211 iuinnuiuiutp
即理想变压器不消耗能量也不储存能量，从初级线圈输入的功率全部都能从次级线圈输出到负载。理想变压器不存储能量，是一种无记忆元件。
4.4.2 理想变压器的阻抗变换性质理想变压器在正弦稳态电路中，还表现出有变换阻抗的特性，如图 4-13所示理想变压器，次级接负载阻抗
ZL,由设出的电压、电流参考方向及同名端位置，可得理想变压器在正弦电路里相量形式为,
37
2
1
2
1
2
2
1
1
I
N
N
I
U
N
N
U
图 4-13 理想变压器阻抗变换特性由 ab端看，输入阻抗为,
2
22
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
I
U
n
I
U
N
N
I
N
N
U
N
N
I
U
Z i
因负载 ZL上电压、电流为非关联参考方向，
将 代入上式，即得
2
2
I
UZ
L
38
LLi ZnZN
NZ 22
2
1
上式表明,当次级接阻抗 ZL,对初级来说，相当于在初级接一个值为 n2ZL性质相同的阻抗，即理想变压器有变换阻抗的作用。习惯上，把 ZL称为次级对初级的折合阻抗。实际应用中，一定的电阻负载 RL接在变压器次级，在变压器初级相当于接（ N1/N2)2RL的电阻。
如果改变 n=N1/N2,输入电阻 n2RL也改变，所以可利用改变变压器匝比来改变输入电阻，实现与电源匹配，
使负载获得最大功率。
由以上介绍可知,理想变压器有 3个主要性能，即变压、变流、变阻抗。 理想变压器的变压关系适用于一切变动的电压、电流情况。
39
本章讲述的耦合电感元件是线性电路中一种主要的无源非时变多端元件,它就是实际中使用的空芯变压器,在实际电路中有着广泛的应用 。
1,耦合电感的同名端在列写伏安关系及去耦等效中是非常重要的,只有知道了同名端,并标出电压,电流参考方向的条件下,才能正确列写 u-i关系方程,也只有知道了同名端,也才能进行去耦等效 。
第 4章 小 结
40
2,空芯变压器电路的分析，亦就是对含互感线圈电路的分析，我们讲述的是这类电路在正弦稳态下分析计算的基本方法，
仍然是运用相量法。即根据相量模型列出初、次级的回路方程，进而求出初、次级电流相量、次级回路在初级回路中的反映阻抗等。
必须注意的是,按 KVL列回路方程，
应计入由于互感作用而存在的互感电压
，并正确选定互感电压的正负号。
IMj?
41
3,理想变压器是实际铁芯变压器的理想化模型，它是满足无损耗、全耦合、参数无穷大三个理想条件的另一类多端元件。它的初、次级电压电流关系是代数关系，因而它是不储能、不耗能的即时元件，是一种无记忆元件。
变压、变流、变阻抗是理想变压器的三个重要特征,其变压、变流关系式与同名端及所设电压、电流参考方向密切相关，应用中只需记住变压与匝数成正比，变流与匝数成反比，至于变压、变流关系式中应是带负号还是带正号，则要看同名端位置与所设电压电流参考方向，不能一概而论盲目记住一种变换式。
