1
第 3 章 正弦稳电路分析
3.3 基本元件 VCR和 KCL
,KVL的相量形式
3.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
3.2 正弦量的相量表示法
3.1 正 弦 量 的 基 本 概 念
3.5 正 弦 稳 态 电 路 分 析
3.6 正弦稳态电路中的功率3.7 谐 振 电 路
3.8 三 相 电 路
2
● 正弦量的概念，正弦量的三要素及相互之间的关系。
● 正弦量的瞬时值、最大值和有效值的概念。
● 正弦量的相量表示法。
● 交流电路中电阻、电容、电感元件上的电压、
电流之间有效值及相位关系；,的相量形式。
● 瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率及相互之间的关系。
KVL KCL
【 本章重点 】
3
● 串联谐振、并联谐振产生的条件及其特点。
● 对称三相电动势的产生，三相电源作星形连接时线电压与相电压有效值之间的关系；三相电路各功率的计算。
【 本章难点 】
● 交流电路中电阻、电容、电感元件上的电压、电流之间有效值及相位关系。
● 串联谐振、并联谐振产生的条件及其特点。
4
3.1 正弦量的基本概念
3.1.1 正弦量的三要素若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。
以电流为例,正弦量的一般解析式为：
)s i n ()( im tIti波形如图 3-1所示图 3-1 正弦量的波形
5
图中 Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当 t=0时的相位 叫初相位，简称初相； ω叫正弦量的角频率。
因为正弦量每经历一个周期的时间 T,相位增加 2π,则角频率 ω,周期 T和频率?之间关系为：
fTfT
122 即
ω,T,?反映的都是正弦量变化的快慢,ω
越大，即?越大或 T越小，正弦量变化越快； ω越小，即?越小或 T越大，正弦量变化越慢。
把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。
t?
只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。
6
用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负 T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于,且波形起点在原点左侧 ；反之 。
0 0
如图 3-2 所示,初相分别为 0,662、、
由图可见，初相为正值的正弦量，在 t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值的正弦量，在 t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。
7图 3-2 初相分别为 0、,,的波形图2? 6? 6
8
)s i n()(
)s i n()(
222
111
im
im
tIti
tIti
212112
2121
)()(
,),()(
iiiii
iiii
tt
tt
而把、初相各为、它们的相位各为
3.1.2,同频率正弦量的相位差设有两个同频率的正弦量为叫做它们的相位差 。 正弦量的相位是随时间变化的,
但同频率的正弦量的相位差不变,等于它们的初相之差 。
初相相等的两个正弦量,它们的相位差为零,这样的两个正弦量叫做同相 。 同相的正弦量同时达到零值,
同时达到最大值,步调一致 。 两个正弦量的初相不等,
相位差就不为零,不同时达到最大值,步调不一致 。
9
如果,则表示 i1超前 i2 ；如果,
则表示 i1滞后 i2 ；如果,则两个正弦量正交；
如果,则两个正弦量反相。
12
212
012
同频率正弦量的相位差,不随时间变化,与计时起点的选择无关 。 为了分析问题的方便,在一些有关的同频率正弦量中,可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考,其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较,即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差 。 在 n个正弦量中,只能选择一个为参考正弦量 。
如图 3-3（ a）,（ b）,（ c）,（ d） 分别表示两个正弦量同相,超前,正交,反相 。
012
10图 3 -3 i1与 i2同相、超前、正交、反相
11
3.1.3 正弦电流、电压的有效值
1,有效值周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量,分别作用于同一电阻,如果经过一个周期的时间产生相等的热量,则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小 。 电流,电压有效值用大写字母 I,U表示 。
根据有效值的定义，则有
RTR d t IiT 20 2
则周期电流的有效值为?
T dtTI i
0
21
12
2、正弦量的有效值
)s i n ()( im tIti对于正弦电流,设
I
I
m
m
m
Tm
T
i
m
T
i
mT
I
I
t
T
I
dtt
T
I
dttI
7 0 7.0
2
2
2
)](2c o s1[
2
)(
2
0
2
0
2
0
22
1
s i n
同理
mm UUU 707.02
1
13
3.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法
3.2.1 复数的运算规律
22222
11111
rjbaA
rjbaA
复数的加减运算规律 。 两个复数相加 （ 或相减 ） 时,
将实部与实部相加 （ 或相减 ）,虚部与虚部相加 （ 或相减 ） 。 如：
相加,减的结果为：
A1± A2=（ a1+jb1） ± (a2+jb2)=(a1± a2)+j(b1± b2)
复数乘除运算规律：两个复数相乘,将模相乘,辐角相加；两个复数相除,将模相除,辐角相减 。 如：
14
2121)(212121 2121 rrerrererAA jjj
21
2
1
2
1
2
1
2
1
r
r
er
er
j
j
A
A
因为通常规定：逆时针的辐角为正,顺时针的辐角为负,则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；
复数相除相当于顺时针旋转矢量 。
特别地,复数 的模为 1,辐角为 。 把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角 。
je
je
15
3.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示设有一复数它和一般的复数不同,它不仅是复数,而且辐角还是时间的函数,称为复指数函数 。 因为
)()( tjeAtA
tjtjjtj AeeeAeAtA )()(由于
)s i n ()c o s ()( )( tAjtAeAtA tj
可见 A(t)的虚部为正弦函数 。 这样就建立了正弦量和复数之间的关系 。 为用复数表示正弦信号找到了途径 。
tj
m
tj
tjj
tj
u
eUeU
eUe
UetUtu
u
u
..
)(
Im2Im
2Im
]2I m [)s i n (2)(
16
式中同理
..,2 UUUeU
mj u 或?
..,2 IIIeI
mj i 或?
把复数 分别称为正弦量（电压）的有效值相量和振幅相量。 特别应该注意,相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。
mUU
.,和例,已知 u1=141sin(ωt+60o)V,u 2 =70.7sin(ωt-45o)V 。
求：⑴ 求相量 ； （ 2） 画出相量图 ； (3) 求两电压之和的瞬时值 u(t)。
。和
2
.
1 UU
VjeU
VjeU
j
j
)35.3535.35(504550
42
7.70
)6.8650(1 0 0601 0 0
32
1 4 1
45
2
60
1
＝＝＝解（ 1）
17 Vttu
e
jjUUU
j
)31s i n (255.99)(
55.993155.99
)35.3535.35()6.8650(
31
21
（ 2） 相量图如图 3-4所示图 3-4（ 3）由相量图
18
3.3 基本元件 VCR的相量形式和 KCL,KVL的相量形式
3.3.1 基本元件 VAR的相量形式在交流电路中,电压和电流是变动的,是时间的函数 。 电路元件不仅有耗能元件的电阻,而且有储能元件电感和电容 。 下面分别讨论它们的伏安关系式 （ 即 VCR） 的相量形式 。
因为上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的,相量,波形图如图 3-5所示 。
)s i n (2)s i n (2)( ui tUtRItu
1,电阻元件
19
其相量关系为：
iu IIUU
IRU
IRU
,
22
其中即图 3-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图
20
2,电容元件电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.,UCjI
将上式改写为：
90
1
90
ui
C
uui
IXI
CC
I
UCUI
CUCUjI
或即以上表明电容电流超前电容电压 90°，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图 3-6所示。
这就是电容元件上电压、电流之间的相量关系式。
21
图 3-6 电容元件的波形、相量图通常把 定义为电容的容抗。在直流情况下，频率为零，,电容相当于开路。
CX c?
1?
CX
22
3、电感元件电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.,ILjU
由上式可得 U= ωLI =XLI
90iu
上式表明电感上电流滞后电压为 90° 。
通常把 定义为电感元件的感抗,它也是电压有效值与电流有效值的比值 。 对于一定的电感 L,当频率越高时,其所呈现的抗感越大,反之越小 。 在直流情况下,频率为零,,电感相当于短路 。
LX L
0?LX
23
图 3-7 电感元件的波形图、相量图电感元件的波形、相量图如图 3-7所示。
可以看出，电感上电流滞后电压为 90°。
24
3.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
3.4.1 复阻抗设由 R,L,C串联组成无源二端电路。如图 3-
8所示，流过各元件的电流都为,各元件上电压分别为 uR(t),uL(t),uC(t),端口电压为 u (t)。
i
i
u
图 3-8 无源二端 RLC电路
25
因为 u (t)= uR(t)+u L(t)+ uC(t)
u
tj
CLR
tj
Cm
tj
L
tj
R
tj
eUUU
eUIeUeUeU
2Im
)2()2I m ()2I m ()2I m (
即所以
ZI
jXRI
XXjRI
jXIjXIRIUUUU
CL
CLCLR
)(
)]([
)()(
Z
UI
＝即：
26
jXReZe
I
U
I
UZ
Ziu jj
)(
上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律 。 Z
为该无源二端电路的复阻抗 （ 或阻抗 ）,它等于端口电压相量与端口电流相量之比,当频率一定时,阻抗 Z是一个复常数,可表示为指数型或代数型,即：
式中 ∣ Z∣ 称为阻抗的模，其中 X=XL-XC称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即
22 XR
I
UZ
Z?
R
XXa r c t g
R
Xa r c t g CL
iuZ
27
3.4.2 复导纳对于如图 3-9所示 R,L,C并联电路,根据相量形式得 KCL,得到：
CLR IIII
UY
UjBG
UBBjG
UjBUjBUG
UjBUjBUGI
CL
CL
CCLLR
][
)]([
)(
)(
图 3-9 RLC并联电路
28
zuiY
m
m
jj
j
j
ZU
I
U
I
Y
eYe
U
I
Ue
Ie
U
I
Y
Yui
u
i
,
1
.
)(
＝＝所以由于
Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。
∣ Y∣ 称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。
称为导纳角，表示电流与电压的相位差，
它也等于负的阻抗角。
y?
29
3.5 正弦稳态电路分析
0
0
U
I
UYI
IZU
对于线性正弦稳态电路有,
所以线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可以推广用于线性电路的正弦稳态分析。具体方法是所有电压、电流用相量形式，元件用阻抗或导纳，
画出电路的相量模型，从而建立相量形式的代数方程。
30
3.6 正 弦 稳 态 电 路 中 的 功 率
3.6.1 R,L,C元件的功率和能量
1,电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为设流过电阻元件的电流为其电阻两端电压为则瞬时功率为
)()()( titutP R?
tIti mR?s in)(?
tUtRItu mmR s i ns i n)(
31
由于,故此其瞬时功率的波形图如 3-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且 pR（ t）
≥0,说明电阻元件是耗能元件。
图 3-10 电阻元件的瞬时功率
)2c o s1(s i n2)()()( 2 tIUtIUtitutp RRRRRRR
02c o s?t?
0)2c os1()( tIUtp RRR?
32
电阻的平均功率
R
U
RIIU
dttIUIU
T
dttp
T
P
RRR
T
RRRR
T
R
2
2
00
2c o s
1
)(
1
2,电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为则电感电压为：
VtU
VtXItu
L
LLL
)
2
s i n (2
)
2
s i n (2)(
tAIti LL?s i n2?
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。
33
其瞬时功率为
tIU
ttIU
titutp
LL
LL
LLL
2s i n
s i n)
2
s i n (2
)()()(
上式表明，
电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；
且 pL(t)的值可正可负，其波形图如图 3-11所示。
图 3-11 电感元件的瞬时功率
34
02s i n1)(1
00
t d tIUTdttpTp LT LT LL?
从图上看出，当 uL(t),iL(t)都为正值时或都为负值时,pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当 pL(t) 为负时，
电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，
说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。
电感消耗的平均功率为：
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。
35
tAIti cc?s i n2)(?
VtXI
VtUtu
cc
cc
)
2
s i n (2
)
2
s i n (2)(
3,电容元件的功率在电压,电流为关联参考方向下,设流过电容元件的电流为,
则电容电压为,
其瞬时功率为：
tIU
ttIUtitutp
cc
ccccc
2s i n
s i n)
2
s i n (2)()()(
36
uc(t),Ic(t),pc(t)的波形如图 3-12所示 。
Cui
图 3-12 电容元件的瞬时功率
37
从图上看出,pc(t),与 pL(t)波形图相似,即电容元件只与外界交换能量而不消耗能量 。
电容消耗的平均功率也为零,即：
T ccT cc dttIUTdttpTP 00 0)2s i n(1)(1?
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换,而电容元件是以电场能量与外界进行能量交换 。
从图 3-12看出,＞ 0时,能量流入电容,电容储能增长； ＜ 0时,能量自电容流出,电容储能减少 。
能量在电容与外电路之间不断往返,这是电容的储能本质在正弦稳态下的表现 。
)(tpc
)(tpc
38
3.6.2 二端电路的功率
1.瞬时功率在图 3-13所示二端电路中,设电流
i(t)及端口电压 u(t)在关联参考方向下,
分别为：
iu
)s i n (2)(
s i n2)(
utUtu
tIti
则二端电路的瞬时功率为：
图 3-13
)2c o s (c o s
)]2c o s ([ c o s
s i n2)s i n (2)()()(
tUIUI
tUI
tItUtitutp
39
上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。
瞬时功率如图 3-14所示。
图 3-14 二端 RLC电路的瞬时功率
40
从图 3-14上看出,u(t)或 i(t)为零时,p(t)为零；
当二者同号时,p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时,p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。
2,有功功率（也叫平均功率）和功率因素平均功率为,
c o s
)]2c o s (c o s[
1
)(
1
0
0
UI
dttUIUI
T
dttp
T
p
T
T
41
式中 称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差,
也称为功率因素角。
cos
3.6.3 无功功率、视在功率和复功率无功功率用 Q表示，定义
s inUIQ?
通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率,用 S表示,即
UIS?
42
P,Q,S之间存在如下关系,
P
Q
a r ct g
UIQPS
SUIQ
SUIP
Z
22
s i ns i n
c o sc o s
工程上为了计算方便,把有功功率作为实部,
无功功率作为虚部,组成复数,称为复功率,
用 表示复功率,即
jQPS
~
~S
43
3.6.4 正弦稳态电路的最大功率传输如图 3-15所示，交流电源的电压为,其内阻抗为,负载阻抗电路中电流为：
SU
)()( LsLs
S
Ls
S
XXjRR
U
ZZ
UI
电流有效值为：
图 3-15
22 )()(
LsLs
s
XXRR
UI
ssS jXRZ
LLL jXRZ
44
负载吸收的功率为：
L
LsLs
s
LL RXXRR
URIP
22
2
2
)()(
0
)(
)(2)(
4
2
2?
Ls
LLsLs
s
L
L
RR
RRRRRU
dR
dP
要求出 PL的最大值，为此需求出 PL对 RL的导数，
并使之为零，即：
由上式得到,（ RS+RL)2-2RL(RS+RL） =0
解得,RL=RS
45
负载获取最大功率的条件为：
*
SL
SL
SL
ZZ
RR
XX
即上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。此时最大功率为：
S
Sm
S
S
L R
U
R
UP
42
1
4
22
m a x
46
3.7 谐振电路当二端电路的端口电压与电流同相位时，即电路呈电阻性，工程上将电路的这中状态称为谐振。
3.7.1 串联谐振
3-16 串联谐振电路当回路中容抗等于阻抗时，
称回路发生了串联谐振。这时频率称为串联谐振频率，
用 表示，相应的角频率用表示 。
01
0
0 CLX
0f
0?
串联电路发生谐振的条件是：
47
串联谐振电路具有如下特点：
(1) 谐振时,回路电抗 X=0,阻抗 Z=R为最小值,且为纯电阻 。 在其他频率时,回路电抗 。 当角频率满足 时,即,回路呈感性；反之呈容性 。
（ 2） 谐振时,回路电流最大,即,且电流与外加电压 同相 。
（ 3）电感及电容两端电压模值相等，且等于外加电压的 Q倍。
0?X
R
UI s
0
0I
SU
SSSL UjQU
R
LjLj
R
ULjIU 0
0000
SSSC UjQU
CR
j
CjR
U
Cj
IU
000
00
111
CL 1? 0
48
CLL
LCC
L 11
0
0
RC
L
RCRR
LQ?
11
0
0
称为谐振电路的特性阻抗。
定义回路的品质因数 Q为：
回路发生串联谐振的角频率 及频率 分别为,
0?f
0? 0f
Hz
LC
fsr a d
LC?
2
1/1
00 或
49
串联揩振时,,,,与 的关系如图下图 3-17所示 。
0
RU?LOU?COU?OU?
OI
通常，回路的 Q值可达几十到几百，谐振时电感线圈和电容两端的电压可以比信号源电压大几十到几百倍，所以又叫电压谐振。
从右图可以看出,超前为 90°,滞后 为 90°，
与 相位相反。 图 3-17 串联谐振时电压和电流相量图
LOU
OI
COU
OI
LOU
COU
50
3.7.2 并联谐振串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的情况,如果信号源内阻很大,采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因素,使选择性显著变坏 （ 通频带过宽 ） 。 这样就必须采用并联谐振回路 。
在图 3-18 R-L-C并联电路中,电路的总导纳 Y为：
jBG
XX
j
R
jXjXR
YYYY
CL
CL
CLR
)
11
(
1
111
51
图 3-18 RLC并联谐振电路其导纳模为,
2
2 )
11(1
CL XXR
Y
相应的阻抗模：
22 )11()1(
1
CL XXR
Z
52
可以看出：只有当 XL=XC时 |Z|=R,电路呈电阻性,
电路谐振 。 由于 R,L,C并联,所以又称为并联谐振 。
可见并联谐振的条件是 XL=XC,即当 时发生并联谐振 。 其谐振角频率为：
LC
f
LC o?
2
11
0 或谐振频率
CL O
1
0?
并联谐振电路的特点为：
（ 1） XL=XC,|Z|=R,电路阻抗为纯电阻性 。
（ 2）谐振时，因阻抗最大,当激励电流 一定时,并联电路的电压的有效值 最大。
I
G
I
Y
IU
0
53
式中 Q称为并联谐振电路的品质因素，其值为：
(4)谐振时，能量只 R在上消耗，
电容和电感之间进行电场能量和磁场能量的转换，电源和电路之间没有能量的转换。
图 3-19 并联谐振时电压和电流相量图
（ 3）电感和电容上电流有效值相等，其值为总电流的 Q倍，即：
QILG ILUII LC
00
G
C
LGQ
0
0
1?
54
工程上广泛应用电感线圈与电容器组成并联谐振电路,由于实际电感线圈的电阻不可忽略,与电容器并联时,其电路模型图 3-20所示 。
图 3-20 电感与电容的并联谐振电路此类电路的谐振角频率为：
2
2
0
1
L
R
LC
此种电路并联谐振的近似条件为：
C
L 00
1?
55
3.8 三相电路
3.8.1 三相交流电动势的产生三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合,且单相交流电源的频率相等,幅值 （ 最大值
） 相等,相位彼此相差 120° 。
设第一相初相为 0°,第二相为 -120°,第三相为
120°,所以瞬时电动势为：
这样的电动势叫对称三相电动势 。 其相量图和波形图见图 3-21。
)120s i n (
)120s i n (
s i n
0
3
0
2
1
tEe
tEe
tEe
m
m
m
56
图 3-21 三相电动势由波形图可知,三相电动势对称时任一瞬间的代数和 为零,即：
0321 EEE
0321 eee
对称三相电动势相量和为零，即：
57
3.8.2 三相电源的连接将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图 3-
22所示。
低压配电系统中,
采用三根相线和一根中线输电,称为三相四线制；高压输电工程中,由三根相线组成输电,称为三相三线制 。
图 3-22 星形连接每相绕组始端与末端之间的电压,也就是相线和中线之间的电压,叫相电压,其瞬时值用
u1,u2,u3表示,通用 up表示 。
58
任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用 u12,u23,u31表示，通用 ul表示。
由于 u12=u1-u2
u23=u2-u3
u31=u3-u1
作出线电压和相电压的相量图，如图
3-23所示。可以看出
：各线电压在相位上超前各对应的先行相的相电压 30° 。
图 3-23 星形连接线电压相电压的相量图由于 构成等腰三角形，所以 1221 UUU,、
59
一般写为,
0.,303 pl UU
作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，各线电压相位超前各对应的先行相的相电压 30°。
3
0
331
0
223
0
112
303
303
303
UU
UU
UU
60
3.8.3 对称三相负载的星形连接三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。
１,负载的星形连接如图 3-24所示是三相负载作星形连接时的电路图 。
图 3-24 三相负载的星形连接
61
略去输电电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，负载端的线电压为负载相电压的倍，即
Ypl UU 3?
式中,为星形连接负载的相电压。
三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，即,通用 表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用 表示，其方向与相电压方向一致；
流过中线的电流叫中线电流，用 表示，其方向规定由负载中点 N′流向电源中点 N。
YpU
321 III,,YlI
YpI
NI
62
YPYl II?
由基尔霍夫电流定律知同时,三个相电流的相位差互为 120°,满足
00 321321 iiiIII 或
0321 iiii N
显然,在负载星形连接时,线电流等于相电流,即若三相负载对称，即 因各相电压对称，所以各相电流的有效值相等，即：
p
Yp
Yp Z
UIIII
321
pZZZZ 321
63
这样,对称的三相负载作星形连接时,中线电流为零 。 这时,可以省略中线而成为三相三线制,并不影响电路工作 。
如果三相负载不对称,各相电流大小就不相等,相位差也不一定是 120°,中线电流不为零,此时就不能省去中线 。 否则会影响电路正常工作,甚至造成事故 。 所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外,中线上不准安装熔丝和开关 。
64
3.8.4 对称负载的三角形连接如图 3-25所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。
不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称电源的线电压。
图 3-25 三相负载的三角形连接
65
对于对称三相负载,相电压等于线电压,其有效值
Lp UU
P
P
P Z
UI?
即各相电压与各相电流的相位差也相同 。 即三相电流的相位差也互为 120° 。 各相电流的方向与该相的电压方向一致 。 由 KCL知
23313
12232
13121
iii
iii
iii
作出线电流和相电流的相量，如图 4-26所示。
相电流：
各相负载阻抗角
p
p
p Z
Ra r c c o s
321
66
图 3-26 三角形连接线电流和相电流的相量图从图中看出：
各线电流在相位上比各对应的先行相的相电流滞后 30°。
由于相电流对称，所以线电流也对称，各线电流之间相差 120°。
可以看出 I
l=2I12cos30= 1212 3
2
32 II?
67
所以
pL II 3
这些说明：对称三相负载呈三角形连接时,线电流的有效值为相电流有效值的 倍,线电流在相位上比各对应的先行相的相电流滞后 30° 。
3
3.8.5 三相电路的功率三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和：
当三相负载对称时,各相功率相等,总功率为一相功率的三倍 。
22
321
321
QPS
QQQQ
PPPP
68
通常,相电压和相电流不易测量,计算三相电路的功率时,是通过线电压和线电流来计算 。
不论对称负载作星形连接还是三角形连接,总的有功功率,无功功率和视在功率相同,即：
ll
Zll
Zll
IUS
IUQ
IUP
3
s i n3
c o s3
即：
ppp
Zppp
Zppp
IUSS
IUQQ
IUPP
33
s i n33
co s33
69
第 3章 小 结本章的主要内容有：正弦交流电路的基本概念,正弦稳态电路的分析,正弦稳态电路中各种功率及其分析计算,谐振电路,三相电路连接及分析计算等问题 。
(1) 利用复数概念,将正弦量用复数表示,使正弦交流电路的分析计算化为相量运算 。
(2) 阻抗或导纳虽然不是正弦量，但也能用复数表示，从而归结出相量形式的欧姆定律与基尔霍夫定律。以此为依据，使一切简单或复杂
70
的直流电路的规律、原理、定理和方法都能适用于交流电路。
(3) 分析电路在正弦稳态下各部分的电压,电流,功率等问题称为正弦稳态分析,采用的方法主要是相量法 。
(4) 交流电路的分析计算除了数值上的问题,
还有相位问题 。 专门讨论了正弦稳态电路的平均功率,无功功率,视在功率,功率因素之间的关系 。
(5) 当二端电路端口电压与电流同相位时,即电路呈电阻性,工程上将电路的这种状态称
71
为谐振 。 R,L,C串联和并联电路是两类典型的谐振电路,由 于 二者互为对偶电路,我们着重分析串联谐振电路,发生串联谐振时,回路阻抗,
Z=R,电路呈电路性,回路电流最大,且回路电流与外加 电压同相 。
(6) 三相电路是交流复杂电路的一种特殊形式，
它的分析计算的依据仍然是基尔霍夫两条定律。
特殊性在于三相电动势是对称的，同时电源和负载都有三角形和星形两种接法。我们只讨论了对称三相电路的计算。
第 3 章 正弦稳电路分析
3.3 基本元件 VCR和 KCL
,KVL的相量形式
3.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
3.2 正弦量的相量表示法
3.1 正 弦 量 的 基 本 概 念
3.5 正 弦 稳 态 电 路 分 析
3.6 正弦稳态电路中的功率3.7 谐 振 电 路
3.8 三 相 电 路
2
● 正弦量的概念，正弦量的三要素及相互之间的关系。
● 正弦量的瞬时值、最大值和有效值的概念。
● 正弦量的相量表示法。
● 交流电路中电阻、电容、电感元件上的电压、
电流之间有效值及相位关系；,的相量形式。
● 瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率及相互之间的关系。
KVL KCL
【 本章重点 】
3
● 串联谐振、并联谐振产生的条件及其特点。
● 对称三相电动势的产生，三相电源作星形连接时线电压与相电压有效值之间的关系；三相电路各功率的计算。
【 本章难点 】
● 交流电路中电阻、电容、电感元件上的电压、电流之间有效值及相位关系。
● 串联谐振、并联谐振产生的条件及其特点。
4
3.1 正弦量的基本概念
3.1.1 正弦量的三要素若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。
以电流为例,正弦量的一般解析式为：
)s i n ()( im tIti波形如图 3-1所示图 3-1 正弦量的波形
5
图中 Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当 t=0时的相位 叫初相位，简称初相； ω叫正弦量的角频率。
因为正弦量每经历一个周期的时间 T,相位增加 2π,则角频率 ω,周期 T和频率?之间关系为：
fTfT
122 即
ω,T,?反映的都是正弦量变化的快慢,ω
越大，即?越大或 T越小，正弦量变化越快； ω越小，即?越小或 T越大，正弦量变化越慢。
把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。
t?
只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。
6
用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负 T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于,且波形起点在原点左侧 ；反之 。
0 0
如图 3-2 所示,初相分别为 0,662、、
由图可见，初相为正值的正弦量，在 t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值的正弦量，在 t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。
7图 3-2 初相分别为 0、,,的波形图2? 6? 6
8
)s i n()(
)s i n()(
222
111
im
im
tIti
tIti
212112
2121
)()(
,),()(
iiiii
iiii
tt
tt
而把、初相各为、它们的相位各为
3.1.2,同频率正弦量的相位差设有两个同频率的正弦量为叫做它们的相位差 。 正弦量的相位是随时间变化的,
但同频率的正弦量的相位差不变,等于它们的初相之差 。
初相相等的两个正弦量,它们的相位差为零,这样的两个正弦量叫做同相 。 同相的正弦量同时达到零值,
同时达到最大值,步调一致 。 两个正弦量的初相不等,
相位差就不为零,不同时达到最大值,步调不一致 。
9
如果,则表示 i1超前 i2 ；如果,
则表示 i1滞后 i2 ；如果,则两个正弦量正交；
如果,则两个正弦量反相。
12
212
012
同频率正弦量的相位差,不随时间变化,与计时起点的选择无关 。 为了分析问题的方便,在一些有关的同频率正弦量中,可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考,其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较,即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差 。 在 n个正弦量中,只能选择一个为参考正弦量 。
如图 3-3（ a）,（ b）,（ c）,（ d） 分别表示两个正弦量同相,超前,正交,反相 。
012
10图 3 -3 i1与 i2同相、超前、正交、反相
11
3.1.3 正弦电流、电压的有效值
1,有效值周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量,分别作用于同一电阻,如果经过一个周期的时间产生相等的热量,则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小 。 电流,电压有效值用大写字母 I,U表示 。
根据有效值的定义，则有
RTR d t IiT 20 2
则周期电流的有效值为?
T dtTI i
0
21
12
2、正弦量的有效值
)s i n ()( im tIti对于正弦电流,设
I
I
m
m
m
Tm
T
i
m
T
i
mT
I
I
t
T
I
dtt
T
I
dttI
7 0 7.0
2
2
2
)](2c o s1[
2
)(
2
0
2
0
2
0
22
1
s i n
同理
mm UUU 707.02
1
13
3.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法
3.2.1 复数的运算规律
22222
11111
rjbaA
rjbaA
复数的加减运算规律 。 两个复数相加 （ 或相减 ） 时,
将实部与实部相加 （ 或相减 ）,虚部与虚部相加 （ 或相减 ） 。 如：
相加,减的结果为：
A1± A2=（ a1+jb1） ± (a2+jb2)=(a1± a2)+j(b1± b2)
复数乘除运算规律：两个复数相乘,将模相乘,辐角相加；两个复数相除,将模相除,辐角相减 。 如：
14
2121)(212121 2121 rrerrererAA jjj
21
2
1
2
1
2
1
2
1
r
r
er
er
j
j
A
A
因为通常规定：逆时针的辐角为正,顺时针的辐角为负,则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；
复数相除相当于顺时针旋转矢量 。
特别地,复数 的模为 1,辐角为 。 把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角 。
je
je
15
3.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示设有一复数它和一般的复数不同,它不仅是复数,而且辐角还是时间的函数,称为复指数函数 。 因为
)()( tjeAtA
tjtjjtj AeeeAeAtA )()(由于
)s i n ()c o s ()( )( tAjtAeAtA tj
可见 A(t)的虚部为正弦函数 。 这样就建立了正弦量和复数之间的关系 。 为用复数表示正弦信号找到了途径 。
tj
m
tj
tjj
tj
u
eUeU
eUe
UetUtu
u
u
..
)(
Im2Im
2Im
]2I m [)s i n (2)(
16
式中同理
..,2 UUUeU
mj u 或?
..,2 IIIeI
mj i 或?
把复数 分别称为正弦量（电压）的有效值相量和振幅相量。 特别应该注意,相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。
mUU
.,和例,已知 u1=141sin(ωt+60o)V,u 2 =70.7sin(ωt-45o)V 。
求：⑴ 求相量 ； （ 2） 画出相量图 ； (3) 求两电压之和的瞬时值 u(t)。
。和
2
.
1 UU
VjeU
VjeU
j
j
)35.3535.35(504550
42
7.70
)6.8650(1 0 0601 0 0
32
1 4 1
45
2
60
1
＝＝＝解（ 1）
17 Vttu
e
jjUUU
j
)31s i n (255.99)(
55.993155.99
)35.3535.35()6.8650(
31
21
（ 2） 相量图如图 3-4所示图 3-4（ 3）由相量图
18
3.3 基本元件 VCR的相量形式和 KCL,KVL的相量形式
3.3.1 基本元件 VAR的相量形式在交流电路中,电压和电流是变动的,是时间的函数 。 电路元件不仅有耗能元件的电阻,而且有储能元件电感和电容 。 下面分别讨论它们的伏安关系式 （ 即 VCR） 的相量形式 。
因为上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的,相量,波形图如图 3-5所示 。
)s i n (2)s i n (2)( ui tUtRItu
1,电阻元件
19
其相量关系为：
iu IIUU
IRU
IRU
,
22
其中即图 3-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图
20
2,电容元件电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.,UCjI
将上式改写为：
90
1
90
ui
C
uui
IXI
CC
I
UCUI
CUCUjI
或即以上表明电容电流超前电容电压 90°，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图 3-6所示。
这就是电容元件上电压、电流之间的相量关系式。
21
图 3-6 电容元件的波形、相量图通常把 定义为电容的容抗。在直流情况下，频率为零，,电容相当于开路。
CX c?
1?
CX
22
3、电感元件电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.,ILjU
由上式可得 U= ωLI =XLI
90iu
上式表明电感上电流滞后电压为 90° 。
通常把 定义为电感元件的感抗,它也是电压有效值与电流有效值的比值 。 对于一定的电感 L,当频率越高时,其所呈现的抗感越大,反之越小 。 在直流情况下,频率为零,,电感相当于短路 。
LX L
0?LX
23
图 3-7 电感元件的波形图、相量图电感元件的波形、相量图如图 3-7所示。
可以看出，电感上电流滞后电压为 90°。
24
3.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
3.4.1 复阻抗设由 R,L,C串联组成无源二端电路。如图 3-
8所示，流过各元件的电流都为,各元件上电压分别为 uR(t),uL(t),uC(t),端口电压为 u (t)。
i
i
u
图 3-8 无源二端 RLC电路
25
因为 u (t)= uR(t)+u L(t)+ uC(t)
u
tj
CLR
tj
Cm
tj
L
tj
R
tj
eUUU
eUIeUeUeU
2Im
)2()2I m ()2I m ()2I m (
即所以
ZI
jXRI
XXjRI
jXIjXIRIUUUU
CL
CLCLR
)(
)]([
)()(
Z
UI
＝即：
26
jXReZe
I
U
I
UZ
Ziu jj
)(
上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律 。 Z
为该无源二端电路的复阻抗 （ 或阻抗 ）,它等于端口电压相量与端口电流相量之比,当频率一定时,阻抗 Z是一个复常数,可表示为指数型或代数型,即：
式中 ∣ Z∣ 称为阻抗的模，其中 X=XL-XC称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即
22 XR
I
UZ
Z?
R
XXa r c t g
R
Xa r c t g CL
iuZ
27
3.4.2 复导纳对于如图 3-9所示 R,L,C并联电路,根据相量形式得 KCL,得到：
CLR IIII
UY
UjBG
UBBjG
UjBUjBUG
UjBUjBUGI
CL
CL
CCLLR
][
)]([
)(
)(
图 3-9 RLC并联电路
28
zuiY
m
m
jj
j
j
ZU
I
U
I
Y
eYe
U
I
Ue
Ie
U
I
Y
Yui
u
i
,
1
.
)(
＝＝所以由于
Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。
∣ Y∣ 称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。
称为导纳角，表示电流与电压的相位差，
它也等于负的阻抗角。
y?
29
3.5 正弦稳态电路分析
0
0
U
I
UYI
IZU
对于线性正弦稳态电路有,
所以线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可以推广用于线性电路的正弦稳态分析。具体方法是所有电压、电流用相量形式，元件用阻抗或导纳，
画出电路的相量模型，从而建立相量形式的代数方程。
30
3.6 正 弦 稳 态 电 路 中 的 功 率
3.6.1 R,L,C元件的功率和能量
1,电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为设流过电阻元件的电流为其电阻两端电压为则瞬时功率为
)()()( titutP R?
tIti mR?s in)(?
tUtRItu mmR s i ns i n)(
31
由于,故此其瞬时功率的波形图如 3-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且 pR（ t）
≥0,说明电阻元件是耗能元件。
图 3-10 电阻元件的瞬时功率
)2c o s1(s i n2)()()( 2 tIUtIUtitutp RRRRRRR
02c o s?t?
0)2c os1()( tIUtp RRR?
32
电阻的平均功率
R
U
RIIU
dttIUIU
T
dttp
T
P
RRR
T
RRRR
T
R
2
2
00
2c o s
1
)(
1
2,电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为则电感电压为：
VtU
VtXItu
L
LLL
)
2
s i n (2
)
2
s i n (2)(
tAIti LL?s i n2?
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。
33
其瞬时功率为
tIU
ttIU
titutp
LL
LL
LLL
2s i n
s i n)
2
s i n (2
)()()(
上式表明，
电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；
且 pL(t)的值可正可负，其波形图如图 3-11所示。
图 3-11 电感元件的瞬时功率
34
02s i n1)(1
00
t d tIUTdttpTp LT LT LL?
从图上看出，当 uL(t),iL(t)都为正值时或都为负值时,pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当 pL(t) 为负时，
电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，
说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。
电感消耗的平均功率为：
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。
35
tAIti cc?s i n2)(?
VtXI
VtUtu
cc
cc
)
2
s i n (2
)
2
s i n (2)(
3,电容元件的功率在电压,电流为关联参考方向下,设流过电容元件的电流为,
则电容电压为,
其瞬时功率为：
tIU
ttIUtitutp
cc
ccccc
2s i n
s i n)
2
s i n (2)()()(
36
uc(t),Ic(t),pc(t)的波形如图 3-12所示 。
Cui
图 3-12 电容元件的瞬时功率
37
从图上看出,pc(t),与 pL(t)波形图相似,即电容元件只与外界交换能量而不消耗能量 。
电容消耗的平均功率也为零,即：
T ccT cc dttIUTdttpTP 00 0)2s i n(1)(1?
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换,而电容元件是以电场能量与外界进行能量交换 。
从图 3-12看出,＞ 0时,能量流入电容,电容储能增长； ＜ 0时,能量自电容流出,电容储能减少 。
能量在电容与外电路之间不断往返,这是电容的储能本质在正弦稳态下的表现 。
)(tpc
)(tpc
38
3.6.2 二端电路的功率
1.瞬时功率在图 3-13所示二端电路中,设电流
i(t)及端口电压 u(t)在关联参考方向下,
分别为：
iu
)s i n (2)(
s i n2)(
utUtu
tIti
则二端电路的瞬时功率为：
图 3-13
)2c o s (c o s
)]2c o s ([ c o s
s i n2)s i n (2)()()(
tUIUI
tUI
tItUtitutp
39
上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。
瞬时功率如图 3-14所示。
图 3-14 二端 RLC电路的瞬时功率
40
从图 3-14上看出,u(t)或 i(t)为零时,p(t)为零；
当二者同号时,p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时,p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。
2,有功功率（也叫平均功率）和功率因素平均功率为,
c o s
)]2c o s (c o s[
1
)(
1
0
0
UI
dttUIUI
T
dttp
T
p
T
T
41
式中 称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差,
也称为功率因素角。
cos
3.6.3 无功功率、视在功率和复功率无功功率用 Q表示，定义
s inUIQ?
通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率,用 S表示,即
UIS?
42
P,Q,S之间存在如下关系,
P
Q
a r ct g
UIQPS
SUIQ
SUIP
Z
22
s i ns i n
c o sc o s
工程上为了计算方便,把有功功率作为实部,
无功功率作为虚部,组成复数,称为复功率,
用 表示复功率,即
jQPS
~
~S
43
3.6.4 正弦稳态电路的最大功率传输如图 3-15所示，交流电源的电压为,其内阻抗为,负载阻抗电路中电流为：
SU
)()( LsLs
S
Ls
S
XXjRR
U
ZZ
UI
电流有效值为：
图 3-15
22 )()(
LsLs
s
XXRR
UI
ssS jXRZ
LLL jXRZ
44
负载吸收的功率为：
L
LsLs
s
LL RXXRR
URIP
22
2
2
)()(
0
)(
)(2)(
4
2
2?
Ls
LLsLs
s
L
L
RR
RRRRRU
dR
dP
要求出 PL的最大值，为此需求出 PL对 RL的导数，
并使之为零，即：
由上式得到,（ RS+RL)2-2RL(RS+RL） =0
解得,RL=RS
45
负载获取最大功率的条件为：
*
SL
SL
SL
ZZ
RR
XX
即上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。此时最大功率为：
S
Sm
S
S
L R
U
R
UP
42
1
4
22
m a x
46
3.7 谐振电路当二端电路的端口电压与电流同相位时，即电路呈电阻性，工程上将电路的这中状态称为谐振。
3.7.1 串联谐振
3-16 串联谐振电路当回路中容抗等于阻抗时，
称回路发生了串联谐振。这时频率称为串联谐振频率，
用 表示，相应的角频率用表示 。
01
0
0 CLX
0f
0?
串联电路发生谐振的条件是：
47
串联谐振电路具有如下特点：
(1) 谐振时,回路电抗 X=0,阻抗 Z=R为最小值,且为纯电阻 。 在其他频率时,回路电抗 。 当角频率满足 时,即,回路呈感性；反之呈容性 。
（ 2） 谐振时,回路电流最大,即,且电流与外加电压 同相 。
（ 3）电感及电容两端电压模值相等，且等于外加电压的 Q倍。
0?X
R
UI s
0
0I
SU
SSSL UjQU
R
LjLj
R
ULjIU 0
0000
SSSC UjQU
CR
j
CjR
U
Cj
IU
000
00
111
CL 1? 0
48
CLL
LCC
L 11
0
0
RC
L
RCRR
LQ?
11
0
0
称为谐振电路的特性阻抗。
定义回路的品质因数 Q为：
回路发生串联谐振的角频率 及频率 分别为,
0?f
0? 0f
Hz
LC
fsr a d
LC?
2
1/1
00 或
49
串联揩振时,,,,与 的关系如图下图 3-17所示 。
0
RU?LOU?COU?OU?
OI
通常，回路的 Q值可达几十到几百，谐振时电感线圈和电容两端的电压可以比信号源电压大几十到几百倍，所以又叫电压谐振。
从右图可以看出,超前为 90°,滞后 为 90°，
与 相位相反。 图 3-17 串联谐振时电压和电流相量图
LOU
OI
COU
OI
LOU
COU
50
3.7.2 并联谐振串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的情况,如果信号源内阻很大,采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因素,使选择性显著变坏 （ 通频带过宽 ） 。 这样就必须采用并联谐振回路 。
在图 3-18 R-L-C并联电路中,电路的总导纳 Y为：
jBG
XX
j
R
jXjXR
YYYY
CL
CL
CLR
)
11
(
1
111
51
图 3-18 RLC并联谐振电路其导纳模为,
2
2 )
11(1
CL XXR
Y
相应的阻抗模：
22 )11()1(
1
CL XXR
Z
52
可以看出：只有当 XL=XC时 |Z|=R,电路呈电阻性,
电路谐振 。 由于 R,L,C并联,所以又称为并联谐振 。
可见并联谐振的条件是 XL=XC,即当 时发生并联谐振 。 其谐振角频率为：
LC
f
LC o?
2
11
0 或谐振频率
CL O
1
0?
并联谐振电路的特点为：
（ 1） XL=XC,|Z|=R,电路阻抗为纯电阻性 。
（ 2）谐振时，因阻抗最大,当激励电流 一定时,并联电路的电压的有效值 最大。
I
G
I
Y
IU
0
53
式中 Q称为并联谐振电路的品质因素，其值为：
(4)谐振时，能量只 R在上消耗，
电容和电感之间进行电场能量和磁场能量的转换，电源和电路之间没有能量的转换。
图 3-19 并联谐振时电压和电流相量图
（ 3）电感和电容上电流有效值相等，其值为总电流的 Q倍，即：
QILG ILUII LC
00
G
C
LGQ
0
0
1?
54
工程上广泛应用电感线圈与电容器组成并联谐振电路,由于实际电感线圈的电阻不可忽略,与电容器并联时,其电路模型图 3-20所示 。
图 3-20 电感与电容的并联谐振电路此类电路的谐振角频率为：
2
2
0
1
L
R
LC
此种电路并联谐振的近似条件为：
C
L 00
1?
55
3.8 三相电路
3.8.1 三相交流电动势的产生三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合,且单相交流电源的频率相等,幅值 （ 最大值
） 相等,相位彼此相差 120° 。
设第一相初相为 0°,第二相为 -120°,第三相为
120°,所以瞬时电动势为：
这样的电动势叫对称三相电动势 。 其相量图和波形图见图 3-21。
)120s i n (
)120s i n (
s i n
0
3
0
2
1
tEe
tEe
tEe
m
m
m
56
图 3-21 三相电动势由波形图可知,三相电动势对称时任一瞬间的代数和 为零,即：
0321 EEE
0321 eee
对称三相电动势相量和为零，即：
57
3.8.2 三相电源的连接将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图 3-
22所示。
低压配电系统中,
采用三根相线和一根中线输电,称为三相四线制；高压输电工程中,由三根相线组成输电,称为三相三线制 。
图 3-22 星形连接每相绕组始端与末端之间的电压,也就是相线和中线之间的电压,叫相电压,其瞬时值用
u1,u2,u3表示,通用 up表示 。
58
任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用 u12,u23,u31表示，通用 ul表示。
由于 u12=u1-u2
u23=u2-u3
u31=u3-u1
作出线电压和相电压的相量图，如图
3-23所示。可以看出
：各线电压在相位上超前各对应的先行相的相电压 30° 。
图 3-23 星形连接线电压相电压的相量图由于 构成等腰三角形，所以 1221 UUU,、
59
一般写为,
0.,303 pl UU
作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，各线电压相位超前各对应的先行相的相电压 30°。
3
0
331
0
223
0
112
303
303
303
UU
UU
UU
60
3.8.3 对称三相负载的星形连接三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。
１,负载的星形连接如图 3-24所示是三相负载作星形连接时的电路图 。
图 3-24 三相负载的星形连接
61
略去输电电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，负载端的线电压为负载相电压的倍，即
Ypl UU 3?
式中,为星形连接负载的相电压。
三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，即,通用 表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用 表示，其方向与相电压方向一致；
流过中线的电流叫中线电流，用 表示，其方向规定由负载中点 N′流向电源中点 N。
YpU
321 III,,YlI
YpI
NI
62
YPYl II?
由基尔霍夫电流定律知同时,三个相电流的相位差互为 120°,满足
00 321321 iiiIII 或
0321 iiii N
显然,在负载星形连接时,线电流等于相电流,即若三相负载对称，即 因各相电压对称，所以各相电流的有效值相等，即：
p
Yp
Yp Z
UIIII
321
pZZZZ 321
63
这样,对称的三相负载作星形连接时,中线电流为零 。 这时,可以省略中线而成为三相三线制,并不影响电路工作 。
如果三相负载不对称,各相电流大小就不相等,相位差也不一定是 120°,中线电流不为零,此时就不能省去中线 。 否则会影响电路正常工作,甚至造成事故 。 所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外,中线上不准安装熔丝和开关 。
64
3.8.4 对称负载的三角形连接如图 3-25所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。
不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称电源的线电压。
图 3-25 三相负载的三角形连接
65
对于对称三相负载,相电压等于线电压,其有效值
Lp UU
P
P
P Z
UI?
即各相电压与各相电流的相位差也相同 。 即三相电流的相位差也互为 120° 。 各相电流的方向与该相的电压方向一致 。 由 KCL知
23313
12232
13121
iii
iii
iii
作出线电流和相电流的相量，如图 4-26所示。
相电流：
各相负载阻抗角
p
p
p Z
Ra r c c o s
321
66
图 3-26 三角形连接线电流和相电流的相量图从图中看出：
各线电流在相位上比各对应的先行相的相电流滞后 30°。
由于相电流对称，所以线电流也对称，各线电流之间相差 120°。
可以看出 I
l=2I12cos30= 1212 3
2
32 II?
67
所以
pL II 3
这些说明：对称三相负载呈三角形连接时,线电流的有效值为相电流有效值的 倍,线电流在相位上比各对应的先行相的相电流滞后 30° 。
3
3.8.5 三相电路的功率三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和：
当三相负载对称时,各相功率相等,总功率为一相功率的三倍 。
22
321
321
QPS
QQQQ
PPPP
68
通常,相电压和相电流不易测量,计算三相电路的功率时,是通过线电压和线电流来计算 。
不论对称负载作星形连接还是三角形连接,总的有功功率,无功功率和视在功率相同,即：
ll
Zll
Zll
IUS
IUQ
IUP
3
s i n3
c o s3
即：
ppp
Zppp
Zppp
IUSS
IUQQ
IUPP
33
s i n33
co s33
69
第 3章 小 结本章的主要内容有：正弦交流电路的基本概念,正弦稳态电路的分析,正弦稳态电路中各种功率及其分析计算,谐振电路,三相电路连接及分析计算等问题 。
(1) 利用复数概念,将正弦量用复数表示,使正弦交流电路的分析计算化为相量运算 。
(2) 阻抗或导纳虽然不是正弦量，但也能用复数表示，从而归结出相量形式的欧姆定律与基尔霍夫定律。以此为依据，使一切简单或复杂
70
的直流电路的规律、原理、定理和方法都能适用于交流电路。
(3) 分析电路在正弦稳态下各部分的电压,电流,功率等问题称为正弦稳态分析,采用的方法主要是相量法 。
(4) 交流电路的分析计算除了数值上的问题,
还有相位问题 。 专门讨论了正弦稳态电路的平均功率,无功功率,视在功率,功率因素之间的关系 。
(5) 当二端电路端口电压与电流同相位时,即电路呈电阻性,工程上将电路的这种状态称
71
为谐振 。 R,L,C串联和并联电路是两类典型的谐振电路,由 于 二者互为对偶电路,我们着重分析串联谐振电路,发生串联谐振时,回路阻抗,
Z=R,电路呈电路性,回路电流最大,且回路电流与外加 电压同相 。
(6) 三相电路是交流复杂电路的一种特殊形式，
它的分析计算的依据仍然是基尔霍夫两条定律。
特殊性在于三相电动势是对称的，同时电源和负载都有三角形和星形两种接法。我们只讨论了对称三相电路的计算。
