第 1章传感与检测技术的论理基础第 1章 传感器与检测技术的理论基础
1.1 测量概论
1.2 测量数据的估计和处理返回主目录第 1章传感与检测技术的论理基础第 1章 传感与检测技术的理论基础
1.1
在科学技术高度发达的现代社会中,人类已进入瞬息万变的信息时代 。 人们在从事工业生产和科学实验等活动中,
主要依靠对信息资源的开发,获取,传输和处理 。 传感器处于研究对象与测控系统的接口位置,是感知,获取与检测信息的窗口,一切科学实验和生产过程,特别是自动检测和自动控制系统要获取的信息,都要通过传感器将其转换为容易传输与处理的电信号 。
第 1章传感与检测技术的论理基础在工程实践和科学实验中提出的检测任务是正确及时地掌握各种信息,大多数情况下是要获取被测对象信息的大小,即被测量的大小 。 这样,信息采集的主要含义就是测量 #,取得测量数据 。
,测量系统,这一概念是传感技术发展到一定阶段的产物 。
在工程中,需要有传感器与多台仪表组合在一起,才能完成信号的检测,这样便形成了测量系统 。 尤其是随着计算机技术及信息处理技术的发展,测量系统所涉及的内容也不断得以充实 。
为了更好地掌握传感器,需要对测量的基本概念 #,测量系统的特性 #,测量误差及数据处理等方面的理论及工程方法进行学习和研究,只有了解和掌握了这些基本理论,才能更有效地完成检测任务 。
第 1章传感与检测技术的论理基础一,
测量是以确定量值为目的的一系列操作 。 所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较,确定被测量对标准量的倍数 。 它可由下式表示,
nux?
u
xn?或
（ 1-1）
（ 1-2）
式中,x——被测量值 ;
u ——标准量,即测量单位 ;
n——比值 （ 纯数 ）,含有测量误差 。
第 1章传感与检测技术的论理基础由测量所获得的被测的量值叫测量结果 。 测量结果可用一定的数值表示,也可以用一条曲线或某种图形表示 。 但无论其表现形式如何,测量结果应包括两部分：比值和测量单位 。 确切地讲,测量结果还应包括误差部分 。
被测量值和比值等都是测量过程的信息,这些信息依托于物质才能在空间和时间上进行传递 。 参数承载了信息而成为信号 。 选择其中适当的参数作为测量信号,例如热电偶温度传感器的工作参数是热电偶的电势,差压流量传感器中的孔板工作参数是差压 ΔP。 测量过程就是传感器从被测对象获取被测量的信息,建立起测量信号,经过变换,传输,处理,从而获得被测量的量值 。
第 1章传感与检测技术的论理基础二,
实现被测量与标准量比较得出比值的方法,称为测量方法 。
针对不同测量任务进行具体分析以找出切实可行的测量方法,对测量工作是十分重要的 。
对于测量方法,从不同角度,有不同的分类方法 。 根据获得测量值的方法可分为直接测量,间接测量和组合测量 ; 根据测量的精度因素情况可分为等精度测量与非等精度测量 ; 根据测量方式可分为偏差式测量,零位法测量与微差法测量 ; 根据被测量变化快慢可分为静态测量与动态测量 ; 根据测量敏感元件是否与被测介质接触可分为接触测量与非接触测量 ; 根据测量系统是否向被测对象施加能量可分为主动式测量与被动式测量等 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
1,直接测量,间接测量与组合测量在使用仪表或传感器进行测量时,对仪表读数不需要经过任何运算就能直接表示测量所需要的结果的测量方法称为直接测量 。 例如,用磁电式电流表测量电路的某一支路电流,用弹簧管压力表测量压力等,都属于直接测量 。 直接测量的优点是测量过程简单而又迅速,缺点是测量精度不高 。
在使用仪表或传感器进行测量时,首先对与测量有确定函数关系的几个量进行测量,将被测量代入函数关系式,经过计算得到所需要的结果,这种测量称为间接测量 。 间接测量测量手续较多,花费时间较长,一般用在直接测量不方便或者缺乏直接测量手段的场合 。
第 1章传感与检测技术的论理基础若被测量必须经过求解联立方程组,才能得到最后结果,则称这样的测量为组合测量 。 组合测量是一种特殊的精密测量方法,操作手续复杂,花费时间长,多用于科学实验或特殊场合 。
2,等精度测量与不等精度测量用相同仪表与测量方法对同一被测量进行多次重复测量,
称为等精度测量 。
用不同精度的仪表或不同的测量方法,或在环境条件相差很大时对同一被测量进行多次重复测量称为非等精度测量 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
3,偏差式测量,零位式测量与微差式测量用仪表指针的位移 （ 即偏差 ） 决定被测量的量值,这种测量方法称为偏差式测量 。 应用这种方法测量时,仪表刻度事先用标准器具标定 。 在测量时,输入被测量,按照仪表指针在标尺上的示值,决定被测量的数值 。 这种方法测量过程比较简单,
迅速,但测量结果精度较低 。
用指零仪表的零位指示检测测量系统的平衡状态,在测量系统平衡时,用已知的标准量决定被测量的量值,这种测量方法称为零位式测量 。 在测量时,已知标准量直接与被测量相比较,
已知量应连续可调,指零仪表指零时,被测量与已知标准量相等 。
例如天平,电位差计等 。 零位式测量的优点是可以获得比较高的测量精度,但测量过程比较复杂,费时较长,不适用于测量迅速变化的信号 。
第 1章传感与检测技术的论理基础微差式测量是综合了偏差式测量与零位式测量的优点而提出的一种测量方法 。 它将被测量与已知的标准量相比较,取得差值后,再用偏差法测得此差值 。 应用这种方法测量时,不需要调整标准量,而只需测量两者的差值 。 设,N为标准量,x为被测量,
Δ为二者之差,则 x= N +Δ。 由于 N是标准量,其误差很小,且
ΔN,因此可选用高灵敏度的偏差式仪表测量 Δ,即使测量 Δ的精度较低,但因 Δx,故总的测量精度仍很高 。
微差式测量的优点是反应快,而且测量精度高,特别适用于在线控制参数的测量。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 1 测量系统原理结构框图三,
1,测量系统构成测量系统是传感器与测量仪表,变换装置等的有机组合 。 图 1
- 1表示测量系统原理结构框图 。
第 1章传感与检测技术的论理基础系统中的传感器是感受被测量的大小并输出相对应的可用输出信号的器件或装置 。 数据传输环节用来传输数据 。 当测量系统的几个功能环节独立地分隔开的时候,则必须由一个地方向另一个地方传输数据,数据传输环节就是完成这种传输功能 。
数据处理环节是将传感器输出信号进行处理和变换 。 如对信号进行放大,运算,线性化,数 -模或模 -数转换,变成另一种参数的信号或变成某种标准化的统一信号等,使其输出信号便于显示,记录,既可用于自动控制系统,也可与计算机系统联接,以便对测量信号进行信息处理 。
第 1章传感与检测技术的论理基础数据显示环节将被测量信息变成人感官能接受的形式,以完成监视,控制或分析的目的 。 测量结果可以采用模拟显示,
也可采用数字显示,也可以由记录装置进行自动记录或由打印机将数据打印出来 。
2．
（ 1） 开环测量系统开环测量系统全部信息变换只沿着一个方向进行,如图 1 - 2 所示 。
其中 x为输入量,y为输出量,k 1,k 2,k 3为各个环节的传递系数 。 输入,输出关系为
y=k1k2k3x (1- 3
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1- 2 开环测量系统框图采用开环方式构成的测量系统,结构较简单,但各环节特性的变化都会造成测量误差 。
（ 2） 闭环测量系统 -闭环测量系统有两个通道,一为正向通道,二为反馈通道,其结构如图 1 - 3 所示 。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 3 闭环测量系统框图第 1章传感与检测技术的论理基础其中 Δx为正向通道的输入量,β为反馈环节的传递系数,正向通道的总传递系数 k=k2k3。 由图 1 - 3可知,
fxxx
xf=βy
y=kΔx=k(x1-xf)=kx1-kβy
11 1
1
1
x
k
x
k
ky
当 k>>1时，则第 1章传感与检测技术的论理基础显然,这时整个系统的输入输出关系由反馈环节的特性决定,放大器等环节特性的变化不会造成测量误差,或者说造成的误差很小 。
根据以上分析可知,在构成测量系统时,应将开环系统与闭环系统巧妙地组合在一起加以应用,才能达到所期望的目的 。
四,
测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值 。 但由于种种原因,例如,传感器本身性能不十分优良,测量方法不十分完善,外界干扰的影响等,都会造成被测参数的测量值与真实值不一致,两者不一致程度用测量误差表示 。
第 1章传感与检测技术的论理基础测量误差就是测量值与真实值之间的差值 。 它反映了测量质量的好坏 。
测量的可靠性至关重要,不同场合对测量结果可靠性的要求也不同 。 例如,在量值传递,经济核算,产品检验等场合应保证测量结果有足够的准确度 。 当测量值用作控制信号时,
则要注意测量的稳定性和可靠性 。 因此,测量结果的准确程度应与测量的目的与要求相联系,相适应,那种不惜工本,不顾场合,一味追求越准越好的作法是不可取的,要有技术与经济兼顾的意识 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
1,测量误差的表示方法测量误差的表示方法有多种,含义各异 。
（ 1） 绝对误差绝对误差可用下式定义,
Δ=x-L (1 - 6）
:Δ——绝对误差 ;
x——测量值 ;
L——真实值 。
对测量值进行修正时,要用到绝对误差 。 修正值是与绝对误差大小相等,符号相反的值,实际值等于测量值加上修正值 。
第 1章传感与检测技术的论理基础采用绝对误差表示测量误差,不能很好说明测量质量的好坏 。 例如,在温度测量时,绝对误差 Δ=1 ℃,对体温测量来说是不允许的,而对测量钢水温度来说却是一个极好的测量结果 。
（ 2） 相对误差相对误差的定义由下式给出,
δ= × 100 % (1 - 7）
式中,δ——相对误差,一般用百分数给出 ;
Δ——绝对误差 ;
L——真实值 。
由于被测量的真实值 L无法知道,实际测量时用测量值 x代替真实值 L进行计算,这个相对误差称为标称相对误差,即
L
%1 0 0 x?
第 1章传感与检测技术的论理基础
（ 3） 引用误差引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法 。 它是相对仪表满量程的一种误差,一般也用百分数表示,即
γ= (1 - 9）
式中,γ——引用误差 ;
Δ——绝对误差 。
仪表精度等级是根据引用误差来确定的 。 例如,0.5级表的引用误差的最大值不超过 ± 0.5%,1.0级表的引用误差的最大值不超过 ± 1%。
在使用仪表和传感器时,经常也会遇到基本误差和附加误差两个概念。
%1 0 0- 测量范围下限测量范围上限第 1章传感与检测技术的论理基础
（ 4） 基本误差基本误差是指仪表在规定的标准条件下所具有的误差 。 例如,仪表是在电源电压 (220± 5)V,电网频率
(50± 2)Hz,环境温度 (20± 5)℃,65%± 5% 的条件下标定的 。 如果这台仪表在这个条件下工作,则仪表所具有的误差为基本误差 。 测量仪表的精度等级就是由基本误差决定的 。
（ 5） 附加误差附加误差是指当仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差 。 例如,温度附加误差,频率附加误差,电源电压波动附加误差等 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
2,误差的性质根据测量数据中的误差所呈现的规律,将误差分为三种,
即系统误差,随机误差和粗大误差 。 这种分类方法便于测量数据处理 。
（ 1） 系统误差对同一被测量进行多次重复测量时,如果误差按照一定的规律出现,则把这种误差称为系统误差 。 例如,
标准量值的不准确及仪表刻度的不准确而引起的误差 。
（ 2） 随机误差对同一被测量进行多次重复测量时,绝对值和符号不可预知地随机变化,但就误差的总体而言,具有一定的统计规律性的误差称为随机误差 。
第 1章传感与检测技术的论理基础引起随机误差的原因是很多难以掌握或暂时未能掌握的微小因素,一般无法控制 。 对于随机误差不能用简单的修正值来修正,只能用概率和数理统计的方法去计算它出现的可能性的大小 。
（ 3） 粗大误差明显偏离测量结果的误差称为粗大误差,
又称疏忽误差 。 这类误差是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化而引起的 。 对于粗大误差,首先应设法判断是否存在,然后将其剔除 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
1.2 测量数据的估计和处理从工程测量实践可知,测量数据中含有系统误差和随机误差,有时还会含有粗大误差 。 它们的性质不同,对测量结果的影响及处理方法也不同 。 在测量中,对测量数据进行处理时,
首先判断测量数据中是否含有粗大误差,如有,则必须加以剔除 。 再看数据中是否存在系统误差,对系统误差可设法消除或加以修正 。 对排除了系统误差和粗大误差的测量数据,则利用随机误差性质进行处理 。 总之,对于不同情况的测量数据,
首先要加以分析研究,判断情况,分别处理,再经综合整理以得出合乎科学性的结果 。
第 1章传感与检测技术的论理基础一,
在测量中,当系统误差已设法消除或减小到可以忽略的程度时,如果测量数据仍有不稳定的现象,说明存在随机误差 。
在等精度测量情况下,得 n个测量值 x1,x2,…,xn,设只含有随机误差 δ1,δ2,…,δn。 这组测量值或随机误差都是随机事件,可以用概率数理统计的方法来研究 。 随机误差的处理任务是从随机数据中求出最接近真值的值 （ 或称真值的最佳估计值 ）,对数据精密度的高低 （ 或称可信赖的程度 ） 进行评定并给出测量结果 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
1,随机误差的正态分布曲线测量实践表明,多数测量的随机误差具有以下特征,
① 绝对值小的随机误差出现的概率大于绝对值大的随机误差出现的概率 。
② 随机误差的绝对值不会超出一定界限 。
③ 测量次数 n很大时,绝对值相等 #,符号相反的随机误差出现的概率相等 。
由特征 ③ 不难推出,当 n→∞ 时,随机误差的代数和趋近于零 。
随机误差的上述三个特征,说明其分布实际上是单一峰值的和有界限的,且当测量次数无穷增加时,这类误差还具有对称性 （ 即抵偿性 ） 。
第 1章传感与检测技术的论理基础在大多数情况下,当测量次数足够多时,测量过程中产生的误差服从正态分布规律 。 分布密度函数为
2
2
2
)(
2
1)( a Lxexfy
（ 1-10）
2
2
2
2
1)(
efy
（ 1-11)
y——概率密度 ;
x——测量值 （ 随机变量 ） ;
ζ——均方根偏差 （ 标准误差 ） ;
L——真值 （ 随机变量 x的数学期望 ） ;
δ——随机误差（随机变量）,δ=x-L。
第 1章传感与检测技术的论理基础正态分布方程式的关系曲线为一条钟形的曲线 (如图 1 -
4 所示 ),说明随机变量在 x=L或 δ=0处的附近区域内具有最大概率 。
图 1 – 4 # 正态分布曲线第 1章传感与检测技术的论理基础
2．
在实际测量时,真值 L不可能得到 。 但如果随机误差服从正态分布,则算术平均值处随机误差的概率密度最大 。 对被测量进行等精度的 n次测量,得 n个测量值 x1,x2,…,xn,它们的算术平均值为
(1 - 12）
算术平均值是诸测量值中最可信赖的,它可以作为等精度多次测量的结果。
n
i
in xnxxxnx
1
21
1)(1
第 1章传感与检测技术的论理基础上述的算术平均值是反映随机误差的分布中心,而均方根偏差则反映随机误差的分布范围 。 均方根偏差愈大,测量数据的分散范围也愈大,所以均方根偏差 ζ可以描述测量数据和测量结果的精度 。 图 1 - 5 为不同 ζ下正态分布曲线 。 由图可见：
ζ愈小,分布曲线愈陡峭,说明随机变量的分散性小,测量精度高；反之,ζ愈大,分布曲线愈平坦,随机变量的分散性也大,则精度也低 。
均方根偏差 ζ可由下式求取,
nn
Lx
n
i
i
n
i
i
1
2
1
2)(?
(1-13)
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 5 不同 ζ下正态分布曲线第 1章传感与检测技术的论理基础
xi——第 i次测量值 。
在实际测量时,由于真值 L是无法确切知道的,用测量值的算术平均值 -代替之,各测量值与算术平均值差值称为残余误差,即
vi=xi- (1 - 14）
用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差的估计值
ζs,即
x
11
)(
1
22
1
n
v
n
xx
n
i
n
i
i
s
i
(1-15)
第 1章传感与检测技术的论理基础通常在有限次测量时,算术平均值不可能等于被测量的真值 L,它也是随机变动的 。 设对被测量进行 m组的,多次测量,,1,1,…,m,围绕真值 L有一定的分散性,也是随机变量 。 算术平均值 的精度可由算术平均值的均方根偏差 来评定 。 它与 ζs的关系如下,
x x x
x
x?
n
s
x
故
1%100yd v
（ 1-17）
第 1章传感与检测技术的论理基础在任意误差区间 （ a,b） 出现的概率为
P(a≤v<b)=
ζ是正态分布的特征参数,误差区间通常表示成 ζ的倍数,
如 tζ。 由于随机误差分布对称性的特点,常取对称的区间,即
Pa=P(-tζ≤v≤+tζ)=
dveb
a
a
v
2
2
2
2
1
dvet
t
v
2
2
2
2
1
（ 1-18）
式中,t——
Pa ——
± tζ——误差限。
第 1章传感与检测技术的论理基础表 1 - 1 给出几个典型的 t值及其相应的概率。
表 1 - 1t 值及其相应的概率
t 0.6745 1 1.96 2 2.58 3 4
Pa 0.5 0.6827 0.95 0.9545 0.99 0.9973 0.9999
4
随机误差在 ± tζ范围内出现的概率为 P,则超出的概率称为显著度,用 α表示：
α=1-Pa
Pa与 α关系见图 1 - 6。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 6 Pa与 α关系第 1章传感与检测技术的论理基础从表 1 - 1 可知,当 t=± 1时,Pa=0.682 7,即测量结果中随机误差出现在 -ζ～ +ζ范围内的概率为 68.27%,而 |v|>ζ的概率为
31.73%。 出现在 -3ζ～ +3ζ范围内的概率是 99.73%,因此可以认为绝对值大于 3ζ的误差是不可能出现的,通常把这个误差称为极限误差 ζlim。 按照上面分析,测量结果可表示为
)6 8 2 7.0( ax pxx
或 )9973.0(3
ax pxx
（ 1-19）
例 1 - 1有一组测量值为 237.4,237.2,237.9,237.1、
238.1,237.5,237.4,237.6,237.6,237.4,求测量结果,
第 1章传感与检测技术的论理基础表 1 - 2测 量 值 列 表解,将测量值列于表 1 - 2。
序号 测量值 xi 残余误差 vi
1 237.4 -0.12 0.014
2 237.2 -0.32 0.10
3 237.9 0.38 0.14
4 237.1 -0.42 0.18
5 237.1 0.58 0.34
6 237.5 -0.02 0.00
7 237.4 -0.12 0.014
8 237.6 0.08 0.0064
9 237.6 0.08 0.0064
10 237.4 -0.12 0.014
2iv
52.237?x 0iv 816.02 iv
第 1章传感与检测技术的论理基础
30.0110 816.01
2
n v is
09.01030.0 nsx
x=237.52± 0.09 (Pa=0.682 7)
或 x=237.52± 3× 0.09=237.52± 0.27 (Pa=0.997 3)
第 1章传感与检测技术的论理基础二,系统误差的通用处理方法
1.
系统误差是在一定的测量条件下,测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差 。 系统误差不具有抵偿性,重复测量也难以发现,在工程测量中应特别注意该项误差 。
由于系统误差的特殊性,在处理方法上与随机误差完全不同 。 有效地找出系统误差的根源并减小或消除的关键是如何查找误差根源,这就需要对测量设备,测量对象和测量系统作全面分析,明确其中有无产生明显系统误差的因素,并采取相应措施予以修正或消除 。 由于具体条件不同,在分析查找误差根源时并无一成不变的方法,这与测量者的经验,水平以及测量技术的发展密切相关 。 但我们可以从以下几个方面进行分析考虑 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
① 所用传感器,测量仪表或组成元件是否准确可靠 。 比如传感器或仪表灵敏度不足,仪表刻度不准确,变换器,放大器等性能不太优良,由这些引起的误差是常见的误差 。
② 测量方法是否完善 。 如用电压表测量电压,电压表的内阻对测量结果有影响 。
③ 传感器或仪表安装,调整或放置是否正确合理 。 例如,
没有调好仪表水平位置,安装时仪表指针偏心等都会引起误差 。
④ 传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件 。
例如环境,温度,湿度,气压等的变化也会引起误差 。
⑤ 测量者的操作是否正确。 例如读数时的视差,视力疲劳等都会引起系统误差。
第 1章传感与检测技术的论理基础
2,系统误差的发现与判别发现系统误差一般比较困难,下面只介绍几种发现系统误差的一般方法 。
（ 1） 实验对比法这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量,以发现系统误差 。 这种方法适用于发现固定的系统误差 。 例如,一台测量仪表本身存在固定的系统误差,即使进行多次测量也不能发现,只有用精度更高一级的测量仪表测量,才能发现这台测量仪表的系统误差 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
2） 残余误差观察法这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律,直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统误差 。 图 1 - 7 中把残余误差按测量值先后顺序排列,图 （ a） 的残余误差排列后有递减的变值系统误差 ; 图 （ b） 则可能有周期性系统误差 。
（ 3） 准则检查法已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差 。 不过这些准则都有一定的适用范围 。
如马利科夫判据是将残余误差前后各半分两组,若,Σvi前,
与,Σvi后,之差明显不为零,则可能含有线性系统误差 。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 7 残余误差变化规律第 1章传感与检测技术的论理基础
（ 3） 准则检查法已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差 。 不过这些准则都有一定的适用范围 。
如马利科夫判据是将残余误差前后各半分两组,若,Σvi前,
与,Σvi后,之差明显不为零,则可能含有线性系统误差 。
阿贝检验法则检查残余误差是否偏离正态分布,若偏离,
则可能存在变化的系统误差 。 将测量值的残余误差按测量顺序排列,且设 A=v21+v22+…+v2n,B=(v1-v2)2+(v2-v3)
2+…+(vn-1-vn) 2+(vn-v1)2。
若 则可能含有变化的系统误差 。
nA
B 11
2
第 1章传感与检测技术的论理基础
3,系统误差的消除
（ 1） 在测量结果中进行修正对于已知的系统误差,可以用修正值对测量结果进行修正 ; 对于变值系统误差,设法找出误差的变化规律,用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正 ;
对未知系统误差,则按随机误差进行处理 。
（ 2） 消除系统误差的根源在测量之前,仔细检查仪表,正确调整和安装 ; 防止外界干扰影响 ; 选好观测位置,消除视差 ;
选择环境条件比较稳定时进行读数等 。
（ 3） 在测量系统中采用补偿措施找出系统误差的规律,在测量过程中自动消除系统误差 。 如用热电偶测量温度时,热电偶参考端温度变化会引起系统误差,消除此误差的办法之一是在热电偶回路中加一个冷端补偿器,从而进行自动补偿 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
（ 4） 实时反馈修正由于自动化测量技术及微机的应用,
可用实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差 。 当查明某种误差因素的变化对测量结果有明显的复杂影响时,应尽可能找出其影响测量结果的函数关系或近似的函数关系 。 在测量过程中,用传感器将这些误差因素的变化转换成某种物理量形式 （ 一般为电量 ）,及时按照其函数关系,通过计算机算出影响测量结果的误差值,对测量结果作实时的自动修正 。
第 1章传感与检测技术的论理基础三,粗大误差如前所述,在对重复测量所得一组测量值进行数据处理之前,首先应将具有粗大误差的可疑数据找出来加以剔除 。 人们绝对不能凭主观意愿对数据任意进行取舍,而是要有一定的根据 。 原则就是要看这个可疑值的误差是否仍处于随机误差的范围之内,是则留,不是则弃 。
因此要对测量数据进行必要的检验 。
下面就常用的几种准则介绍如下,
1,3σ
前面已讲到,通常把等于 3ζ的误差称为极限误差 。 3ζ准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值
|vi|>3ζ时,则该测量值为可疑值 （ 坏值 ）,应剔除 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
2.
肖维勒准则以正态分布为前提,假设多次重复测量所得 n
个测量值中,某个测量值的残余误差 |vi|>Zcζ,则剔除此数据 。
实用中 Zc<3,所以在一定程度上弥补了 3ζ准则的不足 。 肖维勒准则中的 Zc值见表 1 - 3。
3.
某个测量值的残余误差的绝对值 |v i|＞ Gζ,则判断此值中含有粗大误差,应予剔除 。 此即格拉布斯准则 。 G值与重复测量次数 n和置信概率 Pa有关,见表 1 - 4。
第 1章传感与检测技术的论理基础第 1章传感与检测技术的论理基础第 1章传感与检测技术的论理基础以上准则是以数据按正态分布为前提的,当偏离正态分布,
特别是测量次数很少时,则判断的可靠性就差 。 因此,对粗大误差除用剔除准则外,更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心 。 另外,要保证测量条件稳定,防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响 。
四,
前面讲述的内容是等精度测量的问题 。 即多次重复测量得的各个测量值具有相同的精度,可用同一个均方根偏差 ζ值来表征,或者说具有相同的可信赖程度 。
第 1章传感与检测技术的论理基础严格地说来,绝对的等精度测量是很难保证的,但对条件差别不大的测量,一般都当作等精度测量对待,某些条件的变化,
如测量时温度的波动等,只作为误差来考虑 。 因此,在一般测量实践中,基本上都属等精度测量 。
但在科学实验或高精度测量中,为了提高测量的可靠性和精度,往往在不同的测量条件下,用不同的测量仪表 #,不同的测量方法 #,不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比,
则认为它们是不等精度的测量 。
1.,权,的概念在不等精度测量时,对同一被测量进行 m组测量,得到 m组测量列 （ 进行多次测量的一组数据称为一测量列 ） 的测量结果及其误差,它们不能同等看待 。 精度高的测量列具有较高的可靠性,将这种可靠性的大小称为,权,。
第 1章传感与检测技术的论理基础
―权,可理解为各组测量结果相对的可信赖程度 。 测量次数多,测量方法完善,测量仪表精度高,测量的环境条件好,测量人员的水平高,则测量结果可靠,其权也大 。 权是相比较而存在的 。 权用符号 p表示,有两种计算方法,
① 用各组测量列的测量次数 n的比值表示,并取测量次数较小的测量列的权为 1,则有
p1∶ p2∶ …∶ pm=n1∶ n2∶ …∶ n m (1 -20）
② 用各组测量列的误差平方的倒数的比值表示,并取误差较大的测量列的权为 1,
则有
p1∶ p2∶ …∶ pm= (1 -21）2)1(
∶
2
2
)1(?
∶ … ∶
2)1(
m?
第 1章传感与检测技术的论理基础
2.
加权算术平均值不同于一般的算术平均值,应考虑各测量列的权的情况 。 若对同一被测量进行 m组不等精度测量,得到
m 1,2,…,m,相应各组的权分别为
p1,p2,…,pm,则加权平均值可用下式表示：
xx x
m
i
i
m
i
ii
m
mm
p
px
ppp
pxpxpx
x
`1
1
21
2211
3,加权算术平均值 p的标准误差 σ p
当进一步计算加权算术平均值 p的标准误差时,也要考虑各测量列的权的情况,标准误差 ζ p 可由下式计算,
x
x
x
第 1章传感与检测技术的论理基础
m
i
i
m
i
ii
px
pm
vp
1
1
2
)1(
（ 1-23）
五,
1.
一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组成 。 设各环节为 x1,x2,…,xn,系统总的输入输出关系为 y=f(x1,x2,…,xn),而各部分又都存在测量误差 。 各局部误差对整个测量系统或传感器测量误差的影响就是误差的合成问题 。 若已知各环节的误差而求总的误差,叫做误差的合成 ; 反之,总的误差确定后,要确定各环节具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值,这一过程叫做误差的分配 。
第 1章传感与检测技术的论理基础由于随机误差和系统误差的规律和特点不同,误差的合成与分配的处理方法也不同,下面分别介绍 。
（ 1） 系统误差的合成由前面可知,系统总输出与各环节之间的函数关系为
y=f(x1,x2,…,xn)
各部分定值系统误差分别为 Δx1,Δx2,…,Δxn,因为系统误差一般均很小,其误差可用微分来表示,故其合成表达式为
n
n
dxxfdxxfdxxfdy 2
2
1
1 （ 1-24）
第 1章传感与检测技术的论理基础实 际 计 算 误 差 时,是 以 各 环 节 的 定 值 系 统 误 差
Δx1,Δx2,…,Δxn代替上式中的 dx1,dx2,…,dxn,即
n
n
xxfxxfxxfy 2
2
1
1
（ 1-25）
式中 Δy即合成后的总的定值系统误差 。
（ 2） 随机误差的合成设测量系统或传感器有 n个环节组成,各部分的均方根偏差为
ζx1,ζx2,…,ζxn,则随机误差的合成表达式为
2222
2
22
1
)()()(
21 nx
n
xxy x
f
x
f
x
f
（ 1-26）
第 1章传感与检测技术的论理基础若 y=f(x 1,x 2,…,x n)为线性函数,即
y=a1x1+a2x2+…+a nxn
22222221
21 nxnxxy aaa
如果 a1=a2=…=an=1,则
222
21 nxxxy
(3) 总合成误差设测量系统和传感器的系统误差和随机误差均为相互独立的,则总的合成误差 ε表示为
ε=Δy± ζy (1 - 29
第 1章传感与检测技术的论理基础
2.
最小二乘法原理是一数学原理,它在误差的数据处理中作为一种数据处理手段 。 最小二乘法原理就是要获得最可信赖的测量结果,使各测量值的残余误差平方和为最小 。 在等精度测量和不等精度测量中,用算术平均值或加权算术平均值作为多次测量的结果,因为它们符合最小二乘法原理 。 最小二乘法在组合测量的数据处理 #,实验曲线的拟合及其它多种学科等方面,均获得了广泛的应用 。
下面举个组合测量的例子 。
铂电阻电阻值 R与温度 t之间函数关系式为第 1章传感与检测技术的论理基础
Rt=R0(1+αt+βt2)
式中,R0,Rt——分别为铂电阻在温度 0 ℃ 和 t ℃ 时的电阻值 ;
α,β——电阻温度系数 。
若在不同温度 t条件下测得一系列电阻值 R,求电阻温度系数 α和 β。 由于在测量中不可避免地引入误差,如何求得一组最佳的或最恰当的解,使 Rt=R0(1+αt+βt2)具有最小的误差呢通常的做法是使测量次数 n大于所求未知量个数 m（ n>m）,采用最小二乘法原理进行计算 。
为了讨论方便起见,我们用线性函数通式表示 。 设
X1,X2,…,Xm为待求量,Y1,Y2,…,Yn为直接测量值,它们相应的函数关系为第 1章传感与检测技术的论理基础
Y1=a11X1+a12X2+…+a1mXm
Y2=a21X1+a22X2+…+a2mXm
Yn=an1X1+an2X2+…+anmXm
…
若 x1,x2,…,xm是待求量 X1,X2,…,Xm最可信赖的值,又称最佳估计值,则相应的估计值亦有下列函数关系：
y1=a11x1+a12x2+…+a1mxm
y2=a21x2+a22x2+…+a2mxm
yn=an1x1+an2x2+…+a nmxm
…
第 1章传感与检测技术的论理基础相应的误差方程为
l1-y1=l1-(a11x1+a12x2+…+a1mxm)
l2-y2=l2-(a21x1+a22x2+…+a2mxm)
ln-yn=ln-(an1x1+an2x2+…+anmxm)
（ 1-32）
式中,l1,l2,…,ln——带有误差的实际直接测量值 。
按最小二乘法原理,要获取最可信赖的结果 x1,x2,…,xm,
应按上述方程组的残余误差平方和为最小,即最小
][ 2
1
222
2
2
1 vvvvv
n
i
in
第 1章传感与检测技术的论理基础根据求极值条件,应使
0][
1
2
xv
0][
2
2?
x
v
0][
2
mx
v
…
将上述偏微分方程式整理,最后可写成,
［ a1a1］ x1+［ a1a2］ x2+…+［ a1am］ =［ a1l］
［ a2a1］ x1+［ a2a2］ x2+…+［ a2am］ =［ a2l］
［ ama1］ x1+［ ama2］ x2+…+［ amam］ =［ aml］ (1 - 34)
…
第 1章传感与检测技术的论理基础式 （ 1 - 34） 即为等精度测量的线性函数最小二乘估计的正规方程 。 式中,
［ a1a1］ =a11a11+a21a21+…+an1an1
［ a1a2］ =a11a12+a21a22+…+an1an2
［ a1am］ =a11a1m+a21a2m+…+an1anm
［ a1l］ =a11l1+a21l2+… +an1ln
…
正规方程是一个 m元线性方程组,当其系数行列式不为零时,有唯一确定的解,由此可解得欲求的估计值 x1,x2,…,xm即为符合最小二乘原理的最佳解 。
第 1章传感与检测技术的论理基础线性函数的最小二乘法处理应用矩阵这一工具进行讨论有许多便利之处 。 将误差方程式 （ 1 - 32） 用矩阵表示,
L-AX=V (1 - 35）
式中,
a11 a12 … a1m
a21 a22 … a2m
an1 an2 … a nm
…… … …
系数矩阵
A=
第 1章传感与检测技术的论理基础估计值矩阵
x1
x2
xn
…?^X
实际测量值矩阵
L1
L2
Ln
…L=
第 1章传感与检测技术的论理基础
V1
V2
Vn
…V=残余误差矩阵残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为
V1
V2
Vn
…(v1,v2,…,v n) =最小第 1章传感与检测技术的论理基础
v′n =
即 V′V=
或 (L-AX） ′（ L-AX） =最小将上述线性函数的正规方程式 (1 - 34） 用残余误差表示,可改写成,
a11v1+a21v2+…+an1vn=0
a12v1+a22v2+…+an2vn=0
a1mv1+a2mv2+…+anmvn=0 (1 - 36)
…
第 1章传感与检测技术的论理基础写成矩阵形式为
a11 a21 … an1
a12 a22 … an2
a1m a2m … a nm
……… …
V1
V2
Vn
= 0
即由式（ 1-35）有
A′V=0
A′（ L-AX） =0 （ A′A）
X=A′L
X=(A′A） -1A′L （ 1-38）
第 1章传感与检测技术的论理基础式 (1 - 38）即为最小二乘估计的矩阵解。
例 1 – 2 铜的电阻值 R与温度 t之间关系为 Rt=R0(1+αt),在不同温度下,测定铜电阻的电阻值如下表所示 。 试估计 0℃ 时的铜电阻电阻值 R0和铜电阻的电阻温度系数 α。
ti(℃ ) 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0
Ri(Ω) 76.3 77.8 79.75 80.80 82.35 83.9 85.10
解,列出误差方程,
Rti-R0（ 1+αt） =vi (i=1,2,3,…,7)
式中,ti是在温度 ti下测得铜电阻电阻值。
第 1章传感与检测技术的论理基础令 x=R0,y=αR0,则误差方程可写为
76.3-(x+19.1y) =v1
77.8-(x+25.0y) =v2
79.75-(x+30.1y) =v3
80.80-(x+36.0y) =v4
82.35-(x+40.0y) =v5
83.9-(x+45.1y) =v6
85.10-(x+50.0y) =v7
第 1章传感与检测技术的论理基础其正规方程按式 (1 - 34） 为
［ a1a1］ x+［ a1a2］ y=［ a1l］
［ a2a1］ x+［ a2a2］ y=［ a2l］
于是有
7
1
7
1
7
1
21
i
t
i
i
i i
Rytx
7
1
7
1
2
7
1 i
it
ii
i tRytxt ii
将各值代入上式,得到
7x+245.3y=566
245.3x+9325.38y=20 044.5
第 1章传感与检测技术的论理基础解得
x=70.8 Ω
y=0.288Ω/℃
即
R0=70.8Ω
α =
用矩阵求解,则有
CRy,3
0
/1007.48.70 288.0
第 1章传感与检测技术的论理基础
A′A=
1 1 1 1 1 1 1
19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0
1 19.1
1 25.0
1 30.1
1 36.0
1 40.0
1 45.1
1 50.0
= 7 245.3
245.3 9325.38
AA'
7 245.3
245.3 9325.38 =5108.7 ≠ 0 （有解）
第 1章传感与检测技术的论理基础
(A′A)-1 =
AA'
1
A11 A12
A21 A22
=
7.5108
1
9325.85 -245.3
-245.3 7
A′L=
1 1 1 1 1 1 1
19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0
76.3
77.8
79.75
80.80
82.35
83.9
85.10
= 566
20044.5
第 1章传感与检测技术的论理基础
3,用经验公式拟合实验数据 ——回归分析在工程实践和科学实验中,经常遇到对于一批实验数据,需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式 。 用经验公式拟合实验数据,工程上把这种方法称为回归分析 。 回归分析就是应用数理统计的方法,对实验数据进行分析和处理,从而得出反映变量间相互关系的经验公式,也称回归方程 。
第 1章传感与检测技术的论理基础当经验公式为线性函数时,例如,
y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn (1 - 39)
称这种回归分析为线性回归分析,它在工程中的应用价值较高 。
在线性回归中,当独立变量只有一个时,即函数关系为
y=b0+bx (1 - 40)
这种回归称为一元线性回归,这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题 。
设有 n对测量数据 （ xi,yi）,用一元线性回归方程 y∧ =b0+bx
拟合,根据测量数据值,求方程中系数 b0,b的最佳估计值 。 可应用最小二乘法原理,使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小,见图 1 - 8。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 8 用最小二乘法求回归直线第 1章传感与检测技术的论理基础式中,,,…,——在 x1,x2,…,xn点上 y的估计值 。
用最小二乘法求系数 b 0,b同上,这里不再叙述 。
1
^y
2
^y
ny
^
第 1章传感与检测技术的论理基础在求经验公式时,有时用图解法分析显得更方便,直观,
将测量数据值 （ xi,yi） 绘制在坐标纸上,把这些测量点直接联接起来,根据曲线 （ 包括直线 ） 的形状,特征以及变化趋势,
可以设法给出它们的数学模型 （ 即经验公式 ） 。 这不仅可把一条形象化的曲线与各种分析方法联系起来,而且还在相当程度上扩展了原有曲线的应用范围 。
1.1 测量概论
1.2 测量数据的估计和处理返回主目录第 1章传感与检测技术的论理基础第 1章 传感与检测技术的理论基础
1.1
在科学技术高度发达的现代社会中,人类已进入瞬息万变的信息时代 。 人们在从事工业生产和科学实验等活动中,
主要依靠对信息资源的开发,获取,传输和处理 。 传感器处于研究对象与测控系统的接口位置,是感知,获取与检测信息的窗口,一切科学实验和生产过程,特别是自动检测和自动控制系统要获取的信息,都要通过传感器将其转换为容易传输与处理的电信号 。
第 1章传感与检测技术的论理基础在工程实践和科学实验中提出的检测任务是正确及时地掌握各种信息,大多数情况下是要获取被测对象信息的大小,即被测量的大小 。 这样,信息采集的主要含义就是测量 #,取得测量数据 。
,测量系统,这一概念是传感技术发展到一定阶段的产物 。
在工程中,需要有传感器与多台仪表组合在一起,才能完成信号的检测,这样便形成了测量系统 。 尤其是随着计算机技术及信息处理技术的发展,测量系统所涉及的内容也不断得以充实 。
为了更好地掌握传感器,需要对测量的基本概念 #,测量系统的特性 #,测量误差及数据处理等方面的理论及工程方法进行学习和研究,只有了解和掌握了这些基本理论,才能更有效地完成检测任务 。
第 1章传感与检测技术的论理基础一,
测量是以确定量值为目的的一系列操作 。 所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较,确定被测量对标准量的倍数 。 它可由下式表示,
nux?
u
xn?或
（ 1-1）
（ 1-2）
式中,x——被测量值 ;
u ——标准量,即测量单位 ;
n——比值 （ 纯数 ）,含有测量误差 。
第 1章传感与检测技术的论理基础由测量所获得的被测的量值叫测量结果 。 测量结果可用一定的数值表示,也可以用一条曲线或某种图形表示 。 但无论其表现形式如何,测量结果应包括两部分：比值和测量单位 。 确切地讲,测量结果还应包括误差部分 。
被测量值和比值等都是测量过程的信息,这些信息依托于物质才能在空间和时间上进行传递 。 参数承载了信息而成为信号 。 选择其中适当的参数作为测量信号,例如热电偶温度传感器的工作参数是热电偶的电势,差压流量传感器中的孔板工作参数是差压 ΔP。 测量过程就是传感器从被测对象获取被测量的信息,建立起测量信号,经过变换,传输,处理,从而获得被测量的量值 。
第 1章传感与检测技术的论理基础二,
实现被测量与标准量比较得出比值的方法,称为测量方法 。
针对不同测量任务进行具体分析以找出切实可行的测量方法,对测量工作是十分重要的 。
对于测量方法,从不同角度,有不同的分类方法 。 根据获得测量值的方法可分为直接测量,间接测量和组合测量 ; 根据测量的精度因素情况可分为等精度测量与非等精度测量 ; 根据测量方式可分为偏差式测量,零位法测量与微差法测量 ; 根据被测量变化快慢可分为静态测量与动态测量 ; 根据测量敏感元件是否与被测介质接触可分为接触测量与非接触测量 ; 根据测量系统是否向被测对象施加能量可分为主动式测量与被动式测量等 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
1,直接测量,间接测量与组合测量在使用仪表或传感器进行测量时,对仪表读数不需要经过任何运算就能直接表示测量所需要的结果的测量方法称为直接测量 。 例如,用磁电式电流表测量电路的某一支路电流,用弹簧管压力表测量压力等,都属于直接测量 。 直接测量的优点是测量过程简单而又迅速,缺点是测量精度不高 。
在使用仪表或传感器进行测量时,首先对与测量有确定函数关系的几个量进行测量,将被测量代入函数关系式,经过计算得到所需要的结果,这种测量称为间接测量 。 间接测量测量手续较多,花费时间较长,一般用在直接测量不方便或者缺乏直接测量手段的场合 。
第 1章传感与检测技术的论理基础若被测量必须经过求解联立方程组,才能得到最后结果,则称这样的测量为组合测量 。 组合测量是一种特殊的精密测量方法,操作手续复杂,花费时间长,多用于科学实验或特殊场合 。
2,等精度测量与不等精度测量用相同仪表与测量方法对同一被测量进行多次重复测量,
称为等精度测量 。
用不同精度的仪表或不同的测量方法,或在环境条件相差很大时对同一被测量进行多次重复测量称为非等精度测量 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
3,偏差式测量,零位式测量与微差式测量用仪表指针的位移 （ 即偏差 ） 决定被测量的量值,这种测量方法称为偏差式测量 。 应用这种方法测量时,仪表刻度事先用标准器具标定 。 在测量时,输入被测量,按照仪表指针在标尺上的示值,决定被测量的数值 。 这种方法测量过程比较简单,
迅速,但测量结果精度较低 。
用指零仪表的零位指示检测测量系统的平衡状态,在测量系统平衡时,用已知的标准量决定被测量的量值,这种测量方法称为零位式测量 。 在测量时,已知标准量直接与被测量相比较,
已知量应连续可调,指零仪表指零时,被测量与已知标准量相等 。
例如天平,电位差计等 。 零位式测量的优点是可以获得比较高的测量精度,但测量过程比较复杂,费时较长,不适用于测量迅速变化的信号 。
第 1章传感与检测技术的论理基础微差式测量是综合了偏差式测量与零位式测量的优点而提出的一种测量方法 。 它将被测量与已知的标准量相比较,取得差值后,再用偏差法测得此差值 。 应用这种方法测量时,不需要调整标准量,而只需测量两者的差值 。 设,N为标准量,x为被测量,
Δ为二者之差,则 x= N +Δ。 由于 N是标准量,其误差很小,且
ΔN,因此可选用高灵敏度的偏差式仪表测量 Δ,即使测量 Δ的精度较低,但因 Δx,故总的测量精度仍很高 。
微差式测量的优点是反应快,而且测量精度高,特别适用于在线控制参数的测量。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 1 测量系统原理结构框图三,
1,测量系统构成测量系统是传感器与测量仪表,变换装置等的有机组合 。 图 1
- 1表示测量系统原理结构框图 。
第 1章传感与检测技术的论理基础系统中的传感器是感受被测量的大小并输出相对应的可用输出信号的器件或装置 。 数据传输环节用来传输数据 。 当测量系统的几个功能环节独立地分隔开的时候,则必须由一个地方向另一个地方传输数据,数据传输环节就是完成这种传输功能 。
数据处理环节是将传感器输出信号进行处理和变换 。 如对信号进行放大,运算,线性化,数 -模或模 -数转换,变成另一种参数的信号或变成某种标准化的统一信号等,使其输出信号便于显示,记录,既可用于自动控制系统,也可与计算机系统联接,以便对测量信号进行信息处理 。
第 1章传感与检测技术的论理基础数据显示环节将被测量信息变成人感官能接受的形式,以完成监视,控制或分析的目的 。 测量结果可以采用模拟显示,
也可采用数字显示,也可以由记录装置进行自动记录或由打印机将数据打印出来 。
2．
（ 1） 开环测量系统开环测量系统全部信息变换只沿着一个方向进行,如图 1 - 2 所示 。
其中 x为输入量,y为输出量,k 1,k 2,k 3为各个环节的传递系数 。 输入,输出关系为
y=k1k2k3x (1- 3
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1- 2 开环测量系统框图采用开环方式构成的测量系统,结构较简单,但各环节特性的变化都会造成测量误差 。
（ 2） 闭环测量系统 -闭环测量系统有两个通道,一为正向通道,二为反馈通道,其结构如图 1 - 3 所示 。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 3 闭环测量系统框图第 1章传感与检测技术的论理基础其中 Δx为正向通道的输入量,β为反馈环节的传递系数,正向通道的总传递系数 k=k2k3。 由图 1 - 3可知,
fxxx
xf=βy
y=kΔx=k(x1-xf)=kx1-kβy
11 1
1
1
x
k
x
k
ky
当 k>>1时，则第 1章传感与检测技术的论理基础显然,这时整个系统的输入输出关系由反馈环节的特性决定,放大器等环节特性的变化不会造成测量误差,或者说造成的误差很小 。
根据以上分析可知,在构成测量系统时,应将开环系统与闭环系统巧妙地组合在一起加以应用,才能达到所期望的目的 。
四,
测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值 。 但由于种种原因,例如,传感器本身性能不十分优良,测量方法不十分完善,外界干扰的影响等,都会造成被测参数的测量值与真实值不一致,两者不一致程度用测量误差表示 。
第 1章传感与检测技术的论理基础测量误差就是测量值与真实值之间的差值 。 它反映了测量质量的好坏 。
测量的可靠性至关重要,不同场合对测量结果可靠性的要求也不同 。 例如,在量值传递,经济核算,产品检验等场合应保证测量结果有足够的准确度 。 当测量值用作控制信号时,
则要注意测量的稳定性和可靠性 。 因此,测量结果的准确程度应与测量的目的与要求相联系,相适应,那种不惜工本,不顾场合,一味追求越准越好的作法是不可取的,要有技术与经济兼顾的意识 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
1,测量误差的表示方法测量误差的表示方法有多种,含义各异 。
（ 1） 绝对误差绝对误差可用下式定义,
Δ=x-L (1 - 6）
:Δ——绝对误差 ;
x——测量值 ;
L——真实值 。
对测量值进行修正时,要用到绝对误差 。 修正值是与绝对误差大小相等,符号相反的值,实际值等于测量值加上修正值 。
第 1章传感与检测技术的论理基础采用绝对误差表示测量误差,不能很好说明测量质量的好坏 。 例如,在温度测量时,绝对误差 Δ=1 ℃,对体温测量来说是不允许的,而对测量钢水温度来说却是一个极好的测量结果 。
（ 2） 相对误差相对误差的定义由下式给出,
δ= × 100 % (1 - 7）
式中,δ——相对误差,一般用百分数给出 ;
Δ——绝对误差 ;
L——真实值 。
由于被测量的真实值 L无法知道,实际测量时用测量值 x代替真实值 L进行计算,这个相对误差称为标称相对误差,即
L
%1 0 0 x?
第 1章传感与检测技术的论理基础
（ 3） 引用误差引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法 。 它是相对仪表满量程的一种误差,一般也用百分数表示,即
γ= (1 - 9）
式中,γ——引用误差 ;
Δ——绝对误差 。
仪表精度等级是根据引用误差来确定的 。 例如,0.5级表的引用误差的最大值不超过 ± 0.5%,1.0级表的引用误差的最大值不超过 ± 1%。
在使用仪表和传感器时,经常也会遇到基本误差和附加误差两个概念。
%1 0 0- 测量范围下限测量范围上限第 1章传感与检测技术的论理基础
（ 4） 基本误差基本误差是指仪表在规定的标准条件下所具有的误差 。 例如,仪表是在电源电压 (220± 5)V,电网频率
(50± 2)Hz,环境温度 (20± 5)℃,65%± 5% 的条件下标定的 。 如果这台仪表在这个条件下工作,则仪表所具有的误差为基本误差 。 测量仪表的精度等级就是由基本误差决定的 。
（ 5） 附加误差附加误差是指当仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差 。 例如,温度附加误差,频率附加误差,电源电压波动附加误差等 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
2,误差的性质根据测量数据中的误差所呈现的规律,将误差分为三种,
即系统误差,随机误差和粗大误差 。 这种分类方法便于测量数据处理 。
（ 1） 系统误差对同一被测量进行多次重复测量时,如果误差按照一定的规律出现,则把这种误差称为系统误差 。 例如,
标准量值的不准确及仪表刻度的不准确而引起的误差 。
（ 2） 随机误差对同一被测量进行多次重复测量时,绝对值和符号不可预知地随机变化,但就误差的总体而言,具有一定的统计规律性的误差称为随机误差 。
第 1章传感与检测技术的论理基础引起随机误差的原因是很多难以掌握或暂时未能掌握的微小因素,一般无法控制 。 对于随机误差不能用简单的修正值来修正,只能用概率和数理统计的方法去计算它出现的可能性的大小 。
（ 3） 粗大误差明显偏离测量结果的误差称为粗大误差,
又称疏忽误差 。 这类误差是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化而引起的 。 对于粗大误差,首先应设法判断是否存在,然后将其剔除 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
1.2 测量数据的估计和处理从工程测量实践可知,测量数据中含有系统误差和随机误差,有时还会含有粗大误差 。 它们的性质不同,对测量结果的影响及处理方法也不同 。 在测量中,对测量数据进行处理时,
首先判断测量数据中是否含有粗大误差,如有,则必须加以剔除 。 再看数据中是否存在系统误差,对系统误差可设法消除或加以修正 。 对排除了系统误差和粗大误差的测量数据,则利用随机误差性质进行处理 。 总之,对于不同情况的测量数据,
首先要加以分析研究,判断情况,分别处理,再经综合整理以得出合乎科学性的结果 。
第 1章传感与检测技术的论理基础一,
在测量中,当系统误差已设法消除或减小到可以忽略的程度时,如果测量数据仍有不稳定的现象,说明存在随机误差 。
在等精度测量情况下,得 n个测量值 x1,x2,…,xn,设只含有随机误差 δ1,δ2,…,δn。 这组测量值或随机误差都是随机事件,可以用概率数理统计的方法来研究 。 随机误差的处理任务是从随机数据中求出最接近真值的值 （ 或称真值的最佳估计值 ）,对数据精密度的高低 （ 或称可信赖的程度 ） 进行评定并给出测量结果 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
1,随机误差的正态分布曲线测量实践表明,多数测量的随机误差具有以下特征,
① 绝对值小的随机误差出现的概率大于绝对值大的随机误差出现的概率 。
② 随机误差的绝对值不会超出一定界限 。
③ 测量次数 n很大时,绝对值相等 #,符号相反的随机误差出现的概率相等 。
由特征 ③ 不难推出,当 n→∞ 时,随机误差的代数和趋近于零 。
随机误差的上述三个特征,说明其分布实际上是单一峰值的和有界限的,且当测量次数无穷增加时,这类误差还具有对称性 （ 即抵偿性 ） 。
第 1章传感与检测技术的论理基础在大多数情况下,当测量次数足够多时,测量过程中产生的误差服从正态分布规律 。 分布密度函数为
2
2
2
)(
2
1)( a Lxexfy
（ 1-10）
2
2
2
2
1)(
efy
（ 1-11)
y——概率密度 ;
x——测量值 （ 随机变量 ） ;
ζ——均方根偏差 （ 标准误差 ） ;
L——真值 （ 随机变量 x的数学期望 ） ;
δ——随机误差（随机变量）,δ=x-L。
第 1章传感与检测技术的论理基础正态分布方程式的关系曲线为一条钟形的曲线 (如图 1 -
4 所示 ),说明随机变量在 x=L或 δ=0处的附近区域内具有最大概率 。
图 1 – 4 # 正态分布曲线第 1章传感与检测技术的论理基础
2．
在实际测量时,真值 L不可能得到 。 但如果随机误差服从正态分布,则算术平均值处随机误差的概率密度最大 。 对被测量进行等精度的 n次测量,得 n个测量值 x1,x2,…,xn,它们的算术平均值为
(1 - 12）
算术平均值是诸测量值中最可信赖的,它可以作为等精度多次测量的结果。
n
i
in xnxxxnx
1
21
1)(1
第 1章传感与检测技术的论理基础上述的算术平均值是反映随机误差的分布中心,而均方根偏差则反映随机误差的分布范围 。 均方根偏差愈大,测量数据的分散范围也愈大,所以均方根偏差 ζ可以描述测量数据和测量结果的精度 。 图 1 - 5 为不同 ζ下正态分布曲线 。 由图可见：
ζ愈小,分布曲线愈陡峭,说明随机变量的分散性小,测量精度高；反之,ζ愈大,分布曲线愈平坦,随机变量的分散性也大,则精度也低 。
均方根偏差 ζ可由下式求取,
nn
Lx
n
i
i
n
i
i
1
2
1
2)(?
(1-13)
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 5 不同 ζ下正态分布曲线第 1章传感与检测技术的论理基础
xi——第 i次测量值 。
在实际测量时,由于真值 L是无法确切知道的,用测量值的算术平均值 -代替之,各测量值与算术平均值差值称为残余误差,即
vi=xi- (1 - 14）
用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差的估计值
ζs,即
x
11
)(
1
22
1
n
v
n
xx
n
i
n
i
i
s
i
(1-15)
第 1章传感与检测技术的论理基础通常在有限次测量时,算术平均值不可能等于被测量的真值 L,它也是随机变动的 。 设对被测量进行 m组的,多次测量,,1,1,…,m,围绕真值 L有一定的分散性,也是随机变量 。 算术平均值 的精度可由算术平均值的均方根偏差 来评定 。 它与 ζs的关系如下,
x x x
x
x?
n
s
x
故
1%100yd v
（ 1-17）
第 1章传感与检测技术的论理基础在任意误差区间 （ a,b） 出现的概率为
P(a≤v<b)=
ζ是正态分布的特征参数,误差区间通常表示成 ζ的倍数,
如 tζ。 由于随机误差分布对称性的特点,常取对称的区间,即
Pa=P(-tζ≤v≤+tζ)=
dveb
a
a
v
2
2
2
2
1
dvet
t
v
2
2
2
2
1
（ 1-18）
式中,t——
Pa ——
± tζ——误差限。
第 1章传感与检测技术的论理基础表 1 - 1 给出几个典型的 t值及其相应的概率。
表 1 - 1t 值及其相应的概率
t 0.6745 1 1.96 2 2.58 3 4
Pa 0.5 0.6827 0.95 0.9545 0.99 0.9973 0.9999
4
随机误差在 ± tζ范围内出现的概率为 P,则超出的概率称为显著度,用 α表示：
α=1-Pa
Pa与 α关系见图 1 - 6。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 6 Pa与 α关系第 1章传感与检测技术的论理基础从表 1 - 1 可知,当 t=± 1时,Pa=0.682 7,即测量结果中随机误差出现在 -ζ～ +ζ范围内的概率为 68.27%,而 |v|>ζ的概率为
31.73%。 出现在 -3ζ～ +3ζ范围内的概率是 99.73%,因此可以认为绝对值大于 3ζ的误差是不可能出现的,通常把这个误差称为极限误差 ζlim。 按照上面分析,测量结果可表示为
)6 8 2 7.0( ax pxx
或 )9973.0(3
ax pxx
（ 1-19）
例 1 - 1有一组测量值为 237.4,237.2,237.9,237.1、
238.1,237.5,237.4,237.6,237.6,237.4,求测量结果,
第 1章传感与检测技术的论理基础表 1 - 2测 量 值 列 表解,将测量值列于表 1 - 2。
序号 测量值 xi 残余误差 vi
1 237.4 -0.12 0.014
2 237.2 -0.32 0.10
3 237.9 0.38 0.14
4 237.1 -0.42 0.18
5 237.1 0.58 0.34
6 237.5 -0.02 0.00
7 237.4 -0.12 0.014
8 237.6 0.08 0.0064
9 237.6 0.08 0.0064
10 237.4 -0.12 0.014
2iv
52.237?x 0iv 816.02 iv
第 1章传感与检测技术的论理基础
30.0110 816.01
2
n v is
09.01030.0 nsx
x=237.52± 0.09 (Pa=0.682 7)
或 x=237.52± 3× 0.09=237.52± 0.27 (Pa=0.997 3)
第 1章传感与检测技术的论理基础二,系统误差的通用处理方法
1.
系统误差是在一定的测量条件下,测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差 。 系统误差不具有抵偿性,重复测量也难以发现,在工程测量中应特别注意该项误差 。
由于系统误差的特殊性,在处理方法上与随机误差完全不同 。 有效地找出系统误差的根源并减小或消除的关键是如何查找误差根源,这就需要对测量设备,测量对象和测量系统作全面分析,明确其中有无产生明显系统误差的因素,并采取相应措施予以修正或消除 。 由于具体条件不同,在分析查找误差根源时并无一成不变的方法,这与测量者的经验,水平以及测量技术的发展密切相关 。 但我们可以从以下几个方面进行分析考虑 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
① 所用传感器,测量仪表或组成元件是否准确可靠 。 比如传感器或仪表灵敏度不足,仪表刻度不准确,变换器,放大器等性能不太优良,由这些引起的误差是常见的误差 。
② 测量方法是否完善 。 如用电压表测量电压,电压表的内阻对测量结果有影响 。
③ 传感器或仪表安装,调整或放置是否正确合理 。 例如,
没有调好仪表水平位置,安装时仪表指针偏心等都会引起误差 。
④ 传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件 。
例如环境,温度,湿度,气压等的变化也会引起误差 。
⑤ 测量者的操作是否正确。 例如读数时的视差,视力疲劳等都会引起系统误差。
第 1章传感与检测技术的论理基础
2,系统误差的发现与判别发现系统误差一般比较困难,下面只介绍几种发现系统误差的一般方法 。
（ 1） 实验对比法这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量,以发现系统误差 。 这种方法适用于发现固定的系统误差 。 例如,一台测量仪表本身存在固定的系统误差,即使进行多次测量也不能发现,只有用精度更高一级的测量仪表测量,才能发现这台测量仪表的系统误差 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
2） 残余误差观察法这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律,直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统误差 。 图 1 - 7 中把残余误差按测量值先后顺序排列,图 （ a） 的残余误差排列后有递减的变值系统误差 ; 图 （ b） 则可能有周期性系统误差 。
（ 3） 准则检查法已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差 。 不过这些准则都有一定的适用范围 。
如马利科夫判据是将残余误差前后各半分两组,若,Σvi前,
与,Σvi后,之差明显不为零,则可能含有线性系统误差 。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 7 残余误差变化规律第 1章传感与检测技术的论理基础
（ 3） 准则检查法已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差 。 不过这些准则都有一定的适用范围 。
如马利科夫判据是将残余误差前后各半分两组,若,Σvi前,
与,Σvi后,之差明显不为零,则可能含有线性系统误差 。
阿贝检验法则检查残余误差是否偏离正态分布,若偏离,
则可能存在变化的系统误差 。 将测量值的残余误差按测量顺序排列,且设 A=v21+v22+…+v2n,B=(v1-v2)2+(v2-v3)
2+…+(vn-1-vn) 2+(vn-v1)2。
若 则可能含有变化的系统误差 。
nA
B 11
2
第 1章传感与检测技术的论理基础
3,系统误差的消除
（ 1） 在测量结果中进行修正对于已知的系统误差,可以用修正值对测量结果进行修正 ; 对于变值系统误差,设法找出误差的变化规律,用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正 ;
对未知系统误差,则按随机误差进行处理 。
（ 2） 消除系统误差的根源在测量之前,仔细检查仪表,正确调整和安装 ; 防止外界干扰影响 ; 选好观测位置,消除视差 ;
选择环境条件比较稳定时进行读数等 。
（ 3） 在测量系统中采用补偿措施找出系统误差的规律,在测量过程中自动消除系统误差 。 如用热电偶测量温度时,热电偶参考端温度变化会引起系统误差,消除此误差的办法之一是在热电偶回路中加一个冷端补偿器,从而进行自动补偿 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
（ 4） 实时反馈修正由于自动化测量技术及微机的应用,
可用实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差 。 当查明某种误差因素的变化对测量结果有明显的复杂影响时,应尽可能找出其影响测量结果的函数关系或近似的函数关系 。 在测量过程中,用传感器将这些误差因素的变化转换成某种物理量形式 （ 一般为电量 ）,及时按照其函数关系,通过计算机算出影响测量结果的误差值,对测量结果作实时的自动修正 。
第 1章传感与检测技术的论理基础三,粗大误差如前所述,在对重复测量所得一组测量值进行数据处理之前,首先应将具有粗大误差的可疑数据找出来加以剔除 。 人们绝对不能凭主观意愿对数据任意进行取舍,而是要有一定的根据 。 原则就是要看这个可疑值的误差是否仍处于随机误差的范围之内,是则留,不是则弃 。
因此要对测量数据进行必要的检验 。
下面就常用的几种准则介绍如下,
1,3σ
前面已讲到,通常把等于 3ζ的误差称为极限误差 。 3ζ准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值
|vi|>3ζ时,则该测量值为可疑值 （ 坏值 ）,应剔除 。
第 1章传感与检测技术的论理基础
2.
肖维勒准则以正态分布为前提,假设多次重复测量所得 n
个测量值中,某个测量值的残余误差 |vi|>Zcζ,则剔除此数据 。
实用中 Zc<3,所以在一定程度上弥补了 3ζ准则的不足 。 肖维勒准则中的 Zc值见表 1 - 3。
3.
某个测量值的残余误差的绝对值 |v i|＞ Gζ,则判断此值中含有粗大误差,应予剔除 。 此即格拉布斯准则 。 G值与重复测量次数 n和置信概率 Pa有关,见表 1 - 4。
第 1章传感与检测技术的论理基础第 1章传感与检测技术的论理基础第 1章传感与检测技术的论理基础以上准则是以数据按正态分布为前提的,当偏离正态分布,
特别是测量次数很少时,则判断的可靠性就差 。 因此,对粗大误差除用剔除准则外,更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心 。 另外,要保证测量条件稳定,防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响 。
四,
前面讲述的内容是等精度测量的问题 。 即多次重复测量得的各个测量值具有相同的精度,可用同一个均方根偏差 ζ值来表征,或者说具有相同的可信赖程度 。
第 1章传感与检测技术的论理基础严格地说来,绝对的等精度测量是很难保证的,但对条件差别不大的测量,一般都当作等精度测量对待,某些条件的变化,
如测量时温度的波动等,只作为误差来考虑 。 因此,在一般测量实践中,基本上都属等精度测量 。
但在科学实验或高精度测量中,为了提高测量的可靠性和精度,往往在不同的测量条件下,用不同的测量仪表 #,不同的测量方法 #,不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比,
则认为它们是不等精度的测量 。
1.,权,的概念在不等精度测量时,对同一被测量进行 m组测量,得到 m组测量列 （ 进行多次测量的一组数据称为一测量列 ） 的测量结果及其误差,它们不能同等看待 。 精度高的测量列具有较高的可靠性,将这种可靠性的大小称为,权,。
第 1章传感与检测技术的论理基础
―权,可理解为各组测量结果相对的可信赖程度 。 测量次数多,测量方法完善,测量仪表精度高,测量的环境条件好,测量人员的水平高,则测量结果可靠,其权也大 。 权是相比较而存在的 。 权用符号 p表示,有两种计算方法,
① 用各组测量列的测量次数 n的比值表示,并取测量次数较小的测量列的权为 1,则有
p1∶ p2∶ …∶ pm=n1∶ n2∶ …∶ n m (1 -20）
② 用各组测量列的误差平方的倒数的比值表示,并取误差较大的测量列的权为 1,
则有
p1∶ p2∶ …∶ pm= (1 -21）2)1(
∶
2
2
)1(?
∶ … ∶
2)1(
m?
第 1章传感与检测技术的论理基础
2.
加权算术平均值不同于一般的算术平均值,应考虑各测量列的权的情况 。 若对同一被测量进行 m组不等精度测量,得到
m 1,2,…,m,相应各组的权分别为
p1,p2,…,pm,则加权平均值可用下式表示：
xx x
m
i
i
m
i
ii
m
mm
p
px
ppp
pxpxpx
x
`1
1
21
2211
3,加权算术平均值 p的标准误差 σ p
当进一步计算加权算术平均值 p的标准误差时,也要考虑各测量列的权的情况,标准误差 ζ p 可由下式计算,
x
x
x
第 1章传感与检测技术的论理基础
m
i
i
m
i
ii
px
pm
vp
1
1
2
)1(
（ 1-23）
五,
1.
一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组成 。 设各环节为 x1,x2,…,xn,系统总的输入输出关系为 y=f(x1,x2,…,xn),而各部分又都存在测量误差 。 各局部误差对整个测量系统或传感器测量误差的影响就是误差的合成问题 。 若已知各环节的误差而求总的误差,叫做误差的合成 ; 反之,总的误差确定后,要确定各环节具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值,这一过程叫做误差的分配 。
第 1章传感与检测技术的论理基础由于随机误差和系统误差的规律和特点不同,误差的合成与分配的处理方法也不同,下面分别介绍 。
（ 1） 系统误差的合成由前面可知,系统总输出与各环节之间的函数关系为
y=f(x1,x2,…,xn)
各部分定值系统误差分别为 Δx1,Δx2,…,Δxn,因为系统误差一般均很小,其误差可用微分来表示,故其合成表达式为
n
n
dxxfdxxfdxxfdy 2
2
1
1 （ 1-24）
第 1章传感与检测技术的论理基础实 际 计 算 误 差 时,是 以 各 环 节 的 定 值 系 统 误 差
Δx1,Δx2,…,Δxn代替上式中的 dx1,dx2,…,dxn,即
n
n
xxfxxfxxfy 2
2
1
1
（ 1-25）
式中 Δy即合成后的总的定值系统误差 。
（ 2） 随机误差的合成设测量系统或传感器有 n个环节组成,各部分的均方根偏差为
ζx1,ζx2,…,ζxn,则随机误差的合成表达式为
2222
2
22
1
)()()(
21 nx
n
xxy x
f
x
f
x
f
（ 1-26）
第 1章传感与检测技术的论理基础若 y=f(x 1,x 2,…,x n)为线性函数,即
y=a1x1+a2x2+…+a nxn
22222221
21 nxnxxy aaa
如果 a1=a2=…=an=1,则
222
21 nxxxy
(3) 总合成误差设测量系统和传感器的系统误差和随机误差均为相互独立的,则总的合成误差 ε表示为
ε=Δy± ζy (1 - 29
第 1章传感与检测技术的论理基础
2.
最小二乘法原理是一数学原理,它在误差的数据处理中作为一种数据处理手段 。 最小二乘法原理就是要获得最可信赖的测量结果,使各测量值的残余误差平方和为最小 。 在等精度测量和不等精度测量中,用算术平均值或加权算术平均值作为多次测量的结果,因为它们符合最小二乘法原理 。 最小二乘法在组合测量的数据处理 #,实验曲线的拟合及其它多种学科等方面,均获得了广泛的应用 。
下面举个组合测量的例子 。
铂电阻电阻值 R与温度 t之间函数关系式为第 1章传感与检测技术的论理基础
Rt=R0(1+αt+βt2)
式中,R0,Rt——分别为铂电阻在温度 0 ℃ 和 t ℃ 时的电阻值 ;
α,β——电阻温度系数 。
若在不同温度 t条件下测得一系列电阻值 R,求电阻温度系数 α和 β。 由于在测量中不可避免地引入误差,如何求得一组最佳的或最恰当的解,使 Rt=R0(1+αt+βt2)具有最小的误差呢通常的做法是使测量次数 n大于所求未知量个数 m（ n>m）,采用最小二乘法原理进行计算 。
为了讨论方便起见,我们用线性函数通式表示 。 设
X1,X2,…,Xm为待求量,Y1,Y2,…,Yn为直接测量值,它们相应的函数关系为第 1章传感与检测技术的论理基础
Y1=a11X1+a12X2+…+a1mXm
Y2=a21X1+a22X2+…+a2mXm
Yn=an1X1+an2X2+…+anmXm
…
若 x1,x2,…,xm是待求量 X1,X2,…,Xm最可信赖的值,又称最佳估计值,则相应的估计值亦有下列函数关系：
y1=a11x1+a12x2+…+a1mxm
y2=a21x2+a22x2+…+a2mxm
yn=an1x1+an2x2+…+a nmxm
…
第 1章传感与检测技术的论理基础相应的误差方程为
l1-y1=l1-(a11x1+a12x2+…+a1mxm)
l2-y2=l2-(a21x1+a22x2+…+a2mxm)
ln-yn=ln-(an1x1+an2x2+…+anmxm)
（ 1-32）
式中,l1,l2,…,ln——带有误差的实际直接测量值 。
按最小二乘法原理,要获取最可信赖的结果 x1,x2,…,xm,
应按上述方程组的残余误差平方和为最小,即最小
][ 2
1
222
2
2
1 vvvvv
n
i
in
第 1章传感与检测技术的论理基础根据求极值条件,应使
0][
1
2
xv
0][
2
2?
x
v
0][
2
mx
v
…
将上述偏微分方程式整理,最后可写成,
［ a1a1］ x1+［ a1a2］ x2+…+［ a1am］ =［ a1l］
［ a2a1］ x1+［ a2a2］ x2+…+［ a2am］ =［ a2l］
［ ama1］ x1+［ ama2］ x2+…+［ amam］ =［ aml］ (1 - 34)
…
第 1章传感与检测技术的论理基础式 （ 1 - 34） 即为等精度测量的线性函数最小二乘估计的正规方程 。 式中,
［ a1a1］ =a11a11+a21a21+…+an1an1
［ a1a2］ =a11a12+a21a22+…+an1an2
［ a1am］ =a11a1m+a21a2m+…+an1anm
［ a1l］ =a11l1+a21l2+… +an1ln
…
正规方程是一个 m元线性方程组,当其系数行列式不为零时,有唯一确定的解,由此可解得欲求的估计值 x1,x2,…,xm即为符合最小二乘原理的最佳解 。
第 1章传感与检测技术的论理基础线性函数的最小二乘法处理应用矩阵这一工具进行讨论有许多便利之处 。 将误差方程式 （ 1 - 32） 用矩阵表示,
L-AX=V (1 - 35）
式中,
a11 a12 … a1m
a21 a22 … a2m
an1 an2 … a nm
…… … …
系数矩阵
A=
第 1章传感与检测技术的论理基础估计值矩阵
x1
x2
xn
…?^X
实际测量值矩阵
L1
L2
Ln
…L=
第 1章传感与检测技术的论理基础
V1
V2
Vn
…V=残余误差矩阵残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为
V1
V2
Vn
…(v1,v2,…,v n) =最小第 1章传感与检测技术的论理基础
v′n =
即 V′V=
或 (L-AX） ′（ L-AX） =最小将上述线性函数的正规方程式 (1 - 34） 用残余误差表示,可改写成,
a11v1+a21v2+…+an1vn=0
a12v1+a22v2+…+an2vn=0
a1mv1+a2mv2+…+anmvn=0 (1 - 36)
…
第 1章传感与检测技术的论理基础写成矩阵形式为
a11 a21 … an1
a12 a22 … an2
a1m a2m … a nm
……… …
V1
V2
Vn
= 0
即由式（ 1-35）有
A′V=0
A′（ L-AX） =0 （ A′A）
X=A′L
X=(A′A） -1A′L （ 1-38）
第 1章传感与检测技术的论理基础式 (1 - 38）即为最小二乘估计的矩阵解。
例 1 – 2 铜的电阻值 R与温度 t之间关系为 Rt=R0(1+αt),在不同温度下,测定铜电阻的电阻值如下表所示 。 试估计 0℃ 时的铜电阻电阻值 R0和铜电阻的电阻温度系数 α。
ti(℃ ) 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0
Ri(Ω) 76.3 77.8 79.75 80.80 82.35 83.9 85.10
解,列出误差方程,
Rti-R0（ 1+αt） =vi (i=1,2,3,…,7)
式中,ti是在温度 ti下测得铜电阻电阻值。
第 1章传感与检测技术的论理基础令 x=R0,y=αR0,则误差方程可写为
76.3-(x+19.1y) =v1
77.8-(x+25.0y) =v2
79.75-(x+30.1y) =v3
80.80-(x+36.0y) =v4
82.35-(x+40.0y) =v5
83.9-(x+45.1y) =v6
85.10-(x+50.0y) =v7
第 1章传感与检测技术的论理基础其正规方程按式 (1 - 34） 为
［ a1a1］ x+［ a1a2］ y=［ a1l］
［ a2a1］ x+［ a2a2］ y=［ a2l］
于是有
7
1
7
1
7
1
21
i
t
i
i
i i
Rytx
7
1
7
1
2
7
1 i
it
ii
i tRytxt ii
将各值代入上式,得到
7x+245.3y=566
245.3x+9325.38y=20 044.5
第 1章传感与检测技术的论理基础解得
x=70.8 Ω
y=0.288Ω/℃
即
R0=70.8Ω
α =
用矩阵求解,则有
CRy,3
0
/1007.48.70 288.0
第 1章传感与检测技术的论理基础
A′A=
1 1 1 1 1 1 1
19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0
1 19.1
1 25.0
1 30.1
1 36.0
1 40.0
1 45.1
1 50.0
= 7 245.3
245.3 9325.38
AA'
7 245.3
245.3 9325.38 =5108.7 ≠ 0 （有解）
第 1章传感与检测技术的论理基础
(A′A)-1 =
AA'
1
A11 A12
A21 A22
=
7.5108
1
9325.85 -245.3
-245.3 7
A′L=
1 1 1 1 1 1 1
19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0
76.3
77.8
79.75
80.80
82.35
83.9
85.10
= 566
20044.5
第 1章传感与检测技术的论理基础
3,用经验公式拟合实验数据 ——回归分析在工程实践和科学实验中,经常遇到对于一批实验数据,需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式 。 用经验公式拟合实验数据,工程上把这种方法称为回归分析 。 回归分析就是应用数理统计的方法,对实验数据进行分析和处理,从而得出反映变量间相互关系的经验公式,也称回归方程 。
第 1章传感与检测技术的论理基础当经验公式为线性函数时,例如,
y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn (1 - 39)
称这种回归分析为线性回归分析,它在工程中的应用价值较高 。
在线性回归中,当独立变量只有一个时,即函数关系为
y=b0+bx (1 - 40)
这种回归称为一元线性回归,这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题 。
设有 n对测量数据 （ xi,yi）,用一元线性回归方程 y∧ =b0+bx
拟合,根据测量数据值,求方程中系数 b0,b的最佳估计值 。 可应用最小二乘法原理,使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小,见图 1 - 8。
第 1章传感与检测技术的论理基础图 1 – 8 用最小二乘法求回归直线第 1章传感与检测技术的论理基础式中,,,…,——在 x1,x2,…,xn点上 y的估计值 。
用最小二乘法求系数 b 0,b同上,这里不再叙述 。
1
^y
2
^y
ny
^
第 1章传感与检测技术的论理基础在求经验公式时,有时用图解法分析显得更方便,直观,
将测量数据值 （ xi,yi） 绘制在坐标纸上,把这些测量点直接联接起来,根据曲线 （ 包括直线 ） 的形状,特征以及变化趋势,
可以设法给出它们的数学模型 （ 即经验公式 ） 。 这不仅可把一条形象化的曲线与各种分析方法联系起来,而且还在相当程度上扩展了原有曲线的应用范围 。
