Matlab第 11次课
卷积的计算和零状态响应
6.2、傅立叶分析
卷积的计算
例 2-1 已知一 LTI系统的单位冲激响应为
h(t)=e-tu(t),系统的输入信号为 x(t)=e-2tu(t),
求系统的输出。
dee
dtueuethtxty
t t
t
0
)(2
)(2 )()()(*)()(
0,)( 2 teety tt
解,1）写出 h(t)的 Matlab表达式
2）写出 u(t)的 Matlab表达式
3）利用的 Matlab的卷积语句
y=conv(u,h)*dt求解并画出曲线
dthxty
dtktt
tktthktxty
k
)()()(
,,0
)()()(
000
000
上述的求和变为积分时，当
程序：
clc
clear,close all
dt=0.01
t=0:dt:5;
x=exp(-2*t)
h=exp(-1*t);
subplot(2,2,1),plot(t,h);grid
y=conv(x,h)*dt;
subplot(2,2,2),plot(t,y(1:length(t)));grid
y1=exp(-t)-exp(-2*t);
subplot(2,2,3),plot(t,y1,'r'),grid
例 6.5 LTI系统的零状态响应
设二阶连续系统，其特性可用常微分方程表示
xydtdydt yd 822
2
求其冲激响应，若输入 x(t)=3t+cos(0.1t),求其零状态响应。
解,1）先求系统的冲激响应，系统的齐次方程为
0822
求出其特征根,p1,p2，及相应的留数
r1,r2，则冲激响应为
tptp ererth 21 21)(
2）输出 y(t)可用输入 x(t)与冲激响应 h(t)的卷积求得。
Clc,clear,close all
a=[1,2,8];b=1;
dt=0.1
t=0:dt:5;
x=3*t+cos(0.1*t);
[r,p]=residue(b,a);
h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t);
subplot(2,1,1),plot(t,h);grid
y=conv(x,h)*dt;
subplot(2,1,2),plot(t,y(1:length(t)));grid
1、几个四舍五入的函数
a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,2.4+3.6i]
1,F=floor(a)
向 -?方向舍入为整数。
F = -2.0000 -1.0000 3.0000 5.0000 2.0000 + 3.0000i
2,A=ceil(a)
向?方向舍入为整数。
A = -1.0000 0 4.0000 6.0000 3.0000 + 4.0000i
a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,2.4+3.6i]
3,C=fix(a)
向 0四舍五入
C =-1.0000 0 3.0000 5.0000 2.0000 + 3.0000i
4,R=round(a)
R = -2.0000 0 3.0000 6.0000 2.0000 + 4.0000i
b= [-1.95,-0.24,3.46,5.6,2.4+3.6i]？？
6.2、傅立叶分析
例 6.7 方波分解为多次正弦波之和
图 6.7.1给出的方波图形，其傅立叶级数为
.,,3,2,1.,,])12s i n(12 1.,,3s i n31[ s i n4)( ktkktttf,?
用 Matlab演示谐波合成情况解：方波 f(t)的周期 T＝ 2?，由于该方波为奇对称，
在 t=0间演示即可，分别计算
.,,,,,
)3s i n
3
1
( s i n
4
)(
s i n
4
)(
3
1
tttf
ttf
clc
clear,close all
t=0:0.01:2*pi;
y=sin(t);
plot(t,y),figure(gcf),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3;hold on
plot(t,y,'r'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5;hold on
plot(t,y,':k'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3.+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7;hold on
plot(t,y,'-.m'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)/9;hold on
plot(t,y,'--g'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)/9+sin(11*t)/1
1;hold on
plot(t,y,'.c'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)
/9+sin(11*t)/11+sin(13*t)/13;hold on
plot(t,y,'.b'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)
/9+sin(11*t)/11+Sin(13*t)/13+sin(15*t)/15;hold
on
plot(t,y,'.r'),pause(2)
例 6.8 求全波整流电压信号的频谱
周期电流、电压信号 f(t)可展开为直流与各次谐波之和，即
1
0 )c o s (
2)( k kkm tkA
Atf?
式中 Ω＝ 2π/T是基波角频率,T为周期
.,,2,1,0)s i n ()(
2
)c o s ()(
2
2/
2/
2/
2/
22
kdttktf
T
b
dttktf
T
a
baA
T
T
k
T
T
k
kkkm
，
周期信号的有效值：
dttfTA T 0 2)]([1
也可以表示为各次谐波有效值的形式
1
22
0 )2
1(
k
kmAAA
对于峰值为 Um的电压 Us(t),其傅立叶级数的系数为
...5,3,1,0
,...6,4,2,411,4 20
kA
kUkAUA
km
m
km
m
电压 Us(t)的展开式为
]2c o s14 121[4)(
1
2 tnn
Utu
n
m
s
若 Um=100v,频率 …… 书 p139
解：令?＝?t,Us(t)=|Umsin?t |= |Umsin? |,则
0 220 20 21 s i n1s i n2 1]s i n[1 dUdUdttUTU mmT ms ＝
由前 n项分量的功率求出的有效值
3
1
2
2
2
2 14
1
2
1)
2
1(4
n
m
s n
UU
误差为
1
12
s
ss
U
UU
clc
clear,close all
Um=100;T=0.02;w=2*pi*50
N=input('取的谐波次数 N=');
t=linspaCe(-T/2,T/2);dt=T/99;
u=Um*abs(sin(w*t));
for k=0:N
a(k+1)=trapz(u.*cos(k*w*t))*dt/T*2;
b(k+1)=trapz(u.*sin(k*w*t))*dt/T*2;
A(k+1)=sqrt(a(k+1)^2+b(k+1)^2);
end
[[0:N]',[A(1)/2,A(2:end)]']
stem(0:N,[A(1)/2,A(2:end)])
Us11=sqrt(trapz(u.^2)*dt/T)
Us12=sqrt(A(1)^2/4+sum(A(2:end).^2/2))
Us21=Um*sqrt(trapz(sin(w*t).^2)*dt/T)
Us22=4*Um/pi*sqrt(0.5^2+0.5*sum((1./(4*[1:3].^
2-1)).^2))
e=(Us21-Us22)
例 6.9 周期信号的滤波
如下图所示滤波电路，已知
L=40mH,C=10uF,R=200?。如输入电压 us(t)全波整流信号,Um=100V,w1=100?rad/s，求负载 R两端的直流和各次谐波分量。
Z1k
L
UrR
Z3kZ2k
C Us(t)
+
-
解：全波整流电压为
]2c o s14 121[4)(
1
2 tnn
Utu
n
m
s
由于直流电感阻抗为 0，电容开路，所以
m
R
UU 2
0?
对于第 k次谐波电压
sk
kkkkkk
kk
Sk
kk
kk
k
kk
kk
Rk UZZZZZZ
ZZ
U
ZZ
ZZ
Z
ZZ
ZZ
U
313221
32
32
32
1
32
32
式中，
.,,)3,2,1,2(,14 111 22 nnknkU sk
为电源 k次谐波分量
Ckw
R
LRkwj
C
L
U
Ckw
R
j
U
RZ
Cnw
j
Ckw
jZ
LnwjLj k wZ
sk
Rk
k
k
k
1
1
1
3
11
2
111
2
11
2
clc
clear,close all
format compact
L=0.4;C=10e-6;R=200;
Um=100;w.1=100*pi;
N=input('需分析的谐波次数 N＝键入偶数 ')
n=1:N/2;
w=[eps,2*n*w1]
Us=4*Um/pi*[0.5,-1./(4*n.^2-1)];
z1=j*w*L;z2=1./(j*w*C);z3=R;
z23=z2.*z3./(z2+z3);
Ur=Us.*z23./(z1+z23)
disp(' 谐波次数 谐波幅度 谐波相位（度） ')
disp([2*[0,n]',abs(Ur)',angle(Ur)'*180/pi])
程序 %eps=2.2204e-016
作业
例 6.1 (1)(2)
例 6.10调幅信号通过滤波器
已知带通滤波器的系统函数为
22 1 0 0)1(
2)(
S
SSH
激励电压为 u1(t)=(1+cost)cos(100t)
求（ 1）带通滤波器的频率响应
(2)输出的稳态响应 u2(t)并画出波形
设系统函数为 H(S),正弦激励源为
e(t)=Emcos(w0t)
其变换式为补充知识
2
0
2)( wS
SESE m
于是其系统响应为：
n
njwjw
m
pS
K
pS
K
pS
K
jwS
K
jwS
K
SH
wS
SE
SY
,,,
)()(
2
2
1
1
00
2
0
2
00
式中,p1,p2,…,p n是 H(S)的极点,k1,K2,…,K n为部分分式分解各项的系数。
这里引用了符号
2
22
)()(
|)()(
0
0
0
00
0
0
0
00
0
j
m
jw
j
mm
jwsjw
eHE
K
eHE
jw
jwHjwE
SYjwsK
＝
0
0
00
00
)(
)(
j
j
eHjwH
eHjwH
所以，有
00
0
00
00
00
2 jwS
e
jwS
eHE
jwS
K
jwS
K jjmjwjw＝
系统完全响应为
)c o s (
][
2
][
000
0
00
1 000000
twHE
eeeeHE
jwS
K
jwS
K
L
m
tjwjtjwjmjwjw
tp
n
tptp
m
neKeKeKtwHE
SYLty
.,,)c os (
)]([)(
21
21000
1
对于稳定系统，其固有频率 p1,p2,…,p n的实部必须小于零,ept为衰减函数，当 t时，它们都等于 0，
所以稳态响应就是
)c o s ()( 000 twHEty mss
可见，在频率为 w0的余弦信号的作用下，
系统的稳态响应仍为同频率的余弦信号，
但幅度乘以系数 H0，相位移动?0,H0和?0
由系统函数在 jw0处的取值所决定
0
0 00 )(|)(
jjwS eHjwHSH
当频率 w改变时，将变量 jw代入 H(S)中，即可得到频率响应特性
)(|)(|)(|)( wj
jws ejwHjwHSH
卷积的计算和零状态响应
6.2、傅立叶分析
卷积的计算
例 2-1 已知一 LTI系统的单位冲激响应为
h(t)=e-tu(t),系统的输入信号为 x(t)=e-2tu(t),
求系统的输出。
dee
dtueuethtxty
t t
t
0
)(2
)(2 )()()(*)()(
0,)( 2 teety tt
解,1）写出 h(t)的 Matlab表达式
2）写出 u(t)的 Matlab表达式
3）利用的 Matlab的卷积语句
y=conv(u,h)*dt求解并画出曲线
dthxty
dtktt
tktthktxty
k
)()()(
,,0
)()()(
000
000
上述的求和变为积分时，当
程序：
clc
clear,close all
dt=0.01
t=0:dt:5;
x=exp(-2*t)
h=exp(-1*t);
subplot(2,2,1),plot(t,h);grid
y=conv(x,h)*dt;
subplot(2,2,2),plot(t,y(1:length(t)));grid
y1=exp(-t)-exp(-2*t);
subplot(2,2,3),plot(t,y1,'r'),grid
例 6.5 LTI系统的零状态响应
设二阶连续系统，其特性可用常微分方程表示
xydtdydt yd 822
2
求其冲激响应，若输入 x(t)=3t+cos(0.1t),求其零状态响应。
解,1）先求系统的冲激响应，系统的齐次方程为
0822
求出其特征根,p1,p2，及相应的留数
r1,r2，则冲激响应为
tptp ererth 21 21)(
2）输出 y(t)可用输入 x(t)与冲激响应 h(t)的卷积求得。
Clc,clear,close all
a=[1,2,8];b=1;
dt=0.1
t=0:dt:5;
x=3*t+cos(0.1*t);
[r,p]=residue(b,a);
h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t);
subplot(2,1,1),plot(t,h);grid
y=conv(x,h)*dt;
subplot(2,1,2),plot(t,y(1:length(t)));grid
1、几个四舍五入的函数
a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,2.4+3.6i]
1,F=floor(a)
向 -?方向舍入为整数。
F = -2.0000 -1.0000 3.0000 5.0000 2.0000 + 3.0000i
2,A=ceil(a)
向?方向舍入为整数。
A = -1.0000 0 4.0000 6.0000 3.0000 + 4.0000i
a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,2.4+3.6i]
3,C=fix(a)
向 0四舍五入
C =-1.0000 0 3.0000 5.0000 2.0000 + 3.0000i
4,R=round(a)
R = -2.0000 0 3.0000 6.0000 2.0000 + 4.0000i
b= [-1.95,-0.24,3.46,5.6,2.4+3.6i]？？
6.2、傅立叶分析
例 6.7 方波分解为多次正弦波之和
图 6.7.1给出的方波图形，其傅立叶级数为
.,,3,2,1.,,])12s i n(12 1.,,3s i n31[ s i n4)( ktkktttf,?
用 Matlab演示谐波合成情况解：方波 f(t)的周期 T＝ 2?，由于该方波为奇对称，
在 t=0间演示即可，分别计算
.,,,,,
)3s i n
3
1
( s i n
4
)(
s i n
4
)(
3
1
tttf
ttf
clc
clear,close all
t=0:0.01:2*pi;
y=sin(t);
plot(t,y),figure(gcf),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3;hold on
plot(t,y,'r'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5;hold on
plot(t,y,':k'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3.+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7;hold on
plot(t,y,'-.m'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)/9;hold on
plot(t,y,'--g'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)/9+sin(11*t)/1
1;hold on
plot(t,y,'.c'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)
/9+sin(11*t)/11+sin(13*t)/13;hold on
plot(t,y,'.b'),pause(2)
y=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)
/9+sin(11*t)/11+Sin(13*t)/13+sin(15*t)/15;hold
on
plot(t,y,'.r'),pause(2)
例 6.8 求全波整流电压信号的频谱
周期电流、电压信号 f(t)可展开为直流与各次谐波之和，即
1
0 )c o s (
2)( k kkm tkA
Atf?
式中 Ω＝ 2π/T是基波角频率,T为周期
.,,2,1,0)s i n ()(
2
)c o s ()(
2
2/
2/
2/
2/
22
kdttktf
T
b
dttktf
T
a
baA
T
T
k
T
T
k
kkkm
，
周期信号的有效值：
dttfTA T 0 2)]([1
也可以表示为各次谐波有效值的形式
1
22
0 )2
1(
k
kmAAA
对于峰值为 Um的电压 Us(t),其傅立叶级数的系数为
...5,3,1,0
,...6,4,2,411,4 20
kA
kUkAUA
km
m
km
m
电压 Us(t)的展开式为
]2c o s14 121[4)(
1
2 tnn
Utu
n
m
s
若 Um=100v,频率 …… 书 p139
解：令?＝?t,Us(t)=|Umsin?t |= |Umsin? |,则
0 220 20 21 s i n1s i n2 1]s i n[1 dUdUdttUTU mmT ms ＝
由前 n项分量的功率求出的有效值
3
1
2
2
2
2 14
1
2
1)
2
1(4
n
m
s n
UU
误差为
1
12
s
ss
U
UU
clc
clear,close all
Um=100;T=0.02;w=2*pi*50
N=input('取的谐波次数 N=');
t=linspaCe(-T/2,T/2);dt=T/99;
u=Um*abs(sin(w*t));
for k=0:N
a(k+1)=trapz(u.*cos(k*w*t))*dt/T*2;
b(k+1)=trapz(u.*sin(k*w*t))*dt/T*2;
A(k+1)=sqrt(a(k+1)^2+b(k+1)^2);
end
[[0:N]',[A(1)/2,A(2:end)]']
stem(0:N,[A(1)/2,A(2:end)])
Us11=sqrt(trapz(u.^2)*dt/T)
Us12=sqrt(A(1)^2/4+sum(A(2:end).^2/2))
Us21=Um*sqrt(trapz(sin(w*t).^2)*dt/T)
Us22=4*Um/pi*sqrt(0.5^2+0.5*sum((1./(4*[1:3].^
2-1)).^2))
e=(Us21-Us22)
例 6.9 周期信号的滤波
如下图所示滤波电路，已知
L=40mH,C=10uF,R=200?。如输入电压 us(t)全波整流信号,Um=100V,w1=100?rad/s，求负载 R两端的直流和各次谐波分量。
Z1k
L
UrR
Z3kZ2k
C Us(t)
+
-
解：全波整流电压为
]2c o s14 121[4)(
1
2 tnn
Utu
n
m
s
由于直流电感阻抗为 0，电容开路，所以
m
R
UU 2
0?
对于第 k次谐波电压
sk
kkkkkk
kk
Sk
kk
kk
k
kk
kk
Rk UZZZZZZ
ZZ
U
ZZ
ZZ
Z
ZZ
ZZ
U
313221
32
32
32
1
32
32
式中，
.,,)3,2,1,2(,14 111 22 nnknkU sk
为电源 k次谐波分量
Ckw
R
LRkwj
C
L
U
Ckw
R
j
U
RZ
Cnw
j
Ckw
jZ
LnwjLj k wZ
sk
Rk
k
k
k
1
1
1
3
11
2
111
2
11
2
clc
clear,close all
format compact
L=0.4;C=10e-6;R=200;
Um=100;w.1=100*pi;
N=input('需分析的谐波次数 N＝键入偶数 ')
n=1:N/2;
w=[eps,2*n*w1]
Us=4*Um/pi*[0.5,-1./(4*n.^2-1)];
z1=j*w*L;z2=1./(j*w*C);z3=R;
z23=z2.*z3./(z2+z3);
Ur=Us.*z23./(z1+z23)
disp(' 谐波次数 谐波幅度 谐波相位（度） ')
disp([2*[0,n]',abs(Ur)',angle(Ur)'*180/pi])
程序 %eps=2.2204e-016
作业
例 6.1 (1)(2)
例 6.10调幅信号通过滤波器
已知带通滤波器的系统函数为
22 1 0 0)1(
2)(
S
SSH
激励电压为 u1(t)=(1+cost)cos(100t)
求（ 1）带通滤波器的频率响应
(2)输出的稳态响应 u2(t)并画出波形
设系统函数为 H(S),正弦激励源为
e(t)=Emcos(w0t)
其变换式为补充知识
2
0
2)( wS
SESE m
于是其系统响应为：
n
njwjw
m
pS
K
pS
K
pS
K
jwS
K
jwS
K
SH
wS
SE
SY
,,,
)()(
2
2
1
1
00
2
0
2
00
式中,p1,p2,…,p n是 H(S)的极点,k1,K2,…,K n为部分分式分解各项的系数。
这里引用了符号
2
22
)()(
|)()(
0
0
0
00
0
0
0
00
0
j
m
jw
j
mm
jwsjw
eHE
K
eHE
jw
jwHjwE
SYjwsK
＝
0
0
00
00
)(
)(
j
j
eHjwH
eHjwH
所以，有
00
0
00
00
00
2 jwS
e
jwS
eHE
jwS
K
jwS
K jjmjwjw＝
系统完全响应为
)c o s (
][
2
][
000
0
00
1 000000
twHE
eeeeHE
jwS
K
jwS
K
L
m
tjwjtjwjmjwjw
tp
n
tptp
m
neKeKeKtwHE
SYLty
.,,)c os (
)]([)(
21
21000
1
对于稳定系统，其固有频率 p1,p2,…,p n的实部必须小于零,ept为衰减函数，当 t时，它们都等于 0，
所以稳态响应就是
)c o s ()( 000 twHEty mss
可见，在频率为 w0的余弦信号的作用下，
系统的稳态响应仍为同频率的余弦信号，
但幅度乘以系数 H0，相位移动?0,H0和?0
由系统函数在 jw0处的取值所决定
0
0 00 )(|)(
jjwS eHjwHSH
当频率 w改变时，将变量 jw代入 H(S)中，即可得到频率响应特性
)(|)(|)(|)( wj
jws ejwHjwHSH
