相似矩阵与二次型习题课
SUMMERY
定义 性质 定理 推论 求法相似矩阵
特征值
特征向量
特征多项式
迹
相似矩阵
对角化反身性对称性传递性
+6种性质
（ P109）
10个定理
1-推论
7-2推论
10-2推论
特征值和特征向量的求法
实对称矩阵对角化的方法二次型
二次型
标准型
合同
惯性指数
正（负）定矩阵
顺序主子式
半正（负）定，
不定矩阵反身性对称性传递性
10个定理
6-2推论?化二次型为标准型
–正交变换法
–配方法
–初等变化法需要掌握知识点及线索
Ax= x
x0?
λ
f E A( λ ) λ
特征值
特征向量
相似矩阵什么是？ 所具性质？ 如何求？
对角化
迹
特征多项式
n
iii=1Rr(A)= a?
-1 P AP=B
AB?
A Λ
5个定理
n
ii=1Rr(A)= λ?
Step1-step2-step3
E A x 0( λ )
特征方程定义实对称阵对角化的求法是否可对角化
Th7及推论实对称阵的性质
Th6 对角化相似矩阵推论：设 A为 n阶方阵，则 |A|=0的充要条件是数 0是 A的特征值。
Th2 设 是矩阵 A的一个特征值，对应的特征向量为,且 是一个关于 的多项式,则 是 的一个特征值，
对应的特征向量还是,
x )(xf x
x
)(Af
)(?f;)1( 221121 nnn aaa
.)2( 21 An
Th1 的特征值为阶方阵设,,,,)( 21 nijaAn
则有,
Th4 矩阵 A的 m个互不相同的特征值所对应的
m组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。
Th5 设 是 n阶方阵 A的一个 k重特征值，对应于的线性无关的特征向量的最大个数为 l,
则 kl?
0λ
0λ
Th3
.,,,,
,,,.,
,,,,,,
21
21
2121
线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设
m
mm
m
ppp
P
ppmA
需要掌握知识点及线索
Ax= x
x0?
λ
f E A( λ ) λ
特征值
特征向量
相似矩阵什么是？ 所具性质？ 如何求？
对角化
迹
特征多项式
n
iii=1Rr(A)= a?
-1 P AP=B
AB?
A Λ
E A x 0( λ )
相似矩阵
Step1-step2-step3
特征方程定义实对称阵对角化的求法
n
ii=1Rr(A)= λ?
5个定理对角化是否可对角化
Th7及推论实对称阵的性质
Th6
求矩阵特征值与特征向量的步骤,
.,
,.3
的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值 iλ
i E-A)x=0( λ
iλ;
0|.2
的全部特征值就是的全部根求特征方程
A
=| AE -λ
1 2 nλ,λ,..,,λ
|;)(.1 fA | AE -=的特征多项式计算 λλ
需要掌握知识点及线索
Ax= x
x0?
λ
f E A( λ ) λ
特征值
特征向量
相似矩阵什么是？ 所具性质？ 如何求？
对角化
迹
特征多项式
n
iii=1Rr(A)= a?
-1 P AP=B
AB?
A Λ
E A x 0( λ )
相似矩阵
Step1-step2-step3
是否可对角化
Th7及推论实对称阵的性质特征方程定义实对称矩阵一定可对角化,实对称阵对角化的求法
n
ii=1Rr(A)= λ?
5个定理相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值（ Th6）
A可对角化
A有 n个线性无关的特征向量
A的 n个特征值互不相等
A的每个 r 重特征值恰有
r 个线性无关的特征向量
A实对阵特征值为实数
Th9
属于不同特征值的特征向量正交
Th8
A存在 n个正交单位特征向量存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,Th1
推 10
推 10
Th7 推 7
推 7
存在正交矩阵 Q，
T -1Q AQ Q AQ?
Th10
需要掌握知识点及线索
Ax= x
x0?
λ
f E A( λ ) λ
特征值
特征向量
相似矩阵什么是？ 所具性质？ 如何求？
对角化
迹
特征多项式
n
iii=1Rr(A)= a?
-1 P AP=B
AB?
A Λ
E A x 0( λ )
相似矩阵
Step1-step2-step3
是否可对角化
Th7及推论实对称阵的性质特征方程定义实对称阵对角化的求法
n
ii=1Rr(A)= λ?
5个定理
Th6
利用正交矩阵将实对称阵化为对角阵的步骤,
(1) 求特征值；
(2) 求特征向量；
(3) 将特征向量正交化 (组内 )；
(4) 单位化 (全部 );
(5) 构造正交矩阵和对角矩阵,
（ 1） 的特征值 。
（ 2） 的特征值 。
（ 3） 的特征值 。
（ 4） 的特征值 。
（ 5） = 。
（ 6） A可逆时,的特征值 。
（ 7） A可逆时,的特征值 。
（ 8） 的特征值 。
（ 9） 则 的特征值是 。
aA
|A|
TA
kA
2A
*A
-1A
2A 5 A -E?
m m 10 1 m 1 mf ( x ) = a x a x,.,a x + af(x)
1 2 nf f f ( )( ),( ),.,,
1 2 nλ,λ,..,,λ
1 2 na,a,..,a
2 2 21 2 n,,...
k k k1 2 n,,...
1 2 n...
1 2n
1 1 1...
，,，
1 2n
|A | |A | |A |...
，,，
2ii51
例 1 填空：已知 n阶方阵 A的特征值是 则：
1 2 nλ,λ,..,,λ
解,
（ 1）由于,所以 的特征多项式与 A的特征多项式相同，从而特征值相同。
（ 2）当 时，有,从而 的特征值为
（ 3）当 时，有,从而 的特征值为
（ 4）当 时，有,从而 的特征值为
（ 5）由于
TT| E A | = | ( E A ) | = | E - A |
iAx= x?
TA
iaA x=a x? aA
1 2 na,a,..,a
iAx= x?
iAx= x?
iAx= x?
22iA x= x?
kA
2A
2 2 21 2 n,,..,,
k k k1 2 n,,...,
1 2 i| E A | = ( 0) ( ),,,( ),令得
- 1 n 1 2 n 1 2 nA 1 A| |,..,..（- ） | | =
（ 6）当 A可逆时，由于 则 均不为
0，由 得：,从而 的特征值为
（ 7）当 A可逆时，由于,再利用结论 2和 6，则的特征值为
（ 8）
(9)
1 2 nA,..| |= 1 2 n...，,，
iAx= x? -1
i
1A x= x
-1A
1 2n
1 1 1...
，,，
2ii51
* -1A = |A|A
1 2n
|A | |A | |A |...
，,，
*A
1 2 nf f f ( )( ),( ),.,,
例 2,设 A为 n阶正交矩阵，且 detA=-1，证明 -1是 A
的特征值。
0
T
TT
AA E
d e t E A d e t AA A d e t A d e t ( A E )
= d e t E A
2d e t ( E A) = 0
d e t ( E A) = 0 1 A
d e t ( E A) = 0 or )
由 已 知,所 以
( - - ) = ( - - ) = - -
- ( - - )
得,- -
所 以,- -,即 -是 的 特 征 值 。
- - ( - E - A
0
22
00
2
0
m - 1 m - 1
0
m 1 m 1
0
m m -
a 0 Aa a
( 1) m 2 A
A a Aa a ( a 0 )
A
A
A0
A A ( A
--
证,由已知条件，存在,有 =
当 = 时，在上式两边左乘,有即 是 的一个特征值。
假设 是矩阵 的一个特征值，对应的特征 向量为,则 = ( )，于 是:
1 m 1 m
00
mm
0
)A
A
-
即 是 的一个特征值。
0
mm
0
0
0
3,n A
( 1) A m
d e t A
( 2 ) A A
( 3 ) k k k E A
*
例 设 是 阶矩阵 的一个特征值，试证是 的一个特征值（ 为正整数）；
若 可逆，则 是 的一个特征值。
对任意数,- 是矩阵 - 的一个特征值。
0
**
00
*
0
0
( 2) A 0 d e t A 0
A A A A A
d e t A
A ( A A d e t A E )
d e t A
A
*
*
*
证,若 可逆，则,且 。
在 = 两边左乘,有,
即 由于 = ( ),
所以,为 的一个特征值。
00
0
0
( 3) A ( 0 ),k A k
k E A ( k )
k k E A
由于 = 有,即
( - )
所以 是 - 的特征值
22
2 2 2
( 2 ) A A
A.
A = 0 0 0 0 = 0
A
设 为 的任一特征值,的属于特征值 的特征向量为,即由 于,有,且,故必有,即,
由 的任意性可知，矩阵 的特征值全为零
T T T
2 T T T T
2
,( 1 ) A 0 0
A ( ) = 0
A n
解 由 = 和 =,有,且
=( )( )=
即 为 阶零矩阵
TT
1 2 n 1 1 n
2
4,a a a b b b
0 n A
( 1) A ( 2) A
例 设向量 = (,,.,,,),= (,,.,,,) 都是非零向量，且满足条件 =,记 阶矩阵 = 。
试求,； 矩阵 的特征值和特征向量
11
1 1 1 2 1 n 1 2 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
= 0 0*E - A X 0
a,b 0
- a b - a b,.,- a b b b,.,b
- a b - a b,.,- a b 0 0,.,0
0*E - A =
- a b - a b,.,- a b 0 0,.,0
对于,解齐次线性方程组( ) =,不妨设向量,中分量,由于
( )
由此可得该方程组的基础解系为
32
11
n
1
bb TT
12 bb
b T
n - 1 b
1 1 2 2 n - 1 n - 1 1 2 n - 1
(,1,0,...,0 ) (,0,1,...,0 )
(,0,0,...,1 )
A = 0
c c,.,c ( c,c,...,c )
,,.,,,
于是,的特征值 的全部特征向量为：
为不全为零的任一常数
11
AA
A A,
1 3 1 1 1 4 k
k 1 3 1 k 2 3k
1 1 1 3 1 4 k
4 k 1
2 3k k
k1k2
11
52
--
解,设 是 的属于特征值 的特征向量，则 =,
两边左乘,得 = 即
( + ) =
由此可得方程组
( + ) =
=-=-
解得,或
==
T1
3 1 1
5 1 k 1 A= 1 3 1 A
1 1 3
k
-
例,已知向量 = (,,) 是矩阵 的逆矩阵 的特征向量,试求常数 的值
0
T
0
a - 1 c
6 A= 5 b 3 d e t A= - 1 A
1- c 0 - a
A
1 1 1 a b c
*
例,设矩阵,其行列式,又 的伴随矩阵 有一个特征值，属于 的一个特征向量为 = ( -,-,),求,,和 值
？
0
0
0
00
0
AA
A A d e t A E E A A A,
E = A A
a - 1 c 1 1
5 b 3 1 1
1- c 0 - a 1 1
a 1 c 1 (
*
* * *
解,由已知条件,=,两边左乘矩阵,并注意到
,得,
所以，,也就是,即
--
- -
( - + + ) =
由此可得方程组
0
0
00
1)
5 b 3 1 ( 2)
( 1 c a ) 1 ( 3)
( 1) ( 3) 1 1 ( 2) ( 1) b 3 a= c
d e t A 1 a= c b 3
a 1 a
d e t A = 5 3 3 a 3 1
1 a 0 a
a=
( - - ) =
- - -
由 和 解得,将 代入 和 得 -,
由 = - 和,-,有
-
- - -
--
故
0
c = 2 a= 2 b = 3 c = 2 = 1?，即,-,,-
-1
1 - 1 1
7 A= x 4 y A
- 3 - 3 5
2 A 2
1xy
( 2) P P AP
例,设矩阵,已知 有三个线性无关的特征向量，
且 = 是 的 重特征值.
试求：( ),的值；
可逆矩阵,使 为对角矩阵.
1 A A
2 A 2 A 2
2 r 2E A 1.
2E A,
1 1 1 1 1 1
2E A x 2 y 0 x 2 x y
3 3 3 0 0 0
x2
解,( ) 因为 有三个线性无关的特征向量，故 必可对角化.
又 是 的 重特征值，所以 的属于 的线性无关的特征向量必有 个，故 ( - ) =
对矩阵( - ) 施以行初等变换
--
( - )= - - - - - -
-
可得 =
1 - 1 1
y 2,A = 2 4 - 2
- 3 - 3 5
,= - 即矩阵
2
1 2 3
12
TT
1 2 3
T
3
( 2) A
1 1 1
d e t E A 2 4 2 ( 2 ) ( 6 )
3 3 5
2 6.
2 ( 2E A) X = 0
( 1,1,0 ),( 1,0,1 ) 6
( 6E A) X = 0,( 1,2,3 )
P
的特征多项式
--
( - ) = - -
-
由此得的特征值,
对于,解齐次线性方程组 -,得其基础解系,对于,解齐次线性方程组 - 得其基础解系,
令矩阵 =
1 2 3
1
1 1 1
1 0 2 P
0 1 3
2 0 0
P AP 0 2 0
0 0 2
-
(,,) = -,则 可逆，且
-1
2 0 0 2 0 0
8 A B A = 0 0 1 B = 0 y 0
0 1 x 0 0 - 1
1 x y ( 2 ) Q Q A Q = B
例,已知矩阵 与 相似,其中,
( ) 求,的值； 求正交矩阵,使,
？
1 2 3 1 2 3
1 A B A B A B
2 y 1 t r A 2 x
1 + y = 2 + x,
de t A = de t B 2 = 2 y x 0 y 1
解,( ) 因 矩,所 以,有 相 同 的 特 征 值,故,的 特 征 值
=,=,= -,有 矩 特 征 值 的 性 知,= ( ) = +,
即可 知,即 - -,而 得 =,=
22
d e t E A d e t ( E B)
2 0 0 2 0 0
0 1 0 y 0
0 1 x 0 0 1
( 2) ( x 1) = ( 2) [ + ( 1- y ) y ]
x = 0 y = 1
还可直接利用相似矩阵的特征多项式相同,从而得到
( - )= -
--
即 -
--
可得 - - - - -
比较等式两端同次幂的系数可得,
注：
1 2 3
1
T
12
T
23
T
3
1 2 3
2 1 A 2 1 1
2 2E A X = 0
( 1,0,0 ) 1 E A X = 0
( 0,1,1 ) 1 E A X = 0
( 0,1,1 )
( ) 由( ),实对称矩阵 的特征值 =,=,= -,
对于,解齐次线性方程组( - ),其基础解系为
,对于,解齐次线性方程组( - ),其基础解系为,对于,解齐次线性方程组( - - ),
其基础解系为,
由于,,互异,对应
1 2 3
T
11
T
22
2
T
33
3
-1
1 2 3
( 1,0,0 )
1 1 1
( 0,,)
22
1 1 1
( 0,,)
22
1 0 0
Q 0 1 2 1 2 Q Q AQ B
0 1 2 1 2
的特征向量两两正交,只需将,,
正交化,=
令 = (,,) = 则 为正交矩阵，且 =
2
2 2 2
1 A A
A ( 0 ) A ( A )
A A A A 1 0
0 0 1 A 0 1,
证,( ) 设 是 的任一特征值,的属于特征值 的特征向量为,
则有 =,所以 =
又 =,故有 =,于是 =,即 ( - ) =
由于,得 = 或 =,即 的特征值只能是 或
2
9 n A A = A
( 1 ) A 0 1
( 2) A
例,设 阶矩阵 满足,证明：
的特征值只可能是 或 ；
可对角化。
2
2 A n
A A A E A 0 r A r E A n
r A r E A r A E A r E n
r A r E A n
0 ( 0 E A ) X 0
AX = 0 n r A
( ) 只需证明矩阵 有 个线性无关的特征向量由 =,有 ( - ) =,所以 ( ) + ( - ),
又 ( )+ ( - ) ( + - )= ( )=
所以 ( )+ ( - )=
对于特征值,齐次线性方程组 与方程组同解，其基础解系中含有 - ( ) 个线性无关的解向量.
1 ( E A ) X 0
n r E A
A
n r A n r E A n
A
对于特征值,齐次线性方程组 的基础解系中含有
- ( - ) 个线性无关的解向量.
由此可知，矩阵 共有线性无关的特征向量个数为
- ( ) - ( - )
所以 一定可以对角化.
p p 1 rz z z z...f2 2 21
二次型矩阵型二次型标准型规范性二次型
nnf k y k y k y2 2 21 1 2 2
f(x)=
,
n n n
n n n n
a x a x
a x a x x
a x x a x x
22
1 1 1 2 2 2
2
1 2 1 2
1 3 1 3 1 1
2
22
Tf x x Ax()?
A=
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
二次型 标准型矩阵型
f(x)=
,
nn n
n n n n
a x a x
a x a x x
a x x
a x x
22
11 1 22 2
2
12 1 2
13 1 3
11
2
2
2
nn
f k y k y
ky
22
1 1 2 2
2
p
p 1 r
zz
zz
...f
22
1
2
正定二次型
⑴ 正交变换
⑵ 配方法
⑶ 初等变换
④ 顺序主子式大于 0 Th8
③ 特征值大于 0 Th7
② 系数为正（惯性指数为 n） Th6
正负平方项的项数是确定的 Th3
1 2 nx x x(,,..,,),nnf y y yλ λ λ2 2 21 1 2 2x Qy?
存在正交矩阵 Th2
实二次型 规范型，且唯一 Th4
负定二次型
Th9
规范型
① 定义
11
1
1
1
1
k
1
k
1
k
rr
r
rr
r
nn
yz
yz
yz
yz
判定判定判定判定正定矩阵的性质
1、设 A为正定是对称矩阵均为正定阵；
2、若 A,B均为 n阶正定矩阵
A+B也是正定矩阵
1A,?TA,A*
合同 CTAC=B （ C可逆） A∽ B,A∽ B.且 TAA? TBB?
R( A R( B) )?
性质：
用正交变换法化二次型为标准形;,1 A求出二次型的矩阵;,,,.2 21 nA的所有特征值求出;,,,.3 21 n征向量求出对应于特征值的特
;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C
记得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx
的标准形则得作正交变换二次型 对称矩阵 对角矩阵,
解 1,写出二次型的矩阵，并求其特征值
1442
4142
2217
A
17
14
14
42
4?2
22
A?E918 2
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
例从而得特征值,18,9 321
得基础解系代入将,091 xEA
2,求特征向量
得基础解系代入将,01832 xEA
,)0,1,2(2 T?,)1,0,2(3 T?
3．将特征向量正交化
,11 取
.)1,1,21(1 T
,22
,,
,
2
22
32
33
得正交向量组
.)1,54,52(3 T?,)0,1,2(2 T?,)1,1,21(1 T
,3,2,1, i
i
i
i?
令得
,
0
51
52
2
,
32
32
31
1
,
455
454
452
3
.
455032
4545132
4525231
),,( 321
P取
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
91 182 183
于是所求正交变换为
,
455032
4545132
4525231
3
2
1
3
2
1
y
y
y
Py
x
x
x
.18189 232221 yyyf且有
91 182 183,
18
18
9
PyxP ),,,( 213若取
f 则,18918 232221 yyy
利用代数公式，将二次型配成完全平方式的方法 。
用配方法化二次型为标准形类型 1、二次型中含有平方项类型 2、二次型中不含有平方项若二次型含有平方项，则先把含有平方项的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形
kk
jij
jii
yx
yyx
yyx
jiknk,,,2,1 且?
0?ija ),( ji?
化二次型为含有平方项的二次型,然后再按 类型 1中方法配方,
解
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.,
62252
323121
2
3
2
2
2
1
并求所用的变换矩阵为标准形化二次型
xxxxxxxxxf例
312121 22 xxxxx 322322 652 xxxx
的项配方含有 x 1含有平方项
2321 xxx
322322 652 xxxx 322322 2 xxxx
去掉配方后多出来的项
3223222321 44 xxxxxxx
,2 2322321 xxxxx
,2 2322321 xxxxxf
33
322
3211
2
xy
xxy
xxxy
令
33
322
3211
2
yx
yyx
yyyx
3
2
1
3
2
1
100
210
111
y
y
y
x
x
x
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.2221 yy
,
33
212
211
yx
yyx
yyx
令解
,622 323121 xxxxxxf代入
.8422 32312221 yyyyyyf得
.,
622
323121
并求所用的变换矩阵成标准形化二次型
xxxxxxf例由于所给二次型中无平方项，所以
xy
xy
xy
11
22
33
1 1 0
1 1 0
0 0 1
即再配方，得
,6222 23232231 yyyyyf
33
322
311
2
yz
yyz
yyz
令
,2
33
322
311
zy
zzy
zzy
.622 232221 zzzf得
yz
yz
yz
11
22
33
1 0 1
0 1 2
001
即所用变换矩阵为
100
210
101
100
011
011
C
.
100
111
311
.02C
.622 232221 zzzf得
xy
xy
xy
11
22
33
1 1 0
1 1 0
0 0 1
yz
yz
yz
11
22
33
1 0 1
0 1 2
001
用初等变换法化二次型为标准形
2
12
1 1 2
T T T
mm
mE P P
P P P A P P P
P
A
EC
由此我们就可以得到化二次型的系数矩阵 A为对角阵的可逆矩阵 C，即 CTAC= L.
这种利用初等变化求可逆矩阵 C 及对角矩阵 L，
使 CTAC= L的方法称为 初等变换法,
例 用初等变换法化二次型 f=x12+5 x22+ 5x32+4x1x2-
2x1x3-8x2x3为标准型，并求出所用的线性变换矩阵,
解 二次型的矩阵为,1 2 1
2 5 4
1 4 5
A
1 2 1
2 5 4
1 4 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
E
21
31
21
31
2
2
1 0 0
0 1 2
0 2 4
1 2 1
0 1 0
0 0 1
rr
rr
cc
cc
21
31
21
31
2
2
1 0 0
0 1 2
0 2 4
1 2 1
0 1 0
0 0 1
rr
rr
cc
cc
32
32
2
2
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 2 3
0 1 2
0 0 1
rr
cc
得,
1 2 3
0 1 2
0 0 1
C
1 0 0
0 1 0
0 0 1
TC AC
令 x＝ Cy，则二次型
f 化为标准形,221 2 3 1 2(,,)f x x x y y
正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；
如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．
初等变换法比较直观易求解,也是常用的方法,
不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同,项数等于所给二次型的秩．
正交变化法配方法初等变化法
1 1 1 1 4 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
1 A = B= A B
1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
AB
CD
例,设,,则 与
（ ）合同且相似 （ ）合同但不相似
（ ）不合同但相似 （ ）不合同不相似
22
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 f x x x x + a x x + a x x + a x
( A ) a,a,a
B a a a 1
C a,a,a
D a a a 1
,
例,设 (,) = ( ) + ( ) + ( ),则当 时，
次二次型为正定二次型。
为任意常数。
（）
（ ） 为非正实数
（）
A的特征值解得为 0,0,0,4
B的特征值为 0,0,0,4则存在正交矩阵 Q,使得
T - 1Q A Q = Q A Q = B
(A)
1 2 3
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
a = a = a 1
f x x x x - x x - x x - x
f 1 1 1 0
f A B C
,
用排除法：令,
则(,) = ( ) + ( ) + ( )
且(,,) =
则 不是正定的，从而否认了,,。
1 1 1
2 2 2
3 3 3
222
1 2 3
1
2 1 2 3
3
1 2 3
y 1 a 0 x
y 0 1 a x
y a 0 1 x
f y y y y
1 a 0
0 1 a 1 a a a 0
a 0 1
a a a 1 f
令则 ( ) = + +
当，
即 时,正定
2
3 1 3
2
1 1 2
2
3 2 2
2
13
2 2 2 2 2
2 3 1 1 3 1 3
2
3 1 2 3
1 2 3
1+ a a a
A a 1+ a a
a a 1+ a
A
A 1+ a
A 1+ a 1+ a a 1 a a a 0
A ( 1 a a a ) 0
a a a 1 A 0
则 的三个顺序主子式为
（ ）（ ）- （ ）
所以,时,的所有顺序主子式大于
3
3 3 1 2
3 1 2 3
3
1
2
3
3
=
TT
T
C
C AC B A CBC
A
x x x
解：若能求得A 的对应于特征值 的特征向量
，单位化后可构成正交矩阵,设
，从而 即为所求。
设 是 的对应于特征值 的特征向量，则 与,正交。
设
12
3 1 2 3
= 1 1 - 1 = 1 - 2 - 1
12
TT
A
A
A
例,设 为三阶实对称矩阵，A 为特征值,，，
，,分别是的对应于特征值,的特征向量，求
T
1 2 3
1 2 3
T
3 1 2 3 1 2 2
1 2 2
0
1 0 1
20
11
1
36
2
12
a 1 0 1 a a a 0
36
1
11
2
36
11
1
36
2
12
C = 0
36
1
11
2
36
,,,
x x x
x x x
则 解得基础解系,,
取,,将 单位化，得,,
解得,,
T
1 13 2 5
1
A =C 2 C 2 10 2
6
3 5 2 13
则例 4：设
（ 1）已知 A有一个特征值为 3，求 a；
（ 2）求可逆阵 P,使 为对角矩阵 。
.
2100
100
0001
0010
a
A
)()( APAP T
22
22
1 2 2 1
3 3 3 1 3 2 3 2 1 0
2
,
.
.
I A a a
I A a a
a
＝代入，得解得
解（ 1） A的特征多项式为
.44
433
,22
11
44
433
22
11
2
4
2
43
2
2
2
1
43
2
4
2
3
2
2
2
1
2
2
2
,
5
4
,
.
,
5
4
,
,
,
5
9
)
3
4
(5
855
.
5400
4500
0010
0001
,)()(,)2(
yx
yyx
yx
yx
xy
xxy
xy
xy
xxxxx
xxxxxxXAX
A
PAPAPAPAA
T
TTT
即令考虑二次型而所以因为
,
5
9
5
1
1
,
5
9
5
,,
1000
5
4
100
0010
0001
2
2
4
2
3
2
2
2
1
22
PAPAPAP
yyyyYPAPYXAX
PYXP
TT
TTT
从而且则取
TA m * n B = E + A A,0 B例 设 为 实矩阵,试证：当 时，矩阵为正定矩阵。
T T T T
T T T T T
TT
T T T
B ( E A A) E A A= B,B n
n x,x B x = x ( E A A) x = x x + ( Ax ) ( Ax )
x 0 x x > 0,( Ax ) ( Ax ) 0
0 x 0,
x B x = x x + ( Ax ) ( Ax ) > 0
B
证,因为 所以 为 阶实对称矩阵。
对于任意的实 维向量 有当 时，有因此，当 时，对任意的 有从而 为正定矩阵
5
2 2 2
1 2 n 1 2 3 1 2 1 3f x x x x 4 x 2 x 2 t x x 2 x x
t
例,已知二此型(,,.,,,) = + + + + 是正定二次型，
求 的取值。
22
1 t 1
f A = t 4 0
1 0 2
1 t 1
1t
A 1 0 4 t 0,t 4 0 4 2t 0
t4
1 0 2
- 2 < a< 2,t
解,的矩阵形式为正定，则它的顺序主子式为 >,= - >
解得,即为 的取值范围。
2
3 2 2
0
5 5 0,
5 5 0,5 * + 1 = 0
= 5 = i A
= 5 > 0
A A I?
3
证明：我们证所有的A 的特征值都大于设 是A 的任意特征值，因为A
所以,即（ ）（ ）,
从而,或,而 为实对称矩阵，其特征值皆为实数，
因此,故A 为正定矩阵。
2
4
5 5 0,
An
A A I A3
例,设 为 阶对称矩阵，
且A 证明 是正定矩阵。
例,（实对称矩阵）
2
1 0 1
0 2 0 B = k E A k E
1 0 1
B k B
A
例,设矩阵,矩阵 （ + ）,其中 为实数,为单位矩阵，
求对角矩阵,使 与 相似，并求 为何值时,为正定矩阵。
2
2
1 2 3
1
-1
2 - 1 1 2
1 1 2 1
E- A 2 A 2 0
2
D A P P A P D
0
A = P D P
B k E+ A ( k P P P D P )
= [ P ( k E + D ) P ] [ P ( k E+ D ) P ] P ( k E+ D ) P
= ( k
-
解：由| | = （ ），得 的特征向量为 = =,=,即对角矩阵
，因为 是实对称矩阵，故存在正交矩阵,使得 。
所以于是 （ ）
由此可得 2
2
22
2
( k + 2)
E+ D ) ( k )
k
B
k 2 k 0 B B
此时 与 相似。
由上结论可知，当 且 时,的全部特征值均为正，这是 是正定矩阵。
T P
例 证明A是 正定矩阵的充要条件是存在实可逆矩阵P,使A = P 。
n
1
1
0
00
0 1 2
0
0
,
( ),
()
,(,,),
T
T T T T
TT
T
n
PA
X A X X P PX PX PX
X A X PX PX PX
C A C i n
证充分性：若A=P 则 为实对称矩阵，且 A R,有若 ＝，由 ＝ 及 为实向量可知
PX=0
又A可逆，所以X=0，从而A为正定矩阵。
必要性：若A正定，则存在正交阵C,使
1
11
1
0
0
00
00
0
0
,
T
n
T
nn
T
n
T
A C C
CC
C
PP
从而令
P=
则 可逆，且A = P
1 2 3
1
1
2
2
1 16 49
1 16
1
a
a
( ) ( ) ( ),
解 A 的特征多项式为
I- A
其根为 ＝,＝,＝4 9 。
对于 ＝，求得A 对应于1 的特征向量为
2
＝ -2
1
对于 ＝1 6,求得A 对应于1 6 的特征向量为
2
＝ 1
-1
2
1 3 1 4 4
1 4 2 4 1 8
4 1 8 2 9
,.BA
例 已知A = 为正定矩阵，求正定矩阵 使得B
3
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a
a a a
2 2 1
3 3 3
2 1 2
3 3 3
1 2 2
3 3 3
22
3
,,
对于 ＝4 9,求得A 对应于4 9 的特征向量为
1
＝ 2
2
、,两两正交，将它们单位化得标准正交的特征向量
＝－,＝,＝ 。
－
令
Q =
1
33
2 1 2
333
1 2 2
3 3 3
－
T
T T T
T
2
1
Q Q A Q 1 6
49
1 1 1
A =Q 1 6 Q Q 4 Q Q 4 Q
4 9 7 7
1
B =Q 4 Q
7
B A =B
则 为正交矩阵，且于是：
则 为正定矩阵，且
Happy New Year!
SUMMERY
定义 性质 定理 推论 求法相似矩阵
特征值
特征向量
特征多项式
迹
相似矩阵
对角化反身性对称性传递性
+6种性质
（ P109）
10个定理
1-推论
7-2推论
10-2推论
特征值和特征向量的求法
实对称矩阵对角化的方法二次型
二次型
标准型
合同
惯性指数
正（负）定矩阵
顺序主子式
半正（负）定，
不定矩阵反身性对称性传递性
10个定理
6-2推论?化二次型为标准型
–正交变换法
–配方法
–初等变化法需要掌握知识点及线索
Ax= x
x0?
λ
f E A( λ ) λ
特征值
特征向量
相似矩阵什么是？ 所具性质？ 如何求？
对角化
迹
特征多项式
n
iii=1Rr(A)= a?
-1 P AP=B
AB?
A Λ
5个定理
n
ii=1Rr(A)= λ?
Step1-step2-step3
E A x 0( λ )
特征方程定义实对称阵对角化的求法是否可对角化
Th7及推论实对称阵的性质
Th6 对角化相似矩阵推论：设 A为 n阶方阵，则 |A|=0的充要条件是数 0是 A的特征值。
Th2 设 是矩阵 A的一个特征值，对应的特征向量为,且 是一个关于 的多项式,则 是 的一个特征值，
对应的特征向量还是,
x )(xf x
x
)(Af
)(?f;)1( 221121 nnn aaa
.)2( 21 An
Th1 的特征值为阶方阵设,,,,)( 21 nijaAn
则有,
Th4 矩阵 A的 m个互不相同的特征值所对应的
m组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。
Th5 设 是 n阶方阵 A的一个 k重特征值，对应于的线性无关的特征向量的最大个数为 l,
则 kl?
0λ
0λ
Th3
.,,,,
,,,.,
,,,,,,
21
21
2121
线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设
m
mm
m
ppp
P
ppmA
需要掌握知识点及线索
Ax= x
x0?
λ
f E A( λ ) λ
特征值
特征向量
相似矩阵什么是？ 所具性质？ 如何求？
对角化
迹
特征多项式
n
iii=1Rr(A)= a?
-1 P AP=B
AB?
A Λ
E A x 0( λ )
相似矩阵
Step1-step2-step3
特征方程定义实对称阵对角化的求法
n
ii=1Rr(A)= λ?
5个定理对角化是否可对角化
Th7及推论实对称阵的性质
Th6
求矩阵特征值与特征向量的步骤,
.,
,.3
的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值 iλ
i E-A)x=0( λ
iλ;
0|.2
的全部特征值就是的全部根求特征方程
A
=| AE -λ
1 2 nλ,λ,..,,λ
|;)(.1 fA | AE -=的特征多项式计算 λλ
需要掌握知识点及线索
Ax= x
x0?
λ
f E A( λ ) λ
特征值
特征向量
相似矩阵什么是？ 所具性质？ 如何求？
对角化
迹
特征多项式
n
iii=1Rr(A)= a?
-1 P AP=B
AB?
A Λ
E A x 0( λ )
相似矩阵
Step1-step2-step3
是否可对角化
Th7及推论实对称阵的性质特征方程定义实对称矩阵一定可对角化,实对称阵对角化的求法
n
ii=1Rr(A)= λ?
5个定理相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值（ Th6）
A可对角化
A有 n个线性无关的特征向量
A的 n个特征值互不相等
A的每个 r 重特征值恰有
r 个线性无关的特征向量
A实对阵特征值为实数
Th9
属于不同特征值的特征向量正交
Th8
A存在 n个正交单位特征向量存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,Th1
推 10
推 10
Th7 推 7
推 7
存在正交矩阵 Q，
T -1Q AQ Q AQ?
Th10
需要掌握知识点及线索
Ax= x
x0?
λ
f E A( λ ) λ
特征值
特征向量
相似矩阵什么是？ 所具性质？ 如何求？
对角化
迹
特征多项式
n
iii=1Rr(A)= a?
-1 P AP=B
AB?
A Λ
E A x 0( λ )
相似矩阵
Step1-step2-step3
是否可对角化
Th7及推论实对称阵的性质特征方程定义实对称阵对角化的求法
n
ii=1Rr(A)= λ?
5个定理
Th6
利用正交矩阵将实对称阵化为对角阵的步骤,
(1) 求特征值；
(2) 求特征向量；
(3) 将特征向量正交化 (组内 )；
(4) 单位化 (全部 );
(5) 构造正交矩阵和对角矩阵,
（ 1） 的特征值 。
（ 2） 的特征值 。
（ 3） 的特征值 。
（ 4） 的特征值 。
（ 5） = 。
（ 6） A可逆时,的特征值 。
（ 7） A可逆时,的特征值 。
（ 8） 的特征值 。
（ 9） 则 的特征值是 。
aA
|A|
TA
kA
2A
*A
-1A
2A 5 A -E?
m m 10 1 m 1 mf ( x ) = a x a x,.,a x + af(x)
1 2 nf f f ( )( ),( ),.,,
1 2 nλ,λ,..,,λ
1 2 na,a,..,a
2 2 21 2 n,,...
k k k1 2 n,,...
1 2 n...
1 2n
1 1 1...
，,，
1 2n
|A | |A | |A |...
，,，
2ii51
例 1 填空：已知 n阶方阵 A的特征值是 则：
1 2 nλ,λ,..,,λ
解,
（ 1）由于,所以 的特征多项式与 A的特征多项式相同，从而特征值相同。
（ 2）当 时，有,从而 的特征值为
（ 3）当 时，有,从而 的特征值为
（ 4）当 时，有,从而 的特征值为
（ 5）由于
TT| E A | = | ( E A ) | = | E - A |
iAx= x?
TA
iaA x=a x? aA
1 2 na,a,..,a
iAx= x?
iAx= x?
iAx= x?
22iA x= x?
kA
2A
2 2 21 2 n,,..,,
k k k1 2 n,,...,
1 2 i| E A | = ( 0) ( ),,,( ),令得
- 1 n 1 2 n 1 2 nA 1 A| |,..,..（- ） | | =
（ 6）当 A可逆时，由于 则 均不为
0，由 得：,从而 的特征值为
（ 7）当 A可逆时，由于,再利用结论 2和 6，则的特征值为
（ 8）
(9)
1 2 nA,..| |= 1 2 n...，,，
iAx= x? -1
i
1A x= x
-1A
1 2n
1 1 1...
，,，
2ii51
* -1A = |A|A
1 2n
|A | |A | |A |...
，,，
*A
1 2 nf f f ( )( ),( ),.,,
例 2,设 A为 n阶正交矩阵，且 detA=-1，证明 -1是 A
的特征值。
0
T
TT
AA E
d e t E A d e t AA A d e t A d e t ( A E )
= d e t E A
2d e t ( E A) = 0
d e t ( E A) = 0 1 A
d e t ( E A) = 0 or )
由 已 知,所 以
( - - ) = ( - - ) = - -
- ( - - )
得,- -
所 以,- -,即 -是 的 特 征 值 。
- - ( - E - A
0
22
00
2
0
m - 1 m - 1
0
m 1 m 1
0
m m -
a 0 Aa a
( 1) m 2 A
A a Aa a ( a 0 )
A
A
A0
A A ( A
--
证,由已知条件，存在,有 =
当 = 时，在上式两边左乘,有即 是 的一个特征值。
假设 是矩阵 的一个特征值，对应的特征 向量为,则 = ( )，于 是:
1 m 1 m
00
mm
0
)A
A
-
即 是 的一个特征值。
0
mm
0
0
0
3,n A
( 1) A m
d e t A
( 2 ) A A
( 3 ) k k k E A
*
例 设 是 阶矩阵 的一个特征值，试证是 的一个特征值（ 为正整数）；
若 可逆，则 是 的一个特征值。
对任意数,- 是矩阵 - 的一个特征值。
0
**
00
*
0
0
( 2) A 0 d e t A 0
A A A A A
d e t A
A ( A A d e t A E )
d e t A
A
*
*
*
证,若 可逆，则,且 。
在 = 两边左乘,有,
即 由于 = ( ),
所以,为 的一个特征值。
00
0
0
( 3) A ( 0 ),k A k
k E A ( k )
k k E A
由于 = 有,即
( - )
所以 是 - 的特征值
22
2 2 2
( 2 ) A A
A.
A = 0 0 0 0 = 0
A
设 为 的任一特征值,的属于特征值 的特征向量为,即由 于,有,且,故必有,即,
由 的任意性可知，矩阵 的特征值全为零
T T T
2 T T T T
2
,( 1 ) A 0 0
A ( ) = 0
A n
解 由 = 和 =,有,且
=( )( )=
即 为 阶零矩阵
TT
1 2 n 1 1 n
2
4,a a a b b b
0 n A
( 1) A ( 2) A
例 设向量 = (,,.,,,),= (,,.,,,) 都是非零向量，且满足条件 =,记 阶矩阵 = 。
试求,； 矩阵 的特征值和特征向量
11
1 1 1 2 1 n 1 2 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
= 0 0*E - A X 0
a,b 0
- a b - a b,.,- a b b b,.,b
- a b - a b,.,- a b 0 0,.,0
0*E - A =
- a b - a b,.,- a b 0 0,.,0
对于,解齐次线性方程组( ) =,不妨设向量,中分量,由于
( )
由此可得该方程组的基础解系为
32
11
n
1
bb TT
12 bb
b T
n - 1 b
1 1 2 2 n - 1 n - 1 1 2 n - 1
(,1,0,...,0 ) (,0,1,...,0 )
(,0,0,...,1 )
A = 0
c c,.,c ( c,c,...,c )
,,.,,,
于是,的特征值 的全部特征向量为：
为不全为零的任一常数
11
AA
A A,
1 3 1 1 1 4 k
k 1 3 1 k 2 3k
1 1 1 3 1 4 k
4 k 1
2 3k k
k1k2
11
52
--
解,设 是 的属于特征值 的特征向量，则 =,
两边左乘,得 = 即
( + ) =
由此可得方程组
( + ) =
=-=-
解得,或
==
T1
3 1 1
5 1 k 1 A= 1 3 1 A
1 1 3
k
-
例,已知向量 = (,,) 是矩阵 的逆矩阵 的特征向量,试求常数 的值
0
T
0
a - 1 c
6 A= 5 b 3 d e t A= - 1 A
1- c 0 - a
A
1 1 1 a b c
*
例,设矩阵,其行列式,又 的伴随矩阵 有一个特征值，属于 的一个特征向量为 = ( -,-,),求,,和 值
？
0
0
0
00
0
AA
A A d e t A E E A A A,
E = A A
a - 1 c 1 1
5 b 3 1 1
1- c 0 - a 1 1
a 1 c 1 (
*
* * *
解,由已知条件,=,两边左乘矩阵,并注意到
,得,
所以，,也就是,即
--
- -
( - + + ) =
由此可得方程组
0
0
00
1)
5 b 3 1 ( 2)
( 1 c a ) 1 ( 3)
( 1) ( 3) 1 1 ( 2) ( 1) b 3 a= c
d e t A 1 a= c b 3
a 1 a
d e t A = 5 3 3 a 3 1
1 a 0 a
a=
( - - ) =
- - -
由 和 解得,将 代入 和 得 -,
由 = - 和,-,有
-
- - -
--
故
0
c = 2 a= 2 b = 3 c = 2 = 1?，即,-,,-
-1
1 - 1 1
7 A= x 4 y A
- 3 - 3 5
2 A 2
1xy
( 2) P P AP
例,设矩阵,已知 有三个线性无关的特征向量，
且 = 是 的 重特征值.
试求：( ),的值；
可逆矩阵,使 为对角矩阵.
1 A A
2 A 2 A 2
2 r 2E A 1.
2E A,
1 1 1 1 1 1
2E A x 2 y 0 x 2 x y
3 3 3 0 0 0
x2
解,( ) 因为 有三个线性无关的特征向量，故 必可对角化.
又 是 的 重特征值，所以 的属于 的线性无关的特征向量必有 个，故 ( - ) =
对矩阵( - ) 施以行初等变换
--
( - )= - - - - - -
-
可得 =
1 - 1 1
y 2,A = 2 4 - 2
- 3 - 3 5
,= - 即矩阵
2
1 2 3
12
TT
1 2 3
T
3
( 2) A
1 1 1
d e t E A 2 4 2 ( 2 ) ( 6 )
3 3 5
2 6.
2 ( 2E A) X = 0
( 1,1,0 ),( 1,0,1 ) 6
( 6E A) X = 0,( 1,2,3 )
P
的特征多项式
--
( - ) = - -
-
由此得的特征值,
对于,解齐次线性方程组 -,得其基础解系,对于,解齐次线性方程组 - 得其基础解系,
令矩阵 =
1 2 3
1
1 1 1
1 0 2 P
0 1 3
2 0 0
P AP 0 2 0
0 0 2
-
(,,) = -,则 可逆，且
-1
2 0 0 2 0 0
8 A B A = 0 0 1 B = 0 y 0
0 1 x 0 0 - 1
1 x y ( 2 ) Q Q A Q = B
例,已知矩阵 与 相似,其中,
( ) 求,的值； 求正交矩阵,使,
？
1 2 3 1 2 3
1 A B A B A B
2 y 1 t r A 2 x
1 + y = 2 + x,
de t A = de t B 2 = 2 y x 0 y 1
解,( ) 因 矩,所 以,有 相 同 的 特 征 值,故,的 特 征 值
=,=,= -,有 矩 特 征 值 的 性 知,= ( ) = +,
即可 知,即 - -,而 得 =,=
22
d e t E A d e t ( E B)
2 0 0 2 0 0
0 1 0 y 0
0 1 x 0 0 1
( 2) ( x 1) = ( 2) [ + ( 1- y ) y ]
x = 0 y = 1
还可直接利用相似矩阵的特征多项式相同,从而得到
( - )= -
--
即 -
--
可得 - - - - -
比较等式两端同次幂的系数可得,
注：
1 2 3
1
T
12
T
23
T
3
1 2 3
2 1 A 2 1 1
2 2E A X = 0
( 1,0,0 ) 1 E A X = 0
( 0,1,1 ) 1 E A X = 0
( 0,1,1 )
( ) 由( ),实对称矩阵 的特征值 =,=,= -,
对于,解齐次线性方程组( - ),其基础解系为
,对于,解齐次线性方程组( - ),其基础解系为,对于,解齐次线性方程组( - - ),
其基础解系为,
由于,,互异,对应
1 2 3
T
11
T
22
2
T
33
3
-1
1 2 3
( 1,0,0 )
1 1 1
( 0,,)
22
1 1 1
( 0,,)
22
1 0 0
Q 0 1 2 1 2 Q Q AQ B
0 1 2 1 2
的特征向量两两正交,只需将,,
正交化,=
令 = (,,) = 则 为正交矩阵，且 =
2
2 2 2
1 A A
A ( 0 ) A ( A )
A A A A 1 0
0 0 1 A 0 1,
证,( ) 设 是 的任一特征值,的属于特征值 的特征向量为,
则有 =,所以 =
又 =,故有 =,于是 =,即 ( - ) =
由于,得 = 或 =,即 的特征值只能是 或
2
9 n A A = A
( 1 ) A 0 1
( 2) A
例,设 阶矩阵 满足,证明：
的特征值只可能是 或 ；
可对角化。
2
2 A n
A A A E A 0 r A r E A n
r A r E A r A E A r E n
r A r E A n
0 ( 0 E A ) X 0
AX = 0 n r A
( ) 只需证明矩阵 有 个线性无关的特征向量由 =,有 ( - ) =,所以 ( ) + ( - ),
又 ( )+ ( - ) ( + - )= ( )=
所以 ( )+ ( - )=
对于特征值,齐次线性方程组 与方程组同解，其基础解系中含有 - ( ) 个线性无关的解向量.
1 ( E A ) X 0
n r E A
A
n r A n r E A n
A
对于特征值,齐次线性方程组 的基础解系中含有
- ( - ) 个线性无关的解向量.
由此可知，矩阵 共有线性无关的特征向量个数为
- ( ) - ( - )
所以 一定可以对角化.
p p 1 rz z z z...f2 2 21
二次型矩阵型二次型标准型规范性二次型
nnf k y k y k y2 2 21 1 2 2
f(x)=
,
n n n
n n n n
a x a x
a x a x x
a x x a x x
22
1 1 1 2 2 2
2
1 2 1 2
1 3 1 3 1 1
2
22
Tf x x Ax()?
A=
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
二次型 标准型矩阵型
f(x)=
,
nn n
n n n n
a x a x
a x a x x
a x x
a x x
22
11 1 22 2
2
12 1 2
13 1 3
11
2
2
2
nn
f k y k y
ky
22
1 1 2 2
2
p
p 1 r
zz
zz
...f
22
1
2
正定二次型
⑴ 正交变换
⑵ 配方法
⑶ 初等变换
④ 顺序主子式大于 0 Th8
③ 特征值大于 0 Th7
② 系数为正（惯性指数为 n） Th6
正负平方项的项数是确定的 Th3
1 2 nx x x(,,..,,),nnf y y yλ λ λ2 2 21 1 2 2x Qy?
存在正交矩阵 Th2
实二次型 规范型，且唯一 Th4
负定二次型
Th9
规范型
① 定义
11
1
1
1
1
k
1
k
1
k
rr
r
rr
r
nn
yz
yz
yz
yz
判定判定判定判定正定矩阵的性质
1、设 A为正定是对称矩阵均为正定阵；
2、若 A,B均为 n阶正定矩阵
A+B也是正定矩阵
1A,?TA,A*
合同 CTAC=B （ C可逆） A∽ B,A∽ B.且 TAA? TBB?
R( A R( B) )?
性质：
用正交变换法化二次型为标准形;,1 A求出二次型的矩阵;,,,.2 21 nA的所有特征值求出;,,,.3 21 n征向量求出对应于特征值的特
;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C
记得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx
的标准形则得作正交变换二次型 对称矩阵 对角矩阵,
解 1,写出二次型的矩阵，并求其特征值
1442
4142
2217
A
17
14
14
42
4?2
22
A?E918 2
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
例从而得特征值,18,9 321
得基础解系代入将,091 xEA
2,求特征向量
得基础解系代入将,01832 xEA
,)0,1,2(2 T?,)1,0,2(3 T?
3．将特征向量正交化
,11 取
.)1,1,21(1 T
,22
,,
,
2
22
32
33
得正交向量组
.)1,54,52(3 T?,)0,1,2(2 T?,)1,1,21(1 T
,3,2,1, i
i
i
i?
令得
,
0
51
52
2
,
32
32
31
1
,
455
454
452
3
.
455032
4545132
4525231
),,( 321
P取
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
91 182 183
于是所求正交变换为
,
455032
4545132
4525231
3
2
1
3
2
1
y
y
y
Py
x
x
x
.18189 232221 yyyf且有
91 182 183,
18
18
9
PyxP ),,,( 213若取
f 则,18918 232221 yyy
利用代数公式，将二次型配成完全平方式的方法 。
用配方法化二次型为标准形类型 1、二次型中含有平方项类型 2、二次型中不含有平方项若二次型含有平方项，则先把含有平方项的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形
kk
jij
jii
yx
yyx
yyx
jiknk,,,2,1 且?
0?ija ),( ji?
化二次型为含有平方项的二次型,然后再按 类型 1中方法配方,
解
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.,
62252
323121
2
3
2
2
2
1
并求所用的变换矩阵为标准形化二次型
xxxxxxxxxf例
312121 22 xxxxx 322322 652 xxxx
的项配方含有 x 1含有平方项
2321 xxx
322322 652 xxxx 322322 2 xxxx
去掉配方后多出来的项
3223222321 44 xxxxxxx
,2 2322321 xxxxx
,2 2322321 xxxxxf
33
322
3211
2
xy
xxy
xxxy
令
33
322
3211
2
yx
yyx
yyyx
3
2
1
3
2
1
100
210
111
y
y
y
x
x
x
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.2221 yy
,
33
212
211
yx
yyx
yyx
令解
,622 323121 xxxxxxf代入
.8422 32312221 yyyyyyf得
.,
622
323121
并求所用的变换矩阵成标准形化二次型
xxxxxxf例由于所给二次型中无平方项，所以
xy
xy
xy
11
22
33
1 1 0
1 1 0
0 0 1
即再配方，得
,6222 23232231 yyyyyf
33
322
311
2
yz
yyz
yyz
令
,2
33
322
311
zy
zzy
zzy
.622 232221 zzzf得
yz
yz
yz
11
22
33
1 0 1
0 1 2
001
即所用变换矩阵为
100
210
101
100
011
011
C
.
100
111
311
.02C
.622 232221 zzzf得
xy
xy
xy
11
22
33
1 1 0
1 1 0
0 0 1
yz
yz
yz
11
22
33
1 0 1
0 1 2
001
用初等变换法化二次型为标准形
2
12
1 1 2
T T T
mm
mE P P
P P P A P P P
P
A
EC
由此我们就可以得到化二次型的系数矩阵 A为对角阵的可逆矩阵 C，即 CTAC= L.
这种利用初等变化求可逆矩阵 C 及对角矩阵 L，
使 CTAC= L的方法称为 初等变换法,
例 用初等变换法化二次型 f=x12+5 x22+ 5x32+4x1x2-
2x1x3-8x2x3为标准型，并求出所用的线性变换矩阵,
解 二次型的矩阵为,1 2 1
2 5 4
1 4 5
A
1 2 1
2 5 4
1 4 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
E
21
31
21
31
2
2
1 0 0
0 1 2
0 2 4
1 2 1
0 1 0
0 0 1
rr
rr
cc
cc
21
31
21
31
2
2
1 0 0
0 1 2
0 2 4
1 2 1
0 1 0
0 0 1
rr
rr
cc
cc
32
32
2
2
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 2 3
0 1 2
0 0 1
rr
cc
得,
1 2 3
0 1 2
0 0 1
C
1 0 0
0 1 0
0 0 1
TC AC
令 x＝ Cy，则二次型
f 化为标准形,221 2 3 1 2(,,)f x x x y y
正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；
如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．
初等变换法比较直观易求解,也是常用的方法,
不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同,项数等于所给二次型的秩．
正交变化法配方法初等变化法
1 1 1 1 4 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
1 A = B= A B
1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
AB
CD
例,设,,则 与
（ ）合同且相似 （ ）合同但不相似
（ ）不合同但相似 （ ）不合同不相似
22
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 f x x x x + a x x + a x x + a x
( A ) a,a,a
B a a a 1
C a,a,a
D a a a 1
,
例,设 (,) = ( ) + ( ) + ( ),则当 时，
次二次型为正定二次型。
为任意常数。
（）
（ ） 为非正实数
（）
A的特征值解得为 0,0,0,4
B的特征值为 0,0,0,4则存在正交矩阵 Q,使得
T - 1Q A Q = Q A Q = B
(A)
1 2 3
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
a = a = a 1
f x x x x - x x - x x - x
f 1 1 1 0
f A B C
,
用排除法：令,
则(,) = ( ) + ( ) + ( )
且(,,) =
则 不是正定的，从而否认了,,。
1 1 1
2 2 2
3 3 3
222
1 2 3
1
2 1 2 3
3
1 2 3
y 1 a 0 x
y 0 1 a x
y a 0 1 x
f y y y y
1 a 0
0 1 a 1 a a a 0
a 0 1
a a a 1 f
令则 ( ) = + +
当，
即 时,正定
2
3 1 3
2
1 1 2
2
3 2 2
2
13
2 2 2 2 2
2 3 1 1 3 1 3
2
3 1 2 3
1 2 3
1+ a a a
A a 1+ a a
a a 1+ a
A
A 1+ a
A 1+ a 1+ a a 1 a a a 0
A ( 1 a a a ) 0
a a a 1 A 0
则 的三个顺序主子式为
（ ）（ ）- （ ）
所以,时,的所有顺序主子式大于
3
3 3 1 2
3 1 2 3
3
1
2
3
3
=
TT
T
C
C AC B A CBC
A
x x x
解：若能求得A 的对应于特征值 的特征向量
，单位化后可构成正交矩阵,设
，从而 即为所求。
设 是 的对应于特征值 的特征向量，则 与,正交。
设
12
3 1 2 3
= 1 1 - 1 = 1 - 2 - 1
12
TT
A
A
A
例,设 为三阶实对称矩阵，A 为特征值,，，
，,分别是的对应于特征值,的特征向量，求
T
1 2 3
1 2 3
T
3 1 2 3 1 2 2
1 2 2
0
1 0 1
20
11
1
36
2
12
a 1 0 1 a a a 0
36
1
11
2
36
11
1
36
2
12
C = 0
36
1
11
2
36
,,,
x x x
x x x
则 解得基础解系,,
取,,将 单位化，得,,
解得,,
T
1 13 2 5
1
A =C 2 C 2 10 2
6
3 5 2 13
则例 4：设
（ 1）已知 A有一个特征值为 3，求 a；
（ 2）求可逆阵 P,使 为对角矩阵 。
.
2100
100
0001
0010
a
A
)()( APAP T
22
22
1 2 2 1
3 3 3 1 3 2 3 2 1 0
2
,
.
.
I A a a
I A a a
a
＝代入，得解得
解（ 1） A的特征多项式为
.44
433
,22
11
44
433
22
11
2
4
2
43
2
2
2
1
43
2
4
2
3
2
2
2
1
2
2
2
,
5
4
,
.
,
5
4
,
,
,
5
9
)
3
4
(5
855
.
5400
4500
0010
0001
,)()(,)2(
yx
yyx
yx
yx
xy
xxy
xy
xy
xxxxx
xxxxxxXAX
A
PAPAPAPAA
T
TTT
即令考虑二次型而所以因为
,
5
9
5
1
1
,
5
9
5
,,
1000
5
4
100
0010
0001
2
2
4
2
3
2
2
2
1
22
PAPAPAP
yyyyYPAPYXAX
PYXP
TT
TTT
从而且则取
TA m * n B = E + A A,0 B例 设 为 实矩阵,试证：当 时，矩阵为正定矩阵。
T T T T
T T T T T
TT
T T T
B ( E A A) E A A= B,B n
n x,x B x = x ( E A A) x = x x + ( Ax ) ( Ax )
x 0 x x > 0,( Ax ) ( Ax ) 0
0 x 0,
x B x = x x + ( Ax ) ( Ax ) > 0
B
证,因为 所以 为 阶实对称矩阵。
对于任意的实 维向量 有当 时，有因此，当 时，对任意的 有从而 为正定矩阵
5
2 2 2
1 2 n 1 2 3 1 2 1 3f x x x x 4 x 2 x 2 t x x 2 x x
t
例,已知二此型(,,.,,,) = + + + + 是正定二次型，
求 的取值。
22
1 t 1
f A = t 4 0
1 0 2
1 t 1
1t
A 1 0 4 t 0,t 4 0 4 2t 0
t4
1 0 2
- 2 < a< 2,t
解,的矩阵形式为正定，则它的顺序主子式为 >,= - >
解得,即为 的取值范围。
2
3 2 2
0
5 5 0,
5 5 0,5 * + 1 = 0
= 5 = i A
= 5 > 0
A A I?
3
证明：我们证所有的A 的特征值都大于设 是A 的任意特征值，因为A
所以,即（ ）（ ）,
从而,或,而 为实对称矩阵，其特征值皆为实数，
因此,故A 为正定矩阵。
2
4
5 5 0,
An
A A I A3
例,设 为 阶对称矩阵，
且A 证明 是正定矩阵。
例,（实对称矩阵）
2
1 0 1
0 2 0 B = k E A k E
1 0 1
B k B
A
例,设矩阵,矩阵 （ + ）,其中 为实数,为单位矩阵，
求对角矩阵,使 与 相似，并求 为何值时,为正定矩阵。
2
2
1 2 3
1
-1
2 - 1 1 2
1 1 2 1
E- A 2 A 2 0
2
D A P P A P D
0
A = P D P
B k E+ A ( k P P P D P )
= [ P ( k E + D ) P ] [ P ( k E+ D ) P ] P ( k E+ D ) P
= ( k
-
解：由| | = （ ），得 的特征向量为 = =,=,即对角矩阵
，因为 是实对称矩阵，故存在正交矩阵,使得 。
所以于是 （ ）
由此可得 2
2
22
2
( k + 2)
E+ D ) ( k )
k
B
k 2 k 0 B B
此时 与 相似。
由上结论可知，当 且 时,的全部特征值均为正，这是 是正定矩阵。
T P
例 证明A是 正定矩阵的充要条件是存在实可逆矩阵P,使A = P 。
n
1
1
0
00
0 1 2
0
0
,
( ),
()
,(,,),
T
T T T T
TT
T
n
PA
X A X X P PX PX PX
X A X PX PX PX
C A C i n
证充分性：若A=P 则 为实对称矩阵，且 A R,有若 ＝，由 ＝ 及 为实向量可知
PX=0
又A可逆，所以X=0，从而A为正定矩阵。
必要性：若A正定，则存在正交阵C,使
1
11
1
0
0
00
00
0
0
,
T
n
T
nn
T
n
T
A C C
CC
C
PP
从而令
P=
则 可逆，且A = P
1 2 3
1
1
2
2
1 16 49
1 16
1
a
a
( ) ( ) ( ),
解 A 的特征多项式为
I- A
其根为 ＝,＝,＝4 9 。
对于 ＝，求得A 对应于1 的特征向量为
2
＝ -2
1
对于 ＝1 6,求得A 对应于1 6 的特征向量为
2
＝ 1
-1
2
1 3 1 4 4
1 4 2 4 1 8
4 1 8 2 9
,.BA
例 已知A = 为正定矩阵，求正定矩阵 使得B
3
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a
a a a
2 2 1
3 3 3
2 1 2
3 3 3
1 2 2
3 3 3
22
3
,,
对于 ＝4 9,求得A 对应于4 9 的特征向量为
1
＝ 2
2
、,两两正交，将它们单位化得标准正交的特征向量
＝－,＝,＝ 。
－
令
Q =
1
33
2 1 2
333
1 2 2
3 3 3
－
T
T T T
T
2
1
Q Q A Q 1 6
49
1 1 1
A =Q 1 6 Q Q 4 Q Q 4 Q
4 9 7 7
1
B =Q 4 Q
7
B A =B
则 为正交矩阵，且于是：
则 为正定矩阵，且
Happy New Year!
