线 性 代 数
,线性代数,第一章习题课第一章 行列式
1.1 二阶与三阶行列式
1.2 n 阶行列式
1.3 行列式的性质
1.4 行列式按行（列）展开
1.5 克莱默法则基本要求,
1 熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法 ;
2 了解 n阶行列式的定义,理解和熟练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的 n阶行列式 ;
3 理解和掌握克拉默法则（ Cramer’s rule).
行 列 式 —— determinant
用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
2
,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa
,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa
，得两式相减消去 2x;212221121122211 baabxaaaa ）（
二、三阶行列式
行列式的引入二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的,;212221121122211 baabxaaaa ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)4(2221
1211
aa
aa
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式?
即,aaaaaa aa 21122211
2221
1211
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
二、三阶行列式
11a 12a
22a21a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算若记,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
二、三阶行列式
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
列标 行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 a?
2-43-
122-
4-21
D?计算三阶行列式习题解 按对角线法则，有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
.0
94
32
111
2
x
x求解方程习题解 方程左端
12291843 22 xxxxD
,652 xx
解得由 0652 xx
3.2 xx 或习题 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D
111132
121111122 131
5,0?
同理可得
110
311
122
1
D
,5
101
312
121
2
D
,10
011
112
221
3
D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx,222 DDx,133 DDx
2 排列具有奇偶性,
3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种,
1 个不同的元素的所有排列种数为n !.n
N阶行列式全排列及其逆序数 小结
4 对换一次改变排列的奇偶性定义 1 由 个不同地正整数组成的一个有序数组，称为一个 n元排列 。n n
个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示,
n
nP
由引例 1233P,6?
nPn? )1( n )2( n 123 !.n?同理
1,全排列及其逆序数在一个排列 中，若数则称这两个数组成一个 逆序,
nst iiiii21
st ii?
定义 2
我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为 标准排列 或 自然排列,
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数,
例如 排列 32514 中,逆序数为 3+1+0+1+0=5.
3,计算排列逆序数的方法方法 1
分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数,
n,n,,,121
n,n,,,121 n
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
2,排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,
方法 2
习题 求排列 32514的逆序数,
解 在排列 32514中,
3排在首位,逆序数为 0;
2的前面比 2大的数只有一个 3,故逆序数为 1;
3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列 32514的逆序数为
13010t,5?
5的前面没有比 5大的数,其逆序数为 0;
1的前面比 1大的数有 3个,故逆序数为 3;
4的前面比 4大的数有 1个,故逆序数为 1;
定义 3 将一个 n元排列中某两个数的位置互换，而其余数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为 对换。
412104 2 1 3t
110001 2 4 3t
定理 1 对换一次改变排列的奇偶性。
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义的元素．称为行列式数 )de t ( ijij aa
).或det( ija简记作 ija
n阶行列式为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n 2121
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;
2,阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定；
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa?
5,的符号为 nnppp aaa?21 21 )( 211)( npppt
习题 计算行列式
0004
0030
0200
1000
分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41?p若,011 pa 从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4 同理可得 1,2,3 432 ppp
解
0004
0030
0200
1000
43211 4321 t,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
习题,计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
分析展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa?
,npn?,11 np n,1,2,3 123 ppnp n?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa?
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
nnnt aaa 2211121
.2211 nnaaa
解习题
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD
.1608541
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
n
2
1
,1 212 1 nnn;21 n
n
2
1
习题 证明 对角行列式（主对角线以外全为 0的行列式）
和次对角行列式
n
2
1
11,212111 nnnnnt aaa
,1 212 1 nnn
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1, inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
证毕注意,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
◆ 计算行列式常用方法：
(1) 利用定义 ;
(2) 利用性质,
◆ 行列式的 5个性质 3个推论行列式性质小结性质 1 行列式与它的转置行列式相等。
性质 2 任意互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，行列式为 0。
性质 3 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面。
推论 1 用数 k乘以行列式 D等于 D中某一行（列）所有元素同乘以数 k。
推论 2 若行列式的任意两行（列）对应元成比例，则行列式为 0。
性质 4 若行列式的第 i行（列）的每一个元都可表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和。
性质 5 把行列式的第 j行（列）元的 k倍加到第 i行（列）
的对应元上，行列式的值不变。
说明,使用行列式性质时，为了使过程清晰醒目，
约定如下记号：
)( jiji ccrr
)( ii kckr
)( jiji kcckrr
习题
2101044
614753
12402
59733
13211
D计算
◆ 计算行列式的 基本方法,
.ji krr?
行列式性质应用举例三角化,
◆ 计算行列式的 主要手段,
2101044
614753
12402
59733
13211
D计算
3?
解
12 3rr?
习题
2101044
614753
12402
13211
D
0 0 1? 0 2?
2
2101044
614753
20100
13211
2
3
13 2rr?
解
12 3rr?
2101044
614753
12402
13211
D
0 0 1? 0 2?
0 2 0 4 1?
14 3rr?
4
2101044
614753
20100
13211
3
13 2rr? 0 2 0 4 1?
2101044
14020
20100
13211
0 2? 1 5? 3
14 3rr?
4
2101044
14020
20100
13211
0 2? 1 5? 3
35120
14020
20100
13211
15 4rr?
0 0 2 2 2?
42 rr?
22200
20100
14020
35120
13211
35120
14020
20100
13211
15 4rr?
0 0 2 2 2?
22200
20100
35120
13211
23 rr?
42 rr?
22200
20100
14020
35120
13211
0 0 1 1? 2
34 rr2
22200
20100
35120
13211
23 rr?
0 0 1 1? 2
22200
2110
3512
13211
0 0 0 1? 0
01000
21100
35120
13211
35 2rr?
4?
34 rr2
22200
21100
35120
13211
0 0 0 1? 0
0 0 0 4 6?
01000
21100
35120
13211
61245 4rr?,12?
01000
21100
35120
13211
35 2rr?
4?
0 0 0 4 6?
0 0 0 0 6?
习题,计算
3111
1311
1131
1113
D
习题,计算
解：
这个行列式的特点是各列４个数之和都是６，今把第２、３、４行同时加到第１行，提出公因子
６，然后各行减去第１行,
3111
1311
1131
1113
D
习题,计算
解：
这个行列式的特点是各列４个数之和都是６，今把第２、３、４行同时加到第１行，提出公因子
６，然后各行减去第１行,
3111
1311
1131
1113
D
48
2000
0200
0020
1111
6
3111
1311
1131
1111
6
3111
1311
1131
6666
13
12
14
14321 6
rr
rr
rr
rrrr
D
习题,计算
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
3610363
234232
习题,计算
解 从第４行开始，后行减前行
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
3610363
234232
习题,计算
解 从第４行开始，后行减前行
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
3610363
234232
4
000
200
0
300
200
0
3630
2320
0
34
34
23
23
34
12
a
a
baa
cbabaa
dcba
baa
baa
cbabaa
dcba
cbabaa
cbabaa
cbabaa
dcba
D
rr
rr
rr
rr
rr
rr
习题,计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
解
abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
1
1
1
1
D
将第 列都加到第一列得 n,,3,2?
abb
bab
bba
bbb
bna
1
1
1
1
)1(
ba
ba
ba
)b(na
,n,j
bcc
j
001
01
1
0001
1
2
1
,)()1( 1 nbabna
习题
,
0
1
111
1
111
1
111
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D
设
,
1
111
1
kkk
k
aa
aa
D
,
1
111
2
nnn
n
bb
bb
D
.21 DDD?证明证明
kkk pp
p
D
1
11
1
0
设为化为下三角形行列式把作运算对 11,DkrrD ji?
化为下三角形行列式把作运算对 22,DkrrD ji?
nnn qq
q
D
1
11
2
0
设为;11 kkpp
.11 nnqq
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
qq
q
dd
dd
pp
p
D
化为下三角形行列式把算列作运，再对后行作运算的前对
Dkcc
nkrrkD
ji
ji
,?
nnkk qqppD 1111故,21 DD?
习题
.
140
130
722
00002/1
00069
5
fe
dc
baD计算
5D解,?02/1
69
140
130
722
3 14 132 )7()2()3(,42
余子式与代数余子式在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第列划去后，留下来的元按原来的次序构成阶行列式叫做元素 的 余子式,记作
n ija i j
1?n
ija,Mij
,记 ijjiij MA 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M?
233223 1 MA,23M
定理３ n阶行列式等于它的任一行 (列 )的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
),,,2,1( 2211
1
niAaAaAaAaD ininiiii
n
j
ijij
).,,2,1( 2211
1
njAaAaAaAaD njnjjjjj
n
i
ijij
定理 4 n阶行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即;,02211 jiAaAaAa jninjiji
.,02211 jiAaAaAa njnijiji
★ 关于代数余子式的重要性质,
n
k kjki
Aa
1 ij
n
k jkik
DAa
1
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当?
,ijD?
说明：
计算行列式时，直接利用定理 3展开行列式，通常并不能减少计算量，除非某一行（列）含有较多的零元，因此计算行列式时,应先运用行列式性质，将某一行
（列）尽可能多得化为零,然后使用行列式的展开。
例 1
3351
1102
4315
2113
D
0355
0100
13111
1115
31 2 cc
34 cc?
055
1111
115
)1( 33
055
026
115
55
26)1( 31
.40?
12 rr?
解习题 计算
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD
解例 3 计算
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
解例 3 计算
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
0
0
)1(2 na d D?
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
解例 3 计算对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
0
0
)1(2 na d D? )1(2111 )1()1( nnn Ddc
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
解例 3 计算对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
0
0
)1(2 na d D? )1(2111 )1()1( nnn Ddc )1(2 nd c D )1(2)( nDdcad
解 对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
)1(2 na d D )1(2 nd c D )1(2)( nDdcad
)2(22)( nDdcad
21)( Ddcad n
dc
badcad n 1)(
.)( ndcad
本次课的教学要求
1,理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解线性方程组。
2,通过练习巩固行列式的性质和运算。
克拉默法则
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb?则称此方程组为非 齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
非齐次线性方组与齐次线性方程组的概念如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
0?
定理 5 克拉默 (Cramer)法则
.,,,,332211 DDxDDxDDxDDx nn
nnjnnjjnn
njjj
aaaaa
aaaaa
D
1,1,1
11,111,111
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，且解可以表示为
1
j
nb
b
1
其中：
结论 1 如果线性方程组 的系数行列式则 一定有解,且解是唯一的,
1
1
,0?D
结论 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,
1
二、重要结论 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
必有非零解,
另外，以后将证明：若系数行列式 0?D
定理 6 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零,
◎
.
,
零解则该齐次性方程组只有数行列式不为零若齐次线性方程组的系
1,用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数（ 方形的 ）,
(2)系数行列式不等于零,
2,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,
三、小结
3,克拉默法则的不足或缺点,
一般来说,其计算量较大,
习题 用克拉默则解方程组
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
D
,027
6740
2125
6039
1518
1
D
,81?,1082D
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
6741
2120
6031
1512
D
27?
,27,27 43 DD
,311 DDx,422 DDx,1,1 4433 DDxDDx
习题
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组解 12 23D )4(3,07
11
212
1
D
,14? 12
123
2?D,21
D
Dx 1
1,27
14
D
Dx 2
2?,37
21
习题 问 取何值时，齐次方程组
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解？
解
111
132
421
D
因为 D=0时，齐次方程组有非零解所以 或 时齐次方程组有非零解,20,3
,23
第一章 行列式小结
1.5 克莱默（ Cramer）法则
1.1 二阶行列式、三阶行列式
1.2 n阶行列式
1.3 行列式的性质
1.4 行列式按行（列）展开返回历界考研题回顾
1,设 ４Ｘ４ 矩阵,
其中,均为 ４ 维列向量，且已知行列式,,则行列式
2、
),,,,( 432A ),,,,( 432B
432,,,,
4||?A 1||?B?|| BA
1110
1101
1011
0111
历界考研题回顾
1,设 ４Ｘ４ 矩阵,
其中,均为 ４ 维列向量，且已知行列式,,则行列式
解：
),,,,( 432A ),,,,(
432B
432,,,,
4||?A 1||?B?|| BA
40)14(8|)||(|8
|,,,|8|2,2,2,||| 432432
BA
BA
历界考研题回顾
2、
解：
原式
1110
1101
1011
0111
3
0001
0011
0101
1001
3
1111
1101
1011
0111
3
11
4,3,24,3,2
cc
i
cc
i
ii
3,n阶行列式
4,五阶行列式
000
000
0000
000
000
ab
ba
a
ba
ba
11000
1100
0110
0011
0001
a
aa
aa
aa
aa
D
3,n阶行列式
解,按第１列展开后，得到两个三角行列式，即可计算出结果
000
000
0000
000
000
ab
ba
a
ba
ba
nnnn
ba
ba
a
ba
b
b
a
ba
ba
ba
a
11
)1(
00
000
00
000
)1(
0000
000
000
000
原式
4,五阶行列式
解,记,按第一行展开，可得递推关系式，然后反复使用，有
11000
1100
0110
0011
0001
a
aa
aa
aa
aa
D
DD?5
23
2
323345
)1(])1[(
])1)[(1()1(
DaaDaa
aDaDDaaaDDaD
]})1[()1)(1) { (1(
)1()]1()1)[(1(
222
22
2
aaaaaaa
DaaaaDaaa
54321 aaaaa
5,设 n阶矩阵
，则
6,设Ａ为 m阶方阵，Ｂ为 n阶方阵，,
则
01111
10111
11011
11101
11110
A
A
aA?|| bB?||
0
0
B
Ac?||?c
5,设 n阶矩阵
，则
解,把行列式 的第２，３ …,n行加到第１行，然后从第１行提出（ n-1），得
01111
10111
11011
11101
11110
A
A
A
)1()1(
10000
01000
00100
00010
11111
)1(
01111
10111
11011
11101
11111
)1(
1
,,2
1
nnnA
n
rr
ni
i
6,设Ａ为 m阶方阵，Ｂ为 n阶方阵，,
则
解：
用一系列行初等变换把 变为,这相当于用一系列交换矩阵 左乘Ｃ，现在来计算行交换矩阵的个数。
把Ｂ所在的 n行元素向上与第 m行元素进行交换的次数是 n，因为要进行 m次这样的交换，所以总交换次数为 mn，又因为故：
aA?|| bB?||
0
0
B
Ac?||?c
0
0
B
Ac
A
B
0
0
),( jiE
1),(jiE
abABc mnmn )1()1(||
7,设行列式则第四行各元素余子式之和的值为？
2235
0070
2222
0403
D
7,设行列式则第四行各元素余子式之和的值为？
解１：直接写出第四行各元素余子式且相加，得
2235
0070
2222
0403
D
28
1442056
070
222
403
070
222
003
000
222
043
007
222
040
原式
解２：设 为 的余子式,为 的代数余子式，则
ijM ija ijA ija
111
222
043
7
1111
0070
2222
0403
4443424144434241
＝
展开按
３
r
AAAAMMMM
28
200
222
043
7
23
2
1
rr
8,设３阶方阵满足Ａ，Ｂ满足，其中Ｅ为三阶单位矩阵，若 则
,
102
020
101
A
B
8,设３阶方阵满足Ａ，Ｂ满足其中Ｅ为三阶单位矩阵，若则
解：由 知 即易知矩阵 可逆，
于是有 再两边取行列式得，
因为 所以
,
102
020
101
A
B
EBABA2 EABEA )( 2
EABEAEA ))((
EBEA )( 1 BEA
2
002
010
100
EA 2
1?B
EA?
EBABA2
9,设Ａ和Ｂ均为 nＸ n的矩阵，则必有,
BABA BAAB?
BAAB 111 BABA
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
9,设Ａ和Ｂ均为 nＸ n的矩阵，则必有,
BABA BAAB?
BAAB 111 BABA
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解：因为 BAABBAAB,所以选Ｃ
10,设Ａ、Ｂ为 n阶方阵，满足等式则必有
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
0?AB
0 BA
00 BA 或 0 BA
00 BA 或
10,设Ａ、Ｂ为 n阶方阵，满足等式则必有
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解：
对 两边取行列式，根据有,由此得,所以选Ｃ
0?AB
0 BA
00 BA 或 0 BA
BAAB
0 BA 00 BA 或
0?AB
00 BA 或
11,若 都是四维列向量，且四阶行列式,则四阶行列式
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
21321,,,,
m?1321,,,n?3221,,,
)(,,,21321
mn? nm?
nmnm?
11,若 都是四维列向量，且四阶行列式,则四阶行列式
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解：由行列式性质，有选 C
21321,,,,
m?1321,,,n?3221,,,
)(,,,21321
mn? nm?
mn
32211321
2123112321321
,,,,,,
,,,,,,)(,,,
nmnm?
12,４阶行列式 的值等于？
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
44
33
22
11
00
00
00
00
ab
ab
ba
ba
43214321 bbbbaaaa? 43214321
bbbbaaaa?
43432121 bbaabbaa41413232 bbaabbaa
12,４阶行列式 的值等于？
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解,(排除法）
令,可得（原式）
经比较，选Ａ，Ｂ，Ｃ全错，只有Ｄ正确。
44
33
22
11
00
00
00
00
ab
ab
ba
ba
43214321 bbbbaaaa? 43214321
bbbbaaaa?
43432121 bbaabbaa41413232 bbaabbaa
01?b323241 bbaaaaD
13,齐次线形方程组 的系数矩阵记为Ａ，若存在三阶矩阵 使得 则
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
0
0
0
321
321
3
2
21
xxx
xxx
xxx
0?B 0?AB
02 B且? 02 B且?
01 B且? 01 B且?
13,齐次线形方程组 的系数矩阵记为Ａ，若存在三阶矩阵 使得 则
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解：
由,表明 有非零解，则必有即 解得 排除 A,B
若 则Ｂ可逆，用 右乘 得而这与Ａ为非零矩阵相矛盾，故,选Ｃ
0
0
0
321
321
3
2
21
xxx
xxx
xxx
0?B 0?AB
02 B且? 02 B且?
01 B且? 01 B且?
00 BAB 且 0?Ax 0?A
2
2
)1(
11
110
010
11
11
1
0?
A
1
0?B 1?B 0?AB 00 11 BABBA
0?B
14,记行列式 为则方程 的根的个数为
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
3475344
53542333
32221222
3212
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)(xf
0)(?xf
14,记行列式 为则方程 的根的个数为
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
解,
由此知根有两个，故选Ｂ
3475344
53542333
32221222
3212
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)(xf
)1(5
67
12
122
12
6734
12133
00122
0012
3734
22133
10122
1012
)(
241
4,3,2
xx
x
x
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
x
x
xf
cccc
i
i
0)(?xf
15,设Ａ为 n阶实矩阵,是Ａ的转置矩阵，则对于线形方程组（Ｉ） 和（ II）,必有
（Ａ）（ II）的解是（Ｉ）的解，（Ｉ）的解也是（ II）的解
（Ｂ）（ II）的解是（Ｉ）的解，（Ｉ）的解不是（ II）的解
（Ｃ）（Ｉ）的解不是（ II）的解，（ II）的解也不是（Ｉ）的解
（Ｄ）（Ｉ）的解是（ II）的解，但（ II）的解不是（Ｉ）的解
TA
0?AX 0?AXA T
15,设Ａ为 n阶实矩阵,是Ａ的转置矩阵，则对于线形方程组（Ｉ） 和（ II）,必有
（Ａ）（ II）的解是（Ｉ）的解，（Ｉ）的解也是（ II）的解
（Ｂ）（ II）的解是（Ｉ）的解，（Ｉ）的解不是（ II）的解
（Ｃ）（Ｉ）的解不是（ II）的解，（ II）的解也不是（Ｉ）的解
（Ｄ）（Ｉ）的解是（ II）的解，但（ II）的解不是（Ｉ）的解
解：
设 是（Ｉ）的解，则 表明也是（ II）的解，反之，设 是（ II）的解,则表明 也是（Ｉ）的解，故选Ａ
TA
0?AX 0?AXA T
0X
000 00 TT AAXAAX
0X
0X0
X
00)()(00 000000 AXAXAXAXAXXAA TTTT
16、Ａ为１０Ｘ１０矩阵,A=
计算行列式,其中Ｅ为１０阶单位矩阵,λ为常数。
000010
10000
00100
00010
10
EA
A= 将 按第一列展开后，得到两个三角行列式
000010
10000
00100
00010
10?
0000
1000
0010
0001
)(
00010
1000
0010
0001
10
EA
1010109
10
10
1010))((
10010
01000
0001
00001
10
EA
17,设Ａ是 n阶矩阵，满足 （设Ｉ是 n阶单位矩阵,是Ａ的转置矩阵），,求
IAA?'
0?A
'A IA?
17,设Ａ是 n阶矩阵，满足 （设Ｉ是 n阶单位矩阵,是Ａ的转置矩阵），,求
解,因为所以由题设,有,故
IAA?'
0?A
'A IA?
IAAAIAAIA
AIAAAAIA
'
''
)(
)(
0)1( IAA
0?A 01 A 0 IA
Thank You!
,线性代数,第一章习题课第一章 行列式
1.1 二阶与三阶行列式
1.2 n 阶行列式
1.3 行列式的性质
1.4 行列式按行（列）展开
1.5 克莱默法则基本要求,
1 熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法 ;
2 了解 n阶行列式的定义,理解和熟练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的 n阶行列式 ;
3 理解和掌握克拉默法则（ Cramer’s rule).
行 列 式 —— determinant
用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
2
,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa
,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa
，得两式相减消去 2x;212221121122211 baabxaaaa ）（
二、三阶行列式
行列式的引入二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的,;212221121122211 baabxaaaa ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)4(2221
1211
aa
aa
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式?
即,aaaaaa aa 21122211
2221
1211
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
二、三阶行列式
11a 12a
22a21a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算若记,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
二、三阶行列式
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
列标 行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 a?
2-43-
122-
4-21
D?计算三阶行列式习题解 按对角线法则，有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
.0
94
32
111
2
x
x求解方程习题解 方程左端
12291843 22 xxxxD
,652 xx
解得由 0652 xx
3.2 xx 或习题 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D
111132
121111122 131
5,0?
同理可得
110
311
122
1
D
,5
101
312
121
2
D
,10
011
112
221
3
D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx,222 DDx,133 DDx
2 排列具有奇偶性,
3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种,
1 个不同的元素的所有排列种数为n !.n
N阶行列式全排列及其逆序数 小结
4 对换一次改变排列的奇偶性定义 1 由 个不同地正整数组成的一个有序数组，称为一个 n元排列 。n n
个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示,
n
nP
由引例 1233P,6?
nPn? )1( n )2( n 123 !.n?同理
1,全排列及其逆序数在一个排列 中，若数则称这两个数组成一个 逆序,
nst iiiii21
st ii?
定义 2
我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为 标准排列 或 自然排列,
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数,
例如 排列 32514 中,逆序数为 3+1+0+1+0=5.
3,计算排列逆序数的方法方法 1
分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数,
n,n,,,121
n,n,,,121 n
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
2,排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,
方法 2
习题 求排列 32514的逆序数,
解 在排列 32514中,
3排在首位,逆序数为 0;
2的前面比 2大的数只有一个 3,故逆序数为 1;
3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列 32514的逆序数为
13010t,5?
5的前面没有比 5大的数,其逆序数为 0;
1的前面比 1大的数有 3个,故逆序数为 3;
4的前面比 4大的数有 1个,故逆序数为 1;
定义 3 将一个 n元排列中某两个数的位置互换，而其余数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为 对换。
412104 2 1 3t
110001 2 4 3t
定理 1 对换一次改变排列的奇偶性。
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义的元素．称为行列式数 )de t ( ijij aa
).或det( ija简记作 ija
n阶行列式为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n 2121
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;
2,阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定；
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa?
5,的符号为 nnppp aaa?21 21 )( 211)( npppt
习题 计算行列式
0004
0030
0200
1000
分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41?p若,011 pa 从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4 同理可得 1,2,3 432 ppp
解
0004
0030
0200
1000
43211 4321 t,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
习题,计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
分析展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa?
,npn?,11 np n,1,2,3 123 ppnp n?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa?
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
nnnt aaa 2211121
.2211 nnaaa
解习题
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD
.1608541
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
n
2
1
,1 212 1 nnn;21 n
n
2
1
习题 证明 对角行列式（主对角线以外全为 0的行列式）
和次对角行列式
n
2
1
11,212111 nnnnnt aaa
,1 212 1 nnn
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1, inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
证毕注意,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
◆ 计算行列式常用方法：
(1) 利用定义 ;
(2) 利用性质,
◆ 行列式的 5个性质 3个推论行列式性质小结性质 1 行列式与它的转置行列式相等。
性质 2 任意互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，行列式为 0。
性质 3 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面。
推论 1 用数 k乘以行列式 D等于 D中某一行（列）所有元素同乘以数 k。
推论 2 若行列式的任意两行（列）对应元成比例，则行列式为 0。
性质 4 若行列式的第 i行（列）的每一个元都可表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和。
性质 5 把行列式的第 j行（列）元的 k倍加到第 i行（列）
的对应元上，行列式的值不变。
说明,使用行列式性质时，为了使过程清晰醒目，
约定如下记号：
)( jiji ccrr
)( ii kckr
)( jiji kcckrr
习题
2101044
614753
12402
59733
13211
D计算
◆ 计算行列式的 基本方法,
.ji krr?
行列式性质应用举例三角化,
◆ 计算行列式的 主要手段,
2101044
614753
12402
59733
13211
D计算
3?
解
12 3rr?
习题
2101044
614753
12402
13211
D
0 0 1? 0 2?
2
2101044
614753
20100
13211
2
3
13 2rr?
解
12 3rr?
2101044
614753
12402
13211
D
0 0 1? 0 2?
0 2 0 4 1?
14 3rr?
4
2101044
614753
20100
13211
3
13 2rr? 0 2 0 4 1?
2101044
14020
20100
13211
0 2? 1 5? 3
14 3rr?
4
2101044
14020
20100
13211
0 2? 1 5? 3
35120
14020
20100
13211
15 4rr?
0 0 2 2 2?
42 rr?
22200
20100
14020
35120
13211
35120
14020
20100
13211
15 4rr?
0 0 2 2 2?
22200
20100
35120
13211
23 rr?
42 rr?
22200
20100
14020
35120
13211
0 0 1 1? 2
34 rr2
22200
20100
35120
13211
23 rr?
0 0 1 1? 2
22200
2110
3512
13211
0 0 0 1? 0
01000
21100
35120
13211
35 2rr?
4?
34 rr2
22200
21100
35120
13211
0 0 0 1? 0
0 0 0 4 6?
01000
21100
35120
13211
61245 4rr?,12?
01000
21100
35120
13211
35 2rr?
4?
0 0 0 4 6?
0 0 0 0 6?
习题,计算
3111
1311
1131
1113
D
习题,计算
解：
这个行列式的特点是各列４个数之和都是６，今把第２、３、４行同时加到第１行，提出公因子
６，然后各行减去第１行,
3111
1311
1131
1113
D
习题,计算
解：
这个行列式的特点是各列４个数之和都是６，今把第２、３、４行同时加到第１行，提出公因子
６，然后各行减去第１行,
3111
1311
1131
1113
D
48
2000
0200
0020
1111
6
3111
1311
1131
1111
6
3111
1311
1131
6666
13
12
14
14321 6
rr
rr
rr
rrrr
D
习题,计算
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
3610363
234232
习题,计算
解 从第４行开始，后行减前行
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
3610363
234232
习题,计算
解 从第４行开始，后行减前行
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
3610363
234232
4
000
200
0
300
200
0
3630
2320
0
34
34
23
23
34
12
a
a
baa
cbabaa
dcba
baa
baa
cbabaa
dcba
cbabaa
cbabaa
cbabaa
dcba
D
rr
rr
rr
rr
rr
rr
习题,计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
解
abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
1
1
1
1
D
将第 列都加到第一列得 n,,3,2?
abb
bab
bba
bbb
bna
1
1
1
1
)1(
ba
ba
ba
)b(na
,n,j
bcc
j
001
01
1
0001
1
2
1
,)()1( 1 nbabna
习题
,
0
1
111
1
111
1
111
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D
设
,
1
111
1
kkk
k
aa
aa
D
,
1
111
2
nnn
n
bb
bb
D
.21 DDD?证明证明
kkk pp
p
D
1
11
1
0
设为化为下三角形行列式把作运算对 11,DkrrD ji?
化为下三角形行列式把作运算对 22,DkrrD ji?
nnn qq
q
D
1
11
2
0
设为;11 kkpp
.11 nnqq
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
q
dd
dd
pp
p
D
化为下三角形行列式把算列作运，再对后行作运算的前对
Dkcc
nkrrkD
ji
ji
,?
nnkk qqppD 1111故,21 DD?
习题
.
140
130
722
00002/1
00069
5
fe
dc
baD计算
5D解,?02/1
69
140
130
722
3 14 132 )7()2()3(,42
余子式与代数余子式在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第列划去后，留下来的元按原来的次序构成阶行列式叫做元素 的 余子式,记作
n ija i j
1?n
ija,Mij
,记 ijjiij MA 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M?
233223 1 MA,23M
定理３ n阶行列式等于它的任一行 (列 )的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
),,,2,1( 2211
1
niAaAaAaAaD ininiiii
n
j
ijij
).,,2,1( 2211
1
njAaAaAaAaD njnjjjjj
n
i
ijij
定理 4 n阶行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即;,02211 jiAaAaAa jninjiji
.,02211 jiAaAaAa njnijiji
★ 关于代数余子式的重要性质,
n
k kjki
Aa
1 ij
n
k jkik
DAa
1
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当?
,ijD?
说明：
计算行列式时，直接利用定理 3展开行列式，通常并不能减少计算量，除非某一行（列）含有较多的零元，因此计算行列式时,应先运用行列式性质，将某一行
（列）尽可能多得化为零,然后使用行列式的展开。
例 1
3351
1102
4315
2113
D
0355
0100
13111
1115
31 2 cc
34 cc?
055
1111
115
)1( 33
055
026
115
55
26)1( 31
.40?
12 rr?
解习题 计算
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD
解例 3 计算
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
解例 3 计算
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
0
0
)1(2 na d D?
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
解例 3 计算对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
0
0
)1(2 na d D? )1(2111 )1()1( nnn Ddc
.
0
00
0
2
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
解例 3 计算对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
0
0
)1(2 na d D? )1(2111 )1()1( nnn Ddc )1(2 nd c D )1(2)( nDdcad
解 对行列式按第一行展开，得：
nD2?1aD 21)1( Dd n
)1(2 na d D )1(2 nd c D )1(2)( nDdcad
)2(22)( nDdcad
21)( Ddcad n
dc
badcad n 1)(
.)( ndcad
本次课的教学要求
1,理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解线性方程组。
2,通过练习巩固行列式的性质和运算。
克拉默法则
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb?则称此方程组为非 齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
非齐次线性方组与齐次线性方程组的概念如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
0?
定理 5 克拉默 (Cramer)法则
.,,,,332211 DDxDDxDDxDDx nn
nnjnnjjnn
njjj
aaaaa
aaaaa
D
1,1,1
11,111,111
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，且解可以表示为
1
j
nb
b
1
其中：
结论 1 如果线性方程组 的系数行列式则 一定有解,且解是唯一的,
1
1
,0?D
结论 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,
1
二、重要结论 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
必有非零解,
另外，以后将证明：若系数行列式 0?D
定理 6 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零,
◎
.
,
零解则该齐次性方程组只有数行列式不为零若齐次线性方程组的系
1,用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数（ 方形的 ）,
(2)系数行列式不等于零,
2,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,
三、小结
3,克拉默法则的不足或缺点,
一般来说,其计算量较大,
习题 用克拉默则解方程组
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
D
,027
6740
2125
6039
1518
1
D
,81?,1082D
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
6741
2120
6031
1512
D
27?
,27,27 43 DD
,311 DDx,422 DDx,1,1 4433 DDxDDx
习题
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组解 12 23D )4(3,07
11
212
1
D
,14? 12
123
2?D,21
D
Dx 1
1,27
14
D
Dx 2
2?,37
21
习题 问 取何值时，齐次方程组
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解？
解
111
132
421
D
因为 D=0时，齐次方程组有非零解所以 或 时齐次方程组有非零解,20,3
,23
第一章 行列式小结
1.5 克莱默（ Cramer）法则
1.1 二阶行列式、三阶行列式
1.2 n阶行列式
1.3 行列式的性质
1.4 行列式按行（列）展开返回历界考研题回顾
1,设 ４Ｘ４ 矩阵,
其中,均为 ４ 维列向量，且已知行列式,,则行列式
2、
),,,,( 432A ),,,,( 432B
432,,,,
4||?A 1||?B?|| BA
1110
1101
1011
0111
历界考研题回顾
1,设 ４Ｘ４ 矩阵,
其中,均为 ４ 维列向量，且已知行列式,,则行列式
解：
),,,,( 432A ),,,,(
432B
432,,,,
4||?A 1||?B?|| BA
40)14(8|)||(|8
|,,,|8|2,2,2,||| 432432
BA
BA
历界考研题回顾
2、
解：
原式
1110
1101
1011
0111
3
0001
0011
0101
1001
3
1111
1101
1011
0111
3
11
4,3,24,3,2
cc
i
cc
i
ii
3,n阶行列式
4,五阶行列式
000
000
0000
000
000
ab
ba
a
ba
ba
11000
1100
0110
0011
0001
a
aa
aa
aa
aa
D
3,n阶行列式
解,按第１列展开后，得到两个三角行列式，即可计算出结果
000
000
0000
000
000
ab
ba
a
ba
ba
nnnn
ba
ba
a
ba
b
b
a
ba
ba
ba
a
11
)1(
00
000
00
000
)1(
0000
000
000
000
原式
4,五阶行列式
解,记,按第一行展开，可得递推关系式，然后反复使用，有
11000
1100
0110
0011
0001
a
aa
aa
aa
aa
D
DD?5
23
2
323345
)1(])1[(
])1)[(1()1(
DaaDaa
aDaDDaaaDDaD
]})1[()1)(1) { (1(
)1()]1()1)[(1(
222
22
2
aaaaaaa
DaaaaDaaa
54321 aaaaa
5,设 n阶矩阵
，则
6,设Ａ为 m阶方阵，Ｂ为 n阶方阵，,
则
01111
10111
11011
11101
11110
A
A
aA?|| bB?||
0
0
B
Ac?||?c
5,设 n阶矩阵
，则
解,把行列式 的第２，３ …,n行加到第１行，然后从第１行提出（ n-1），得
01111
10111
11011
11101
11110
A
A
A
)1()1(
10000
01000
00100
00010
11111
)1(
01111
10111
11011
11101
11111
)1(
1
,,2
1
nnnA
n
rr
ni
i
6,设Ａ为 m阶方阵，Ｂ为 n阶方阵，,
则
解：
用一系列行初等变换把 变为,这相当于用一系列交换矩阵 左乘Ｃ，现在来计算行交换矩阵的个数。
把Ｂ所在的 n行元素向上与第 m行元素进行交换的次数是 n，因为要进行 m次这样的交换，所以总交换次数为 mn，又因为故：
aA?|| bB?||
0
0
B
Ac?||?c
0
0
B
Ac
A
B
0
0
),( jiE
1),(jiE
abABc mnmn )1()1(||
7,设行列式则第四行各元素余子式之和的值为？
2235
0070
2222
0403
D
7,设行列式则第四行各元素余子式之和的值为？
解１：直接写出第四行各元素余子式且相加，得
2235
0070
2222
0403
D
28
1442056
070
222
403
070
222
003
000
222
043
007
222
040
原式
解２：设 为 的余子式,为 的代数余子式，则
ijM ija ijA ija
111
222
043
7
1111
0070
2222
0403
4443424144434241
＝
展开按
３
r
AAAAMMMM
28
200
222
043
7
23
2
1
rr
8,设３阶方阵满足Ａ，Ｂ满足，其中Ｅ为三阶单位矩阵，若 则
,
102
020
101
A
B
8,设３阶方阵满足Ａ，Ｂ满足其中Ｅ为三阶单位矩阵，若则
解：由 知 即易知矩阵 可逆，
于是有 再两边取行列式得，
因为 所以
,
102
020
101
A
B
EBABA2 EABEA )( 2
EABEAEA ))((
EBEA )( 1 BEA
2
002
010
100
EA 2
1?B
EA?
EBABA2
9,设Ａ和Ｂ均为 nＸ n的矩阵，则必有,
BABA BAAB?
BAAB 111 BABA
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
9,设Ａ和Ｂ均为 nＸ n的矩阵，则必有,
BABA BAAB?
BAAB 111 BABA
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解：因为 BAABBAAB,所以选Ｃ
10,设Ａ、Ｂ为 n阶方阵，满足等式则必有
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
0?AB
0 BA
00 BA 或 0 BA
00 BA 或
10,设Ａ、Ｂ为 n阶方阵，满足等式则必有
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解：
对 两边取行列式，根据有,由此得,所以选Ｃ
0?AB
0 BA
00 BA 或 0 BA
BAAB
0 BA 00 BA 或
0?AB
00 BA 或
11,若 都是四维列向量，且四阶行列式,则四阶行列式
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
21321,,,,
m?1321,,,n?3221,,,
)(,,,21321
mn? nm?
nmnm?
11,若 都是四维列向量，且四阶行列式,则四阶行列式
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解：由行列式性质，有选 C
21321,,,,
m?1321,,,n?3221,,,
)(,,,21321
mn? nm?
mn
32211321
2123112321321
,,,,,,
,,,,,,)(,,,
nmnm?
12,４阶行列式 的值等于？
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
44
33
22
11
00
00
00
00
ab
ab
ba
ba
43214321 bbbbaaaa? 43214321
bbbbaaaa?
43432121 bbaabbaa41413232 bbaabbaa
12,４阶行列式 的值等于？
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解,(排除法）
令,可得（原式）
经比较，选Ａ，Ｂ，Ｃ全错，只有Ｄ正确。
44
33
22
11
00
00
00
00
ab
ab
ba
ba
43214321 bbbbaaaa? 43214321
bbbbaaaa?
43432121 bbaabbaa41413232 bbaabbaa
01?b323241 bbaaaaD
13,齐次线形方程组 的系数矩阵记为Ａ，若存在三阶矩阵 使得 则
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
0
0
0
321
321
3
2
21
xxx
xxx
xxx
0?B 0?AB
02 B且? 02 B且?
01 B且? 01 B且?
13,齐次线形方程组 的系数矩阵记为Ａ，若存在三阶矩阵 使得 则
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解：
由,表明 有非零解，则必有即 解得 排除 A,B
若 则Ｂ可逆，用 右乘 得而这与Ａ为非零矩阵相矛盾，故,选Ｃ
0
0
0
321
321
3
2
21
xxx
xxx
xxx
0?B 0?AB
02 B且? 02 B且?
01 B且? 01 B且?
00 BAB 且 0?Ax 0?A
2
2
)1(
11
110
010
11
11
1
0?
A
1
0?B 1?B 0?AB 00 11 BABBA
0?B
14,记行列式 为则方程 的根的个数为
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
3475344
53542333
32221222
3212
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)(xf
0)(?xf
14,记行列式 为则方程 的根的个数为
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
解,
由此知根有两个，故选Ｂ
3475344
53542333
32221222
3212
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)(xf
)1(5
67
12
122
12
6734
12133
00122
0012
3734
22133
10122
1012
)(
241
4,3,2
xx
x
x
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
x
x
xf
cccc
i
i
0)(?xf
15,设Ａ为 n阶实矩阵,是Ａ的转置矩阵，则对于线形方程组（Ｉ） 和（ II）,必有
（Ａ）（ II）的解是（Ｉ）的解，（Ｉ）的解也是（ II）的解
（Ｂ）（ II）的解是（Ｉ）的解，（Ｉ）的解不是（ II）的解
（Ｃ）（Ｉ）的解不是（ II）的解，（ II）的解也不是（Ｉ）的解
（Ｄ）（Ｉ）的解是（ II）的解，但（ II）的解不是（Ｉ）的解
TA
0?AX 0?AXA T
15,设Ａ为 n阶实矩阵,是Ａ的转置矩阵，则对于线形方程组（Ｉ） 和（ II）,必有
（Ａ）（ II）的解是（Ｉ）的解，（Ｉ）的解也是（ II）的解
（Ｂ）（ II）的解是（Ｉ）的解，（Ｉ）的解不是（ II）的解
（Ｃ）（Ｉ）的解不是（ II）的解，（ II）的解也不是（Ｉ）的解
（Ｄ）（Ｉ）的解是（ II）的解，但（ II）的解不是（Ｉ）的解
解：
设 是（Ｉ）的解，则 表明也是（ II）的解，反之，设 是（ II）的解,则表明 也是（Ｉ）的解，故选Ａ
TA
0?AX 0?AXA T
0X
000 00 TT AAXAAX
0X
0X0
X
00)()(00 000000 AXAXAXAXAXXAA TTTT
16、Ａ为１０Ｘ１０矩阵,A=
计算行列式,其中Ｅ为１０阶单位矩阵,λ为常数。
000010
10000
00100
00010
10
EA
A= 将 按第一列展开后，得到两个三角行列式
000010
10000
00100
00010
10?
0000
1000
0010
0001
)(
00010
1000
0010
0001
10
EA
1010109
10
10
1010))((
10010
01000
0001
00001
10
EA
17,设Ａ是 n阶矩阵，满足 （设Ｉ是 n阶单位矩阵,是Ａ的转置矩阵），,求
IAA?'
0?A
'A IA?
17,设Ａ是 n阶矩阵，满足 （设Ｉ是 n阶单位矩阵,是Ａ的转置矩阵），,求
解,因为所以由题设,有,故
IAA?'
0?A
'A IA?
IAAAIAAIA
AIAAAAIA
'
''
)(
)(
0)1( IAA
0?A 01 A 0 IA
Thank You!
