第三章 矩阵习题课一 矩阵的概念和基本运算
矩阵的定义由 m× n个数 排成的 m
行 n列的数表称为 m行 n列矩阵，简称 m× n矩阵。记做 或者
( 1,2,,; 1,2,,)i m j nija
11 1
1
n
m mn
aa
aa
A=
A
mnA
如果行数 m与列数 n相等，则称为 n阶方阵。
矩阵的分类
单位矩阵
对角矩阵
零矩阵
列矩阵＆行矩阵，常用
同型矩阵＆矩阵相等
nEE或
1 2 n,d i a g 也 记 作,,
mnOO?或
，,表 示矩阵的线性运算
( ) ( )
()
( ) ( )
()
()
A B B A
A B C A B C
A O A
A A O
k l A k l A
k l A k A l A
k A B k A k B
注意,A,B
矩阵必须是同型矩阵矩阵的乘法
矩阵的乘法定义：
设 则称为矩阵
两个矩阵相乘的条件
( ),( )ij m s ij s nA a B b
只有当 A的列数和 B的行数相等的时候
()ij m nA B C c
AB与 的 乘 积,其 中
1 1 2 2 ( 1,2,; 1,2,)ij i j i j is sjc a b a b a b i m j n
C的第 i行第 j列元素为 A的第 i行各元素与 B的第 j列各元素对应相乘再相加。
矩阵乘法满足下列运算规律
( ) ( )
( ) ( ) ( ),
()
A B C A B C
k A B k A B A k B k
A B C A B A C
其 中 为 常 数
1.矩阵乘法一般不满足交换律，即在一般情况下 。AB BA?
2.两个非零矩阵之积可能是零矩阵。
3.矩阵乘法不满足消去律，即若 不能推出0,A? AB AC? AB?
矩阵的幂：设 为 n阶方阵,k为正整数，定义的 k次幂 为 k个 连乘，即
矩阵的幂满足以下运算规律
A
AkA
A
(kA A A A k? 个 ）
()
,
k l k l
k l k l
A A A
AA
A k l
其 中 为 方 阵,为 正 整 数注意：由于矩阵乘法不满足交换律，所以
()k k kA B A B?
2 0 4 2
1 0 1 8 5
5 7 1 6
A
题型一 —— 矩阵的实际应用例一 某纺织品公司所属三家服装厂为其生产衬衣，
长裤和外套，设一卷布在甲厂可生产 20件衬衣，
10条长裤和 5件外套，而乙厂与丙厂生产量分别是 4,18,7和 2,5,16，问：
该公司这三种服装的情况如何用矩阵表示？ 丙厂用一卷布可以生产 2件衬衣,5条长裤 16件外套一卷布中甲长生产的产品中有
10条长裤，乙厂生产的产品中有 18条长裤，丙厂有 5条长裤。
解：
甲厂用 8卷布，乙厂用 10卷布，丙厂用 5卷布生产时，该公司共有多少衬衣，长裤和外套?
20 4 2 8
10 18 5 10
5 7 16 5
2 0 8 4 1 0 2 5
1 0 1 8 1 0 5 5
5 8 7 1 0 1 6 5
210
285
190
解,
若公司需要 500件衬衣,850条长裤和 1000件外套，这三个服装的原料应该怎样分配？
设 表示第 i个工厂所用卷布的数量，用矩阵表示为,ix
1
2
3
20 4 2 50 0
10 18 5 85 0
5 7 16 10 00
x
x
x
即
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0 4 2 5 0 0
1 0 1 8 5 8 5 0
5 7 1 6 1 0 0 0
x x x
x x x
x x x
1 2 31 5,2 5,5 0x x x
题型二 —— 判断题例二 设 A,B为 n阶矩阵,E为 n阶单位矩阵，下列那些命题是正确的？
若 可换，则 与 也可换。
2 2 2
3 3 2 2 3
( ) 2
( ) 3 3
A B A A B B
E A A A A E
,AB ()AB?()AB?
2 2 2()A B A B? 当 且 仅 当 AB=BA
（ 1）不正确
2( ) ( ) ( )A B A B A B＝
( ) ( )A B A A B B ＝
22
222
A B A A B B
A A B B
说明 由于矩阵乘法不满足交换律，所以：
22( ) 2A B A B A B
22 ( ) ( )A B A B A B
不成立
（ 2）正确，因为矩阵 与 可交换E?A
22
2 2 2
0
( ) ( )
( ) 2
()
n
n k k n k
n
k
A B A B A B
A B A AB B
A B C A B
定义,若对于矩阵 A,B又 AB=BA，就称 A
与 B可交换。
若 AB=BA，就有以下公式：
（ 3）正确，因为
22( ) ( )A B A B A A B B A B
22A A B A B B
22AB
22( ) ( )A B A B A A B B A B
22AB
（ 4）不正确。
其中当 AB=BA时，有 是正确的，
但仅当 AB=BA时，才有 是不正确的。
例如：
2 2 2()AB A B?
11
11A
11
11B
00
00
AB
22
11
BA
2 2 2()AB A B?
AB BA? 2 2 2()AB A B?但例三 条件同上题，判断下列命题：
0 0 0A B A B若 ＝,则 ＝ 或 ＝
22E A A A A A A E若 ＝,即 － ＝ （ － ） ＝ 0
0A A E则 ＝ 或 ＝
2 ) ( ) 0A E A E A E
A E A E
若 ＝,即 （ ＝
则 ＝ 或 ＝ －
0,A X A Y A X Y若 且 则
1.
2.
3.
4.
说明：两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，这是矩阵乘积中应该时刻注意的问题。
矩阵乘法不满足消去律题型三 —— 求方阵 A的高次幂
一个 n维行向量与一个 n维列向量的乘积是一个参数，因而对于秩为 1的方阵 A的 k
次幂可以用定义及矩阵地运算律求得例四 已知且 求
1,2,3 TB? 13,12C
A BC? kA
因为所以
1
1
3,,1 2 7
2
3
CB
kA A A A
( ) ( ) ( )B C B C B C?
1( ) ( ) ( ) 7 kB CB CB CB C B C
1
1
31
2
7 6 1 3
3
93
2
k?
解,
利用公式 其中例五,已知求
0
()
k
k i i k i
k
i
A B C A B?
AB BA?
10
01
00
A
kA
解,因为其中 E为三阶单位矩阵,且
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 9
A E B
0 1 0
0 0 1
000
B
( ) ( )E B B E2
32
0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
( 3 )
l
B
B B B
B O l
又注意：这个方法只使用于矩阵可分解为两个可交换的矩阵的情况
11( ) ( ) ( )k k k k k kkkA E B E C E B C B
1 2 2( 1 )
2
k k kkkE k B B
所以
12
1
( 1 )
2
0
00
k k k
kk
k
kk
k
k
利用数学归纳法求以上题为例：
2
22
2
21
02
00
A
32
3 3 2
3
33
03
00
A
解,
22
33
A( λ + 1 )
A( λ + 1 )
第 一 行 为 展 开 式 的 前 三 个 元 素第 一 行 为 展 开 式 的 前 三 个 元 素
kA
故设：
则
12
11
( 1 )
102
0 0 1
0 0 0 0
k k k
k k k k
k
kk
k
A A A k
11
1
1
( 1 )
( 1 )
2
0 ( 1 )
00
k k k
kk
k
kk
k
k
12
1
( 1 )
2
0
00
k k k
k k k
k
kk
k
Ak
由归纳法可知原假设成立二 矩阵的转置定义,将矩阵 A的行换成同序数的列而得到的矩阵，记做 即若TA
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
m
mT
n n m n
a a a
a a a
A
a a a
则矩阵转置满足的运算规律
()
()
()
()
( ) ( )
0
TT
T T T
TT
T T T
T
T
AA
A B A B
AA
A B B A
R A R A
AA
00TA A A
对称矩阵与反对称矩阵
定义,如果 n阶矩阵 A满足,则称 A为 对称矩阵 ；如果,则称 A为 反对称矩阵 。
n阶矩阵 为对称矩阵地充分必要条件是
n阶矩阵 为反对称矩阵的充分必要条件是
()ijAa?
TAA?
TAA
ij jiaa?
ij jiaa
()ijAa?
题型一 —— 证明矩阵是对称矩阵例六,设 A,B为 n阶对称矩阵，证明 AB为对称矩阵的充要条件是 A,B可以交换。
因为 A,B为对称矩阵，即,
若 AB为对称矩阵，即,则若 A与 B可换,对其两边取转置，得即 AB为对称阵。
TAA?证明,TBB?
()TAB AB?
() T T TA B A B B A B A
( ) ( )T T T TA B B A A B A B
AB BA?
必要性充分性例七,设 A,B为 n阶矩阵，且 A为对称矩阵,
证明 也是对称矩阵。
证明,因为,所以
TB AB
TAA?
( ) ( ) ( )T T T T T T TB A B B A B B A B
故 是对称矩阵。TB AB
三 逆矩阵＆伴随矩阵定义：
设 A为 n阶方阵，若存在 n阶方阵 B，使得则称 A为 可逆矩阵 或者 A是可逆的，并称 B为 A的逆矩阵。记做,即1A?
A B B A E
1AB
说明：若 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。
设,是 中的 代数余子式,则称矩阵为方阵的 伴随矩阵,记做 或 。
()ij m nAa ijA A
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
1 1 1 1
n
n
nn
A A A
A A A
A A A
*A adjA
( 1 ) ijij ijAM
逆矩阵的性质
11
11
11
1 1 1
1
()
( ) ( )
1
( ) ( 0)
()
1
TT
AA
AA
k A A k
k
AB B A
A
A
转置矩阵和逆矩阵的比较转置矩阵满足的公式 逆矩阵满足的公式
()TTAA?
() T T TA B A B
() TTAA
() T T TA B B A?
11()AA
111( ) ( 0 )k A A k
k
1 1 1()A B B A
无此性质伴随矩阵具有的性质
*
1
*1
**
1
*
**
( ) ( )
n
TT
A
A
A
A A A
A A A A A E
AA
AA
* 1 1 *
**
* 1 *
* * *
( ) ( )
()
()
()
n
A
AA
A
A A A
AA
AB B A
n-2
题型一 —— 判断矩阵是否可逆判别方法：
R(A)=n（ A为满秩矩阵）
AB=E或 BA＝ E
0A?
可用于具体矩阵地可逆性判定可用于具体元素没有给出，满足某个特定条件的方阵例九 (1)设 A,B,C均为 n阶矩阵,E为 n阶单位矩阵,且 ABC=E,则必有（）
(a)ACB=E (b)CBA=E
(c)BAC=E (d)BCA=E
(2) 设 A,B,C均为 n阶矩阵,E为 n阶单位矩阵，若
B=E+AB,C=A+CA,则 B-C为（）
(a)E (b)-E (c)A (d)-A
选 D
选 A
解 （ 1）由于 A,B,C都为 n阶方阵，且 ABC=E,得
A(BC)=E,于是故
（ 2）因为 B=E+AB,得（ E-A)B=E
故又因为 C=A+CA,即 C(E-A)=A,于是故
1A BC
1()B C A A A E
1()C A E A
11( ) ( )B C E A A E A
1( ) ( )E A E A E
1()B E A
例十,设方阵 A满足证明,A可逆,A-E可逆，并求它们的逆矩阵解 （ 1） 由 得故 存在，且
（ 2）同理，原式可变形为：
54 32A A A E O
4 ( ) 3 3A A E A E E
4( 3 ) ( )A E A E E
14( ) ( 3 )A E A E
43( 3 ) 2A A A E E
431 ( 3 )
2A A A E E
1 4 31 ( 3 )
2A A A E
54 32A A A E O
即
1A?
即因此例十一,判断下列矩阵是否可逆？
331
212
321
A
,
331
212
321
A
1 2 0
3 5 7,
4 7 7
B
解
010
430
321
010
430
321
01
43
4?,0?
所以 A可逆
315
404
133
4
11A
同理
1 2 0
3 5 7 0
4 7 7
B? ＝
所以 B不可逆题型二 —— 求矩阵的逆矩阵
初等变换法对于具体的数字矩阵，常用初等变换求其逆。
1( ) ( )A E E A 仅 用 初 等 行 变 换说明,用初等变换求逆法，即可以判别 A的可逆性，又可以求逆矩阵。即在施行初等变换的过程中，发现 A的变换矩阵不是满秩矩阵，
那么我们就可以断言 A不可能变到单位矩阵，
A是不可逆矩阵。
例十二,判断 是否可逆？若可逆求其逆,
1 2 1
2 5 4
1 1 1
A
100111
010452
001121
EA
101230
012690
001121
解
212rr?
31rr?
101230
311000
001121
1 2 1
0 0 0
032
233rr?
因为 A的变换矩阵 不是满秩矩阵所以 A不可逆 。
例十三,求三阶方阵 1 2 3
2 1 2
1 3 4
A
1 2 3 1 0 0
0 3 4 2 1 0
0 1 1 1 0 1
解
1 2 3 1 0 0
2 1 2 0 1 0
1 3 4 0 0 1
AE
31rr?
212rr?
的逆矩阵
1 0 1 3 0 2
0 1 1 1 0 1
0 0 1 5 1 3
1 0 0 2 1 1
0 1 0 6 1 4
0 0 1 5 1 3
1
2 1 1
6 1 4
5 1 3
A?
132rr?
233rr?
23rr?
13rr?
23rr?
3( 1)r?
于是
公式法：
①
1*1AA
A
特别对于二阶方阵 1a b d b
c d c aa d b c
例如,12
36A
则
1 62
31A
② 设
n
A
2
1
n
A
1
1
1
2
1
1
021?n
n
A
2
1
1
2
1
1
1
1
n
A
则则例十四,求 的逆矩阵。
1 2 0 0
2 3 0 0
0 0 2 5
0 0 3 6
A
1
2
0
0
A
A
A
1
12
23
A
2
25
36A
解,A可分块为其中
1
1
32
21A
1
2
651
323
A
1
1
11 1
1
2 2
3 2 0 0
2 1 0 0
0 0 5
0 0 2
0 0 3
2
0 0 1
3
A A
A
A A
而故题型三 —— 求矩阵方程例十五,设
1 2 3 2
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 3
B
1 2 0 1
0 1 2 1
0 0 1 2
0 0 0 1
C
11( 2 ) TE C B A C
求 A。
111( 2 ( 2 )TA C E C B C B
1 2 3 4
0 1 2 3
2
0 0 1 2
0 0 0 1
CB
1
1
1 0 0 0
2 1 0 0
( 2 )
3 2 1 0
4 3 2 1
T
A C B
1 0 0 0
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
解,由原式得因而例十六,设,1 1 11 1 1
1 1 1
A
*1 2A X A X
*12A X X A
*1( 2 )A E X A
*( 2 )A A A X E
*A A A E?
( 2 )A E A X E
1( 2 )X A E A
求 X
解,原式可以化为即而故所以
1 1 1
1 1 1 4
1 1 1
A
1 1 1
2 2 1 1 1
1 1 1
A E A
1
1 1 1 1 1 0
11
1 1 1 0 1 1
24
1 1 1 1 0 1
X
又所以因此例十七,求矩阵 X,使,其中
()AB
AX B?
2 1 1
0 4 1
3 1 2
A
53
16
88
B
2 1 1 5 3
( ) 0 4 1 1 6
3 1 2 8 8
AB
解
1()E A B?
初等行变换
2 1 1 5 3
2 5 0 6 3
1 3 0 2 2
0 4 1 1 6
0 1 0 2 1
1 3 0 2 2
1 0 0 8 1
0 1 0 2 1
0 0 1 9 2
81
21
92
X
于是，方程的解为：
四 分块矩阵
在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成若干块，目的是简化矩阵运算。
每一小块叫做矩阵地子块（子矩阵），并且把每个子块在运算中直接看作是矩阵地元素一样。
这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。
通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且使得矩阵结构简洁清晰，意义更加明确。
其中每一个 与是同型矩阵,采用相同的分块法分块矩阵的运算
分块矩阵的加法
srs
r
srs
r
BB
BB
B
AA
AA
A
1
111
1
111
,
与普通矩阵的运算规则类似
.
11
111111
srsrss
rr
BABA
BABA
BA
ijA ijB
分块矩阵的数量乘法
srs
r
AA
AA
A
1
111
.
1
111
srs
r
AA
AA
A
设则 其中 是任意常数。
需 k乘 A的每一个分块
分块矩阵的转置
1 1 1
1
s
r r s
AA
A
AA
1 1 1
1
TT
r
T
TT
s r s
AA
A
AA
1 2 3 4 1
1 0 1 4 7
2 4 3 1 2
A
1 1 2
2 0 4
3 1 3
441
1 7 2
T
A
设,则例如：
则先将子块构成的行改成列，
然后将每个子块取转置
分块矩阵的乘法
,,
1
111
1
111
trt
r
sts
t
BB
BB
B
AA
AA
A
srs
r
CC
CC
AB
1
111
.,,1;,,1
1
rjsiBAC kj
t
k
ikij
设 A为 m× l矩阵,B为 l× n矩阵，对 A,B分块其中要求对 A的列的分法与 B的行的分法一致
分块对角矩阵,2
1
sA
A
A
A
O
O
12,sA A A A?
其中 为方阵iA
分块对角矩阵的性质有：
(a)
分块对角矩阵可逆的充要条件是每一个子矩阵可逆
ss B
B
B
A
A
A
00
00
00
00
00
00
2
1
2
1
.
00
00
00
22
11
ss BA
BA
BA
,
2
1
sA
A
A
A
(b)
(c) 设 则
1
1
1
1
0
0 s
A
A
A
1 0
0
k
k
k
r
A
A
A
1 0
0 r
A
A
A
0
0
A A C
AB
C B B
设
0
( 1 )
0
nn mn
nm
mm
A C A
AB
B C B
(d),则
(e)
题型一 —— 求分块矩阵的逆
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
2 3 0 0 0
2 4 0 0 0
A
1A?
例十八 设求
1
1 1 1
0 1 1
0 0 1
A
2
23
24A
1
1
1 1 1
0 1 1
0 0 1
A?
1
2
431
222A
解,令
，
从而
，
所以
1 1
11 2
1
2 1
0 0
0 0
A A
A
A A
3
0 0 0 2
2
0 0 0 1 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0AM
CB
1M?M
0A? 0B?
0M A B
例十九,设 A,B分别是 m,n阶可逆矩阵证明 可逆，并求证明,由于 A,B可逆，即,,
由分块矩阵的性质有所以 M 可逆。
121
34
XXM
XX
1 2 3 4,,,X X X X
12
34
00
0
m
n
X X EA
X X ECB
12
1 3 2 4
0
0
m
n
A X A X E
C X B X C X B X E
设,其中 分别是
,,,m m m n n m n n矩阵，则由分块矩阵的乘法得
1
2
13
24
0
0
m
n
A X E
AX
C X B X
C X B X E
1 1 134,X B C A X B
1
1
1 1 1
0AM
B C A B
即有
112,0,X A X
因为 A可逆，可得：
故待定系数法是求分块矩阵逆矩阵的基本方法。
1 1
1 1 1
0 0A A
CB B CA B
1 1 1 1
1
0
0
A B CA B
BC A
总结：
1 1 1 1
10 0
AC A A CB
B B
1 1
1 1 1
0
0
CA B
B A A CB
题型二 —— 利用分块矩阵的性质求 kA
3 4 0 0
4 3 0 0
0 0 2 0
0 0 2 2
A
8A 4A
1
2
0
0
AA
A
12
3 4 2 0,
4 3 2 2AA
例二十：
设,求 及解：
，其中
4
4 1
4
2
0
0
AA
A
2
1
2 5 0 25
0 2 5AE
441 5AE?
2
102
11A
44
2
102
41A
4
4
4
4
64
5 0 0 0
0 5 0 0
0 0 2 0
0 0 2 2
A
8 8 88 8 8 1 6
12 2 5 4 1 0A A A A
于是因为,故 ；
，故代入故五 初等矩阵
初等矩阵的概念由单位矩阵 E经过一次初等变换而得到的方阵称为初等矩阵,
三种初等变换对应着三种初等矩阵,
) (,1 jiji ccrr 或
) (,2 ii kckr 或
) (,3 ijji kcckrr 或
) ( 1 jiji ccrr 或、
1
1
01
1
1
10
1
1
),(
jiE
行第 i?
行第 j?
mnmm
inii
jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
1
22221
11111
),(
左乘 A相当于对 A施行了
.ijrr?
右乘 A相当于对 A施行了
ijcc?
) ( 2 ii kckr 或、
1
1
1
1
))((
kkiE
行第 i?
mnmm
inii
n
m
aaa
kakaka
aaa
AkiE
21
21
11211
))((
mnmim
ni
ni
n
akaa
akaa
akaa
kiAE
1
2221
1111
))((
左乘 A相当于对 A施行了
irk?
右乘 A相当于对 A施行了
ick?
) ( 3 ijji kcckrr 或、
1
1
1
1
))(,(
k
kjiE
行第 i?
行第 j?
mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkjiE
21
21
2211
11211
))(,(
左乘 A相当于对 A施行了
ijr kr?
mnmjmimim
njii
njii
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kjiAE
1
222221
111111
))(,(
右乘 A相当于对
A施行了
jic kc?
))(,( )),(( ),,( kjiEkiEjiE
右乘列变左乘行变,
总结：
题型一 —— 解矩阵方程
0 1 0 1 0 0 1 4 3
1 0 0 0 0 1 2 0 1
0 0 1 0 1 0 1 2 0
X
例二十一求 X
解,
所求得矩阵 X是通过交换矩阵 A的第一，
二行后，再交换所得矩阵的第二，三列而得到的。所以我们就先交换二，三列，
再交换第一，二行求 X。
得 2 1 0
1 3 4
1 0 2
X
题型二 —— 分块矩阵的初等变换的应用
mnnmE A B E B A
n
m
EA
BE
mn?nm?
例二十二 设 A是 矩阵,B是 矩阵证明：
证,构造矩阵
0
0
n n n
m m m
E E A E A
B E B E E B A
0
0
n n n
m m m
E A E E A B A
B E B E E
0
nn
nm
mm
E A E A E E B A
B E E B A
m nE B A
0
nn
nm
mm
E A E A B A E A B E
B E E
n mE B A
mnnmE A B E B A
因为取行列式故六 矩阵的行列式
方阵行列式的运算规律（ A位 n阶）
TTAA?
kkAA?
11AA
nAA
A B A B?
1* nAA
A B A B注意：
分块矩阵的行列式
1
2
,
s
A
A
A
A
12,sA A A A?
0
0
A A C AB
C B B
0 ( 1 )
0
nn mn
nm
mm
A C A AB
B C B
设 则(a)
(b)
(c)
题型一 —— 应用行列式的性质
55
2345,,,,;A
2345,,,,;B 2345,,,,,
4,1AB
AB?
例二十三 设 矩阵为 5维列向量。已知求：
解：
2345,2,2,2,2AB
2 3 4 5 2 3 4 51 6,,,,,,,,
1 6 8 0AB
题型二 —— 利用 与 的性质*A 1A?
2,3AB
* * * 1A B A B
例二十四,设 A,B均为 n阶方阵，且求：
* * * 1 * * 1A B A B A B B
解：
而
1* * 1,nA A B B B
故
1* * 1 1 1nA B B A B B B
1 1nA B E E B
1 13nA E E
B
1
21
1
1
2
12
22
33
n
n
nn
AE
B
矩阵的定义由 m× n个数 排成的 m
行 n列的数表称为 m行 n列矩阵，简称 m× n矩阵。记做 或者
( 1,2,,; 1,2,,)i m j nija
11 1
1
n
m mn
aa
aa
A=
A
mnA
如果行数 m与列数 n相等，则称为 n阶方阵。
矩阵的分类
单位矩阵
对角矩阵
零矩阵
列矩阵＆行矩阵，常用
同型矩阵＆矩阵相等
nEE或
1 2 n,d i a g 也 记 作,,
mnOO?或
，,表 示矩阵的线性运算
( ) ( )
()
( ) ( )
()
()
A B B A
A B C A B C
A O A
A A O
k l A k l A
k l A k A l A
k A B k A k B
注意,A,B
矩阵必须是同型矩阵矩阵的乘法
矩阵的乘法定义：
设 则称为矩阵
两个矩阵相乘的条件
( ),( )ij m s ij s nA a B b
只有当 A的列数和 B的行数相等的时候
()ij m nA B C c
AB与 的 乘 积,其 中
1 1 2 2 ( 1,2,; 1,2,)ij i j i j is sjc a b a b a b i m j n
C的第 i行第 j列元素为 A的第 i行各元素与 B的第 j列各元素对应相乘再相加。
矩阵乘法满足下列运算规律
( ) ( )
( ) ( ) ( ),
()
A B C A B C
k A B k A B A k B k
A B C A B A C
其 中 为 常 数
1.矩阵乘法一般不满足交换律，即在一般情况下 。AB BA?
2.两个非零矩阵之积可能是零矩阵。
3.矩阵乘法不满足消去律，即若 不能推出0,A? AB AC? AB?
矩阵的幂：设 为 n阶方阵,k为正整数，定义的 k次幂 为 k个 连乘，即
矩阵的幂满足以下运算规律
A
AkA
A
(kA A A A k? 个 ）
()
,
k l k l
k l k l
A A A
AA
A k l
其 中 为 方 阵,为 正 整 数注意：由于矩阵乘法不满足交换律，所以
()k k kA B A B?
2 0 4 2
1 0 1 8 5
5 7 1 6
A
题型一 —— 矩阵的实际应用例一 某纺织品公司所属三家服装厂为其生产衬衣，
长裤和外套，设一卷布在甲厂可生产 20件衬衣，
10条长裤和 5件外套，而乙厂与丙厂生产量分别是 4,18,7和 2,5,16，问：
该公司这三种服装的情况如何用矩阵表示？ 丙厂用一卷布可以生产 2件衬衣,5条长裤 16件外套一卷布中甲长生产的产品中有
10条长裤，乙厂生产的产品中有 18条长裤，丙厂有 5条长裤。
解：
甲厂用 8卷布，乙厂用 10卷布，丙厂用 5卷布生产时，该公司共有多少衬衣，长裤和外套?
20 4 2 8
10 18 5 10
5 7 16 5
2 0 8 4 1 0 2 5
1 0 1 8 1 0 5 5
5 8 7 1 0 1 6 5
210
285
190
解,
若公司需要 500件衬衣,850条长裤和 1000件外套，这三个服装的原料应该怎样分配？
设 表示第 i个工厂所用卷布的数量，用矩阵表示为,ix
1
2
3
20 4 2 50 0
10 18 5 85 0
5 7 16 10 00
x
x
x
即
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0 4 2 5 0 0
1 0 1 8 5 8 5 0
5 7 1 6 1 0 0 0
x x x
x x x
x x x
1 2 31 5,2 5,5 0x x x
题型二 —— 判断题例二 设 A,B为 n阶矩阵,E为 n阶单位矩阵，下列那些命题是正确的？
若 可换，则 与 也可换。
2 2 2
3 3 2 2 3
( ) 2
( ) 3 3
A B A A B B
E A A A A E
,AB ()AB?()AB?
2 2 2()A B A B? 当 且 仅 当 AB=BA
（ 1）不正确
2( ) ( ) ( )A B A B A B＝
( ) ( )A B A A B B ＝
22
222
A B A A B B
A A B B
说明 由于矩阵乘法不满足交换律，所以：
22( ) 2A B A B A B
22 ( ) ( )A B A B A B
不成立
（ 2）正确，因为矩阵 与 可交换E?A
22
2 2 2
0
( ) ( )
( ) 2
()
n
n k k n k
n
k
A B A B A B
A B A AB B
A B C A B
定义,若对于矩阵 A,B又 AB=BA，就称 A
与 B可交换。
若 AB=BA，就有以下公式：
（ 3）正确，因为
22( ) ( )A B A B A A B B A B
22A A B A B B
22AB
22( ) ( )A B A B A A B B A B
22AB
（ 4）不正确。
其中当 AB=BA时，有 是正确的，
但仅当 AB=BA时，才有 是不正确的。
例如：
2 2 2()AB A B?
11
11A
11
11B
00
00
AB
22
11
BA
2 2 2()AB A B?
AB BA? 2 2 2()AB A B?但例三 条件同上题，判断下列命题：
0 0 0A B A B若 ＝,则 ＝ 或 ＝
22E A A A A A A E若 ＝,即 － ＝ （ － ） ＝ 0
0A A E则 ＝ 或 ＝
2 ) ( ) 0A E A E A E
A E A E
若 ＝,即 （ ＝
则 ＝ 或 ＝ －
0,A X A Y A X Y若 且 则
1.
2.
3.
4.
说明：两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，这是矩阵乘积中应该时刻注意的问题。
矩阵乘法不满足消去律题型三 —— 求方阵 A的高次幂
一个 n维行向量与一个 n维列向量的乘积是一个参数，因而对于秩为 1的方阵 A的 k
次幂可以用定义及矩阵地运算律求得例四 已知且 求
1,2,3 TB? 13,12C
A BC? kA
因为所以
1
1
3,,1 2 7
2
3
CB
kA A A A
( ) ( ) ( )B C B C B C?
1( ) ( ) ( ) 7 kB CB CB CB C B C
1
1
31
2
7 6 1 3
3
93
2
k?
解,
利用公式 其中例五,已知求
0
()
k
k i i k i
k
i
A B C A B?
AB BA?
10
01
00
A
kA
解,因为其中 E为三阶单位矩阵,且
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 9
A E B
0 1 0
0 0 1
000
B
( ) ( )E B B E2
32
0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
( 3 )
l
B
B B B
B O l
又注意：这个方法只使用于矩阵可分解为两个可交换的矩阵的情况
11( ) ( ) ( )k k k k k kkkA E B E C E B C B
1 2 2( 1 )
2
k k kkkE k B B
所以
12
1
( 1 )
2
0
00
k k k
kk
k
kk
k
k
利用数学归纳法求以上题为例：
2
22
2
21
02
00
A
32
3 3 2
3
33
03
00
A
解,
22
33
A( λ + 1 )
A( λ + 1 )
第 一 行 为 展 开 式 的 前 三 个 元 素第 一 行 为 展 开 式 的 前 三 个 元 素
kA
故设：
则
12
11
( 1 )
102
0 0 1
0 0 0 0
k k k
k k k k
k
kk
k
A A A k
11
1
1
( 1 )
( 1 )
2
0 ( 1 )
00
k k k
kk
k
kk
k
k
12
1
( 1 )
2
0
00
k k k
k k k
k
kk
k
Ak
由归纳法可知原假设成立二 矩阵的转置定义,将矩阵 A的行换成同序数的列而得到的矩阵，记做 即若TA
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
m
mT
n n m n
a a a
a a a
A
a a a
则矩阵转置满足的运算规律
()
()
()
()
( ) ( )
0
TT
T T T
TT
T T T
T
T
AA
A B A B
AA
A B B A
R A R A
AA
00TA A A
对称矩阵与反对称矩阵
定义,如果 n阶矩阵 A满足,则称 A为 对称矩阵 ；如果,则称 A为 反对称矩阵 。
n阶矩阵 为对称矩阵地充分必要条件是
n阶矩阵 为反对称矩阵的充分必要条件是
()ijAa?
TAA?
TAA
ij jiaa?
ij jiaa
()ijAa?
题型一 —— 证明矩阵是对称矩阵例六,设 A,B为 n阶对称矩阵，证明 AB为对称矩阵的充要条件是 A,B可以交换。
因为 A,B为对称矩阵，即,
若 AB为对称矩阵，即,则若 A与 B可换,对其两边取转置，得即 AB为对称阵。
TAA?证明,TBB?
()TAB AB?
() T T TA B A B B A B A
( ) ( )T T T TA B B A A B A B
AB BA?
必要性充分性例七,设 A,B为 n阶矩阵，且 A为对称矩阵,
证明 也是对称矩阵。
证明,因为,所以
TB AB
TAA?
( ) ( ) ( )T T T T T T TB A B B A B B A B
故 是对称矩阵。TB AB
三 逆矩阵＆伴随矩阵定义：
设 A为 n阶方阵，若存在 n阶方阵 B，使得则称 A为 可逆矩阵 或者 A是可逆的，并称 B为 A的逆矩阵。记做,即1A?
A B B A E
1AB
说明：若 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。
设,是 中的 代数余子式,则称矩阵为方阵的 伴随矩阵,记做 或 。
()ij m nAa ijA A
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
1 1 1 1
n
n
nn
A A A
A A A
A A A
*A adjA
( 1 ) ijij ijAM
逆矩阵的性质
11
11
11
1 1 1
1
()
( ) ( )
1
( ) ( 0)
()
1
TT
AA
AA
k A A k
k
AB B A
A
A
转置矩阵和逆矩阵的比较转置矩阵满足的公式 逆矩阵满足的公式
()TTAA?
() T T TA B A B
() TTAA
() T T TA B B A?
11()AA
111( ) ( 0 )k A A k
k
1 1 1()A B B A
无此性质伴随矩阵具有的性质
*
1
*1
**
1
*
**
( ) ( )
n
TT
A
A
A
A A A
A A A A A E
AA
AA
* 1 1 *
**
* 1 *
* * *
( ) ( )
()
()
()
n
A
AA
A
A A A
AA
AB B A
n-2
题型一 —— 判断矩阵是否可逆判别方法：
R(A)=n（ A为满秩矩阵）
AB=E或 BA＝ E
0A?
可用于具体矩阵地可逆性判定可用于具体元素没有给出，满足某个特定条件的方阵例九 (1)设 A,B,C均为 n阶矩阵,E为 n阶单位矩阵,且 ABC=E,则必有（）
(a)ACB=E (b)CBA=E
(c)BAC=E (d)BCA=E
(2) 设 A,B,C均为 n阶矩阵,E为 n阶单位矩阵，若
B=E+AB,C=A+CA,则 B-C为（）
(a)E (b)-E (c)A (d)-A
选 D
选 A
解 （ 1）由于 A,B,C都为 n阶方阵，且 ABC=E,得
A(BC)=E,于是故
（ 2）因为 B=E+AB,得（ E-A)B=E
故又因为 C=A+CA,即 C(E-A)=A,于是故
1A BC
1()B C A A A E
1()C A E A
11( ) ( )B C E A A E A
1( ) ( )E A E A E
1()B E A
例十,设方阵 A满足证明,A可逆,A-E可逆，并求它们的逆矩阵解 （ 1） 由 得故 存在，且
（ 2）同理，原式可变形为：
54 32A A A E O
4 ( ) 3 3A A E A E E
4( 3 ) ( )A E A E E
14( ) ( 3 )A E A E
43( 3 ) 2A A A E E
431 ( 3 )
2A A A E E
1 4 31 ( 3 )
2A A A E
54 32A A A E O
即
1A?
即因此例十一,判断下列矩阵是否可逆？
331
212
321
A
,
331
212
321
A
1 2 0
3 5 7,
4 7 7
B
解
010
430
321
010
430
321
01
43
4?,0?
所以 A可逆
315
404
133
4
11A
同理
1 2 0
3 5 7 0
4 7 7
B? ＝
所以 B不可逆题型二 —— 求矩阵的逆矩阵
初等变换法对于具体的数字矩阵，常用初等变换求其逆。
1( ) ( )A E E A 仅 用 初 等 行 变 换说明,用初等变换求逆法，即可以判别 A的可逆性，又可以求逆矩阵。即在施行初等变换的过程中，发现 A的变换矩阵不是满秩矩阵，
那么我们就可以断言 A不可能变到单位矩阵，
A是不可逆矩阵。
例十二,判断 是否可逆？若可逆求其逆,
1 2 1
2 5 4
1 1 1
A
100111
010452
001121
EA
101230
012690
001121
解
212rr?
31rr?
101230
311000
001121
1 2 1
0 0 0
032
233rr?
因为 A的变换矩阵 不是满秩矩阵所以 A不可逆 。
例十三,求三阶方阵 1 2 3
2 1 2
1 3 4
A
1 2 3 1 0 0
0 3 4 2 1 0
0 1 1 1 0 1
解
1 2 3 1 0 0
2 1 2 0 1 0
1 3 4 0 0 1
AE
31rr?
212rr?
的逆矩阵
1 0 1 3 0 2
0 1 1 1 0 1
0 0 1 5 1 3
1 0 0 2 1 1
0 1 0 6 1 4
0 0 1 5 1 3
1
2 1 1
6 1 4
5 1 3
A?
132rr?
233rr?
23rr?
13rr?
23rr?
3( 1)r?
于是
公式法：
①
1*1AA
A
特别对于二阶方阵 1a b d b
c d c aa d b c
例如,12
36A
则
1 62
31A
② 设
n
A
2
1
n
A
1
1
1
2
1
1
021?n
n
A
2
1
1
2
1
1
1
1
n
A
则则例十四,求 的逆矩阵。
1 2 0 0
2 3 0 0
0 0 2 5
0 0 3 6
A
1
2
0
0
A
A
A
1
12
23
A
2
25
36A
解,A可分块为其中
1
1
32
21A
1
2
651
323
A
1
1
11 1
1
2 2
3 2 0 0
2 1 0 0
0 0 5
0 0 2
0 0 3
2
0 0 1
3
A A
A
A A
而故题型三 —— 求矩阵方程例十五,设
1 2 3 2
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 3
B
1 2 0 1
0 1 2 1
0 0 1 2
0 0 0 1
C
11( 2 ) TE C B A C
求 A。
111( 2 ( 2 )TA C E C B C B
1 2 3 4
0 1 2 3
2
0 0 1 2
0 0 0 1
CB
1
1
1 0 0 0
2 1 0 0
( 2 )
3 2 1 0
4 3 2 1
T
A C B
1 0 0 0
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
解,由原式得因而例十六,设,1 1 11 1 1
1 1 1
A
*1 2A X A X
*12A X X A
*1( 2 )A E X A
*( 2 )A A A X E
*A A A E?
( 2 )A E A X E
1( 2 )X A E A
求 X
解,原式可以化为即而故所以
1 1 1
1 1 1 4
1 1 1
A
1 1 1
2 2 1 1 1
1 1 1
A E A
1
1 1 1 1 1 0
11
1 1 1 0 1 1
24
1 1 1 1 0 1
X
又所以因此例十七,求矩阵 X,使,其中
()AB
AX B?
2 1 1
0 4 1
3 1 2
A
53
16
88
B
2 1 1 5 3
( ) 0 4 1 1 6
3 1 2 8 8
AB
解
1()E A B?
初等行变换
2 1 1 5 3
2 5 0 6 3
1 3 0 2 2
0 4 1 1 6
0 1 0 2 1
1 3 0 2 2
1 0 0 8 1
0 1 0 2 1
0 0 1 9 2
81
21
92
X
于是，方程的解为：
四 分块矩阵
在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成若干块，目的是简化矩阵运算。
每一小块叫做矩阵地子块（子矩阵），并且把每个子块在运算中直接看作是矩阵地元素一样。
这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。
通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且使得矩阵结构简洁清晰，意义更加明确。
其中每一个 与是同型矩阵,采用相同的分块法分块矩阵的运算
分块矩阵的加法
srs
r
srs
r
BB
BB
B
AA
AA
A
1
111
1
111
,
与普通矩阵的运算规则类似
.
11
111111
srsrss
rr
BABA
BABA
BA
ijA ijB
分块矩阵的数量乘法
srs
r
AA
AA
A
1
111
.
1
111
srs
r
AA
AA
A
设则 其中 是任意常数。
需 k乘 A的每一个分块
分块矩阵的转置
1 1 1
1
s
r r s
AA
A
AA
1 1 1
1
TT
r
T
TT
s r s
AA
A
AA
1 2 3 4 1
1 0 1 4 7
2 4 3 1 2
A
1 1 2
2 0 4
3 1 3
441
1 7 2
T
A
设,则例如：
则先将子块构成的行改成列，
然后将每个子块取转置
分块矩阵的乘法
,,
1
111
1
111
trt
r
sts
t
BB
BB
B
AA
AA
A
srs
r
CC
CC
AB
1
111
.,,1;,,1
1
rjsiBAC kj
t
k
ikij
设 A为 m× l矩阵,B为 l× n矩阵，对 A,B分块其中要求对 A的列的分法与 B的行的分法一致
分块对角矩阵,2
1
sA
A
A
A
O
O
12,sA A A A?
其中 为方阵iA
分块对角矩阵的性质有：
(a)
分块对角矩阵可逆的充要条件是每一个子矩阵可逆
ss B
B
B
A
A
A
00
00
00
00
00
00
2
1
2
1
.
00
00
00
22
11
ss BA
BA
BA
,
2
1
sA
A
A
A
(b)
(c) 设 则
1
1
1
1
0
0 s
A
A
A
1 0
0
k
k
k
r
A
A
A
1 0
0 r
A
A
A
0
0
A A C
AB
C B B
设
0
( 1 )
0
nn mn
nm
mm
A C A
AB
B C B
(d),则
(e)
题型一 —— 求分块矩阵的逆
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
2 3 0 0 0
2 4 0 0 0
A
1A?
例十八 设求
1
1 1 1
0 1 1
0 0 1
A
2
23
24A
1
1
1 1 1
0 1 1
0 0 1
A?
1
2
431
222A
解,令
，
从而
，
所以
1 1
11 2
1
2 1
0 0
0 0
A A
A
A A
3
0 0 0 2
2
0 0 0 1 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0AM
CB
1M?M
0A? 0B?
0M A B
例十九,设 A,B分别是 m,n阶可逆矩阵证明 可逆，并求证明,由于 A,B可逆，即,,
由分块矩阵的性质有所以 M 可逆。
121
34
XXM
XX
1 2 3 4,,,X X X X
12
34
00
0
m
n
X X EA
X X ECB
12
1 3 2 4
0
0
m
n
A X A X E
C X B X C X B X E
设,其中 分别是
,,,m m m n n m n n矩阵，则由分块矩阵的乘法得
1
2
13
24
0
0
m
n
A X E
AX
C X B X
C X B X E
1 1 134,X B C A X B
1
1
1 1 1
0AM
B C A B
即有
112,0,X A X
因为 A可逆，可得：
故待定系数法是求分块矩阵逆矩阵的基本方法。
1 1
1 1 1
0 0A A
CB B CA B
1 1 1 1
1
0
0
A B CA B
BC A
总结：
1 1 1 1
10 0
AC A A CB
B B
1 1
1 1 1
0
0
CA B
B A A CB
题型二 —— 利用分块矩阵的性质求 kA
3 4 0 0
4 3 0 0
0 0 2 0
0 0 2 2
A
8A 4A
1
2
0
0
AA
A
12
3 4 2 0,
4 3 2 2AA
例二十：
设,求 及解：
，其中
4
4 1
4
2
0
0
AA
A
2
1
2 5 0 25
0 2 5AE
441 5AE?
2
102
11A
44
2
102
41A
4
4
4
4
64
5 0 0 0
0 5 0 0
0 0 2 0
0 0 2 2
A
8 8 88 8 8 1 6
12 2 5 4 1 0A A A A
于是因为,故 ；
，故代入故五 初等矩阵
初等矩阵的概念由单位矩阵 E经过一次初等变换而得到的方阵称为初等矩阵,
三种初等变换对应着三种初等矩阵,
) (,1 jiji ccrr 或
) (,2 ii kckr 或
) (,3 ijji kcckrr 或
) ( 1 jiji ccrr 或、
1
1
01
1
1
10
1
1
),(
jiE
行第 i?
行第 j?
mnmm
inii
jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
1
22221
11111
),(
左乘 A相当于对 A施行了
.ijrr?
右乘 A相当于对 A施行了
ijcc?
) ( 2 ii kckr 或、
1
1
1
1
))((
kkiE
行第 i?
mnmm
inii
n
m
aaa
kakaka
aaa
AkiE
21
21
11211
))((
mnmim
ni
ni
n
akaa
akaa
akaa
kiAE
1
2221
1111
))((
左乘 A相当于对 A施行了
irk?
右乘 A相当于对 A施行了
ick?
) ( 3 ijji kcckrr 或、
1
1
1
1
))(,(
k
kjiE
行第 i?
行第 j?
mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkjiE
21
21
2211
11211
))(,(
左乘 A相当于对 A施行了
ijr kr?
mnmjmimim
njii
njii
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kjiAE
1
222221
111111
))(,(
右乘 A相当于对
A施行了
jic kc?
))(,( )),(( ),,( kjiEkiEjiE
右乘列变左乘行变,
总结：
题型一 —— 解矩阵方程
0 1 0 1 0 0 1 4 3
1 0 0 0 0 1 2 0 1
0 0 1 0 1 0 1 2 0
X
例二十一求 X
解,
所求得矩阵 X是通过交换矩阵 A的第一，
二行后，再交换所得矩阵的第二，三列而得到的。所以我们就先交换二，三列，
再交换第一，二行求 X。
得 2 1 0
1 3 4
1 0 2
X
题型二 —— 分块矩阵的初等变换的应用
mnnmE A B E B A
n
m
EA
BE
mn?nm?
例二十二 设 A是 矩阵,B是 矩阵证明：
证,构造矩阵
0
0
n n n
m m m
E E A E A
B E B E E B A
0
0
n n n
m m m
E A E E A B A
B E B E E
0
nn
nm
mm
E A E A E E B A
B E E B A
m nE B A
0
nn
nm
mm
E A E A B A E A B E
B E E
n mE B A
mnnmE A B E B A
因为取行列式故六 矩阵的行列式
方阵行列式的运算规律（ A位 n阶）
TTAA?
kkAA?
11AA
nAA
A B A B?
1* nAA
A B A B注意：
分块矩阵的行列式
1
2
,
s
A
A
A
A
12,sA A A A?
0
0
A A C AB
C B B
0 ( 1 )
0
nn mn
nm
mm
A C A AB
B C B
设 则(a)
(b)
(c)
题型一 —— 应用行列式的性质
55
2345,,,,;A
2345,,,,;B 2345,,,,,
4,1AB
AB?
例二十三 设 矩阵为 5维列向量。已知求：
解：
2345,2,2,2,2AB
2 3 4 5 2 3 4 51 6,,,,,,,,
1 6 8 0AB
题型二 —— 利用 与 的性质*A 1A?
2,3AB
* * * 1A B A B
例二十四,设 A,B均为 n阶方阵，且求：
* * * 1 * * 1A B A B A B B
解：
而
1* * 1,nA A B B B
故
1* * 1 1 1nA B B A B B B
1 1nA B E E B
1 13nA E E
B
1
21
1
1
2
12
22
33
n
n
nn
AE
B
